第4课时 一次函数的实际应用
1 一次函数的简单应用
1.(2021安徽)某品牌鞋子的长度y cm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系.若22码鞋子的长度为16 cm,44码鞋子的长度为27 cm,则38码鞋子的长度为 ( )
A.23 cm B.24 cm C.25 cm D.26 cm
2.(2021上海)某人购进一批苹果到集贸市场零售,已经卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示,成本为5元/千克,现以8元/千克的售价卖出,挣得 元.
3.如图①,某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯.甲、乙两人从二楼同时下行,甲乘自动扶梯,乙走步行楼梯,甲离一楼地面的高度h(单位:m)与下行时间x(单位:s)之间具有函数关系h=-x+6,乙离一楼地面的高度y(单位:m)与下行时间x(单位:s)的函数关系如图②所示.
(1)求y关于x的函数解析式(不必写自变量的取值范围);
(2)请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面.
2 分段函数
4.某商店销售一种商品,售出部分商品后进行了降价促销,销售金额y(元)与销售量x(件)的函数关系如图所示,则降价后每件商品的销售价格为 ( )
A.12元 B.12.5元 C.16.25元 D.20元
5.(2021天津)在“看图说故事”活动中,某学习小组结合图象设计了一个问题情境.
已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上,书店离学校12 km,陈列馆离学校20 km.李华从学校出发,匀速骑行0.6 h到达书店;在书店停留0.4 h后,匀速骑行0.5 h到达陈列馆;在陈列馆参观学习一段时间,然后回学校;回学校途中,匀速骑行0.5 h后减速,继续匀速骑行回到学校.给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离y(km)与离开学校的时间x(h)之间的关系.
请根据相关信息,解答下列问题:
(1)填表:
离开学校的时间/h 0.1 0.5 0.8 1 3
离学校的距离/km 2 12
(2)填空:
①书店到陈列馆的距离为 km;
②李华在陈列馆参观学习的时间为 h;
③李华从陈列馆回学校途中,减速前的骑行速度为 km/h;
④当李华离学校的距离为4 km时,他离开学校的时间为 h.
(3)当0≤x≤1.5时,请直接写出y关于x的函数解析式.
6.如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后,蓄电池剩余电量y(千瓦·时)关于已行驶路程x(千米)的函数图象.
(1)根据图象,直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦·时时汽车已行驶的路程;当0≤x≤150时,求1千瓦·时的电量汽车能行驶的路程.
(2)当150≤x≤200时,求y关于x的函数解析式,并计算当汽车已行驶180千米时,蓄电池的剩余电量.
7.(2021陕西)在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中,“鼠”先从起点出发,1 min后,“猫”从同一起点出发去追“鼠”,抓住“鼠”并稍作停留后,“猫”抓着“鼠”沿原路返回.“鼠”“猫”距起点的距离y(m)与时间x(min)之间的关系如图1所示.
(1)在“猫”追“鼠”的过程中,“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是 m/min;
(2)求AB的函数解析式(不用体现自变量的取值范围);
(3)求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间.
第4课时 一次函数的实际应用
1.B ∵鞋子的长度y cm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系,
∴设其函数解析式为y=kx+b(k≠0).
由题意知,当x=22时,y=16;当x=44时,y=27,
∴
解得
∴函数解析式为y=x+5.
当x=38时,y=×38+5=24.
故选B.
2.6600 设卖出的苹果数量y与售价x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0).由图象可知:
解得
所以y=-600x+7000.
当x=8时,y=7000-4800=2200.
所以挣得的钱为2200×(8-5)=6600(元).
故答案为6600.
3.解:(1)设y关于x的函数解析式是y=kx+b(k≠0).
根据题意,得
解得
即y关于x的函数解析式是y=-x+6.
(2)当h=0时,0=-x+6,解得x=20.
当y=0时,0=-x+6,解得x=30.
∵20<30,∴甲先到达一楼地面.
4.B
5.解:(1)10 12 20
(2)由题意得:
①书店到陈列馆的距离为20-12=8(km);
②李华在陈列馆参观学习的时间为4.5-1.5=3(h);
③李华从陈列馆回学校途中,减速前的骑行速度为20-6÷(5-4.5)=28(km/h);
④当李华离学校的距离为4 km时,他离开学校的时间为4÷(12÷0.6)=(h)或5+(6-4)÷[6÷(5.5-5)]=(h).
故答案为①8,②3,③28,④或.
(3)当0≤x≤0.6时,y=20x;
当0.6当1解得
∴y=16x-4.
综上所述,y=
6.解:(1)由图象可知,蓄电池剩余电量为35千瓦·时时汽车已行驶了150千米.
当0≤x≤150时,1千瓦·时的电量汽车能行驶的路程为=6(千米).
(2)设当150≤x≤200时,y关于x的函数解析式为y=kx+b(k≠0).
把(150,35),(200,10)代入,
得
解得
∴当150≤x≤200时,y关于x的函数解析式为y=-0.5x+110.
当x=180时,y=-0.5×180+110=20,
即当汽车已行驶180千米时,蓄电池的剩余电量为20千瓦·时.
7.解:(1)由图象知:“鼠”6 min跑了30 m,
∴“鼠”的平均速度为30÷6=5(m/min).
∵“猫”5 min跑了30 m,
∴“猫”的平均速度为30÷5=6(m/min),
∴“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是1 m/min.
故答案为1.
(2)设AB的函数解析式为y=kx+b(k≠0).
∵图象经过点A(7,30)和B(10,18),
∴解得
∴AB的函数解析式为y=-4x+58.
(3)令y=0,则-4x+58=0,
解得x=14.5.
∵“猫”比“鼠”迟1 min出发,
∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为14.5-1=13.5(min).
答:“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为13.5 min.第3课时 用待定系数法求一次函数解析式
1 未知函数解析式中的k,b,通过两个点确定k,b的值
1.已知直线l经过点A(4,0),B(0,3),则直线l的函数解析式为 ( )
A.y=-x+3 B.y=3x+4 C.y=4x+3 D.y=-3x+3
2.下表中是某个一次函数的自变量x与函数y的三组对应值,则这个一次函数的解析式为 ( )
x -2 1 2
y 3 0 -1
A.y=-x+1 B. C.y=x-1 D.y=x+1
3.已知一次函数y=kx+b(k≠0),当x=1时,y=2,且它的图象与y轴交点的纵坐标是-5,那么该函数的解析式为 ( )
A.y=3x+5 B.y=-3x+5 C.y=7x-5 D.4.已知一次函数的图象经过点A(0,2)和点B(2,-2),则y关于x的函数解析式为 ;当-25.如图1所示,在平面直角坐标系xOy中,直线l过点(1,3),(3,1),且与x轴,y轴分别交于点A,B.
(1)求直线l所对应的函数解析式;
(2)求△AOB的面积.
2 已知函数解析式中k的值或b的值,通过一个点确定另一个待定字母的值
6.若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与直线y=-x+1平行,且过点(8,2),则此一次函数的解析式为 ( )
A. B. C. D.y=-x+10
7.已知一次函数的图象与y轴的交点在x轴上方3个单位长度处,且函数的自变量每增加1,函数值就减少2,则此函数的解析式为 .
8.(2021乐山)如图2,已知直线l1:y=-2x+4与x轴,y轴分别交于点A,B,那么过原点O且将△AOB的面积平分的直线l2的解析式为 ( )
A.y=x B.y=x C.y=x D.y=2x
9.对于老师给定的一次函数y=kx+b(k≠0),有以下三条关于该函数图象与性质的正确信息:
①函数图象与x轴交于点A(-2,0);
②函数图象与y轴交于点B,且OB=2OA;
③y的值随着x值的增大而增大.
根据以上信息画出这个函数的图象,并求出这个函数的解析式.
10.把函数y=kx+b(k≠0)的图象向下平移2个单位长度,则平移后的图象经过点(1,2)和(5,4),请用至少两种方法求函数y=kx+b的解析式.
11.如图,直线AB过点A(-1,5),P(2,a),B(3,-3).
(1)求直线AB的函数解析式和a的值;
(2)求△AOP的面积.
12.如图,直线l上有一点P1(2,1),将点P1先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到点P2,点P2恰好在直线l上.
(1)写出点P2的坐标;
(2)求直线l的函数解析式;
(3)若将点P2先向右平移3个单位长度,再向上平移6个单位长度得到点P3,请判断点P3是否在直线l上,并说明理由.
(4)若P4是直线l上任意一点,将该点向右平移2个单位长度,然后向上平移4个单位长度得到点P5,试说明点P5一定在直线l上.
(5)观察函数图象发现,该函数的自变量每增加1,函数值增加m,求出m的值,并与该函数的比例系数k比较大小.
第3课时 用待定系数法求一次函数解析式
1.A 2.A
3.C 由题意得
解得
所以该函数的解析式为y=7x-5.
故选C.
4.y=-2x+2 -1≤x<2 设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0).把A(0,2),B(2,-2)代入,得解得
则一次函数的解析式为y=-2x+2.
∵y=-2x+2中k=-2<0,
∴y随x的增大而减小.
∵当y=-2时,x=2;
当y=4时,x=-1,
∴当-25.解:(1)设直线l所对应的函数解析式为y=kx+b(k≠0).
把点(1,3),(3,1)的坐标代入,
得
解得
∴直线l所对应的函数解析式为y=-x+4.
(2)在y=-x+4中,令x=0,得y=4,
∴B(0,4).
令y=0,得x=4,
∴A(4,0),
∴OA=4,OB=4,
∴S△AOB=OA·OB=×4×4=8.
6.D ∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与直线y=-x+1平行,∴k=-1.又∵一次函数的图象过点(8,2),∴2=-8+b,解得b=10,
∴此一次函数的解析式为y=-x+10.
7.y=-2x+3 设此函数的解析式为y=kx+b.
由题意可知一次函数的图象与y轴的交点坐标为(0,3),∴b=3.
又∵该函数的自变量每增加1,函数值就减少2,∴k=-2.
故此函数的解析式为y=-2x+3.
8.D 在y=-2x+4中,当y=0时,-2x+4=0,解得x=2,则A(2,0);
当x=0时,y=4,则B(0,4),
∴线段AB的中点坐标为(1,2).
∵直线l2把△AOB的面积平分,
∴直线l2过线段AB的中点(1,2).
设直线l2的解析式为y=kx.
把(1,2)代入,得2=k,解得k=2,
∴直线l2的解析式为y=2x.
故选D.
9.解:这个函数的图象如图所示.
∵A(-2,0),
∴OA=2.
又∵OB=2OA,
∴OB=4.
∵y的值随着x值的增大而增大,
∴B(0,4).
把点A和点B的坐标代入y=kx+b,可得解得
∴这个函数的解析式为y=2x+4.
10.解:方法一:设平移后的图象的函数解析式为y=mx+n.
把(1,2),(5,4)代入,得
解得
因此,平移后的图象的函数解析式为y=x+.
把平移后的图象向上平移2个单位长度可得直线y=kx+b,因此k=,b=+2=.
即函数y=kx+b的解析式为y=x+.
方法二:点(1,2),(5,4)同时向上平移2个单位长度所得对应点的坐标分别为(1,4)和(5,6),所以函数y=kx+b的图象经过点(1,4)和(5,6).将点(1,4)和(5,6)代入y=kx+b,得解得
所以函数y=kx+b的解析式为y=x+.
11.解:(1)设直线AB的函数解析式为y=kx+b(k≠0).
将A(-1,5),B(3,-3)代入y=kx+b,得解得
∴直线AB的函数解析式为y=-2x+3.
当x=2时,y=-2×2+3=-1,
∴点P的坐标为(2,-1),
即a的值为-1.
(2)设直线AB与y轴交于点D.
当x=0时,y=-2x+3=3,
∴点D的坐标为(0,3),
∴S△AOP=S△AOD+S△POD=OD·|xA|+OD·|xP|=×3×1+×3×2=.
12.解:(1)P2(3,3).
(2)设直线l的函数解析式为y=kx+b(k≠0).
∵点P1(2,1),P2(3,3)在直线l上,
∴解得
∴直线l的函数解析式为y=2x-3.
(3)点P3在直线l上.
理由:由题意知,点P3的坐标为(6,9).
∵当x=6时,y=2×6-3=9,
∴点P3在直线l上.
(4)∵点P4在直线l上,∴设点P4的坐标为(x,2x-3),则将其平移得到点P5的坐标为(x+2,2x+1).将P5(x+2,2x+1)代入直线l的解析式y=2x-3中,发现其满足函数解析式,故点P5在直线l上.
(5)函数的自变量每增加1,函数值增加2,即m=2.
∵该函数的比例系数k=2,∴m=k.第2课时 一次函数的图象与性质
1 一次函数的图象
1.(2020荆州)在平面直角坐标系中,一次函数y=x+1的图象是 ( )
2.(2021钦州)函数y=2x+1的图象不经过 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.一次函数y=x+2的图象与y轴的交点坐标为 ( )
A.(0,2) B.(0,-2) C.(2,0) D.(-2,0)
4.在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象,并指出(1)题中三个函数的图象有什么关系,(2)题中三个函数图象的共同之处.
(1)y=2x,y=2x+1,y=2x-1;
(2)y=x+2,y=-x+2,y=2x+2.
2 一次函数图象的平移
5.(2021武威、定西、酒泉)将直线y=5x向下平移2个单位长度,所得直线的函数解析式为 ( )
A.y=5x-2 B.y=5x+2 C.y=5(x+2) D.y=5(x-2)
6.若直线y=kx+2(k≠0)是由直线移得到的,则k= ,即直线y轴向 平移了 个单位长度得到直线y=kx+2(k≠0).
3 一次函数的性质
7.下列函数中,y随x的增大而增大的是 ( )
A.y=-2x+1 B. C.y=x+1 D.8.(2021柳州)若一次函数y=kx+b的图象如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.k>0
B.b=2
C.y随x的增大而增大 D.当x=3时,y=0
9.(2021苏州)已知点A(,m),B,n都在一次函数y=2x+1的图象上,则m与n的大小关系是 ( )
A.m>n B.m=n C.m10.(2021眉山)一次函数y=(2a+3)x+2的函数值y随x的增大而减小,则常数a的取值范围是 .
11.如果一次函数y=kx+3(k是常数,k≠0)的图象经过点(1,0),那么y的值随x值的增大而 (填“增大”或“减小”).
12.在一次函数y=-x+1中,当-4≤x<4时,y的取值范围是 .
13.已知函数y=(m-1)x+1-3m为一次函数.
(1)当m为何值时,该函数的图象经过原点
(2)当m为何值时,该函数的图象与y轴相交于点(0,2)
(3)当m为何值时,y的值随x值的增大而减小
(4)当m为何值时,该函数的图象平行于直线y=-x
14.已知一次函数y=-2x+3,当0≤x≤5时,函数y的最大值是 ( )
A.0 B.3 C.-3 D.-7
15.已知一次函数y1=ax+b和y2=bx+a(a≠b≠0),函数y1和y2的图象可能是图中的 ( )
16.(2021陕西)在平面直角坐标系中,若将一次函数y=2x+m-1的图象向左平移3个单位长度后,得到一个正比例函数的图象,则m的值为 ( )
A.-5 B.5 C.-6 D.6
17.已知函数y=kx+b(k≠0)的图象不经过第三象限,则函数中k的取值范围是 ,b的取值范围是 .
18.若函数y=2x+3与y=4x-b的图象与x轴交于同一点,则b的值为 .
19.如图,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A(1,-2),则k= ,b= .
20.已知直线y=-x-6与x轴交于点A,与y轴交于点B,求这条直线与坐标轴围成的三角形的面积.
21.某数学兴趣小组根据学习一次函数的经验,对函数y=|x-1|的图象与性质进行了探究,下面是该小组的探究过程,请补充完整.
(1)列表:
x … -1 0 1 2 3 …
y … b 1 0 1 2 …
其中,b= ;
(2)描点并连线,画出该函数的图象;
(3)根据图象直接写出一个正确的结论.
第2课时 一次函数的图象与性质
1.C 2.D 3.A
4.解:(1)如图所示.
关系:三个函数图象互相平行.
(2)图象略.共同点:函数图象都是一条直线,且都与y轴交于点(0,2).
5.A
6.-2 上 3
7.C 只有C选项的函数中k=1>0,
∴y随x的增大而增大.故选C.
8.B 9.C 10.a<-
11.减小 因为一次函数y=kx+3(k是常数,k≠0)的图象经过点(1,0),所以0=k+3,解得k=-3<0,所以y的值随x值的增大而减小.
12.-113.解:(1)由题意,得1-3m=0且m-1≠0,解得m=.
(2)把点(0,2)的坐标代入y=(m-1)x+1-3m,得1-3m=2,解得m=-.
(3)由题意,得m-1<0,解得m<1.
(4)若该函数的图象与直线y=-x平行,则两函数的比例系数相等.
解得m=0.
14.B ∵一次函数y=-2x+3中,k=-2<0,
∴y的值随x值的增大而减小,
∴在0≤x≤5范围内,当x=0时,函数值最大,最大值为-2×0+3=3.故选B.
15.A 根据其中一条直线判断出a,b的符号,然后根据a,b的符号判断出另一条直线经过的象限即可作出判断.
16.A 将一次函数y=2x+m-1的图象向左平移3个单位长度后,得到y=2(x+3)+m-1=2x+6+m-1=2x+m+5.
由题意得m+5=0,解得m=-5.
17.k<0 b≥0
18.-6 函数y=2x+3的图象与x轴的交点坐标是-,0,函数y=4x-b的图象与x轴的交点坐标是,0,所以-=,解得b=-6.
19.2 -4 ∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与正比例函数y=2x的图象平行,
∴k=2,
∴y=2x+b.
把A(1,-2)代入y=2x+b,得2+b=-2,
解得b=-4.
20.解:当x=0时,y=-6;
当y=0时,-x-6=0,
解得x=-12,
所以点A,B的坐标分别为(-12,0),(0,-6),
所以OA==12,OB==6,
所以这条直线与坐标轴围成的三角形的面积为OA·OB=×12×6=36.
21.解:(1)2
(2)描点、连线,画出函数图象如图所示.
(3)答案不唯一,如:当x≥1时,y的值随x值的增大而增大.19.2.2 第1课时 一次函数的概念
1 一次函数的定义
1.(教材练习T1变式)有下列函数:①y=πx;②y=2x-1;③y=;④y=-3x;⑤y=x2-1;⑥y=
3(2x2-2x)-6x2.其中是一次函数的有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.若函数y=(k-2)x+3是一次函数,则k的取值范围是 ( )
A.k>2 B.k<2 C.k=2 D.k≠2
3.函数y=5x-3和y=5-3x都是形如y=kx+b(k≠0)的一次函数.在第一个式子中,k= ,
b= ;在第二个式子中,k= ,b= .
2 列一次函数的解析式
4.如图,A,B两地相距200 km,一列火车从B地出发沿BC方向以120 km/h的速度行驶,在行驶过程中,这列火车离A地的距离y(km)与行驶时间t(h)之间的函数解析式是
.
5.写出下列各题中y与x之间的函数解析式,并判断y是不是x的一次函数.
(1)居民用电标准是每度电0.53元,则电费y(元)与用电量x(度)之间的关系;
(2)某车站规定旅客可以免费携带不超过20千克的行李,超过部分每千克收取1.5元的行李费用,则旅客需交的行李费y(元)与携带行李质量x(千克)之间的关系(其中x>20).
6.等腰三角形的周长是40 cm,腰长y(cm)是底边长x(cm)的函数,则y与x之间的函数解析式和自变量的取值范围分别是 ( )
A.y=-2x+40(0C.y=-2x+40(107.已知函数y=(m-3)+n-2.(1)当m,n为何值时,它是一次函数
(2)当m,n为何值时,它是正比例函数
8.[整体思想] 已知y+a与x-b成正比例(其中a,b都是常数).
(1)试说明y是x的一次函数.
(2)如果x=-1时,y=-15;x=7时,y=1.求这个一次函数的解析式.
19.2.2 第1课时 一次函数的概念
1.B ①y=πx,②y=2x-1,⑥y=3(2x2-2x)-6x2=-6x是一次函数,共3个.
2.D 3.5
4.y=120t+200
5.解:(1)根据题意可得y=0.53x(x≥0),y是x的一次函数.
(2)根据题意可得y=1.5(x-20)=1.5x-30(x>20),y是x的一次函数.
6.D
7.解:(1)当m=-3,n为任意实数时,它是一次函数.
(2)当m=-3,n=2时,它是正比例函数.
8.解:(1)∵y+a与x-b成正比例,
∴若设比例系数为k(k≠0),则y+a=k(x-b),整理,得y=
∵k,a,b均为常数且k≠0,
∴y是x的一次函数.
(2)把x=-1,y=-15;x=7,y=1分别代入y=得
解得
故这个一次函数的解析式为y=2x-13.
