20.2 第1课时 方差
知识点 1 方差的概念及计算
1.在统计中,方差可以反映数据的 ( )
A.平均分布 B.分布规律
C.最大值与最小值 D.波动大小
2.方差是刻画数据波动程度的量.对于一组数据x1,x2,x3,…,xn,可用如下算式计算方差:s2=[(x1-5)2+(x2-5)2+(x3-5)2+…+(xn-5)2],其中“5”是这组数据的 ( )
A.最小值 B.平均数 C.中位数 D.众数
3.(2021南充)据统计,某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为5,5,6,6,6,7,7.下列说法错误的是 ( )
A.该组数据的中位数是6 B.该组数据的众数是6
C.该组数据的平均数是6 D.该组数据的方差是6
4.(教材例1变式)各10盒250毫升的甲、乙两种果汁饮料,检查其中的维生素C的含量,所得数据如下(单位:毫克):
甲:120,123,119,121,122,124,119,122,121,119;
乙:121,119,124,119,123,124,123,122,123,122.
通过计算说明哪种饮料维生素C的平均含量高,哪种饮料维生素C的含量比较稳定.
知识点 2 方差的简单应用
5.(2021柳州)某校九年级进行了3次数学模拟考试,甲、乙、丙三名同学的平均分以及方差s2如下表所示,那么这三名同学数学成绩最稳定的是 ( )
甲 乙 丙
91 91 91
s2 6 24 54
A.甲 B.乙 C.丙 D.无法确定
6.某班有40人,一次体能测试后,老师对测试成绩进行了统计.由于小亮没有参加本次集体测试,因此计算其他39人的平均分为90分,方差s2=41.后来小亮进行了补测,成绩为90分,关于该班40人的测试成绩,下列说法正确的是( )
A.平均分不变,方差变大
B.平均分不变,方差变小
C.平均分和方差都不变
D.平均分和方差都改变
7.(2021北京)有甲、乙两组数据,如下表所示:
甲 11 12 13 14 15
乙 12 12 13 14 14
甲、乙两组数据的方差分别为,,则 (填“>”“<”或“=”).
8.已知一组数据为7,2,5,x,8,它们的平均数是5,则这组数据的方差为 ( )
A.3 B.4.5 C.5.2 D.6
9.如图是甲、乙两人10次射击成绩(单位:环)的条形图,则下列说法正确的是 ( )
A.甲比乙的成绩稳定
B.乙比甲的成绩稳定
C.甲、乙两人的成绩一样稳定
D.无法确定谁的成绩更稳定
10.(2021常德)在某次体育测试中,甲、乙两班成绩的平均数、中位数、方差如下表,规定学生个人成绩大于90分为优秀,则甲、乙两班中优秀人数更多的是 班.
人数 平均数(分) 中位数(分) 方差
甲班 45 82 91 19.3
乙班 45 87 89 5.8
11.射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛,对他们进行了五次测试,测试成绩(单位:环)如下表:
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲 10 8 9 8 10
乙 10 7 10 10 8
(1)根据表格中的数据,计算出甲的平均成绩是 环,乙的平均成绩是 环;
(2)经过计算:甲的五次测试成绩的方差为0.8,请你求出乙的五次测试成绩的方差;
(3)根据(1)(2)计算的结果,你认为推荐谁参加全国比赛更合适 请说明理由.
12.为了从甲、乙两名选手中选拔一人参加射击比赛,现对他们进行一次测验,两人在相同条件下各射靶10次,为了比较两人的成绩,制作了如下不完整的统计图表:
甲、乙射击成绩统计表
平均数(环) 中位数(环) 方差 命中10环的次数
甲 7 0
乙 1
甲、乙射击成绩折线
(1)请补全上述图表(直接在表中填空和补全折线图);
(2)如果规定成绩较稳定者胜出,你认为谁应胜出 说明你的理由;
(3)如果希望(2)中的另一名选手胜出,根据图表中的信息,应该制定怎样的评判规则
答案
20.2 第1课时 方差
1.D 2.B
3.D 这些数从小到大排列为5,5,6,6,6,7,7,则中位数是6,故A选项说法正确,不符合题意;
∵6出现了3次,出现的次数最多,
∴众数是6,故B选项说法正确,不符合题意;
平均数是(5+5+6+6+6+7+7)÷7=6,故C选项说法正确,不符合题意;
方差为×[2×(5-6)2+3×(6-6)2+2×(7-6)2]=,故D选项说法错误,符合题意.
故选D.
4.解:==121(毫克).
==122(毫克).
∵<,
∴乙种饮料维生素C的平均含量高.
==2.8,
==3.
∵<,
∴甲种饮料维生素C的含量比较稳定.
5.A
6.B 因为小亮补测的成绩为90分,与其他39人的平均分相同,所以该班40人的测试成绩的平均分不变,仍为90分.因为39人的数据与40人的数据相比,增加的成绩与平均分一致,在方差的计算公式中,分母变大(由39变成40),分子没有变,所以方差变小.
7.> =×(11+12+13+14+15)=13,
=×[(11-13)2+(12-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(15-13)2]=2;
=×(12+12+13+14+14)=13,
=×[(12-13)2+(12-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(14-13)2]=0.8.
∵2>0.8,
∴>.
故答案为>.
另解:观察数据发现甲组数据不稳定,故填“>”.
8.C ∵一组数据7,2,5,x,8的平均数是5,∴5=(7+2+5+x+8),
∴x=3,
∴s2=×[(7-5)2+(2-5)2+(5-5)2+(3-5)2+(8-5)2]=5.2.
故选C.
9.B
10.甲 ∵甲班的中位数为91分,乙班的中位数为89分,
∴甲班的中位数大于乙班的中位数,
∴甲、乙两班中优秀人数更多的是甲班.
故答案为甲.
11.解:(1)9 9
(2)乙的五次测试成绩的方差为×[(10-9)2+(7-9)2+(10-9)2+(10-9)2+(8-9)2]=1.6.
(3)推荐甲参加全国比赛更合适.理由如下:
甲、乙两人的平均成绩相等,说明实力相当,但甲的五次测试成绩的方差较小,说明甲发挥较为稳定,故推荐甲参加全国比赛更合适.
12.解:(1)根据折线图得乙的射击成绩为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10,
则平均数为=7(环),中位数为7.5环.
方差为×[(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(9-7)2+(10-7)2]=5.4.
∵甲9次的射击成绩为9,6,7,6,2,7,7,8,9,平均数为7环,
∴甲第8次的射击成绩为70-(9+6+7+6+2+7+7+8+9)=9(环),故甲10次的射击成绩为9,6,7,6,2,7,7,9,8,9,
中位数为7环,
方差为×[(9-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(2-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(8-7)2+(9-7)2]=4.
补全图表如下:
甲、乙射击成绩统计表
平均数(环) 中位数(环) 方差 命中10环的次数
甲 7 7 4 0
乙 7 7.5 5.4 1
甲、乙射击成绩折线
(2)甲应胜出.理由:甲、乙两人的平均数相同,甲的方差小于乙的方差,故甲的成绩较稳定,所以甲应胜出.
(3)若希望乙胜出,则评判规则可判定为中位数较大者胜出(答案合理即可).第2课时 用样本方差估计总体方差
知识点 1 用样本方差估计总体方差
1.(2021湘潭)“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平为世界粮食安全作出了杰出贡献.全球共有40多个国家引种杂交水稻,中国境外种植面积达800万公顷.某村引进了甲、乙两种超级杂交水稻品种,在条件(肥力、日照、通风……)不同的6块试验田中同时播种并核定亩产,统计结果为=1042 kg/亩,=6.5,=1042 kg/亩,=1.2,则 品种更适合在该村推广.(填“甲”或“乙”)
2.(2021河南)某外贸公司要出口一批规格为200克/盒的红枣,现有甲、乙两个厂家提供货源,它们的价格相同,品质也相近.质检员从两厂产品中各随机抽取15盒进行检测,测得它们的平均质量均为200克,每盒红枣的质量如图所示,则产品更符合规格要求的厂家是 .(填“甲”或“乙”)
3.某校要从甲、乙两个跳远运动员中选一人参加一项比赛,在最近的10次选拔赛中,他们的成绩(单位: cm)如下:
甲:285,296,310,298,312,297,304,300,313,301;乙:313,318,280,274,318,293,285,290,298,324.
(1)分别求甲、乙两人的平均成绩;
(2)分别求甲、乙两人这10次成绩的方差;
(3)这两名运动员的跳远成绩各有什么特点
(4)历届比赛成绩表明,成绩达到2.96 m就很可能夺冠,你认为应选谁参加比赛
知识点 2 方差的变化规律
4.已知一组数据a,b,c的平均数为5,方差为4,那么数据a-2,b-2,c-2的平均数和方差分别是 ( )
A.3,2 B.3,4 C.5,2 D.5,4
5.一组数据的方差为9,将这组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍,则得到的一组新数据的方差是 ( )
A.9 B.18 C.36 D.81
6.一组数据x1,x2,x3,x4,x5,x6的平均数是2,方差是5,则数据2x1+3,2x2+3,2x3+3,2x4+3,2x5+3,2x6+3的平均数和方差分别是 ( )
A.2和5 B.7和5 C.2和13 D.7和20
7.(2021重庆A卷)“惜餐为荣,殄物为耻”,为了解落实“光盘行动”的情况,某校数学兴趣小组的同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量.从七、八年级中各随机抽取10个班的餐厨垃圾质量的数据(单位:kg)进行整理和分析(餐厨垃圾质量用x表示,共分为四个等级:A.x<1,B.1≤x<1.5,C.1.5≤x<2,D.x≥2),下面给出了部分信息:
七年级10个班的餐厨垃圾质量:0.8,0.8,0.8,0.9,1.1,1.1,1.6,1.7,1.9,2.3.
八年级10个班的餐厨垃圾质量中B等级包含的所有数据为:1.0,1.0,1.0,1.0,1.2.
七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表
年级 平均数(kg) 中位数(kg) 众数(kg) 方差 A等级所占百分比
七年级 1.3 1.1 a 0.26 40%
八年级 1.3 b 1.0 0.23 m%
根据以上信息,解答下列问题:
(1)直接写出上述表格中a,b,m的值;
(2)该校八年级共30个班,估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数;
(3)根据以上数据,你认为该校七、八年级的“光盘行动”,哪个年级落实得更好 请说明理由(写出一条理由即可).
8.(2020河南)为发展乡村经济,某村根据本地特色,创办了山药粉加工厂.该厂需购置一台分装机,计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择.试用时,设定分装的标准质量为每袋500 g,与之相差大于10 g为不合格.为检验分装效果,工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析,过程如下:
收集数据:从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋,测得实际质量(单位:g)如下:
甲:501 497 498 502 513 489 506 490 505 486 502 503 498 497 491
500 505 502 504 505
乙:505 499 502 491 487 506 493 505 499 498 502 503 501 490 501
502 511 499 499 501
整理数据:整理以上数据,得到每袋质量x(g)的频数分布表.
质量 频数 机器 485≤x<490 490≤x<495 495≤x<500 500≤x<505 505≤x<510 510≤x<515
甲 2 2 4 7 4 1
乙 1 3 5 7 3 1
分析数据:根据以上数据,得到以下统计量.
统计量 机器 平均数(g) 中位数(g) 方差 不合格率
甲 499.7 501.5 42.01 b
乙 499.7 a 31.81 10%
根据以上信息,回答下列问题:
(1)表格中的a= ,b= ;
(2)综合上表中的统计量,判断工厂应选购哪一台分装机,并说明理由.
答案
第2课时 用样本方差估计总体方差
1.乙 2.甲
3.解:(1)甲的平均成绩为×(285+296+…+301)=301.6(cm),乙的平均成绩为×(313+318+…+324)=299.3(cm).
(2)=×[(285-301.6)2+(296-301.6)2+…+(301-301.6)2]=65.84,
=×[(313-299.3)2+(318-299.3)2+…+(324-299.3)2]=284.21.
(3)甲的成绩比乙的成绩稳定,但乙的最好成绩比甲好.(合理即可)
(4)∵甲10次成绩中有9次达到2.96 m,而乙10次成绩中只有5次达到2.96 m,而且甲的成绩更稳定,
∴应选甲参加比赛.
4.B 当一组数据都加上或减去相同的数时,其平均数随之发生相同的变化,但数据的波动大小与原来的数据波动大小一样,即方差不变.
5.C 设原来这组数据的平均数为,则扩大后得到的新数据的平均数为2,
原来数据的方差=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=9,
新数据的方差=[(2x1-2)2+(2x2-2)2+…+(2xn-2)2]=[4(x1-)2++…+4(xn-)2]=×4×[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=4=4×9=36.
故选C.
6.D 依题意,得=(x1+x2+x3+x4+x5+x6)=2,
∴x1+x2+x3+x4+x5+x6=12,
∴2x1+3,2x2+3,2x3+3,2x4+3,2x5+3,2x6+3的平均数'=[(2x1+3)+(2x2+3)+(2x3+3)+(2x4+3)+(2x5+3)+(2x6+3)]=×(2×12+3×6)=7.
∵数据x1,x2,x3,x4,x5,x6的方差s2=[(x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2+(x4-2)2+(x5-2)2+(x6-2)2]=5,
∴数据2x1+3,2x2+3,2x3+3,2x4+3,2x5+3,2x6+3的方差s'2=[(2x1+3-7)2+(2x2+3-7)2+(2x3+3-7)2+(2x4+3-7)2+(2x5+3-7)2+(2x6+3-7)2]=[(x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2+(x4-2)2+(x5-2)2+(x6-2)2]×4=5×4=20.
故选D.
7.解:(1)a=0.8,b=1.0,m=20.
(2)∵八年级抽测的10个班级中,A等级班级数所占的百分比是20%,
∴估计该校八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为30×20%=6(个).
(3)(答案不唯一,合理即可)七年级落实得更好.理由:
①七年级各班餐厨垃圾质量的众数为0.8 kg,低于八年级各班餐厨垃圾质量的众数1.0 kg.
②七年级各班餐厨垃圾质量A等级所占百分比40%高于八年级各班餐厨垃圾质量A等级所占百分比20%.
八年级落实得更好.理由:
①八年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.0 kg低于七年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.1 kg.
②八年级各班餐厨垃圾质量的方差0.23低于七年级各班餐厨垃圾质量的方差0.26.
8.解:(1)将乙组数据按从小到大的顺序排列:
487,490,491,493,498,499,499,499,499,501,
501,501,502,502,502,503,505,505,506,511.
∵第10个数据为501,第11个数据也为501,
∴a==501.
∵设定分装的标准质量为每袋500 g,与之相差大于10 g为不合格,
∴当成品质量小于490 g或大于510 g时,该产品为不合格.
∵甲组中小于490的数据有2个,大于510的数据有1个,
∴甲组中产品的不合格率为b=×100%=15%.故答案为501,15%.
(2)工厂应选购乙分装机.理由:
比较甲、乙两台分装机器的统计量可知,甲与乙的平均数相同,中位数相差不大,乙的方差较小,且不合格率更低,说明乙机器的分装合格率更高,且稳定性更好,所以乙机器的分装效果更好,工厂应选购乙分装机.
