【课件】8.1 成对数据的统计相关性 数学-RJA-选择性必修第三册(共28张PPT)

(共28张PPT)
高中数学-RJ·A-选择性必修第三册
8.1 成对数据的统计相关性
第八章 成对数据的统计分析
学习目标
1.会画出成对样本数据的散点图.
2.会通过散点图判断成对样本数据的相关性.
3.结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与“标准化”处理后的成对数据两分量向量夹角的关系.
4.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性.
重点：利用散点图直观判断成对数据的相关性，求样本相关系数，通过样本相关系数判断或比较成对数据的相关性强弱.
难点：作出成对数据的散点图，求样本相关系数，理解样本相关系数的统计含义.
知识梳理
一、变量的相关关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.
相关关系与函数关系的区别与联系
1.区别：（1）函数关系：
①函数关系中两个变量间是一种确定性关系.
②函数关系是一种因果关系，即有因必有果.例如，圆的半径由１增大为２，其面积必然由
2.联系：（1）两种关系在现实生活中均存在.从某种意义上讲，函数关系是一种理想中的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况.
（2）在一定条件下两种关系可以相互转化.有些相关关系可以用函数关系进行估计或推断.
二、散点图
为了更加直观地描述上述成对样本数据中脂肪含量与年龄之间的关系，类似于用直方图描述单个变量样本数据的分布特征，我们用图形展示成对样本数据的变化特征.用横轴表示年龄，纵轴表示脂肪含量，则表8.1-1中每个编号下的成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成了如图8.1-1所示的统计图.我们把这样的统计图叫做散点图.
图8.1-1
三、由散点图判断变量的相关关系
1.正相关、负相关
如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关.
理解两个变量正相关，负相关时需注意以下两点
（1）两个变量正相关、负相关必须从成对样本数据的整体上看.当一个变量的值增加时，另一个变量的值相应呈现增加（减少）的趋势，就称这两个变量正相关（负相关）.当一个变量的值增加时，另一个变量的值中有个别值减少（增加）时，并不影响两个变量的正相关（负相关）关系.
（2）由散点图判断两个变量正相关、负相关的方法：当散点图中的点散布在平面直角坐标系中从左下角到右上角的区域时，两个变量正相关；当散点图中的点散布在平面直角坐标系中从左上角到右下角的区域时，两个变量负相关.
图8.1-1
观察散点图8.1-1，从中我们不仅可以大致看出脂肪含量和年龄呈现正相关性，而且从整体上可以看出散点落在某条直线附近.一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关.
2.线性相关
3.非线性相关（曲线相关）
观察散点图8.1-2，我们发现：图（1）中的散点落在某条曲线附近，而不是落在一条直线附近，说明这两个变量具有相关性，但不是线性相关；类似地，图（2）中的散点落在一条折线附近，这两个变量也具有相关性，但它们既不是正相关，也不是负相关；图（3）中的散点杂乱无章，无规律可言，看不出两个变量有什么相关性.
一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.
图8.1-2
四、样本相关系数
我们称 为变量x和
变量y的样本相关系数.
【提示】变量x和变量y的样本相关系数r的变形形式：
五、样本相关系数与正、负相关的关系
样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负性和绝对值的大小可以反映成对样本数据的变化特征：
当r>0时，称成对样本数据正相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变小；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大.
当r<0时，称成对样本数据负相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常会变大；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常会变小.
六、样本相关系数与线性相关程度的关系
样本相关系数r的取值范围为［-1，1］.样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度：
当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；
当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.
七、用样本相关系数估计总体相关系数
在实际中，获得总体中所有的成对数据往往是不容易的.因此，我们还是要用样本估计总体的思想来解决问题.也就是说，我们先要通过抽样获取两个变量的一些成对样本数据，再计算出样本相关系数，通过样本相关系数去估计总体相关系数，从而了解两个变量之间的相关程度.对于简单随机样本而言，样本具有随机性，因此样本相关系数r也具有随机性.一般地，样本容量越大，用样本相关系数估计两个变量的相关系数的效果越好.
常考题型
一、变量之间的相关关系
1.相关关系的判断
【解】（方法一）根据实际生活的经验可知，人的身高和体重之间存在相关关系.
（方法二）观察表格中的数据可知，人的体重随着身高的增高而增长，因此人的身高和体重之间存在相关关系.
（方法三）以x轴表示身高，以y轴表示体重，得到相应的散点图如图所示.我们会发现，随着身高的增高，体重基本上呈增长的趋势.所以体重与身高之间存在相关关系，并且是正相关.

◆判断变量之间是否相关的思路
1.根据直观感觉判断，这时要用到已有的知识或生活、学习经验等.
2.根据变量的取值判断，观察纵坐标代表的变量是否随横坐标代表变量的增大而增大（或增大而减小），从而判断变量之间是否具有相关关系.
3.根据散点图判断，这时要由两个变量相应值的对应关系，作出散点图，通过观察散点图中各点是否分布在某条曲线的周围，从而判断变量之间是否具有相关关系.
◆判断两个变量是函数关系还是相关关系的方法
判断两个变量间的关系是函数关系还是相关关系的关键是判断两个变量之间的关系是否是确定的，若确定，则是函数关系；若不确定，则是相关关系.
B
A
2.样本相关系数与相关关系的强弱
例2 ［2020·广东高三月考］对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是 （　　）
A.r2C.r4相关系数为r1　　 相关系数为r2 相关系数为r3　 相关系数为r4
（1）　　 （2） （3）　　　 　　（4）
【解析】由散点图可知图（1）与图（3）是正相关，故r1>0，r3>0，图（2）与图（4）是负相关，故r2<0，r4<0，且图（1）与图（2）的样本点集中在一条直线附近，因此r2【答案】A
◆相关关系强弱的定量分析与定性分析
1.定量分析：相关系数r的范围为-1≤ r≤1，r为正时，成对数据正相关；r为负时，成对数据负相关；|r|越接近于1，成对数据的线性相关程度越大；|r|越接近于0，成对数据的线性相关程度越小；当|r|＝1时，所有数据点都在一条直线上.
2.定性分析：相关关系的强弱体现在散点图中就是样本点越集中在某条直线附近，两变量的线性相关关系越强；样本点在某条直线附近越分散，两变量的线性相关关系越弱.
训练题 ［2020·广东湛江高二期末］有以下几组（x，y）的统计数据：（1，2），（2，4），（4，5），（3，10），（10，12），要使剩下的数据具有较强的相关关系，应去掉的一组数据是 （　　）
A.（3，10） B.（10，12） C.（1，2） D.（2，4）
A
二、散点图
　　　　　
例3 ［2020·辽宁营口高二月考］对变量x，y由观测数据得散点图（1）；对变量y，z由观测数据得散点图（2）.由这两个散点图可以判断 （　）
A.变量x与y正相关，y与z正相关 B.变量x与y正相关，y与z负相关
C.变量x与y负相关，y与z正相关 D.变量x与y负相关，y与z负相关
图（1）
图（2）
【解析】通过观察散点图可以知道，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，z随y的增大而增大，各点整体呈上升趋势，z与y正相关.故选C. 【答案】C
◆画散点图的步骤
1.建立平面直角坐标系；
2.将n个样本点（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）描在平面直角坐标系中.
散点图的作用
1.散点图具有直观、简明的特点，能体现成对数据的密切程度，可以根据散点图判断变量间是否具有相关关系.
2.通过散点图不但可以从点的位置判断测量值的大小、高低、变动范围与趋势，还可以通过观察剔除异常数据，提高估计相关程度的准确性.
　　
　　
　　
训练题 ［2020·宁夏银川高二月考］下列散点图中，变量x，y不具有相关关系的是 （　　）
A　　　　 B　　　 C　 　D
D
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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