《利用内错角、同旁内角判定两直线平行》提升训练
1.已知l是与的截线，找出的同位角，标上，找出的同旁内角，标上，则正确的位置图为（ ）
A. B.
C. D.
2.如图，下列选项中，哪个不可以得到（ ）
A. B. C. D.
3.如图，将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，观察图形，在线段中，相互平行的线段有（ ）
A.4组 B.3组 C.2组 D.1组
4.（教材P49习题T2变式）如图是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中，找出图中的平行线，并说明理由.
5.如图，台球运动中母球P击中桌边的点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点B，再次反弹经过点C（提示：）.
（1）若，求的度数；
（2）已知，母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由.
微专题2 同位角、内错角同旁内角的常见模型
【概述】两条直线被第三条直线所截，形成了三线八角，所以同位角、内错角、同旁内角必然有一条边在同直线上.
模型展示
【针对训练】在如图所示的八个角中，请辨别同位角有哪些，内错角有哪些，同旁内角有哪些
【方法指导】要在一个复杂的图形中确定“三线八角”需先在复杂的图形中分离出“三线”，再根据角的位置关系来进一步判断.
参考答案
1.C 2.C 3.B
4.解：.理由：因为，所以.所以.因为，所以.所以.
5.解：（1）因为，所以.
（2）.理由如下：因为，所以.同理可得.
因为，所以.所以.
微专题
解：与与与为同位角；与与与与为内错角；与与与与为同旁内角.
1 / 4《2.2.2利用内错角、同旁内角判定两直线平行》知识过关练
知识点一 内错角和同旁内角的概念
1.试在图中找出∠1的内错角.
2.请指出图中∠A的同旁内角.
知识点二 利用内错角、同旁内角判定两直线平行
3.（2018湖南长沙一中月考）如图，不能判定直线a∥b的条件是（ ）
A.∠1=∠3
B.∠1=∠4
C.∠2+∠4=180°
D.∠1=∠5
4.下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.（2018湖南湘潭中考）如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为____________.
（写出一个符合题意的条件即可）
6.我们知道，光线从空气射入水中会发生折射现象，光线从水中射入空气中，同样会发生折射现象.图是光线从空气中射入水中，再从水中射入空气中的示意图.已知∠1=∠4，∠2=∠3.请你用所学知识来判断c与d是否平行，并说明理由.
参考答案
1.答案：见解析
解析：将题图分解为如图①②所示的两个图形.
所以∠1的内错角有两个，分别为∠CGB，∠FGB.
2.答案：见解析
解析：将题图分解为如图①②所示的两个图形.
所以∠A的同旁内角有三个，分别为∠ACD，∠ACB，∠B.
3.答案：D
解析：A项，∠1=∠3时，直线a∥b，故此选项不符合题意；B项，∠1=∠4时，直线a∥b，故此选项不符合题意；C项，∠2+∠4=180°时，直线a∥b，故此选项不符合题意；D项，∠1=∠5时，无法得到直线a∥b，故此选项符合题意.故选D.
4.答案：B
解析：根据内错角相等，两直线平行，可知B选项正确，故选B.
5.答案：∠A+∠ABC=180°（答案不唯一）
解析：若∠A+∠ABC=180°，则BC∥AD；
若∠C+∠ADC=180°，则BC∥AD；
若∠CBD=∠ADB，则BC∥AD；
若∠C=∠CDE，则BC∥AD.
6.答案：见解析
解析：c∥d理由如下：如图，
因为∠2+∠5=∠3+∠6，∠2=∠3，所以∠5=∠6，
因为∠1=∠4，所以∠1+∠5=∠4+∠6（等式的性质），
所以c∥d（内错角相等，两直线平行）.
1 / 4《2.2.2利用内错角、同旁内角判定两直线平行》衔接中考
三年模拟全练
1.（2020广东深圳福田外国语学校期中，9，★☆☆）如图，已知点E在BC的延长线上，则下列条件中不能判定AB∥CD的是（ ）
A.∠B=∠DCE
B.∠BAD+∠D=180°
C.∠1=∠4
D.∠2=∠3
2.（2019江西赣州中学月考，9，★★☆）如图，点E是AD延长线上一点，∠B=30°，∠C=120°.如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为_________.（只填一个即可）
3.（2019山东滨州期末，18，★★☆）按要求完成下列证明：已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2=90°.
求证：DE∥BC.
证明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1+_________=90°（ ）.
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴_________=∠2（ ）.
∴DE∥BC（ ）.
4.（2018四川成都七中月考，16，★★☆）如图，已知∠1=∠2，∠3+∠4=180°，求证：AB∥EF.
5.（2018河南郑州八中月考，16，★★☆）如图所示的是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，已知：∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°.找出图中所有的平行线，并说明理由.
五年中考全练
6.（2019广西河池中考，2，★☆☆）如图，∠1=120°，要使a∥b，则∠2的大小是（ ）
A.60°
B.80°
C.100°
D.120°
7.（2020湖南郴州中考，5，★☆☆）如图，直线a，b被直线c，d所截，下列条件能判定a∥b的是（ ）
A.∠1=∠3
B.∠2+∠4=180°
C.∠4=∠5
D.∠1=∠2
8.（2019江苏南京中考，1，★★☆）结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：
∵______________，∴ a∥b.
核心素养全练
9.如图，将三个相同的三角尺拼接成一个图形，请你找出图中的一组平行线，并说明你的理由.
小红：AC与DE是平行的.因为∠EDC与∠ACB是同位角，而且又相等.你能懂得小红的意思吗？
小华：由∠BCA=∠EAC，得到BD∥AE.你知道小华这一步的理由吗？
请你再找一组平行线，说说你的理由.
10.（1）如图①所示，AB，CD，EF是三条公路，且AB⊥EF，CD⊥EF.判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图②所示，在（1）的条件下，若小路OM平分∠EOB.通往加油站N的岔道O'N平分∠CO'F，试判断OM与O′N的位置关系.
参考答案
1.答案：D
解析：A.当∠B=∠DCE时，根据同位角相等，两直线平行可得AB∥CD，故本选项错误；
B.当∠BAD+∠D=180°时，根据同旁内角互补，两直线平行，可得AB∥CD，故本选项错误；
C.当∠1=∠4时，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，故本选项错误；
D.当∠2=∠3时，不能判定AB∥CD，故本选项正确.故选D.
2.答案：∠1=30°（答案不唯一）
解析：当∠1=30°时，∵∠B=30°，
∴∠B=∠1，∴BC∥AD.（答案不唯一）
3.答案：见解析
解析：证明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1+∠EDC=90°（垂直定义）.
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠EDC=∠2（同角的余角相等）.
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）.
4.答案：见解析
解析：证明：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，
∵∠3+∠4=180°，
∴CD∥EF，∴AB∥EF.
5.答案：见解析
解析：BF∥CE，BC∥EF.理由如下：
∵∠1=50°，∠2=50°，∠1=∠2，
∴BF∥CE，
∵∠2=50°，∠3=130°，
∴∠2+∠3=180°，
∴BC∥EF.
6.答案：D
解析：如果∠2=120°，那么∠2=∠1，
根据同位角相等，两直线平行可得a∥b.
故选D.
7.答案：D
解析：A.当∠1=∠3时，不能判定a∥b，故此选项不合题意；B.当∠2+∠4=180°时，不能判定a∥b，故此选项不合题意；C.当∠4=∠5时，不能判定a∥b，故此选项不合题意；D.当∠1=∠2时，a∥b，故此选项符合题意，故选D.
8.答案：∠1+∠3=180°
解析：∠1与∠3是直线a和b被直线c所截形成的同旁内角.
9.答案：见解析
解析：小红的依据是“同位角相等，两直线平行”.
小华的依据是“内错角相等，两直线平行”.
AB∥CE.理由：
∵∠BAC=∠ECA，∴AB∥CE（内错角相等，两直线平行）.（答案不唯一）
10.答案：见解析
解析：（1）AB∥CD.理由：因为AB⊥EF，CD⊥EF，所以∠EOB=∠EO'D=90°，所以AB∥CD.
（2）如图，延长NO'，交AB于点P.
因为OM平分∠EOB，O'N平分∠CO'F，
所以∠EOM=∠FO'N=45°，
因为∠FO'N=∠EO'P，
所以∠EOM=∠EO'P=45°，
所以OM∥O'N（同位角相等，两直线平行）.
1 / 7必刷题《2.2.2利用“内错角、同旁内角”判定两直线平行》刷提升
1.[2019江苏徐州期中]如图，下列条件中：（1）∠B+∠D=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5.能判定AB∥CD的条件有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.如图，下列条件中：①∠1=∠2；②∠BAD+∠ADC=180°；③∠ABC=∠ADC；④∠3=∠4.能判定AB∥CD的有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.[2020河北张家口期中，中]在如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边互相平行的是（ ）
A.如图（1），展开后测得∠1=∠2
B.如图（2），展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C.如图（3），测得∠1=∠2
D.如图（4），展开后测得∠1+∠2=180°
4.[中]若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论不正确的是（ ）
A.∠1=∠3
B.如果∠2=30°，则有AC∥DE
C.如果∠2=30°，则有BC∥AD
D.如果∠2=30°，则有∠4=∠C
5.[2019吉林长春绿园区期末，中]如图，在△ABC中，以点C为顶点，在△ABC外画∠ACD=∠A，且点A与D在直线BC的同一侧，再延长BC至点E，在所作的图形中，∠A与 是内错角；∠B与 是同位角；∠ACB与 是同旁内角.
6.[2020浙江杭州月考，中]将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线上.对于给出的四个条件：
①∠1=25.5°，∠2=55°30′；
②∠2=2∠1；③∠1+∠2=90°；
④∠ACB=∠1+∠2；⑤∠ABC=∠2-∠1.能判断直线∥的有 （填序号）
7.[2020湖南衡阳珠晖区校级期中，中]如图，已知∠ABC=∠ADC，BF与DE分别平分∠ABC与∠ADC，∠1=∠3，试说明：AB∥DC.
8.[2019浙江杭州期中，较难]一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中点B，D重合，若固定三角形AOB，改变△ACD的位置（其中点A位置始终不变），使三角形ACD的一边与三角形AOB的某一边平行，请你分情况讨论∠BAD的所有可能的值.
参考答案
1.答案：B
解析：由（1）∠B+∠D=180°不能判定任何直线平行；由（2）∠1=∠2只能判定AD∥BC；由（3）∠3=∠4能判定AB∥CD；由（4）∠B=∠5能判定AB∥CD.故选B.
2.答案：B
解析：①∠1=∠2，根据“内错角相等，两直线平行”，能判定AB∥CD；②∠BAD+∠ADC=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，能判定AB∥CD；③④都不能判定AB∥CD.故选B.
3.答案：C
解析：A选项中当∠1=∠2时，由“内错角相等，两直线平行”，可得∥；B选项中由∠1=∠2且∠3=∠4可得∠1=∠2=∠3=∠4=90°，由“内错角相等，两直线平行”或“同旁内角互补，两直线平行”，可得∥；C选项中的∠1，∠2和直线没有关系，故由∠1=∠2不能判定互相平行；D选项中∠1+∠2=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得∥.故选C.
4.答案：C
解析：因为∠CAB=∠EAD=90°，∠1=∠CAB-∠2，∠3=∠EAD-∠2，所以∠1=∠3.所以A正确；因为∠2=30°，所以∠1=90°-30°=60°.因为∠E=60°，所以∠1=∠E，所以AC∥DE.所以B正确；因为∠2=30°，所以∠3=90°-30°=60°.因为∠B=45°，所以∠3∠B.所以BC与AD不平行.所以C错误；因为∠2=30°，所以由AC∥DE可得∠4=∠C.所以D正确.故选C.
5.答案：∠ACD、∠ACE ∠DCE、∠ACE ∠A、∠B
解析：如题图所示，∠A与∠ACD、∠ACE是内错角；∠B与∠DCE、∠ACE是同位角；∠ACB与∠A、∠B是同旁内角.
6.答案：①⑤
解析：①因为∠1=25.5°，∠1+∠ABC=55.5°=∠2=55°30′，所以∥；②没有指明∠1的度数，当∠1≠30°时，∠2≠∠1+30°，不能判断直线∥，故∠2=2∠1，不能判断直线∥；③∠1+∠2=90°，不能判断直线∥；④∠ACB=∠1+∠2，不能判断直线∥；⑤∠ABC=∠2-∠1，则∠2=∠ABC+∠1，能判断直线∥.故答案为①⑤.
7.答案：因为BF与DE分别平分∠ABC与∠ADC，所以∠ABC=2∠1，∠ADC=2∠2.因为∠ABC=∠ADC，所以2∠1=2∠2.所以∠1=∠2.因为∠1=∠3，所以∠2=∠3.所以AB∥DC（内错角相等，两直线平行）.
解析：
8.答案：分8种情况讨论：
①如图（1），当∠BAD=45°时，AD∥OB；
②如图（2），当∠BAD=180°-45°=135°时，AC∥OB；
③如图（3），当∠BAD=180°-30°=150°时，DC∥AB；
④如图（4），当∠BAD=180-15°=165°时，DC∥OB；
⑤如图（5），当∠BAD=60°-45°=15°时，DC∥OB；
⑥如图（6），当∠BAD=15°+90°=105°时，DC∥AO；
⑦如图（7），当∠BAD=∠D=30°时，DC∥AB；
⑧如图（8），当∠BAD=30°+45°=75°时，DC∥AO.
综上，∠BAD所有可能的值为15°，30°，45°，75°，105°，135°，150°，165°.
解析：《利用内错角、同旁内角判定两直线平行》基础训练
知识点1 认识内错角、同旁内角
1.如图，直线被直线c所截，则与是（ ）
A.同位角 B.内错角 C.同旁内角 D.邻补角
2.下列图形中，与是同旁内角的是（ ）
A. B. C. D.
3.如图所示，和是直线____________，____________被直线________所截构成的内错角，和是直线_________，__________被直线____________
所截构成的_____________角.
知识点2 内错角相等，两直线平行
4.下列图形中，由能得到的是（ ）
A. B.
C. D.
5.如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，并由此判定，这是根据“______________两直线平行”.
6.如图，CB平分.试说明：.
知识点3 同旁内角互补，两直线平行
7.如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角，，则（ ）
A. B. C. D.AB与CD相交
8.如图，下列说法中，正确的是（ ）
A.因为，所以
B.因为，所以
C.因为，所以
D.因为，所以
9.将一副三角板按如图所示摆放，使得BO和CD平行，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
10.（2019·南京）结合图形，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：因为___________________，所以.
11.如图，已知.试说明：.
易错点 不能准确识别截线与被截线，从而误判两直线平行
12.如图，下列能判定的条件有（ ）
①；②；③；④.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案
1.B 2.C
3. 同旁内
4.B 5.内错角相等
6.解：因为CB平分，所以.因为，所以.所以.
7.C 8.C 9.B 10.
11.解：因为，所以.因为，所以.所以.
12.C
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