【课件】2.1 直线的倾斜角与斜率 数学-RJ·A-选择性必修第一册(共41张PPT)
文档属性
| 名称 | 【课件】2.1 直线的倾斜角与斜率 数学-RJ·A-选择性必修第一册(共41张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-05 17:56:10 | ||
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文档简介
(共41张PPT)
数学-RJ·A-选择性必修第一册
第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
学习目标
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程.
3.掌握过两点的直线斜率的计算公式.
4.能根据直线的斜率判定两条直线平行或垂直.
重点：斜率的概念，用代数方法刻画直线斜率的过程，过两点的直线斜率的计算公式，根据斜率判断两条直线平行或垂直.
难点：直线的斜率与它的倾斜角之间的关系，根据斜率判断两条直线互相垂直.
知识梳理
当直线与轴相交时，我们以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角（angle of inclination）.图中直线的倾斜角为锐角，直线的倾斜角为钝角.当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角的取值范围为
一、直线的倾斜角
倾斜角
直线
【提示】（1）
（2）倾斜角相同的直线是一组平行线，因而只知道直线的倾斜角不能确定一条直线，还需要一个点，即直线上的一点和直线的倾斜角确定唯一的一条直线.
（3）确定平面直角坐标系中一条直线的位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角.二者缺一不可.
二、直线的斜率
我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率（slope）.斜率常用小写字母表示，即
【注意】
倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率.
【提示】直线的斜率与倾斜角之间的关系
当直线的倾斜角时，斜率，直线与轴平行或重合；
当时，斜率，且值随着倾斜角的增大而增大；
当时，斜率不存在（此时直线是存在的，直线与轴垂直）；当时，斜率，且值随着倾斜角的增大而增大.
如果直线经过两点（），那么可得如下的斜率公式：
【提示】对斜率公式k＝ 的理解：
（1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°.所以斜率公式的适用范围不包括倾斜角的情况.凡是在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况.
（2）斜率公式中k的值与两点在该直线上的位置无关，即在直线上任取不同的两点，其斜率均不变.
（3）斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换，也就是说，如果分子是，分母必须是；如果分子是，分母必须是，即k＝ = .
（4）若，则直线与x轴平行或重合，斜率＝0.
三、两条直线平行的判定
对于斜率分别为的两条直线，有
.
显然，当时，直线的斜率不存在，此时.
若直线重合，此时仍然有
【注意】是的必要不充分条件.
二、两条直线垂直的判定
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果两条直线的斜率之积等于，那么它们互相垂直.即
【提示】两条直线垂直与斜率的关系
图形表示
对应关系 的斜率都存在，分别为，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为0，则的位置关系是
常考题型
一、直线的倾斜角与斜率
1.求直线的倾斜角或斜率
◆求直线斜率的两种方法
1.利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tan α.
2.利用斜率公式：k＝ （x1≠x2）.
【注意】
利用两点斜率的公式时，两点的横坐标不能相等，否则，直线斜率不存在.
◆求直线倾斜角的方法
1.定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义求出倾斜角.
2.利用tan α＝k求倾斜角.
训练题
1.［2020·安徽师范大学附属中学高二期中］已知点A（2，-3），B（-3，-2），
直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A.k≥或k≤4 B.k≥或k≤C.4≤k≤D.≤k≤4
2.［2020·广东湛江高一联考］设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为 （ ）
A.α+45° B.α-135° C.135°-α D.α+45°或α-135°
3.［2020·湖南长沙长郡中学高一期中］下列四条直线中，其倾斜角最大的是
（ ）
A.2x-y+1＝0 B.x+2y+3＝0 C.x+y+1＝0 D.x+1＝0
A
D
B
2.三点共线问题
例2 已知A（a，2），B（5，1），C（-4，2a）三点在同一条直线上，求a的值.
◆利用斜率法证明已知坐标的三点共线
证明已知坐标的三点共线，利用斜率法是最简单的方法.若两直线AB，BC的斜率相等，则A，B，C三点共线；反过来，若A，B，C三点共线，则直线AB，BC的斜率相等（斜率存在时），或直线AB，BC的斜率都不存在.
训练题
1.［2020·广东江门高一月考］已知A（-3，-5），B（1，3），
C（5，11）三点，这三点 （填“是”或“否”）在
同一直线上.
2.［2020·江西景德镇一中高一期中］设A（1，1），B（2，a），
C（b，3）三点共线，且a，b∈N* ，则a-b的值为 （ ）
A.1 B.-1 C.1或-1 D.无法确定
是
C
3.斜率模型的几何意义
例3 已知实数x，y满足y＝x2-2x+2（-1≤x≤1），试求的
最大值和最小值.
【解题提示】 的最大值和最小值可以看成过两点
（-2，-3），（x，y）的直线的斜率的最大值和最小值.
【解】如图，由的几何意义可知，它表示经过定点P（-2，-3）与曲线段AB上任一点（x，y）的直线的斜率k，由图可知kPA≤k≤kPB，由已知可得A（1，1），B（-1，5）.
则kPA＝＝，kPB＝＝8.
∴≤k≤8，∴的最大值为8，最小值为.
训练题
已知实数x，y满足2x+y＝8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值.
解：如图所示，由已知，点在线段AB上运动，其中，而＝，其几何意义为直线OP的斜率.由图可知kOB≤kOP≤kOA，而kOB＝，kOA＝2.
故所求的最大值为2，最小值为.
二、两条直线平行、垂直的判定与应用
1.两条直线平行的判定与应用
例4 判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行.
（1）经过点经过点
（2）的斜率为1，经过点
（3）经过点经过点;
（4）经过点经过点
◆判断两条直线平行的方法
1.判断两条直线的斜率是否存在.
2.当直线的斜率存在时，利用斜率公式求出两直线的斜率，若斜率相等，则进一步判断两直线是重合还是平行.
3.若两直线的斜率都不存在（同一直线上两点的横坐标相等），且两直线所过点的横坐标不相等，则两直线平行.
特殊情况下的两条直线平行的判定：
若两条直线（不重合）的倾斜角都为90°，则它们互相平行.
训练题
1.［2020·安徽阜阳市红旗中学高一期末］已知直线x+a2y+6＝0与直线（a-2）x+3ay+2a＝0平行，则a的值为 （ ）
A.0或3或-1 B.0或3 C.3或-1 D.0或-1
2.［2020·甘肃武威六中高一月考］已知倾斜角为45°的直线经过A（2，4），B（1，m）两点，则m＝ （ ）
A.3 B.-3 C.5 D.-1
D
A
2.两条直线垂直的判定与应用
例5 判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直：
（1）l1经过点A（-1，-2），B（1，2），l2经过点M（-2，-1），
N（2，1）；
（2）l1的斜率为-10，l2经过点A（10，2），B（20，3）；
（3）l1经过点A（3，4），B（3，100），l2经过点M（-10，40），
N（10，40）.
【解题提示】求出斜率，利用l1⊥l2?k1k2＝-1或一条直线斜率为0，
另一条斜率不存在来判断.
◆利用斜率公式来判定两直线垂直的方法
1.一看：就是先看其中一条直线的两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在.再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步.
2.二代：将点的坐标代入斜率公式.
3.三求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论.
A
C
三、两条直线平行、垂直的综合问题
例6 在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O（0，0），P（1，t），Q（1-2t，2+t），R（-2t，2），其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.
【解】由斜率公式得kOP＝＝t，同理kQR＝t，kOR＝-，kPQ＝-，
所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ.从而OP平行于QR，OR平行于PQ.
所以四边形OPQR为平行四边形.
又kOP·kOR＝-1，所以OP⊥OR.
故四边形OPQR为矩形.
◆利用两条直线平行或垂直判定几何图形形状的步骤
训练题
1.［2020·浙江杭州学军中学高二期中］已知直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2-3k-b＝0的两个实根，若l1⊥l2，则b＝ ；若l1∥l2，则b＝ .
2
2.已知A（-4，3），B（2，5），C（6，3），D（-3，0）四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状.
小结
1. 直线的倾斜角
（1）定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
（2）范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3. 两条直线平行的判定
①直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则l1∥l2 α1＝α2 k1＝k2；
②直线l1，l2的斜率都不存在，则α1＝α2＝90° l1∥l2.
4. 两条直线垂直的判定
①直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则l1⊥l2 k1k2＝-1；
②直线l1，l2中一条斜率不存在，即倾斜角为90°，另一条的斜率为0，则l1⊥l2
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数学-RJ·A-选择性必修第一册
第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
学习目标
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程.
3.掌握过两点的直线斜率的计算公式.
4.能根据直线的斜率判定两条直线平行或垂直.
重点：斜率的概念，用代数方法刻画直线斜率的过程，过两点的直线斜率的计算公式，根据斜率判断两条直线平行或垂直.
难点：直线的斜率与它的倾斜角之间的关系，根据斜率判断两条直线互相垂直.
知识梳理
当直线与轴相交时，我们以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角（angle of inclination）.图中直线的倾斜角为锐角，直线的倾斜角为钝角.当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角的取值范围为
一、直线的倾斜角
倾斜角
直线
【提示】（1）
（2）倾斜角相同的直线是一组平行线，因而只知道直线的倾斜角不能确定一条直线，还需要一个点，即直线上的一点和直线的倾斜角确定唯一的一条直线.
（3）确定平面直角坐标系中一条直线的位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角.二者缺一不可.
二、直线的斜率
我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率（slope）.斜率常用小写字母表示，即
【注意】
倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率.
【提示】直线的斜率与倾斜角之间的关系
当直线的倾斜角时，斜率，直线与轴平行或重合；
当时，斜率，且值随着倾斜角的增大而增大；
当时，斜率不存在（此时直线是存在的，直线与轴垂直）；当时，斜率，且值随着倾斜角的增大而增大.
如果直线经过两点（），那么可得如下的斜率公式：
【提示】对斜率公式k＝ 的理解：
（1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°.所以斜率公式的适用范围不包括倾斜角的情况.凡是在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况.
（2）斜率公式中k的值与两点在该直线上的位置无关，即在直线上任取不同的两点，其斜率均不变.
（3）斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换，也就是说，如果分子是，分母必须是；如果分子是，分母必须是，即k＝ = .
（4）若，则直线与x轴平行或重合，斜率＝0.
三、两条直线平行的判定
对于斜率分别为的两条直线，有
.
显然，当时，直线的斜率不存在，此时.
若直线重合，此时仍然有
【注意】是的必要不充分条件.
二、两条直线垂直的判定
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果两条直线的斜率之积等于，那么它们互相垂直.即
【提示】两条直线垂直与斜率的关系
图形表示
对应关系 的斜率都存在，分别为，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为0，则的位置关系是
常考题型
一、直线的倾斜角与斜率
1.求直线的倾斜角或斜率
◆求直线斜率的两种方法
1.利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tan α.
2.利用斜率公式：k＝ （x1≠x2）.
【注意】
利用两点斜率的公式时，两点的横坐标不能相等，否则，直线斜率不存在.
◆求直线倾斜角的方法
1.定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义求出倾斜角.
2.利用tan α＝k求倾斜角.
训练题
1.［2020·安徽师范大学附属中学高二期中］已知点A（2，-3），B（-3，-2），
直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A.k≥或k≤4 B.k≥或k≤C.4≤k≤D.≤k≤4
2.［2020·广东湛江高一联考］设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为 （ ）
A.α+45° B.α-135° C.135°-α D.α+45°或α-135°
3.［2020·湖南长沙长郡中学高一期中］下列四条直线中，其倾斜角最大的是
（ ）
A.2x-y+1＝0 B.x+2y+3＝0 C.x+y+1＝0 D.x+1＝0
A
D
B
2.三点共线问题
例2 已知A（a，2），B（5，1），C（-4，2a）三点在同一条直线上，求a的值.
◆利用斜率法证明已知坐标的三点共线
证明已知坐标的三点共线，利用斜率法是最简单的方法.若两直线AB，BC的斜率相等，则A，B，C三点共线；反过来，若A，B，C三点共线，则直线AB，BC的斜率相等（斜率存在时），或直线AB，BC的斜率都不存在.
训练题
1.［2020·广东江门高一月考］已知A（-3，-5），B（1，3），
C（5，11）三点，这三点 （填“是”或“否”）在
同一直线上.
2.［2020·江西景德镇一中高一期中］设A（1，1），B（2，a），
C（b，3）三点共线，且a，b∈N* ，则a-b的值为 （ ）
A.1 B.-1 C.1或-1 D.无法确定
是
C
3.斜率模型的几何意义
例3 已知实数x，y满足y＝x2-2x+2（-1≤x≤1），试求的
最大值和最小值.
【解题提示】 的最大值和最小值可以看成过两点
（-2，-3），（x，y）的直线的斜率的最大值和最小值.
【解】如图，由的几何意义可知，它表示经过定点P（-2，-3）与曲线段AB上任一点（x，y）的直线的斜率k，由图可知kPA≤k≤kPB，由已知可得A（1，1），B（-1，5）.
则kPA＝＝，kPB＝＝8.
∴≤k≤8，∴的最大值为8，最小值为.
训练题
已知实数x，y满足2x+y＝8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值.
解：如图所示，由已知，点在线段AB上运动，其中，而＝，其几何意义为直线OP的斜率.由图可知kOB≤kOP≤kOA，而kOB＝，kOA＝2.
故所求的最大值为2，最小值为.
二、两条直线平行、垂直的判定与应用
1.两条直线平行的判定与应用
例4 判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行.
（1）经过点经过点
（2）的斜率为1，经过点
（3）经过点经过点;
（4）经过点经过点
◆判断两条直线平行的方法
1.判断两条直线的斜率是否存在.
2.当直线的斜率存在时，利用斜率公式求出两直线的斜率，若斜率相等，则进一步判断两直线是重合还是平行.
3.若两直线的斜率都不存在（同一直线上两点的横坐标相等），且两直线所过点的横坐标不相等，则两直线平行.
特殊情况下的两条直线平行的判定：
若两条直线（不重合）的倾斜角都为90°，则它们互相平行.
训练题
1.［2020·安徽阜阳市红旗中学高一期末］已知直线x+a2y+6＝0与直线（a-2）x+3ay+2a＝0平行，则a的值为 （ ）
A.0或3或-1 B.0或3 C.3或-1 D.0或-1
2.［2020·甘肃武威六中高一月考］已知倾斜角为45°的直线经过A（2，4），B（1，m）两点，则m＝ （ ）
A.3 B.-3 C.5 D.-1
D
A
2.两条直线垂直的判定与应用
例5 判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直：
（1）l1经过点A（-1，-2），B（1，2），l2经过点M（-2，-1），
N（2，1）；
（2）l1的斜率为-10，l2经过点A（10，2），B（20，3）；
（3）l1经过点A（3，4），B（3，100），l2经过点M（-10，40），
N（10，40）.
【解题提示】求出斜率，利用l1⊥l2?k1k2＝-1或一条直线斜率为0，
另一条斜率不存在来判断.
◆利用斜率公式来判定两直线垂直的方法
1.一看：就是先看其中一条直线的两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在.再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步.
2.二代：将点的坐标代入斜率公式.
3.三求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论.
A
C
三、两条直线平行、垂直的综合问题
例6 在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O（0，0），P（1，t），Q（1-2t，2+t），R（-2t，2），其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.
【解】由斜率公式得kOP＝＝t，同理kQR＝t，kOR＝-，kPQ＝-，
所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ.从而OP平行于QR，OR平行于PQ.
所以四边形OPQR为平行四边形.
又kOP·kOR＝-1，所以OP⊥OR.
故四边形OPQR为矩形.
◆利用两条直线平行或垂直判定几何图形形状的步骤
训练题
1.［2020·浙江杭州学军中学高二期中］已知直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2-3k-b＝0的两个实根，若l1⊥l2，则b＝ ；若l1∥l2，则b＝ .
2
2.已知A（-4，3），B（2，5），C（6，3），D（-3，0）四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状.
小结
1. 直线的倾斜角
（1）定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
（2）范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3. 两条直线平行的判定
①直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则l1∥l2 α1＝α2 k1＝k2；
②直线l1，l2的斜率都不存在，则α1＝α2＝90° l1∥l2.
4. 两条直线垂直的判定
①直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则l1⊥l2 k1k2＝-1；
②直线l1，l2中一条斜率不存在，即倾斜角为90°，另一条的斜率为0，则l1⊥l2
知易行难，重在行动
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