【课件】2.1坐标法 数学-RJB-选择性必修第一册-第二章 平面解析几何(共30张PPT)
文档属性
| 名称 | 【课件】2.1坐标法 数学-RJB-选择性必修第一册-第二章 平面解析几何(共30张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-05 18:01:59 | ||
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文档简介
(共30张PPT)
数学-RJ·B-选择性必修第一册
2.1 坐标法
第二章 平面解析几何
重点：（1）理解和掌握数轴上的基本公式.（2）用勾股定理和数轴上位移数量的计算公式推导平面上两点的距离公式和中点坐标公式
难点：（1）建立实数与数轴上的点或位移的对应关系.（2）应用坐标方法，研究几何问题
1.理解实数与数轴上的点及位移的对应关系，实数运算在数轴上的几何意义.
2.掌握数轴上两点的距离公式.
3.掌握平面上两点的距离公式和中点公式.
4.了解两点的距离公式及中点公式的推导方法.
学习目标
知识梳理
1.平面直角坐标系中的基本公式
给定了原点、单位长度与正方向的直线是数轴，数轴上的点与实数是一一对应的，如图所示.
如果数轴上点A对应的数为x1（即A的坐标为 ，记作A（ x1 ）），且B（x2），则向量 的坐标为x2 -x1，从而可以得到数轴上两点之间的距离公式
|AB|＝||＝ .
|x2-x1|
如果M（x）是线段AB的中点，则 从而可以得到数轴上的中点
坐标公式x＝ .
给定一个平面，选定原点O、单位长度以及x轴和y轴的正方向之后，可以建立平面直角坐标系xOy，此时平面内的点与有序实数对是一一对应的.如图所示，如果A点对应的有序实数为（x1，y1）（即A的坐标为（x1，y1），记作A（x1，y1），其中x1为A的横坐标，y1为A的纵坐标），且B（x2，y2），则向量 ＝（x2-x1，y2-y1），从而可以得到平面直角坐标系内两点之间的距离公式|AB|＝| |＝ .
2.坐标法
通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决了问题.这种解决问题的方法称为坐标法.
例如，取A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系.则A（0，0），设B（a，0），C（b，c），从而由平行四边形的性质可知D（b-a，c），则|AC|2+|BD|2＝2（|AB|2+|AD|2）.
常考题型
【变式训练】
2.［2020·烟台莱州高二检测］已知AB＝3，CD＝-2，则下列说法不正确的是（ ）
A.>
B.|AB|>|CD|
C.AB＝3表示数轴上的向量的坐标为3；CD＝-2表示数轴上的向量 的坐标为-2
D.AB＝3表示数轴上的向量的方向与数轴的方向相同；CD＝-2表示数轴上的向量 的方向与数轴的方向相反
解题方法：
1.已知向量, ， 中的两个的坐标，求另外一个的坐标时，使用＝ + 求解.
2.已知向量的起点和终点的坐标，求向量坐标，使用＝xB-xA求解.
<2>平面内两点间距离公式
例2 ［2020·黑龙江牡丹江一中高二检测］在△ABC中，已知A（5，5），B（1，4），
C（4，1）.
（1）判断△ABC的形状.
（2）求BC边上的中线AD的长度.
（3）求△ABC的面积.
【解】 （1）|AB|＝＝，|AC|=＝，|BC|＝ ＝，
因为|AB|＝|AC|≠|BC|，所以△ABC为等腰三角形.
（2）由中点坐标公式可得BC边的中点.
于是|AD|＝ ＝ .
（3）因为△ABC是等腰三角形，且AD是中线，所以AD⊥BC，所以S△ABC＝·|BC|·|AD|＝××＝.
已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（-a，0），B（a，0），C（0，a）.
求证：△ABC是等边三角形.
【变式训练】
证明：由两点间距离公式得|AB|＝＝2|a|，
|BC|＝ ＝2|a|，|CA|＝ ＝2|a|，
∴ |AB|＝|BC|＝|CA|，故△ABC是等边三角形.
解题方法：
1.在用两点间的距离公式求到某点的距离满足某些条件的点P（x，y）的坐标时，需要根据已知条件列出关于x，y的方程或方程组，解之即可.
2.用两点间的距离公式可以判断三角形的形状，从三边长入手，根据边长相等判断是等腰或等边三角形，根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形.还可以根据两个距离之和等于第三个距离判断三点共线.
<3>平面内中点坐标公式
例3 已知平行四边形ABCD的两个顶点分别为A（4，2），B（5，7），对角线的交点为E（-3，4），求另外两个顶点C，D的坐标.
【解题提示】 平行四边形的对角线互相平分，对角线的交点为两个相对顶点连线的中点，利用中点坐标公式解题.
【解】 设C（x1，y1），D（x2，y2）.
因为E为AC的中点，所以-3＝，4＝，
解得x1＝-10，y1＝6.
因为E为BD的中点，
所以-3＝，4＝，
解得x2＝-11，y2＝1.
所以顶点C的坐标为（-10，6），顶点D的坐标为（-11，1）.
［2020·山东济南一中高二检测］已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（-1，-2）， （3，1），（0，2），求平行四边形第四个顶点的坐标.
【变式训练】
解：设A（-1，-2），B（3，1），C（0，2），第四个顶点D的坐标为（x，y），
（1）若四边形ABCD是平行四边形，
则由中点坐标公式得 解得
故点D的坐标为（-4，-1）.
（2）若四边形ABDC是平行四边形，
则由中点坐标公式得解得
故点D的坐标为（4，5）.
（3）若四边形ACBD是平行四边形，
则由中点坐标公式得 解得
故点D的坐标为（2，-3）.
综上所述，满足条件的第四个顶点的坐标为（-4，-1）或（4，5）或（2，-3）.
解题方法：
中点坐标公式常用于求与线段中点、三角形的中线、平行四边形的对角线等有关的问题，解题时一般先根据几何概念，提炼出点之间的“中点关系”，然后用中点坐标公式列方程或方程组求解.
题组二 坐标法
例4 ［2019·江苏启东中学高二期中］已知AO是△ABC的边BC上的中线.求证：|AB|2+|AC|2＝2（|AO|2+|OC|2）.
【解题提示】 可以建立适当的平面直角坐标系，采用“解析法”，通过计算证明题中的结论.
【证明】 如图，以BC边的中点为原点，BC边所在直线
为x轴建立平面直角坐标系.
设C（c，0），A（a，b），
则B（-c，0），|AB|2＝（a+c）2+b2，
|AC|2＝（a-c）2+b2，|OA|2＝a2+b2，|OC|2＝c2，
所以|AB|2+|AC|2＝（a+c）2+b2+（a-c）2+b2＝2（a2+b2+c2），
2（|AO|2+|OC|2）＝2（a2+b2+c2）.
因此|AB|2+|AC|2＝2（|AO|2+|OC|2）.
1.［2020·宁夏石嘴山三中高二检测］若D为△ABC的边BC上的一点，且BD＝2DC.求证：|AB|2+2|AC|2＝3|AD|2+6|CD|2.
【变式训练】
证明：如图，以D为原点，以BC边所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
设|BC|＝3a（a>0），则|BD|＝2a，|DC|＝a.于是B（-2a，0），D（0，0），C（a，0）.设A（x，y），
则|AB|2+2|AC|2＝（x+2a）2+y2+2［（x-a）2+y2］＝3x2+3y2+6a2；
3|AD|2+6|CD|2＝3（x2+y2）+6a2＝3x2+3y2+6a2，
所以|AB|2+2|AC|2＝3|AD|2+6|CD|2.
2.在△ABC中，D为BC边上任意一点（D与B，C不重合），且|AB|2＝|AD|2+|BD|·|DC|，则△ABC为（ ）
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.以上都不对
【变式训练】
A
3. ［2020·山东泰安一中高二检测］已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系，证明：|AM|＝ |BC|.
【变式训练】
证明：如图所示，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系.设B，C两点的坐标分别为（b，0），（0，c）.
因为点M是BC的中点，故点M的坐标为，即 .
由两点间的距离公式得|BC|＝＝，
|AM|＝ ＝.所以|AM|＝|BC|.
解题方法：
用坐标法解决几何问题的基本步骤
1.建立坐标系：坐标系建立是否恰当，直接关系到后面的论证是否简捷.
原则是：在建立平面直角坐标系时，要尽可能地将平面几何图形中的点、线放在坐标轴上，为此，常常有以下规律：
（1）将图形一边所在的直线或定直线作为x轴；
（2）若为对称图形，则取对称轴为x轴或y轴；
（3）若有直角，则取直角边所在的直线为坐标轴；
（4）可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点.
2.标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示图形中的数量关系.
3.通过以上两个步骤，把几何问题转化为代数问题来求解.
小结
1.平面直角坐标系中的基本公式
如果数轴上点A对应的数为x1（即A的坐标为 ，记作A（ x1 ）），且B（x2），则向量 的坐标为x2 -x1，从而可以得到数轴上两点之间的距离公式
|AB|＝||＝|x2-x1|.
如果A点对应的有序实数为（x1，y1）（即A的坐标为（x1，y1），记作A（x1，y1），其中x1为A的横坐标，y1为A的纵坐标），且B（x2，y2），则向量 ＝（x2-x1，y2-y1），从而可以得到平面直角坐标系内两点之间的距离公式|AB|＝| |＝.
2.坐标法
通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决了问题.这种解决问题的方法称为坐标法.
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数学-RJ·B-选择性必修第一册
2.1 坐标法
第二章 平面解析几何
重点：（1）理解和掌握数轴上的基本公式.（2）用勾股定理和数轴上位移数量的计算公式推导平面上两点的距离公式和中点坐标公式
难点：（1）建立实数与数轴上的点或位移的对应关系.（2）应用坐标方法，研究几何问题
1.理解实数与数轴上的点及位移的对应关系，实数运算在数轴上的几何意义.
2.掌握数轴上两点的距离公式.
3.掌握平面上两点的距离公式和中点公式.
4.了解两点的距离公式及中点公式的推导方法.
学习目标
知识梳理
1.平面直角坐标系中的基本公式
给定了原点、单位长度与正方向的直线是数轴，数轴上的点与实数是一一对应的，如图所示.
如果数轴上点A对应的数为x1（即A的坐标为 ，记作A（ x1 ）），且B（x2），则向量 的坐标为x2 -x1，从而可以得到数轴上两点之间的距离公式
|AB|＝||＝ .
|x2-x1|
如果M（x）是线段AB的中点，则 从而可以得到数轴上的中点
坐标公式x＝ .
给定一个平面，选定原点O、单位长度以及x轴和y轴的正方向之后，可以建立平面直角坐标系xOy，此时平面内的点与有序实数对是一一对应的.如图所示，如果A点对应的有序实数为（x1，y1）（即A的坐标为（x1，y1），记作A（x1，y1），其中x1为A的横坐标，y1为A的纵坐标），且B（x2，y2），则向量 ＝（x2-x1，y2-y1），从而可以得到平面直角坐标系内两点之间的距离公式|AB|＝| |＝ .
2.坐标法
通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决了问题.这种解决问题的方法称为坐标法.
例如，取A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系.则A（0，0），设B（a，0），C（b，c），从而由平行四边形的性质可知D（b-a，c），则|AC|2+|BD|2＝2（|AB|2+|AD|2）.
常考题型
【变式训练】
2.［2020·烟台莱州高二检测］已知AB＝3，CD＝-2，则下列说法不正确的是（ ）
A.>
B.|AB|>|CD|
C.AB＝3表示数轴上的向量的坐标为3；CD＝-2表示数轴上的向量 的坐标为-2
D.AB＝3表示数轴上的向量的方向与数轴的方向相同；CD＝-2表示数轴上的向量 的方向与数轴的方向相反
解题方法：
1.已知向量, ， 中的两个的坐标，求另外一个的坐标时，使用＝ + 求解.
2.已知向量的起点和终点的坐标，求向量坐标，使用＝xB-xA求解.
<2>平面内两点间距离公式
例2 ［2020·黑龙江牡丹江一中高二检测］在△ABC中，已知A（5，5），B（1，4），
C（4，1）.
（1）判断△ABC的形状.
（2）求BC边上的中线AD的长度.
（3）求△ABC的面积.
【解】 （1）|AB|＝＝，|AC|=＝，|BC|＝ ＝，
因为|AB|＝|AC|≠|BC|，所以△ABC为等腰三角形.
（2）由中点坐标公式可得BC边的中点.
于是|AD|＝ ＝ .
（3）因为△ABC是等腰三角形，且AD是中线，所以AD⊥BC，所以S△ABC＝·|BC|·|AD|＝××＝.
已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（-a，0），B（a，0），C（0，a）.
求证：△ABC是等边三角形.
【变式训练】
证明：由两点间距离公式得|AB|＝＝2|a|，
|BC|＝ ＝2|a|，|CA|＝ ＝2|a|，
∴ |AB|＝|BC|＝|CA|，故△ABC是等边三角形.
解题方法：
1.在用两点间的距离公式求到某点的距离满足某些条件的点P（x，y）的坐标时，需要根据已知条件列出关于x，y的方程或方程组，解之即可.
2.用两点间的距离公式可以判断三角形的形状，从三边长入手，根据边长相等判断是等腰或等边三角形，根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形.还可以根据两个距离之和等于第三个距离判断三点共线.
<3>平面内中点坐标公式
例3 已知平行四边形ABCD的两个顶点分别为A（4，2），B（5，7），对角线的交点为E（-3，4），求另外两个顶点C，D的坐标.
【解题提示】 平行四边形的对角线互相平分，对角线的交点为两个相对顶点连线的中点，利用中点坐标公式解题.
【解】 设C（x1，y1），D（x2，y2）.
因为E为AC的中点，所以-3＝，4＝，
解得x1＝-10，y1＝6.
因为E为BD的中点，
所以-3＝，4＝，
解得x2＝-11，y2＝1.
所以顶点C的坐标为（-10，6），顶点D的坐标为（-11，1）.
［2020·山东济南一中高二检测］已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（-1，-2）， （3，1），（0，2），求平行四边形第四个顶点的坐标.
【变式训练】
解：设A（-1，-2），B（3，1），C（0，2），第四个顶点D的坐标为（x，y），
（1）若四边形ABCD是平行四边形，
则由中点坐标公式得 解得
故点D的坐标为（-4，-1）.
（2）若四边形ABDC是平行四边形，
则由中点坐标公式得解得
故点D的坐标为（4，5）.
（3）若四边形ACBD是平行四边形，
则由中点坐标公式得 解得
故点D的坐标为（2，-3）.
综上所述，满足条件的第四个顶点的坐标为（-4，-1）或（4，5）或（2，-3）.
解题方法：
中点坐标公式常用于求与线段中点、三角形的中线、平行四边形的对角线等有关的问题，解题时一般先根据几何概念，提炼出点之间的“中点关系”，然后用中点坐标公式列方程或方程组求解.
题组二 坐标法
例4 ［2019·江苏启东中学高二期中］已知AO是△ABC的边BC上的中线.求证：|AB|2+|AC|2＝2（|AO|2+|OC|2）.
【解题提示】 可以建立适当的平面直角坐标系，采用“解析法”，通过计算证明题中的结论.
【证明】 如图，以BC边的中点为原点，BC边所在直线
为x轴建立平面直角坐标系.
设C（c，0），A（a，b），
则B（-c，0），|AB|2＝（a+c）2+b2，
|AC|2＝（a-c）2+b2，|OA|2＝a2+b2，|OC|2＝c2，
所以|AB|2+|AC|2＝（a+c）2+b2+（a-c）2+b2＝2（a2+b2+c2），
2（|AO|2+|OC|2）＝2（a2+b2+c2）.
因此|AB|2+|AC|2＝2（|AO|2+|OC|2）.
1.［2020·宁夏石嘴山三中高二检测］若D为△ABC的边BC上的一点，且BD＝2DC.求证：|AB|2+2|AC|2＝3|AD|2+6|CD|2.
【变式训练】
证明：如图，以D为原点，以BC边所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
设|BC|＝3a（a>0），则|BD|＝2a，|DC|＝a.于是B（-2a，0），D（0，0），C（a，0）.设A（x，y），
则|AB|2+2|AC|2＝（x+2a）2+y2+2［（x-a）2+y2］＝3x2+3y2+6a2；
3|AD|2+6|CD|2＝3（x2+y2）+6a2＝3x2+3y2+6a2，
所以|AB|2+2|AC|2＝3|AD|2+6|CD|2.
2.在△ABC中，D为BC边上任意一点（D与B，C不重合），且|AB|2＝|AD|2+|BD|·|DC|，则△ABC为（ ）
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.以上都不对
【变式训练】
A
3. ［2020·山东泰安一中高二检测］已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系，证明：|AM|＝ |BC|.
【变式训练】
证明：如图所示，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系.设B，C两点的坐标分别为（b，0），（0，c）.
因为点M是BC的中点，故点M的坐标为，即 .
由两点间的距离公式得|BC|＝＝，
|AM|＝ ＝.所以|AM|＝|BC|.
解题方法：
用坐标法解决几何问题的基本步骤
1.建立坐标系：坐标系建立是否恰当，直接关系到后面的论证是否简捷.
原则是：在建立平面直角坐标系时，要尽可能地将平面几何图形中的点、线放在坐标轴上，为此，常常有以下规律：
（1）将图形一边所在的直线或定直线作为x轴；
（2）若为对称图形，则取对称轴为x轴或y轴；
（3）若有直角，则取直角边所在的直线为坐标轴；
（4）可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点.
2.标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示图形中的数量关系.
3.通过以上两个步骤，把几何问题转化为代数问题来求解.
小结
1.平面直角坐标系中的基本公式
如果数轴上点A对应的数为x1（即A的坐标为 ，记作A（ x1 ）），且B（x2），则向量 的坐标为x2 -x1，从而可以得到数轴上两点之间的距离公式
|AB|＝||＝|x2-x1|.
如果A点对应的有序实数为（x1，y1）（即A的坐标为（x1，y1），记作A（x1，y1），其中x1为A的横坐标，y1为A的纵坐标），且B（x2，y2），则向量 ＝（x2-x1，y2-y1），从而可以得到平面直角坐标系内两点之间的距离公式|AB|＝| |＝.
2.坐标法
通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决了问题.这种解决问题的方法称为坐标法.
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