【课件】§1　从位移、速度、力到向量 数学-北师大版-必修第二册-第二章(共21张PPT)

(共21张PPT)
数学-北师大版-必修第二册
§1 从位移、速度、力到向量
第二章 平面向量及其应用
重点：向量、相等向量、共线向量、零向量的概念.
难点：对向量概念的理解、向量与有向线段的关系.
1.通过位移、速度和力这些物理量的分析了解向量的实际背景.
2.理解向量、相等向量、共线向量、零向量的概念及向量的表示.
3.理解向量的几何意义.
学习目标
知识梳理
一 位移、速度和力
数学中的向量与物理中的矢量一样吗？
两者是有区别的，数学中的向量仅由大小和方向确定，而与起点的位置无关，称之为自由向量.物理中的矢量，如位移等，不仅由方向和距离确定，而且与起点、终点的位置有关.
二 向量的定义与表示
1. 数学中向量的定义
（1）向量：
在数学中，把既有大小又有方向的量统称向量.
（2）有向线段：
具有方向和长度的线段叫作有向线段.以端点A为起点，端点B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫作有向线段的长度，记作||.
2. 向量的表示
（1）几何表示：
向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.
（2）字母表示：
向量可以用表示有向线段起点与终点的字母表示，且表示起点的字母在前，表示终点的字母在后，如，等.向量还可以用黑斜体小写字母如a，b，c，…或，，，…（书写）来表示.
三、向量的相关概念
1.向量的模
向量（或a）的大小，叫作向量（或a）的长度，也称向量（或a）的模，记作||（或|a|）.
2.零向量
长度为0的向量称为零向量，记作0.
3.单位向量
模等于1个单位长度的向量叫作单位向量.
四、向量的基本关系
1.相等向量
长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量.向量a与b相等，记作a＝b.
2.相反向量
长度相等，方向相反的两个向量互为相反向量，向量a的相反向量记作-a.
零向量的相反向量仍是零向量.
3.平行（共线）向量
若两个非零向量a，b的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作a∥b.规定零向量与任一向量平行（共线）.
4.向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角（如图所示）.向量夹角的范围是［0，π］.
当θ＝0时，a与b同向；
当θ＝π时，a与b反向；
当θ＝时，a与b垂直，记作a⊥b.
规定：零向量可与任一向量垂直.
常考题型
题组一　向量的概念
例 ［原创题］下列关于向量的说法正确的是 （　　）
A.有向线段就是向量， 向量就是有向线段
B.力和位移都是向量，温度不是向量
C.零向量是没有方向的向量
D.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
【解析】对于A，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，故A错误；对于B，力和位移既有大小又有方向，是向量，温度只有大小没有方向，不是向量，故B正确；对于C，零向量有方向，任何方向都可作为零向量的方向，故C不正确；对于D，向量不能比较大小，故D错误.
【答案】B
B
训练题
下列说法中正确的个数是（　　）　
①零向量的方向是任意的；②任何向量的模都是正实数；③直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量.
A.0 B.1 C.2 D.3
【概念辨析】
1.判断一个量是不是向量应从两个方面入手
（1）是否有大小；（2）是否有方向.
2.注意两个特殊向量：零向量和单位向量
（1）零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等.
（2）单位向量不一定相等，因为单位向量的方向不一定相同.
3.向量与有向线段的区别和联系
（1）区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量.在平面中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的.
（2）联系：向量可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段.
题组二　向量的表示
例 在如图所示的坐标纸上（每个小方格边长为1），用直尺和圆规画出下列向量：
（1），使||＝，点A在点O北偏东45°；
（2），使||＝4，点B在点A正东；
（3），使||＝6，点C在点B北偏东30°.
【解】（1）因为点A在点O北偏东45°方向上，且||＝，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等，都为4，如图所示.
（2）因为点B在点A正东方向，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，如图所示.
（3）由于点C在点B北偏东30°方向上，且||＝6，由勾股定理，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，如图所示.
【提示】用有向线段表示向量的步骤
注意：在确定向量的长度或方向时，需要用到平面几何的知识，如直角三角形、平行四边形的性质等.
训练题
某人从A点出发向西走了200 m到达B点，然后改变方向向西偏北60°走了450 m到达C点，最后又改变方向向东走了200 m到达D点.
（1）作出向量，，（1 cm表示200 m）；（2）求的模.
解：（1）根据题意，作出向量，，，如图所示.
（2）由题意及（1）可得，四边形ABCD为平行四边形，
所以||＝ ||＝450 m.
题组三　向量的基本关系
例 如图所示，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的向量中，找出下列向量.
（1）与向量相等的向量；（2）向量的相反向量；（3）与向量共线的向量.
【解】∵ D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，
∴ EF綊AB，DE綊AC，DF綊BC.
（1）与向量相等的向量是，.
（2）向量的相反向量是，，.
（3）与向量共线的向量是，，，，，，.
【点评】本题考查相等向量、相反向量与共线向量的概念，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征.
训练题
1.［2020·天津静海一中高一调研］下列关于向量的结论：
（1）任一向量与它的相反向量不相等；
（2）向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；
（4）若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.
其中正确的序号为（　　）
A.（1）（2） B.（2）（3） C.（4） D.（3）
2.［2019·湖南长沙市雅礼中学高一月考］如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则
（1）与向量相等的向量是　　 ；
（2）与向量共线，且模相等的向量是　　 　　；
（3）与向量共线，且模相等的向量是　 　　 　.
D
，
，，，，
，，，，
【概念辨析】
如何区分相等向量、相反向量与共线向量？
1.相等向量必须满足长度相等且方向相同，相反向量必须满足长度相等且方向相反，缺一不可.
2.共线向量的方向相同或相反，与几何中的平行不同，两个共线向量的位置关系既可以是在同一条直线上，也可以是在两条平行直线上.
3.共线向量与相等向量、相反向量的关系：相等向量、相反向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量或相反向量.
◆寻找共线向量的方法
先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.
题组四　向量的夹角
例 在锐角三角形ABC中，关于向量夹角的说法正确的是 （　　）
A.与的夹角是锐角 B.与的夹角是钝角
C.与的夹角是锐角 D.与的夹角是锐角
【解析】由两向量的夹角定义知，
与的夹角的大小是180°-∠B，为钝角，故A错误；
与的夹角是∠A，为锐角，故B错误；
与的夹角与∠C的大小相等，为锐角，故C正确；
与的夹角的大小是180°-∠C，为钝角，故D错误.
【答案】C
A
训练题
若向量a与b的夹角为60°，则向量-a与-b的夹角是（　　）
A.60° B.120° C.30° D.150°
【点拨】
1.规定零向量与任一向量垂直.
2.确定非零向量夹角的关键是将两向量的起点移到同一点，如图所示，向量与的夹角不是∠ABC，而是∠DBC，即∠ABC的补角.
3.向量夹角的范围是［0，π］，而不是（0，π）.
小结
1.四个知识点：
位移、速度和力；向量的定义与表示；向量的相关概念；向量与有向线段的关系.
2.四种题型：
（1）向量的概念
（2）向量的表示；
（3）向量的基本关系；
（4）向量的夹角
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php