【课件】§1 生活中的变量关系 §2函数 2.1函数概念 高中数学-北师大版-必修第一册-第二章(共48张PPT)

(共48张PPT)
高中数学-北师大版-必修第一册
§1　生活中的变量关系
§2 函 数
2.1 函数概念
第二章 函 数
学习目标
1.能够认识和发现生活中变量间的依赖关系.
2.能利用初中所学函数知识对依赖关系是不是函数关系进行判断.
3.用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.
4.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.
5.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.
重点：变量间依赖关系和函数关系的区别，函数的概念.
难点：对抽象符号f（x）的理解.
知识梳理
1.分段函数
2.函数的概念
例1
一　函数关系的判断
<1>判断所给关系是不是函数
常考题型
【解析】　对于A，集合A中元素2在B中没有元素对应，不是函数；
对于B，集合A中任一元素在B中都有唯一元素对应，是函数；
对于C，集合A中元素3在B中没有元素对应，不是函数；
对于D，集合A中元素2在B中没有元素对应，不是函数.
【答案】　B
判断一个对应关系是不是函数的方法
一个对应关系是不是函数，主要从以下三个方面去判断
（1）A，B是不是非空数集；
（2）A中任何一个元素在B中是否有元素与其对应；
（3）A中任何一个元素在B中的对应元素是否唯一.
解题归纳
［2020·浙江温州高一期末］设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下图中，能表示集合M到集合N的函数关系的是 （　　）
A.①②③④　　　　B.①②③　　　　C.②③　　　　D.②
训练题
1.
C
① ② ③ ④
2. ［2020·四川成都外国语学校高一检测］设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，能表示从集合A到集合B的函数关系的是 （　　）
A　　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　　D
D
判断一个图形是不是函数图象的常用方法
（1）看图形对应的x轴上的任意一个x是否都有唯一的y与之对应，若是，则此图形可能是函数的图象；若至少有一个x值存在两个或两个以上的y值与之对应，则此图形一定不是函数的图象.
（2）要关注函数的定义域、值域与图形中所示的定义域（图形正对着的x轴上的实数）、值域（图形正对着的y轴上的实数）是否一致.
解题归纳
例2
<2>判断两个函数是否相同
判断两函数相同的方法及注意点
（1）方法：判断两函数是否相同时，要遵循定义域优先的原则，即要先求定义域.若定义域不同，则不相同；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同.
（2）两个注意点
①函数的表示：与变量用什么字母表示无关；
②解析式的化简：在化简解析式时，必须是等价变形.
解题归纳
训练题
D
训练题
C
例3
二　函数定义域问题
<1>已知解析式求定义域
求函数定义域的常用依据
（1）若f（x）是分式，则分母不为零；
（2）若f（x）是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
（3）若函数y＝（f（x））0，则f（x）≠0；
（4）若f（x）是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；
（5）若f（x）是实际问题的解析式，则函数的定义域应使实际问题有意义.
解题归纳
训练题
1.
A
2.
D
<2>求抽象函数、复合函数的定义域
例4
求抽象函数或复合函数定义域的方法
（1）已知f（x）的定义域为A，求f（φ（x））的定义域，其实质是已知φ（x）的取值范围为A，求x的取值范围.
（2）已知f（φ（x））的定义域为B，求f（x）的定义域，其实质是已知f（φ（x））中x的取值范围为B，求φ（x）的取值范围（值域）.
解题归纳
训练题
1.
2.
C
C
求抽象函数或复合函数的定义域时需明确的三个问题
（1）函数f（x）的定义域是指x的取值所成的集合.
（2）函数f（φ（x））的定义域是指x的取值范围，而不是φ（x）的取值范围.
（3）f（t），f（φ（x）），f（h（x））三个函数中的t，φ（x），h（x）在对应关系f下的取值范围相同.
解题归纳
<3>已知函数的定义域求参数
例5
训练题
1.
2.
D
（3，+∞）
<4>应用问题中的定义域
例6
如图所示，用长为1的铁丝围成下边为矩形、上边为半圆形的框架，若半圆的半径为，求此框架围成的面积与的函数解析式，并写出它的定义域.
训练题
D
三　函数求值或函数的值域问题
<1>函数求值问题
例7
［2020·黑龙江大庆实验中学高二检测］ 若f（x）＝x2-2x，则f（f（f（1）））＝（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【解题提示】　依次把自变量代入函数关系式，由内向外求值即可.
【解析】　由f（x）＝x2-2x，可得f（1）＝1-2＝-1，所以f（f（1））＝f（-1）＝1+2＝3，f（f（f（1）））＝f（3）＝9-6＝3.
【答案】　C
训练题
15
A
<2>函数的值域问题
例8
例9
求函数值域的方法
求函数值域的常用方法：观察法、配方法、分离常数法、换元法、判别式法、反表示法、中间变量法.
（1）观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域.如函数y＝的值域为{y|0（2）配方法：求形如F（x）＝a（f（x））2 +bf（x）+c（a≠0）的函数的值域可用配方法，但要注意f（x）的取值范围.如求函数y＝x++3的值域，因为y＝（+1）2+2≥3，故所求值域为{y|y≥3}.同时要注意在给定区间上二次函数最值的求法.
解题归纳
（3）分离常数法：形如y＝（ac≠ 0，ad≠bc）的函数常用分离常数法求值域.转化过程为y＝ ＝+ ，其结论是.
（4）换元法：形如y＝ax+b+（a≠0）的函数常用换元法求值域，即先令t＝ ，求出x，并注明t的取值范围，再代入上式将y表示成关于t的二次函数，最后用配方法求值域.
注意：分离常数法的目的是将分式函数变为反比例型函数，换元法的目的是将函数变为二次函数，即将函数解析式变为熟悉的简单函数类型求值域.
解题归纳
（5）判别式法：形如y＝（a，d中至少有一个不为零）的值域，常把函数转化成关于x的二次方程F（x，y）＝0，通过方程有实根，判别式Δ≥0，求出y的取值范围.
（6）反表示法：根据函数解析式反解出x，根据x的取值范围转化为关于y的不等式求解.
（7）中间变量法：根据函数解析式确定一个已知范围的中间变量（如x2），用y表示出该中间变量，根据中间变量的取值范围转化为关于y的不等式求解.
解题归纳
训练题
{ f（x）| f（x）≠1}
<3>已知值域求参数
例9
已知函数值域求参数的解题提示
（1）注意调整思维方向，根据值域的含义将参数问题转化为方程的解或不等式的解集问题.
（2）根据方程的解或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围.
解题归纳
训练题
D
［2020·四川阆中中学高一检测］ 函数f （x）＝x2-4x-6的定义域为［0，m］，值域为［-10，-6］，则m的取值范围是（　　）
A.［0，4］　　　B.［4，6］ C.［2，6］　　　　D.［2，4］
四　对应关系问题
例10
实验测得音速与气温的一些数据如下表所示：
气温x/℃ 0 5 10 15 20
音速y/（米/秒） 331 334 337 340 343
（1）根据表内数据作图，由图可看出变量　　　　随　　　　的变化而变化.
（2）用x表示y的关系式为　　　　.
（3）气温为22 ℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地相距约　　　　米.
在一次百米赛跑中，甲、乙两人的路程与时间的关系如图所示，那么可以知道：
（1）甲、乙两人中先到达终点的是　　　　.
（2）乙在这次赛跑中的速度为　　　　m/s.
训练题
甲
8
小结
函数的概念
理解函数的概念需注意：
（1）A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的.
（2）两个非空数集间的对应关系能否构成函数，主要看是否满足“三性”：任意性、存在性、唯一性.这是因为函数概念中明确要求对于非空数集A中的任意一个（任意性）元素x，在非空数集B中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y与之对应.这“三性”只要有一个不满足便不能构成函数.
（3）集合A是函数的定义域，因为给定A中每一个x值都有唯一的y值与之对应；集合B不一定是函数的值域，因为B中的元素可以没有与之对应者，即{f（x）|x∈A}B.
（4）在函数定义中，我们用符号y＝f（x）表示函数，而不是“f乘x”.
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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