北师大版数学九年级下册 第三章 圆 整章教案

第三章　圆
1　圆
1．理解圆的定义，掌握弦、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等基本概念．
2．掌握点和圆的三种位置关系，通过利用点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系判定点和圆的位置关系．
3．经历由生活现象揭示其数学本质的过程，培养抽象思维和归纳概括的能力．
重点
掌握点与圆的位置关系以及如何确定点与圆的3种位置关系．
难点
会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系．
一、情境导入
看下图的投圈游戏，投圈目标都是图中的花瓶．他们呈“一”字排开，你若是其中一员，想站在哪里？为什么？对其他同伴公平吗？你认为排成什么样的队形才公平？
二、探究新知
1．圆的相关概念
引导学生自学教材第65页的内容，提出问题：
(1)圆的定义是什么？
(2)圆心、半径、直径是如何规定的？
(3)弦、弧、半圆、等圆、等弧是如何规定的？
2．点与圆的位置关系
引导学生的练习本上用圆规画一个圆，提出问题：
(1)此圆把纸张分成了几部分？
(2)请你在每一部分中各找一点作为代表，写出点与圆的位置关系；
(3)设此圆的半径为r，请写出与位置关系相对应的数量关系．
归纳：点与圆的位置关系：
若点A在⊙O内 OA＜r；
若点A在⊙O上 OA＝r；
若点A在⊙O外 OA＞r.
三、举例分析
例　设AB＝3 cm，作图说明满足下列要求的图形：
(1)到点A和点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形；
(2)到点A和点B的距离都小于2 cm的所有点组成的图形；
(3)到点A的距离都小于2 cm，且到点B的距离都大于2 cm的所有点组成的图形．
解：(1)有两个点，如图①，C，D就是所求的点．
(2)有无数个点，如图②，阴影部分内的点，都符合．
(3)有无数个点，如图③，阴影部分内的点都符合．
四、练习巩固
1．与圆心的距离不大于半径的点的集合是(　　)
A．圆的外部　　　　　　　B．圆的内部
C．圆　　　　　　　 D．圆的内部和圆
2．以点O为圆心画圆，可以画____________个．
3．已知A，B两点的距离是3 cm.
(1)画半径为3 cm的圆，使它经过A，B两点并回答这样的圆能画几个？
(2)过A，B两点的所有圆中，是否存在最小圆和最大圆？若存在，请指出它们圆心的位置和半径的大小；若不存在，请简要说明理由．
五、课堂小结
1．易错点：
(1)大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示；小于半圆的弧叫做劣弧，用两个点表示；
(2)能够重合的两个圆叫做等圆；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
2．归纳小结：
(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆；
(2)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；
(3)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
3．方法规律：
圆O的半径为r，点到圆心的距离为d时，d与r的关系：
点在圆外 d>r；点在圆上 d＝r；点在圆内 d六、课外作业
1．教材第66页“随堂练习”第1、2题．
2．教材第68～69页习题3.1第1、2、3、4题．
本节课的设计总体思路清晰，对于圆及相关知识的概念理解较为深刻．通过对教材中圆的概念的阅读，让学生找出关键词，从而让学生理解圆的概念．对例题的分析，是本节课的一个难点，为分散难点，本节课用了小问题的形式进行，关注教学建模过程，抓住问题的本质：判断每一个点与圆的位置的关系．
2　圆的对称性
1．理解圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形．
2．利用圆的旋转不变性理解圆心角、弧、弦之间相等关系定理．
重点
探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．
难点
圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．
一、复习导入
1．圆的两要素是________、________，它们分别决定圆的________、________.
2．下列3种图形：①等边三角形；②平行四边形； ③矩形．既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(填序号)________．
二、探究新知
1．圆的对称性
课件出示教材第70页图3～7，提出问题：
(1)请同学们拿出准备好的圆形纸片，你知道圆有哪些基本性质吗？
(2)圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你是怎么得到的？
(3)圆是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心是什么？你是怎么得到的？
轴对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．
旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．
中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
2．探究圆心角、弧、弦之间的关系定理
精读教材第70页“做一做”，合作探究：根据圆的旋转不变性能够得到什么？
第一步：在等圆⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′(图①)；
第二步：将两圆重叠，并固定圆心(图②)，然后把其中一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合(图③)．
　　　图①　　　　　图②　　　图③
(1)通过操作，对比图①和图③，你能发现哪些等量关系？
(2)你得到这些等量关系的理由是什么？
(3)由此你能得到什么结论？
解：(1)＝，AB＝A′B′.
(2)理由：∵半径OA与O′A′重合，∠AOB＝∠A′O′B′，
∴半径OB与O′B′重合．
∵点A与点A′重合，点B与点B′重合，
∴ 与 重合，弦AB与弦A′B′重合．
即 ＝，AB＝A′B′.
(3)结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
3．探索圆心角、弧、弦之间的关系定理的逆定理
(1)在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，这两个圆心角相等吗？那么它们所对的弦相等吗？你是怎么想的？
结论1：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等．
(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么结论？
结论2：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的优弧相等、劣弧相等．
(3)如果不加“在同圆或等圆中”，该定理是否也成立呢？
(4)一条弦所对的弧有几条？
(5)上面的命题怎样叙述能够更准确？
(6)观察以上所得出的结论，你能将其总结为一条定理吗？
定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
三、举例分析
例　(课件出示教材第71页例题)
精读教材第71页例题思考如下问题：
(1)∠AOD和∠BOE的度数有什么数量关系？
(2)根据角的数量关系可以得到哪两条弧相等？
(3)根据已知条件如何转化弧的等量关系？
(4)根据弧之间的关系你能得到正确的结论吗？
(5)试着合作完成证明过程．
四、练习巩固
1．下列命题中，正确的是(　　)
A．圆只有一条对称轴
B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条
C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴
D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴
2．下列叙述不正确的是________(填序号)．
①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②圆有无数条对称轴，任何一条直径都是它的对称轴；③相等的弦所对的弧相等；④等弧所对的弦相等．
3．如图，在⊙O中，＝ ，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
五、课堂小结
1．易错点：
(1)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合；
(2)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线，“直径是圆的对称轴”的说法是错误的；
(3)圆中的圆心角、弧、弦之间的关系定理是以“同圆或等圆”为前提，定理中的“弧”一般指劣弧．
2．归纳小结：
(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；
(2)圆是中心对称图形，对称中心是圆心；
(3)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
3．方法规律：
(1)使用的方法有：叠合法、轴对称、旋转、推理证明等；
(2)圆具有旋转不变性；
(3)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
六、课外作业
1．教材第72页“随堂练习”第1、2、3题．
2．教材第72～73页习题3.2第1、2、3题．
本节课的教学策略是通过学生自己动手画图叠合、观察思考等操作活动，让学生亲身经历知识的发生、发展及其探索过程，在通过教师演示动态教具引导，让学生感受圆的旋转不变性，并得出圆心角、弧、弦三者之间的关系，能用这一关系定理，解决圆的计算、证明问题，同时注重培养学生的探索能力和逻辑推理能力，力求体验教学的生活性、趣味性．
3　垂径定理
1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．
2．运用垂径定理及其逆定理解决问题．
重点
利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．
难点
垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．
一、复习导入
1．等腰三角形是轴对称图形吗？
2．如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？
3．如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？
二、探究新知
1．垂径定理
课件出示：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.
(1)该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
(2)图中有哪些等量关系？
(3)你能给出几何证明吗？(写出已知、求证并证明)
解：(1)该图是轴对称图形，对称轴是直线CD.
(2)AM＝MB，＝，＝.
(3)已知：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为M.
求证：AM＝BM，＝，＝.
证明：连接OA，OB，则OA＝OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∵OA＝OB，OM＝OM，
∴Rt△OAM ≌ Rt△OBM.
∴AM＝BM.
∴点A和点B关于直线CD对称．
∵⊙O关于直线CD对称，
∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，
和重合， 和重合．
∴ ＝，＝.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
2．垂径定理的逆定理
课件出示：
如图，AB是⊙O 的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.
(1)下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
(2)图中有哪些等量关系？说一说你的理由．
(3)你能模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理吗？
(4)你能正确表述逆定理的内容吗？
(5)“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？
分析：条件：CD是直径；AM＝BM ；
结论(等量关系)：CD⊥AB；＝； ＝.
归纳得到垂径定理逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
三、举例分析
例1　如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是所在圆的圆心)，其中CD＝600 m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90 m．求这段弯路的半径．
引导学生思考如下问题：
(1)如何利用所学定理添加辅助线？
(2)这样添加辅助线的目的是什么？
(3)你想利用直角三角形的什么知识来解决问题？
(4)大家能合作完成求解过程吗？
解：连接OC.
设弯路的半径为R m，则OF＝(R－90 ) m.
∵OE⊥CD，
∴CF＝CD＝×600＝300(m)．
在Rt△OCF中，根据勾股定理，得 OC2＝CF2 ＋OF2，
即R2＝3002＋(R－90)2.
解这个方程，得R＝545.
所以，这段弯路的半径为545 m.
例2　已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
求证：AC＝BD.
问：(1)证明两条线段相等，最习惯用什么方法？
(2)在此用三角形全等怎么证明？
(3)用垂径定理怎样证明？
处理方式：教师引导学生共同解决问题．
四、练习巩固
1．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝2，AE＝3，则△ACB的面积为(　　)
A．3 　　　　B．5　　　　C．6　　　　D．8
2．在⊙O中，弦AB等于⊙O的半径，OC⊥AB交⊙O于点C，则∠AOC＝ ________°.
3．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，C，D是直线AB上两点，AC＝BD.求证：OC＝OD.
五、课堂小结
1．易错点：
(1)垂径定理中的两个条件缺一不可——直径(半径)，垂直于弦；
(2)垂径定理的逆定理中“不是直径”不可或缺，否则错误．
2．归纳小结：
(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；
(2)垂径定理的逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
3．方法规律：
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线、作垂直于弦的直径、连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件．
六、课外作业
1．教材第76页“随堂练习”第1、2题．
2．教材第76～77页习题3.3第1～4题．
垂径定理是中学数学中的一个很重要的定理，由于它涉及的条件、结论比较多，学生容易搞混淆，本节课采取了讲练结合、动手操作等教学方法，课前布置所有同学制作一张圆形纸片，课上利用此纸片探索、体验圆是轴对称图形，并进一步利用圆的轴对称性探究垂径定理，环环相扣、逐层深入，激发学生的学习兴趣，收到了很好的教学效果．
4　圆周角和圆心角的关系
第1课时　圆周角定理
1．理解圆周角的定义，掌握圆周角定理．
2．会熟练运用圆周角定理解决问题．
重点
圆周角定理及其应用．
难点
圆周角定理证明过程中的“分类讨论”思想的渗透．
一、复习导入
1．圆心角的定义是什么？
2．如图，圆心角∠AOB的度数和它所对的的度数有何关系？
3．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条________、两条________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
二、探究新知
1．圆周角的定义
引导学生自学教材第78页的相关内容，思考如下问题：
(1)我们已经知道，顶点在圆心的角叫圆心角，那当角顶点发生变化时，我们得到几种情况？
(2)图③中的∠BAC的顶点在什么位置？
(3)角的两边有什么特点？
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角．
2．圆周角定理
课件出示教材第78页图3－14，提出问题：
当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC.
(1)在图中，所对的圆周角有几个？
(2) 所对的圆心角和所对的圆周角之间有什么关系？
(3)你是通过什么方法得到的？
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
三、举例分析
例1　如图，∠AOB＝80°.
(1)你能画出几个 所对的圆周角吗？
(2)圆周角和圆心角有几种不同的位置关系？
(3)这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系？
(4)这几个圆周角的大小有什么关系？
(5)改变∠AOB的度数，上面的结论还成立吗？
(6)你能选择其中之一进行证明吗？
(7)大家通过合作探究还能解决其他两种情况吗？
解：如图①，∠ACB＝ ∠AOB . 理由：
∵ ∠AOB是△ACO的外角，
∴∠AOB＝∠ACO＋∠CAO.
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO.
∴∠AOB＝2∠ACO.
即∠ACB＝ ∠AOB.
例2　问题回顾：当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC.这三个角的大小有什么关系？
解：∠ABC＝∠ADC＝∠AEC.理由：连接AO，CO.
∵∠ABC＝∠AOC，∠ADC＝∠AOC，∠AEC＝ ∠AOC.
∴∠ABC＝∠ADC＝∠AEC.
圆周角定理推论：同弧或等弧所对的圆周角相等．
四、练习巩固
1．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，则∠BOD＝(　　)
A．20°　　　　B．40°　　　　C．50°　　　　 D．80°
第1题图
　　　第2题图
2.如图，在⊙O中，∠BOC＝50°，则∠BAC＝________°.
五、课堂小结
1．易错点：
(1)一条弦所对的圆周角有两种情况：优弧、劣弧分别对着不同的圆周角；
(2)圆上一条弧所对的圆周角能作出无数个；
(3)圆周角和圆心有三种位置关系．
2．归纳小结：
(1)圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角；
(2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；
(3)圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等．
3．方法规律：
(1)圆周角和圆心的位置关系只有三种：圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部；
(2)圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；
(3)同弧或等弧所对的圆周角相等．
六、课外作业
1．教材第80页“随堂练习”第1、2题．
2．教材第80～81页习题3.4第1、2、4题．
这节课的教学主线非常清晰，重点明确，就是让学生经历观察、操作、猜想、证明等一系列探索活动．从提出猜想到证明猜想的过程中，教师始终将探索发现的空间留给学生，所设计的问题由浅入深、循序渐进，学习任务从易到难，挑战性问题在逐步提高，这是一种能激发学生学习兴趣的设计．本节课不足之处在于定理的证明根据圆心与圆周角的位置关系分三种情况，虽然借助了几何画板动态演示了这一过程，但是为何要分类，教学中似乎显得有些生涩．第2课时　圆周角定理的推论
1．掌握圆周角定理的2个推论的内容．
2．理解圆的内接四边形、四边形的外接圆的概念．
3．会熟练运用圆周角定理的推论解决问题．
重点
圆周角定理的几个推论的应用．
难点
理解2个推论的“题设”和“结论”．
一、复习导入
1．圆周角是如何定义的？
2．圆周角定理是什么？
3．圆周角定理的推论1是什么？
二、探究新知
1．直径所对的圆周角是直角
课件出示：
如图，BC是⊙O的直径．
(1)直径BC所对的圆周角指的是哪个角？
(2)猜想它所对的圆周角有什么特点？
(3)请同学们用量角器实际测量，看看猜测是否准确；
(4)你能对自己的猜想给出证明吗？
解：直径BC所对的圆周角∠BAC＝90°.
理由：∵BC为直径，
∴∠BOC＝180°.
∴∠BAC＝ ∠BOC＝90°.
2．90°的圆周角所对的弦是直径
课件出示：
如图，圆周角∠BAC＝90°.
(1)∠BAC所对的弦指的是哪条线段？
(2)∠BAC所对的弦是直径吗？
(3)你是通过什么方法得到的？
解：弦BC是直径．
理由：连接OC，OB.
∵∠BAC＝90°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝180°.
∴B，O，C三点在同一直线上．
∴BC是⊙O的一条直径．
(4)从上面的学习，你能得出什么推论？
推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
3．圆内接四边形的对角互补
课件出示：
如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径．
(1)请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？
解：∠BAD与∠BCD互补．理由：
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，∠ADC＝90°.
∵∠ABC＋∠BCD＋∠ADC＋∠BAD＝360°，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°.
∴∠BAD与∠BCD互补．
(2)如图，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间的关系还成立吗？为什么？
解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立．理由：
连接OB，OD，
∵ ∠BAD＝∠2，∠BCD＝∠1，∠1＋∠2＝360°，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°.
∴∠BAD与∠BCD互补．
(3)两个四边形ABCD有什么共同的特点？
四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
(4)圆内接四边形的对角有什么关系？
推论3：圆内接四边形的对角互补．
三、举例分析
例　如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角.
(1)四边形ABCD是圆的什么四边形？
(2)∠A和∠BCD有什么数量关系？
(3)∠BCD和∠DCE有什么数量关系？
(4)这几个圆周角的大小有什么关系？
(5)∠A与∠DCE的大小有什么关系？为什么？
解：∠A＝∠DCE.理由：
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A＋∠BCD＝180°.
∵∠BCD＋∠DCE＝180°，
∴∠A＝∠DCE.
四、练习巩固
1．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为(　　)
A．35°　　　　 B．45°　　　　 C．55°　　　　 D．75°
2．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点(不与点A，B重合)，延长BD到点C，使DC＝BD，则△ABC的形状为____________．
3．如图所示，AD为△ABC外角∠CAE的平分线，交△ABC的外接圆于点D.求证：BD＝CD.
五、课堂小结
1．易错点：
(1)“直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径”这个推论由特殊到一般地证明；
(2)从复杂图形中找到符合要求且能利用推论的条件；
(3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．
2．归纳小结：
(1)直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；
(2)四个顶点都在圆上的四边形叫圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆；
(3)圆内接四边形的对角互补．
3．方法规律：
(1)解决问题应该经历“猜想—试验验证—严密证明”三个基本环节；
(2)从特殊到一般的研究方法，对特殊图形进行研究，从而改变特殊性，得出一般图形，总结一般规律．
六、课外作业
1．教材第83页“随堂练习”第1、2、3题．
2．教材第83～84页习题3.5第1～4题．
在本节课的教学中，我结合本节课教学内容、教学目标和学生的认知规律，在教学设计上，一是注重创设情境，激发学生学习的兴趣、主动性和求知欲望，为下一步教学的顺利展开开个好头；二是注重引导学生经历探索、验证、论证、应用数学新知的过程，鼓励学生用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习，使学生在数学活动中深刻地理解知识和掌握由特殊到一般的认知方法.5　确定圆的条件
1．了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法．
2．理解确定圆的条件及三角形的外接圆和外心的定义．
3．能确定一个圆形纸片的圆心．
重点
会作三角形的外接圆，理解三角形的外接圆、外心等概念．
难点
利用“确定圆的条件”的知识解决相关问题．
一、复习导入
1．经过一点你能画出几条直线？
2．经过两点你能画出几条直线？
3．已知线段AB，你会作线段AB的中垂线吗？
4．经过几点能确定一个圆？
二、探究新知
1．过一点作圆
作圆，使它经过已知点A.你能作出几个这样的圆？
引导学生思考：
(1)已知作圆的关键是确定圆心和半径，过已知点A的圆的圆心能是点A吗？为什么？
不能，因为点A在圆上．
(2)过已知点A的圆的圆心怎么确定？半径呢？
以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．
(3)同学们按照：先找到圆心，再确定半径，最后画圆的方法，尝试能作出多少个圆？
由于圆心是任意的．因此这样的圆心有无数个，从而过已知点A能作无数个圆．
2.过两点作圆
作圆，使它经过已知点A，B.
(1)你是如何作的？
(2)除此以外还有符合条件的圆吗？你能作出几个这样的圆？
能作出无数个符合条件的圆．
(3)你作出的圆的圆心的分布有什么特点？ 与线段AB有什么位置关系？为什么？
圆心到A，B的距离相等，圆心在线段AB的垂直平分线上．
(4)线段AB的垂直平分线上有多少个点？这些点都可以作为圆心吗？
线段AB的垂直平分线上有无数个点，这些点都可以作为圆心，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．
3.过不在同一直线上的三点作圆
作圆，使它经过已知点A，B，C(A，B，C三点不在同一条直线上)．
(1)要作一个圆经过A，B，C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到A，B，C三点的距离有何关系？
确定一个点使它到A，B，C三点的距离相等．
(2)到三角形三个顶点距离相等的点是三角形什么线的交点？
三角形三边的垂直平分线的交点，它就是圆心．
(3)这个交点就是圆心的理由是什么？
这个交点满足到A，B，C三点的距离相等．
(4)究竟应该怎样找圆心呢？
先作线段AB的垂直平分线，找到过A，B两点的圆的圆心；再作线段CB的垂直平分线，找到过C，B两点的圆的圆心，它们的交点就是要找的圆心．
作法 图示
1.连接AB，BC
2.分别作线段AB，BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O
3.以O为圆心，OA为半径作圆．⊙O就是所要求画的圆．
定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
(5)如果A，B，C三点在同一条直线上，你还能作出过A，B，C三点的圆吗？为什么？
不能，找不到圆心．原因是：线段AB的垂直平分线和线段BC的垂直平分线平行，没有交点．
三、举例分析
例　已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆．它们外心的位置有怎样的特点？
(1)锐角三角形的外心在三角形的什么位置？
(2)直角三角形的外心在三角形的什么位置？
(3)钝角三角形的外心在三角形的什么位置？
锐角三角形　　　直角三角形　　　钝角三角形
四、练习巩固
1．下列命题不正确的是(　　)
A．过一点能作无数个圆
B．过两点能作无数个圆
C．直径是圆中最长的弦
D．过已知三点一定能作圆
2．在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的外接圆的直径是________．
3．△ABC外接圆的面积是100π cm2，且外心到BC的距离是6 cm，求BC的长．
五、课堂小结
1．易错点：
(1)确定圆的条件一定注意“不在同一直线上”；
(2)三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；
(3)三角形的三个顶点确定的圆是三角形的外接圆．
2．归纳小结：
(1)不在同一直线上的三个点确定一个圆；
(2)三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
3．方法规律：
(1)锐角三角形的外心在三角形的内部；
(2)直角三角形的外心在斜边的中点；
(3)钝角三角形的外心在三角形的外部；
(4)“经过三点能否确定一个圆”培养学生分类讨论的数学思想．
六、课外作业
1．若一个三角形的外心在这个三角形的一边上，则这个三角形是(　　)
A．等边三角形 　　　　B．锐角三角形
C．直角三角形　　　　 D．钝角三角形
2．教材第87～88页习题3.6第1～4题．
本节课通过问题导入激发了学生的学习兴趣，通过探究题的设计，调动了学生学习的积极性、主动性，提高了课堂效率．本课堂首先充分调动了学生的积极性．不论从回答问题还是画图点评都比预想的结果好，碰到难题主动交流，小组合作非常默契．
6　直线和圆的位置关系
第1课时　直线和圆的位置关系及切线的性质
1．经历探索直线和圆位置关系的过程，理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系．
2．了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系．
重点
理解直线与圆的三种位置关系的定义，并能准确地判定．
难点
利用d与r的大小关系判断直线与圆的位置关系，运用切线的性质解决问题．
一、情境导入
1．点与圆的位置关系有哪几种？
2．观察下列三幅图片，地平线与太阳的位置关系是怎样的？ 这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种？
二、探究新知
1．直线和圆的位置关系
课件出示：
作一个圆，把直尺边缘看成一条直线，固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？
引导学生得出：
(1)直线和圆有两个交点，这时直线与圆相交；
(2)直线和圆有一个交点，这时直线与圆相切；
(3)直线和圆没有交点，这时直线与圆相离．
直线和圆有唯一公共点(即直线和圆相切)时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点．
2．根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系
课件出示：
圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r.
(1)d与r的大小有什么关系？
(2)你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗？
①直线和圆相交 d ＜ r；
②直线和圆相切 d ＝ r；
③直线和圆相离 d ＞ r.
判定直线与圆的位置关系的方法有两种：
(1)根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断；
(2)根据性质，由圆心到直线的距离d与半径r 的关系来判断．
3．圆的切线的性质
课件出示：
(1)下面的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它们的对称轴吗？
(2)如图，直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD有怎样的位置关系？说说你的理由．
解：直径AB垂直于直线CD.理由：
∵上图是轴对称图形，AB是对称轴，
∴沿直线AB对折图形时，AC与AD重合．
∴∠BAC＝∠BAD＝90°.
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
三、举例分析
例　已知Rt△ABC的斜边AB＝8 cm，直角边AC＝4 cm.
(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？
(2)以点C为圆心，分别以2 cm和4 cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？
解：(1)过点C作AB的垂线，垂足为D.
∵AC＝4 cm，AB＝8 cm，
∴cos A＝ ＝，
∴∠A＝60°.
∴CD＝ACsin A＝4sin 60°＝2 (cm)．
因此，当半径长为2 cm时，AB与⊙O相切．
(2)由(1)可知，圆心C到AB的距离d＝2 cm，所以，
当r＝2 cm时，d＞r，⊙C与AB相离；
当r＝4 cm时，d＜r，⊙C与AB相交．
四、练习巩固
1．若直线与⊙O至少有一个公共点，则此直线与⊙O的位置关系是 (　　)
A．相交或相切　　　B．相交或相离
C．相切或相离　　　D．以上三种情况都有可能
2．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于________．
3．已知：如图，PA切⊙O于A点，PO交⊙O于B点．PA＝15 cm，PB＝9 cm.求⊙O的半径．
五、课堂小结
1．易错点：
(1)d与r的关系与直线和圆的位置关系是互逆的；
(2)判断直线和圆的位置关系的方法有两种：根据定义中公共点的个数或根据d与r的关系．
2．归纳小结：
(1)直线和圆有三种位置关系：相交、相离、相切；
(2)d与r的大小关系：d＝r 相切；d>r 相离；d(3)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．
3．方法规律：
判断直线与圆的位置关系有两种方法：
(1)根据定义中公共点的个数；
(2)当dr时，直线与圆相离．
六、课外作业
1．教材第91页“随堂练习”第1、2题．
2．教材第91页习题3.7第1、2、3题．
在探索直线和圆位置关系所对应的数量关系时，先引导学生回顾点和圆的位置关系所对应的数量关系，启发学生运用类比的思想来思考问题、解决问题，学生很轻松地能够得出结论，从而突破本节课的难点，使学生充分理解位置关系与数量关系的相互转化．第2课时　切线的判定及三角形的内切圆
1．能判定一条直线是否为圆的切线．
2．会过圆上一点画圆的切线．
3．理解内切圆、内心的定义，会作三角形的内切圆．
重点
掌握圆的切线的判定方法及作三角形内切圆的方法．
难点
圆的切线的判定方法的理解与应用．
一、情境导入
同学们，请欣赏下面的两幅图片：
(1)当你在下雨天快速转动雨伞时，水飞出的方向是什么方向？
(2)砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？
二、探究新知
1．圆的切线的判定
课件出示：
如下图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角为∠α，当l绕点A旋转时，
(1)随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？
(2)直线l与⊙O的位置关系如何变化？
(3)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
圆的切线的判定：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．
2．过圆上一点，作圆的切线
课件出示教材第92页“做一做”：
已知⊙O上有一点A，过点A作出⊙O的切线．
解：(1)连接OA.
(2)过点A作OA的垂线l，l即为所求的切线．
三、举例分析
例　如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切．
(1)假设符合条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离有什么关系？
(2)那么圆心在这个三角形的什么位置上？
(3)半径是什么？
(4)和三角形三边都相切的圆可以作出几个？
引导学生得出作△ABC内切圆的步骤：
①作∠B，∠C的平分线BE和CF，交点为I.
②过点I作ID⊥BC，垂足为D.
③以I为圆心，以ID为半径作⊙I.⊙I就是所求的圆．
像这样和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点．
四、练习巩固
1．设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d需要满足的条件是(　　)
A．d＝3 　　　　　　　　　B．d≤3
C．d＜3 D．d＞3
2．如图，在△ABC中，∠A＝56°，点I是内心，则∠BIC＝ ________°
3．如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB.求证：AT是⊙O的切线．
五、课堂小结
1．易错点：
(1)切线的判定的两个条件“过半径外端”、“垂直于半径”两个条件缺一不可；
(2)作圆的切线．
2．归纳小结：
(1)切线的判定：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线；
(2)和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点．
3．方法规律：
证明切线的两种方法：
(1)连半径，证明垂直；
(2)作垂直，证明半径．
六、课外作业
1．教材第93页“随堂练习”第1、2题．
2．教材第93页习题3.8第1、2、3题．
本节课主要采用了归纳、演绎、类比的思想方法，从现实生活中抽象出数学模型，体现了数学来源于生活的思想，并且将新旧知识进行了类比、转化，充分发挥了学生的主观能动性，体现了学生是学习的主体，使学生真正成为学习的主人，转变了角色．教师的行为直接影响着学生的学习方式，要让学生真正成为学习的主人，积极参与课堂学习活动，因此在教学中让学生想象、观察、动手实践、发现内在的联系并利用类比归纳的方法探索规律，指导学生合作、研究并尝试用学到的知识解决实际问题．
本节课的重点在于培养学生的理解能力．在教学中，注重引导学生认真分析每个已知条件，由每个条件可以得到哪些信息，结合要证明的结论及信息之间的联系分析哪些信息有用，哪些没用．再理清思路，然后整理出来．
7　切线长定理
1．通过作图、观察图理解切线长的概念，体会切线与切线长的区别与联系．
2．经历探索切线长定理的过程，发展学生合情推理和演绎推理的能力．
3．应用切线长定理进行相关的计算和证明．
重点
理解切线长的定义．
难点
切线长定理的推导过程及运用．
一、复习导入
1．过⊙O上任一点A可以作几条切线？
2．过圆外一点可以画圆的几条切线？这几条切线之间又有什么关系呢？
二、探究新知
1．切线长定理
从⊙O外一点P引⊙O 的两条切线，切点分别为A，B，那么线段PA和PB之间有何关系？
(1)根据条件画出图形；
(2)度量线段PA和PB的长度；
(3)猜想：线段PA和PB之间的关系；
(4)寻找证明猜想的途径；
(5)在图中还能得出哪些结论？并把它们归类.
(6)上述各结论中，你想把哪个结论作为切线长的性质？请说明理由．
引导学生得出：过圆外一点画圆的切线，这一点和切点之间线段的长度叫做这点到圆的切线长．
证明：连接OA，OB，OP.
∵PA，PB与⊙O相切，
∴∠OAP＝∠OBP＝90.
∵ OA＝OB，OP＝OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP.
∴ PA＝PB.
切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．
切线长定理可拓展为过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
2．切线长定理的应用
课件出示：
如图，四边形ABCD的四条边都与⊙O相切，切点分别为E，F，G，H，由切线长定理你能发现哪些线段相等？
(1)由点A的切线可知________ ＝ ________.
(2)由点B的切线可知________ ＝________.
(3)由点C的切线可知________ ＝ ________.
(4)由点D的切线可知________ ＝ ________.
结论：AB＋CD＝AD＋BC，进而得出：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
三、举例分析
例　已知如图，Rt△ABC的两条直角边AC＝10，BC＝24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D，E，F，求⊙O 的半径．
(1)从图中可得出哪些结论？请说明理由．
(2)求⊙O 的半径时，应如何利用已知条件？
解：连接OD，OE，OF，则OD＝OE＝OF，设OD＝r.
在Rt△ABC中，AC＝10，BC＝24，
∴AB＝＝＝26.
∵⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BD＝BE，AD＝AF，CE＝CF.
又∵∠C＝90°，
∴四边形OECF为正方形．
∴CE＝CF＝r.
∴BE＝24－r，AF＝10－r.
∴AB＝BD＋AD＝BE＋AF＝24－r＋10－r ＝34－2r＝26.
∴r＝4，即⊙O的半径为4.
四、练习巩固
1．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点是A，B.如果OP＝4，PA＝2 ，那么∠AOB等于( 　　 )
A．90°　　　 B．100°　　　 C．110°　　　 D．120°
2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆的半径为________．
3．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，求⊙O的半径．
五、课堂小结
1．易错点：
(1)切线和切线长是两个不同的概念，切线是一条与圆相切的直线，不能度量；
(2)切线长是切线上一条线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
2．归纳小结：
(1)过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长；
(2)切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等；
(3)圆的外切四边形的两组对边的和相等．
3．方法规律：
(1)过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角；
(2)在解决有关圆的切线长问题时添加辅助线构建基本图形方法：①分别连接圆心和切点．②连接圆心和圆外一点．
六、课外作业
1．教材第95页“随堂练习”．
2．教材第96页习题3.9第1～4题．
在教学过程中，通过安排实践操作活动，使学生提高了探究的兴趣，首先教师突出操作要求，学生操作并思考回答问题，教师在学生回答问题的基础上进一步引导学生从中发现问题，让学生体会从具体情境和实践操作中发现问题、解决问题，通过设置问题情境，使学生提高解决问题的意识，通过自己画图尝试从中得到感性认识，进而不断地比较，让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰、从具体到抽象、从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确，使学生体会数学发展的过程．
8　圆内接正多边形
1．掌握正多边形和圆的关系．
2．理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念．
3．能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题．
4．能利用尺规作一个已知圆的内接正多边形．
重点
掌握正多边形的概念与正多边形和圆的关系，并能进行有关计算．
难点
正多边形的半径、边心距及边长的计算问题转化为解直角三角形的问题．
一、复习导入
1．什么叫正多边形？
2．正多边形是轴对称图形、中心对称图形吗？其对称轴有几条？对称中心是哪一点？
3．以对称中心为圆心，以对称中心到正多边形的一个顶点的长为半径画圆，你有何发现？
引导学生得出：
①正多边形的顶点都在圆上；
②圆经过正多边形的所有顶点．
二、探究新知
1．圆内接正多边形的概念
定义：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆．
(1)把一个圆n等分(n≥3 )，依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形．
(2)如图，五边形 ABCDE是⊙O的内接正五边形，圆心O叫做这个正五边形的中心； OA是这个正五边形的半径； ∠AOB是这个正五边形的中心角；OM⊥BC，垂足为 M，OM 是这个正五边形的边心距.
2．尺规作一个已知圆的内接正多边形
(1)用尺规作一个已知圆的内接正六边形．
作法：
①作⊙O的任意一条直径FC；
②分别以F，C为圆心，以⊙O的半径R为半径作弧，与⊙O相交于点E，A和D，B，则A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点；
③顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边形ABCDEF.
(2)用尺规作一个已知圆的内接正四边形．
(3)思考：作正多边形有哪些方法？
三、举例分析
例　如图，在圆内接正六边形 ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为 G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．
(1)正六边形的中心角是多少度？
(2)正六边形的中心角的一半是多少度？
(3)如何作出正六边形的边心距？
(4)你能利用已知条件构造直角三角形吗？
(5)你能利用解直角三角形的知识解决问题吗？
解：连接OD.
∵六边形ABCDEF 为正六边形．
∴ ∠COD＝＝60°.
∴ △COD为等边三角形．
∴ CD＝OC＝4.
在 Rt△COG中，OC＝4，CG＝BC＝2，
∴OG＝2.
∴正六边形ABCDEF的中心角为60°，边长为4，边心距为 2.
总结：正多边形的有关计算可转化为解直角三角形，这个直角三角形的构成是：斜边为半径，一直角边为边心距，另一直角边为边长的一半，顶点在中心的锐角为中心角的一半．
四、练习巩固
1．正三角形的边心距、半径和高的比是(　　)
A．1∶2∶3 　　 　　B．1∶ ∶
C．1∶ ∶3 　　　 D．1∶2∶
2．已知正六边形的外接圆半径为3 cm，那么它的周长为________cm.
3．已知：如图，正三角形ABC，求作：正三角形ABC的外接圆和内切圆．(要求：保留作图痕迹，不写作法)
五、课堂小结
1．易错点：
(1)求正多边形的中心角、边长和边心距；
(2)用尺规作圆内接正多边形．
2．归纳小结：
(1)正多边形的概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形；
(2)顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆；
(3)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3．方法规律：
(1)把一个圆分成几等分，连接各分点所得到的多边形是正多边形，它的中心角等于；
(2)正多边形的有关计算可转化为解直角三角形，这个直角三角形的构成是：斜边为半径，一直角边为边心距，另一直角边为边长的一半，顶点在中心的锐角为中心角的一半．
六、课外作业
1．教材第98页“随堂练习”．
2．教材第99页习题3.10第1、2、3、4、5题．
本节课新概念较多，对概念的教学要注意从“形”的角度去认识和辨析，但对概念的严格定义不能要求过高．在概念教学中，要重视运用启发式教学，让学生从“形”的特征获得对几何概念的直观认识，鼓励学生用自己的语言表达有关概念，再进一步准确理解有关概念的文字表述，促进学生主动学习．所以在教学的过程中应尽量使用多媒体教学手段.9　弧长及扇形的面积
1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力.
2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题，训练学生的教学应用能力．
重点
了解弧长及扇形面积计算公式，会用公式解决问题．
难点
探索弧长及扇形面积计算公式，并应用公式解决实际问题．
一、情境导入
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3 m的绳子，绳子的一端拴着一只狗.
(1)这只狗的最大活动区域有多大？这个区域的边缘长是多少？
(2)如果这只狗拴在夹角为120°的墙角，那么它的最大活动区域有多大？这个区域的边缘长是多少？
二、探究新知
1．探索弧长公式
课件出示：
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10 cm.
(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？
(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
结论：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝ .
2．探索扇形面积公式
(1)观察与思考：怎样的图形是扇形？
(2)扇形面积的大小到底和哪些因素有关呢？
(3)如何求扇形的面积？
①圆心角是1°的扇形面积是圆面积的多少？
②圆心角为 n°的扇形面积是圆面积的多少？
如果圆的半径为R，则圆的面积为πR2，1°的圆心角对应的扇形面积为，n°的圆心角对应的扇形面积为n· ＝ .因此扇形面积的计算公式为S＝ ，其中R为扇形的半径，n为圆心角．
3．扇形面积公式与弧长公式的关系
比较扇形的面积与弧长公式，你能用弧长表示扇形面积吗？
解：∵l＝ πR，S扇形＝ πR2，
∴ πR2＝ R· πR.
∴S扇形＝lR.
总结：若已知圆心角和半径，选择S扇形＝ πR2，若知道弧长和半径，选择S扇形＝ lR.
三、举例分析
例1　制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1 mm)．
(1)要求管道的展直长度首先需要解决什么问题？
(2)求管道的展直长度即求哪一段弧长？
(3)你能利用已知条件和弧长公式求解吗？
解：∵R＝40 mm，n＝110°.
∴弧AB的长l＝ πR＝ ×40π≈76.8 mm.
因此，管道的展直长度约为76.8 mm.
例2　扇形AOB的半径为12 cm，∠AOB＝120°，求的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1 cm2)．
(1)题目中给出了哪些已知条件？
(2)这些条件能直接应用于公式吗？
(3)你能利用已知条件和扇形面积公式求解吗？
解：的长l＝ π×12＝8π≈25.1(cm)．
S扇形＝ π×122＝48π≈150.7 (cm2)．
因此，的长约为25.1 cm，扇形AOB的面积约为150.7 (cm2)．
四、练习巩固
1．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为(　　)
A．6　　　B．9 　　　C．18 　　　D．36
2．如图，已知C，D是以 AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA＝2，∠COD＝120°，则图中阴影部分的面积等于________.
3.如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，以CD为直径作半圆O，AB＝4 cm，BC＝3 cm，AD＝13 cm.求图中阴影部分的面积．
五、课堂小结
1．易错点：
(1)在半径为R的圆中，1°的圆心角所对的弧长是；
(2)在半径为R的圆中，1°的圆心角所对应的扇形面积是 .
2．归纳小结：
(1)n°的圆心角所对的弧长公式l＝ ；
(2)n°的圆心角所对的扇形面积公式S＝ ；
(3)半径为R，弧长为l的扇形面积S＝ l R.
3．方法规律：
(1)弧长和扇形面积公式的关系：S＝ l R；
(2)在应用弧长公式、扇形的面积公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的．
六、课外作业
1．教材第101页“随堂练习”第1、2题．
2．教材第102页习题3.11第1、2、3、4题．
本节课教学弧长及扇形的面积．在教学中，结合学生的实际要求，用生活中的实际问题引入新课，调动了学生的兴趣．同时，教学过程中注意因材施教，根据学生的基础创设多姿多彩的问题情境，为每一个学生创造发挥自己才能的空间，让学生体验解决问题策略的多样性，发展学生的实践能力、合作探究能力、自主学习能力与创新精神．
综合与实践
⊙　　视力的变化
1．能够设计合理的调查方案，采取合适的方式，较快地统计出本班同学的视力情况．
2．能够对数据进行适当的整理，用合适的统计图表示本班同学的视力变化情况．
3．能够从统计数据的特征数据获取信息．
4．能够根据统计图推断合适的结论．
重点
收集数据，处理分析数据，提出适合的结论．
难点
处理分析数据．
一、情境引入
同学们，眼睛是我们心灵的窗户，在中学阶段，你的窗户“蒙城”了吗？你的视力是否随着年龄的增加而逐渐变差了呢？事实是怎样的呢？你能利用数学的知识来说明这个问题吗？
二、探究新知
同学们，没有调查就没有发言权，接下来，让我们通过一个调查活动来了解本班同学的视力变化情况．
1．确定调查对象
根据调查的问题，我们调查对象是本班同学的视力变化情况．
2．收集、汇总数据
(1)收集数据
师：请同学们设计一张表格来记录自己的视力情况，并注意以下问题：
①左眼、右眼的视力一般不一样，我们需要把它们分开记录吗？
②为了体现视力的变化情况，除了记录我们最近的视力情况，还应该记录上一年度的视力情况吗？
展示教材所给表格．
(2)汇总数据
①将学生分为三大组，进行数据汇总，看哪一组做得又快又好．
②将全班数据进行汇总．
3．整理、表示数据
同学们，从我们汇总得到的表格中，你能很快看出本班同学的视力变化情况吗？
为了能清晰、直观地看出同学们的视力变化情况，我们需要对数据进行处理．
对数据的处理，我们一般采用两种方式：
(1)用这组数据的特征数表示数据．
一组数据常见的特征数有平均数、中位数、众数、极差、方差．
请同学们分别计算出近期与上一年度左、右眼视力的平均数、中位数、众数、极差、方差．
请同学们计算近期与上一年度视力的不良率，进行比较(凡是视力在5.0以下的都算作视力不良)．
(2)用适当的统计图表示数据．
常见的统计图有扇形统计图、条形统计图、折线统计图．
请同学们选择一个你认为合适的统计图来表示我们所得到的数据．
注意：数据比较多，我们不可能将每个数据都表示在统计图上，所以我们首先应对数据进行分组统计，其实这也是对数据处理的一种方法．
　　人数 视力　　)
近期视力情况
左眼视力 右眼视力
,
上一年度视力情况
左眼视力,右眼视力
1．0及以下
1．0～3.0
3．0～4.0
4．0～4.5
4．5～5.5
5．0及以上　　接下来，请同学们根据数据画出统计图．
4．分析数据，得出结论
请同学们分析我们所得到的特征数据与统计图，你能得出一些什么样的结论？它与同学们开始的猜想一致吗？
三、练习巩固
若要了解全校范围内学生视力状况随年龄的变化趋势，你将如何进行统计活动？
四、课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
五、课外作业
教材第113页习题第1～3题．
“眼睛是心灵的窗户”，保护眼睛、科学用眼是每个人所必需的，又是中学生难以做到的，通过本次活动，可以让学生经历数据的收集、整理、描述与分析的过程，积累部分数学活动经验，加强保护眼睛．其活动的主要目的是让学生在具有一定挑战性的问题情境中经历多角度认识问题、多种形式表现问题、多种策略思考问题，并尝试解释不同的合理性，以发展学生的创新意识和实践能力，特别强调培养学生动手操作、主动探究的意识．
⊙　　哪种方式更合算
1．让学生初步体会如何评判在商场购物转转盘等事件是否“合算”，会利用加权平均数公式求平均收益. 体会概率与统计之间的联系．
2．在活动中发展学生的合作交流和数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣．
重点
通过具体问题情境，让学生会评判某件事情是否“合算”，并利用它对现实生活中的一些现象进行评判．
难点
理论地计算每转动一次转盘所获购物券金额的平均数．
一、情境导入
大家都知道电影《泰囧》创造了票房奇迹，导演是徐铮，在此之前，他就和王宝强成功出演了电影《人在囧途》里的两主角，里面有这么一个片段：(播放电影《人在囧途》中有关“买彩票中汽车”的视频片段)
(1)徐铮和王宝强中大奖的概率大吗？我们生活中还有哪些促销活动？
(2)你研究过各种奖项的可能性吗？你想知道每一次活动的平均收益吗？让我们一起去研究其中的奥秘吧！
二、探究新知
1．问题：
某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，凭购物券可以在商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元．转转盘和直接获得购物券，你更愿意选择哪种方式？
2．猜想：
生1：我认为转转盘很可能落空，还是直接获得10元购物券更保险．
生2：万一转盘转到有色区域，要比10元多很多，所以我认为还是转转盘更合算．
3．验证：
到底哪种方式更合算呢？我们还是用事实来说话，先做个游戏吧！
模拟顾客在商场购物后转转盘情形，与全班同学一起做转转盘游戏，做2轮，并记录结果如下：
100元 50元 20元 0元 总金额 平均收益
第一轮 2次 3次 4次 26次 430元 12.3元
第二轮 1次 6次 6次 22次 520元 14.9元
　　(1)要想获得更精确的结果，我们应该怎么办？(做大量重复试验)
做大量试验，需要很多时间，我们就把这一工作留到课下，各学习小组注意汇总．
(2)不用试验的方法，我们能不能从理论上计算一下，每转动一次转盘所获购物券金额的平均收益到底是多少呢？
由于转盘被平均分成了20份，红色区域有1份，所以指针指到红色区域(100元购物券)的概率是即5 %；同理，指针指到黄色区域(50元购物券)的概率是，即10 %；指针指到绿色区域(20元购物券)的概率是 ，即20 %.故由加权平均数公式得：每转动一次转盘所获购物券金额的平均收益是100×5 %＋50×10 %＋20×20 %＝14(元)．
(3)若将转盘改成下图情况，结果如何？
不变．因为各种颜色所占的比例没有改变，各自的概率也就没有改变，所以结果不变．
(4)若改成下图呢？
变了．因为红色和绿色的比例变了，结果应该是100×10 %＋50×10 %＋20×15 %＝18(元)．
(5)你能不能总结一下，平均收益与什么有关？怎样计算？
平均收益与各自所占比例(概率)有关，与是否分散或是否集中无关，要利用加权平均数公式进行计算．
(6)现在知道哪种方式更合算了吗？
对于刚才的问题，应该转转盘更合算．若换成其他问题，应该通过具体计算分析后再下结论．
三、举例分析
例　(课件出示教材第115页“做一做”)
解：对游戏者不利. 因为由题意知，颜色相同概率为，收益(＋1)元；颜色相异概率也是，收益(－1)元；指针指向“0”概率为 ，收益(－0.5)元．所以根据加权平均数公式得，游戏者每次平均收益为1× ＋(－1)× ＋(－0.5)×＝－(元)．
四、练习巩固
1．小明在游乐场看到别人正在玩一种游戏．玩这种游戏需要用一张票，游戏者掷两个塑料的圆柱形瓶子．如果两个瓶子都是底朝上站住的，游戏者可以得到10张票玩其他游戏．小明看别人玩了一会，并把结果记录在表格中．
两个都是边朝上 一个底朝上一个底朝下 两个都是底朝上
24次 14次 2次
　　(1)基于小明的记录结果，赢得游戏的概率是多少？
(2)基于上述概率，如果小明玩这个游戏20次，他可以赢多少次？
(3)小明玩40次后，他可能得到或者失去多少张票？说明理由．
2．在一次游戏活动中，组织者设立了一个抛硬币游戏．玩这个游戏需要四张票，每张票0.5元．一个游戏者抛两枚硬币，如果硬币落地后都是正面朝上，则游戏者得到一件奖品，每件奖品价值5元．组织者能从这个游戏中赢利吗？为什么？
五、课堂小结
通过今天的学习，你有什么收获？
六、课外作业
1．教材第115页“做一做”．
2．教材第116页习题．
本节课我打破了传统教学模式，采用放电影、玩游戏等活动，让学生在玩中轻松完成学习任务．这节课真正体现了从不同层次把探求知识与培养学生的情感、态度、价值观有机结合起来，注重了过程教学，是对新课程标准的具体实施．用收集资料，动手制作，动手做试验来解决问题，能够调动学生的积极性，在这个学习探索的过程中，注重了对学生情感的培养．以往在数学课上，教师较难与学生在情感上沟通，但在这节课上，学生与老师共同感受了数学的魅力，师生共同培养起了对数学的情感．
⊙　　设计遮阳篷
1．经历从实际问题抽象出数学问题―建立模型―综合应用已有的知识解决问题的过程，进一步丰富学生的空间观念和符号感．
2．通过借助已有的信息去推断事物变化趋势的活动，发展学生的推理能力．
重点
将生活中的遮阳篷抽象成几何图形，建立数学模型．
难点
从实际问题抽象出数学问题，综合应用已有的知识解决问题．
一、情境导入
同学们，每当炎炎夏日，我们想拥有清凉、舒适的生活，将阳光挡在户外，又要拥有明亮柔和的光线，更想与窗外的宜人风光面对面，有种东西能帮助我们做到，你们知道是什么吗？(展示生活中常见的遮阳篷图片)
(1)这些遮阳篷有什么不同？
(2)这么多的遮阳篷，它们的大小、形状、结构也不尽相同，请同学们想一想遮阳篷有什么作用？
遮阳篷的作用：夏天能最大限度地遮挡炎热的阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内．
(3)如果你来设计遮阳篷，你会关注哪些要素？
二、探究新知
如图①所示，假设某居民楼地处北半球某地，窗户朝南，窗户的高度为h cm，此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为α，最大夹角为β.请你为该窗户设计一个遮阳篷，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．
探究1：让冬天的阳光最大限度地照进来
把图①画成图②，某中AB表示窗户(AB＝h cm)，BCD表示直角形遮阳篷．
　　　
(1)当太阳光与地平面的夹角为α时，要想使太阳光刚好全部射入室内，遮阳篷BCD应该具备什么条件？请在图③中画出．
当太阳光与地平面的夹角为α时，要想使太阳光刚好全部射入室内，那么遮阳篷的边BD必须和太阳光平行，即BD边必须与地平面的夹角为α，又因为△BCD是直角三角形，CD平行于地平面，此时只要直角形遮阳篷∠BDC＝α，就能保证太阳光刚好全部射入室内．
思考：此时，BC，CD唯一吗？
BC和CD都不唯一．
探究2：最大限度地挡住夏天的阳光
(2)当太阳光与地平面的夹角为β时，要想使太阳光刚好不射入室内，遮阳篷BCD应如何设计？请在图④中画图表示，此时，BC唯一吗？CD呢？
阳光最多照到A处，此时CD边与水平面平行，故遮阳篷仍旧不唯一．BC和CD都不唯一．
探究3：在冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，在夏天又能最大限度地遮挡炎热的阳光
如果要同时满足(1)(2)两个条件，那么遮阳篷BCD应如何设计？画出示意图．
应过点B作夹角为α时光线的平行线，交过点A夹角为β时的光线于点D，作DC⊥AB延长线于点C，则遮阳篷BCD即为所求．
在Rt△BCD中，∠BDC＝α，则BC＝CDtan α①. 在Rt△ACD中，∠ ADC＝β，则AC＝h＋BC＝CD·tan β. ②把①代入②得h＋CDtan α＝CDtan β. ③解③得CD＝ .因此在Rt△BCD中 ，BC＝CD·tan α＝ .
三、举例分析
通过查阅了地理书籍，得到枣庄处于北纬34.52度．根据教材知识点枣庄冬至这一天正午时刻的太阳光与地平面的夹角约为35°，夏至这一天正午时刻的太阳光与地平面的夹角为81°，如图，设计一个直角遮阳篷 BCD，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，请求出CD和BC的长度．
学生代入公式计算即可．
四、练习巩固
1．如果要求遮阳篷的CD边为圆弧形(C，D同高)，那么还需要知道________，________才能进行设计．
2．如果要求遮阳篷的CD边为抛物线形，那么你还需要知道________才能进行设计．
3．如果要求遮阳篷的CD边可伸缩，那么你应如何设计？
五、课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些困惑？
六、课外作业
各小组根据自家实际情况，设计一遮阳篷制作方案，并绘出相应的草图，要求实用、美观，形式不限．
上这堂课前自己心里确实没有底，以前课题学习课很少上，所以课前查阅了大量的资料，到最后确定用这样的思路去展开教学，作为四大版块(数与代数、空间与图形、统计与概率、课题学习)之一的课题学习，不是定位在某一目标的具体认识，而是重在过程性学习．其活动的主要目的是让学生在具有一定挑战性的问题情境中经历多角度认识问题、多种形式表现问题、多种策略思考问题，并尝试解释不同的合理性，以发展学生的创新意识和实践能力，特别强调培养学生动手操作、主动探究的意识，当然这堂还存在很多不足，例如，让学生实际动手操作的东西少，留给学生思考的时间还是少，以后还要多努力．