人教版数学七年级下册 5.1.2垂线 课件（共23张PPT）

(共25张PPT)
5.1.2垂线
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当α =90°时,a与b垂直.
当b的位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.
当α ≠90°时,a与b不垂直，叫斜交.
两条直线相交
斜交
垂直
垂直是相交的特殊情况
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
例如、如图，a、b互相垂直,O叫垂足.a叫b的垂线，b也叫a的垂线。
b
a
O
一、垂直的定义
从垂直的定义可知，
判断两条直线互相垂直的关键：
只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角。
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
b
a
用“⊥”和直线字母表示垂直
O
α
2.垂直的表示：
例如、如图，a、b互相垂直, 垂足为O，则记为：
a⊥b或b⊥a,
若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.
A
B
C
D
O
书写形式：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O。
∵∠AOD=90°（已知）
∴AB⊥CD（垂直的定义）
书写形式：
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°。
3.垂直的书写形式：
∵ AB⊥CD （已知）
∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
应用垂直的定义：
∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
例1 如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠1=55°,求∠EOD的度数.
A
C
E
B
D
O
1
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义)
∴ ∠ EOD= ∠ EOB+ ∠ BOD
= 90 °+ 55 °=145 °
(
解:
∵ AB⊥OE （已知）
∵ ∠BOD= ∠1=55°（对顶角相等）
例题
练：如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于O，OB平分∠ DOF，∠DOE=50°,求∠AOC、 ∠ EOF、 ∠ COF的度数.
E
B
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义)
∴ ∠COF=∠COD－∠DOF=180°－80°=100°(邻补角定义)
解:
∵ AB⊥OE （已知）
∴ ∠AOC= ∠DOB=40°（对顶角相等）
A
C
D
O
F
∵ ∠DOE= 50° （已知）
∴ ∠DOB=40°(互余的定义)
又∵OB平分∠DOF
∴ ∠BOF= ∠DOB=40°（角平分线定义）
∴ ∠EOF= ∠EOB+ ∠BOF=90°+40°=130°
1.如图1，OA ⊥ＯB，OC ⊥OD， ∠AOD=4 ∠BOC，求∠BOC．（设元）
2.如图2， OA ⊥ＯC，OB⊥OD,∠AOB=150度，求∠COD。
3.如图3，点O在直线AB上，OC ⊥AB，过o作直线DE平分∠BOC，求∠AOE和∠COE.
A
D
C
B
o
图1
A
D
C
B
o
图2
A
E
C
D
B
图3
o
二、垂线的画法
问题：
怎么样画垂线？
1.垂线的画法：
问题：
这样画l的垂线可以画几条？
1放、
2靠、
3画、
l
O
如图，已知直线 l,作l的垂线。
工具：直尺、三角板
A
无数条
1.垂线的画法：
l
A
如图，作已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
B
4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
3移:移动三角板到已知点;
2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上;
则所画直线AB是过点A的直线l的垂线.
结论:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
能作一条,而且只能作一条.
问题:过已知直线 l 和l上(或外)的一点A ,作l的垂线,可以作几条
注意:
过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
E
E
E
注意:画线段(或射线)的垂线时,有时要将线段延长(或将射线反向延长)后再画垂线.
练习：
1、如图，分别过A、B、C作BC、AC、AB的垂线。
A
B
C
2、如图，过P分别作OA、OB的垂线。
O
A
B
P
D
E
F
M
N
解：如图、AD⊥BC于D、BE⊥AC于E、CF⊥AB于F
解：如图、PM⊥OA于M、PN⊥OB于N
此问题就是“直线外一点与已知直线上各点所连的线段中,有没有最短的线段 ”
P
三、垂线段
结论:
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
简单说成: 垂线段最短.
垂线段的概念：
由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫做垂线段。
P
l
A
要找垂线段， 先把点来看。 过点画垂线， 点足垂线段。
例如：如图，PA⊥l于点A ，线段PA叫做点P到直线l的垂线段.
点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
P
l
A
例如：如图，PA⊥l于点A ，垂线段PA的长度叫做点P到直线l的距离.
例：如图，是一个同学跳远的位置跳远成绩怎么表示
l
P
A
解:过P点作PA⊥l于点A ，垂线段PA的长度就是该同学的跳远成绩.
回顾：两点距离、点到线的距离
书本习题。
1、选择题：
2.如图, AC⊥BC, ∠C=900 ,线段AC、BC、CD中最短的是( )
(A) AC (B) BC (C) CD (D) 不能确定
1、已知点A，与点A的距离是5cm的直线可画( )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条
D
A
B
C
D
C
3.直线I上有ABC三点，直线I外有一点，且PA=2,PB=3，PC=5,那么P到直线I的距离（　　　）
Ａ等于2　B小于2　C小于或等于2　
Ｄ大于2且小于3
4.如图所示，何大伯从A处牵牛到河边I处饮水，应沿怎么的路线最近？
I
Ａ
。
5.A为村庄，B为自来水公司，把水输送到自来水公司处理后，再送到A,如何设计路线会最短？
.B
.A
总结
1.垂线性质:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
2.由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫做垂线段。
3垂线段性质:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
简单说成: 垂线段最短.
4.点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。