广东省2021年普通高中学业水平考试数学科合格性考试模拟试题（六）（PDF含答案）

2021 年广东省普通高中学业水平考试
数学科合格性考试模拟试题(六)
（考试时间为 90 分钟，试卷满分为 150 分）
一、选择题：本大题共 15 个小题,每小题 6分，共 90 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的．
1
1．下列函数中，与函数 y 定义域相同的函数为（ ）
x
1
A． y B． y x C． y 2x D． y ln x
x
2.已知全集U {x Z |1 x 6}， A={2,3,4}， B = {1,3,5}，则 U A B （ ）
A．{1,5} B．{1,5,6} C．{3,6} D．{3,4,5}
3.袋中装有白球 3个，黑球 4 个，从中任取 3个，下列事件是对立事件的为（ ）
A．恰好一个白球和全是白球 B．至少有一个白球和全是黑球
C．至少有一个白球和至少有 2 个白球 D．至少有一个白球和至少有一个黑球
4．从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。 由
图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为（ ）
频率/组距
A．20 B．25 C．30 D．35 0.0a35
5．在等比数列 an 中, 若 a 0.0203a6 9, a2a4a5 27 , 则 a2 的值为（ ）
0.010
A.2 B.3 C. 4 D.9 0.005 身高
6.下列计算正确的是( ) 100 110 120 130 140 150
2
A． m n m n B． log2 3 log2 5 log2 15
2
210 29 29 125 3 25C． D．
27 9

7.已知向量 a 2,1 ,b 1,k ，若 a // 2a b ，则 k等于（ ）
1 1
A． 12 B．12 C． D．
2 2
8．已知偶函数 f (x) 在 10, 单调递减，则使得 f (2x ) > f(- )成立的 x的取值范围是（ ）2
A． ( 1,1) B． ( , 1) C． (1, ) D． ( , )
9. 圆C1 ： x
2
1 y2 1 2与圆C2 ： x y 2
2 4的位置关系是
1
A．相交 B．相离 C．外切 D．内切
1
10.在 ABC中，D为 BC的中点，点 E满足 AE ED，则 AE （ ）3
1 1 1 1 1 1 1
A． AB AC AB AC AB AC AB 1 B． C． D． AC
6 6 6 8 8 8 8 6
11．已知m,n是两条不同直线， ， ， 是三个不同平面，下列命题中正确的有（ ）
A．若m‖ ，n‖ ，则m‖n B．若 ， ，则 ‖
C．若m‖ ，m‖ ，则 ‖ D．若m ，n ，则m‖n
2x , x 0, 7
12．函数 f (x) 则 f f （ ）
sin x, x 0,

6
2 1
A． B． 2 C． 22 D．2
13．函数 f (x) cos x 的图像向左平移 个单位，得到函数 g(x)的图像，则下列说法正确的是（ ）
2
A． g(x) 的最小正周期为 B． g(x) 是偶函数
C． g(x) 的图像关于点 ( ,0)对称 D． g(x) 在区间[0, ]上是减函数
2 2
14．下列关系式中，成立的是（ ）
log 4 1
0 0

A． 3 log 10 log 10
1
B．
5 1 1 5
log3 4
3 3
0 0
C． log 4 log 10 1 3 1 D． log1 10 log 4
1
3

5 3 3 5
x 2 0

15．已知 x、 y满足约束条件 y 1 0 ，则 z x y的取值范围为（ ）

x 2y 2 0
A． 2, 1 B． 2,1 C． 1,2 D． 1,2
二、填空题：本大题共 4个小题，每小题 6分，共 24 分．把答案填在题中的横线上．
log2 3
16．计算： 2 lg 5 lg 20 ．
9
17．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为 ，则这个正方体的体积为 ．
2
18．甲、乙等 5 人在微信群中每人抢到一个红包，金额为四个1元，一个5元，则甲、乙抢到的红包金额
不相等的概率为 ．
2
19．已知圆C的圆心是直线 x y 1 0 与直线 x y 1 0的交点，直线3x 4y 11 0与圆C相交于
A,B两点，且 | AB | 6，则圆C的标准方程为______________．
三、解答题：本大题共 3个小题，每小题 12 分，共 36 分．解答应写出文字说明、证明过程
或演算过程．
20.（本小题满分 12 分）
已知 ABC的三个顶点是 A(0,3) ， B(2,1) ，C( 1,m)．
（1）求边 AB的垂直平分线方程；
（2）若 ABC的面积为8，求实数m的值.
21.（本小题满分 12 分）
2
在△ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别是 a,b,c，已知 a 2,c 2,cos A ．
4
（1）求 sinC 和 b的值；
（2）求 cos
2A 3 的值.
3
22.（本小题满分 12 分）
如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧棱CC1 底面 ABC， AB AC，D，E，F 分别为棱 AA1 ，
BB1 ， BC的中点．
（1）求证： BC1 AF ；
（2）若 AB 2 ， BC CC1 2 2 ，求三棱锥D AEF 的体积；
（3）判断直线CD与平面 AEF 的位置关系，并说明理由.
4
2021 年广东省普通高中学业水平考试
数学科合格性考试模拟试题(六)
参考答案和评分标准
一、选择题 本大题共 15 小题，每小题 6 分，共 90 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
答案 D A B C B C C B A C D A D A C
二、填空题 本大题共 4小题，每小题 6分，满分 24 分．
16． 4 17．3 3 2 2 218． 19． x (y 1) 18
5
三、解答题 本题共 3 小题共 36 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．
20．（本小题满分 12 分）
解：（1） A(0,3)，B(2,1)
线段 AB的中点坐标为（1, 2）
记边 AB的垂直平分线为 l，则 kAB kl 1
3 1
kl 1，得 kl =10 2
线段 AB的垂直平分线 l的方程为 y 2 1 (x 1) ，
即 x y 1 0 .
（2） AB (2 0)2 (3 1)2 2 2
直线 lAB : y 1 1 (x 2) ，即 x y 3 0
1 m 3 m 4
设点C到直线 l的距离为 d ，则 d ，
12 12 2
1 1 m 4
S AB d 2 2 8，
2 2 2
|m 4 | 8
∴m 12或 4.
5
21.(本小题满分 12 分)
解：（1）在△ABC 中， ………1’
a c
由 得
sin A sinC
14
sinC csin A
2
4 7 ………3’
a 2 4
a 2 b2 c 2 2bccos A
22 b2 2 2 2b 2 2
4 ………5’
解得 ……………6’

(2) cos 2A

cos2Acos

sin2Asin
3 3 3
1
cos2A 3 sin2A.................7 '
2 2
又

所以，cos 1 3 3 7 2A i i ................11' 3 2 4 2 4
3 21
.............12 '
8
22．（本小题满分 12 分）
证明：（1） CC1 平面 ABC，AF 平面 ABC，
CC1 AF ，
AB AC，F 点为 BC的中点，
6
AF BC
又 CC1 BC C，CC1,BC 面 BCC1B1
AF 平面 BCC1B1
又 BC1 平面 BCC1B1
AF BC1 ，即 BC1 AF
（2） AB AC 2,BC 2 2 ，故 AB2 AC2 BC2 ，
AB AC
三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧棱CC1 底面 ABC，
AA1 平面 ABC
AC 平面 ABC , AA1 AC
又 AA1 AB A AC 平面 ABB1A1
即 AC为三棱锥C ADE的高
V 1 1 1D AEF VF ADE VC ADE S ADE AC2 2 3
1 1
(1 2 2) 2 2
2 3 2 3
（3）CD / / 平面 AEF ，证明如下：
连接DE,DB，记DB与 AE相交于点G ,连接 FG
D、E分别为 AA1 和 BB1 的中点，
故DA BE,DA / /BE
四边形 ABED为平行四边形
G为 BD中点，
又 F为 BC中点， CD / /FG
又 CD 平面 AEF ，FG 平面 AEF ，
CD / / 平面 AEF
7