广东省2021年普通高中学业水平考试数学科合格性考试模拟试题（四）（PDF版含答案）

2021 年广东省普通高中学业水平考试
数学科合格性考试模拟试题(四)
（考试时间为 90分钟，试卷满分为 150分）
一、选择题：本大题共 15 个小题,每小题 6分，共 90 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的．
1．设集合 A 0,1,2,3,4 ,B x 1 x 4 ，则 A B
A． 1,2,3,4 B． 2,3,4 C． 2,4 D． x 1 x 4
1
2．函数 y 的定义域为
x 1
A． , 1 B． , 1 C． 1, D． 1,

3．已知向量 a (1, 2)，b (x, 4)，若 a⊥b，则实数 x的值为
A．8 B． 2 C． 2 D． 8
4.已知 cos 4 ， 是第四象限角，则 sin(2 )
5
3 4 3 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
5．某大学有 A、B、C 三个不同的校区，其中 A 校区有 4000 人，B 校区有 3000 人，C 校区有 2000 人，采
用按校区分层抽样的方法，从中抽取 900 人参加一项活动，则 A、B、C 校区分别抽取
A. 400 人、300 人、200 人 B. 350 人、300 人、250 人
C. 250 人、300 人、350 人 D. 200 人、300 人、400 人
6．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
A．12 32 B． C． D．
3
7．某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分的茎叶图如右图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是：
A．91.5和91.5 B．91.5和92
C．91和91.5 D．92和92
8．已知 log2 a log2 b，则下列不等式一定成立的是
1 1 a b
A． B． log a b 0 1 1 2a bC． D． 1
a b 2 3 2
1
9．过点 P(2, 4)作圆C : (x 1)2 (y 2)2 5的切线，则切线方程为
A． 3x y 0 B． 2x y 0 C． x 2y 10 0 D． x 2y 8 0
10．已知两直线 x 2y 0和 x y 3 0 的交点为 M， 则以点 M为圆心，半径长为 1 的圆的方程是
2
A． (x 1) (y 2)2 1 2B． (x 1) (y 2)2 1
(x 2)2 (y 1)2 1 2C． D． (x 2) (y 1)2 1

11.已知 a 3 2 ， b 6，且 a b 与 a a 垂直，则 与b 的夹角是
A．30 B．90 C．45 D．135
12．已知正项等差数列{an}中， a1 a2 a3 15，若 a1 2,a2 5,a3 13成等比数列，则 a10
A．19 B． 20 C． 21 D． 22
13．已知m,n表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是
A．若m / / ,n / / ,则m / /n B．若m ， n ，则m n
C．若m ，m n，则 n / / D．若m / / ，m n，则 n
y≥ x
14.设变量 x， y 满足约束条件 x 2y≤2，则 z x 3y 的最大值为

x≥ 2
A． 4 B．4 C．3 D． 3
15.已知函数 f (x)是定义在 R上的奇函数，当 x 0时， f (x) x log2 (x 1)，则 f ( 1)
A．1 B． 1 C． 2 D． 2
二、填空题：本大题共 4个小题，每小题 6分，共 24 分．把答案填在题中的横线上．
16.如果直线 x 2y 5 0与直线 2x my 6 0垂直，则m ___________.
cos sin
17.已知 3，则 tan( ) = .
cos sin 4
18.在{1，3，5}和{0，2，4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被 5 整除的概率
是 .
19.广铁集团针对春运客流量进行数据整理,调查广州南站从2月4 日
到2月8日的客流量,根据所得数据画出了五天中每日客流量的频率分
布图如图3 所示.为了更详细的分析不同时间的客流人群,按日期用
分层抽样的方法抽样,若从2月7日这个日期抽取了40人,则一共抽取
的人数为________.
2
三、解答题：本大题共 3个小题，每小题 12 分，共 36 分．解答应写出文字说明、证明过程
或演算过程．
20.某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水 60 吨，同时蓄水池又向居民小区不
间断供水， t小时内供水总量为120 6t 吨（0 t 24），从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量
最少？最少水量是多少吨？
21.如图，已知正方形 ABCD和矩形 ACEF所在的平面互相垂直， AB 2，AF 1，M是线段 EF 的
中点.
（1）求证： AM ∥平面 BDE；
（2）求证： AM 平面 BDF ；
（3）求三棱锥 A BDF 的体积.
3

22.在△ABC 中， AC 4 2， C ，点 D在 BC 上， cos ADC 1 .
6 3
（1）求 AD 的长；
（2）若△ABD 的面积为 2 2，求 AB 的长；
4
2021 年广东省普通高中学业水平考试
数学科合格性考试模拟试题(四)
参考答案和评分标准
一、选择题 本大题共 15 小题，每小题 6 分，共 90 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
答案 B D D A A A A C C D D C B B C
二、填空题 本大题共 4小题，每小题 6分，满分 24 分．
1
16．1 17．3 18． 3 19．200
三、解答题 本题共 3 小题共 36 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．
20．（本小题满分 12 分）
解：设 t小时后蓄水池中的水量为 y吨，
则 y 400 60t 120 6t （0 t 24）…………………………………4分
令 6t x x2＝ ，即 6t ，且 x [0,12] ……………………………………6分
即 y 400 10x 2 120x 10(x 6)2 40, ………………………………8 分
∴ 当 x 6 0,12 ，即 t 6时， ymin 40，……………………………10 分
答：从供水开始到第 6 小时时，蓄水池水量最少，只有 40 吨 ……………12 分
21．（本小题满分 12 分）
解：
（1） EM ∥AM 且 EM=AM --------------1 分
∴ AMEN ∴AM∥EN ------------------2 分
又因为 EN 平面 BDE 且 AM 平面 BDE ---------------------3 分
∴AE∥平面 BDE． ------------------------------------------4 分
（2）设 AC与BD交于O点，连OF ,OM
在矩形 ACEF 中四边形, AB 2， AF 1
所以， AOMF为正方形，,故 AM OF ---------------------6 分
5
又正方形 ABCD和矩形 ACEF所在的平面互相垂直，且交线为 AC
在正方形 ABCD中，故 AC BD
由面面垂直的性质定理， BD 面ACEF -
又 AM 面ACEF
所以 BD AM -------------------------------------- --------------------8 分
又 BD OF O ,故 AM 平面 BDF ---------------------9 分
(3)由面面垂直的性质定理可知， AF 平面 ABCD
所以， AF 是三棱锥 F ABD的高
V V 1 1 1 1所以， A BDF F ABD S3 ABD
AF ( 2 2) 1
3 2 3
22.(本小题满分 12 分)
1
解：（1）∵ cos ADC ,且0 ADC
3
∴ sin ADC 1 1 ( ) 2 2 2 ，----------------------------------------------------------------2 分
3 3
AD AC AC sin C 1 3
正弦定理有 ，得 AD 4 2 3；-----5 分
sin C sin ADC sin ADC 2 2 2
（2）∵ sin ADB sin( ADC) sin 2 2 ADC ， -----------------------------------6分
3
S 1 ABD AD BD sin ADB 2BD ，2
∴ 2BD 2 2 ，得 BD 2，-------------------------------------------------------------------8 分
1
又∵ cos ADB cos( ADC) cos ADC ，----------------------------------9 分
3
2 2 2 1
由余弦定理得 AB 3 2 2 3 2 9 ，
3
∴ AB 3．-------------------------------------------------------------------------------------------12 分
6