广东省2021年普通高中学业水平考试数学科合格性考试模拟试题（五）（PDF版含答案）

2021 年广东省普通高中学业水平考试
数学科合格性考试模拟试题(五)
（考试时间为 90分钟，试卷满分为 150分）
一、选择题：本大题共 15 个小题,每小题 6分，共 90 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合 A x y lg x 3 ， B x x 2 ，则 A B
A. ( 3,2] B. ( 3, ) C.[2, ) D.[ 3, )

2．若向量 BA (1, 2), CA (4,5),则BC
A. (5,7) B. ( 3, 3) C. (3,3) D. ( 5, 7)
3．平面向量a (1 , 2)，b ( 2 , n)，若a // b ，则 n等于
A． 4 B． 4 C． 1 D．2
4．下列函数在定义域内为奇函数的是
1
A. y x B. y x sin x C. y x 1 D. y cos x
x
1
5．下列各式中，值为 的是
2
A．sin150 cos150 2 2 B． cos sin
12 12
0
C．cos120 sin420 sin120 cos420 2 tan22.5D．
1 tan2 22.50
lg x 1
f (x) 6．函数 的定义域是
x 2
A． 1, B． 1,2 2, C． ,2 2, D． 1,2 2,
7.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半
以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙,各将公
等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有
（ ）钱
A. 28 B. 32 C. 56 D. 70
1
8.如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形，俯视图是半径为 1
的半圆，则该几何体的体积是
4 3 3
A. B.
3 3
3 1
C. D.
6 2
9．已知m,n是两条不同直线， , , 是三个不同平面，下列命题中正确的是
A. 若m‖ ,n‖ ,则m‖n B. 若 , ,则 ‖
C. 若m‖ ,m‖ ,则 ‖ D. 若m ,n ,则m‖n
10．已知某路口最高限速50km / h，电子监控测得连续6辆汽车的速 3 8
4
度如图 1 的茎叶图（单位： km / h）．若从中任取 2辆， 4 1 3 6
5 5 8
则恰好有1辆汽车超速的概率为 （图 1）
4 2 8 3
A. B. C. D.
15 5 15 5
11．直线 l 过点 ，且与直线 垂直，则 l 的方程是
A. B. C. D.
12．圆心为 1,1 且过原点的圆的方程是
x 1 2 y 1 2 1 x 1 2A． B． y 1 2 1
C． x 1 2 y 1 2 2 D． x 1 2 y 1 2 2
13．用二分法求函数 f x ln 2x 6 2 3x 零点时,用计算器得到下表：
x 1.00 1.25 1.375 1.50
f x 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989
则由表中数据,可得到函数的一个零点的近似值（精确度为 0.1）为
A. 1.125 B. 1.3125 C. 1.4375 D. 1.46875
14．已知 a,b R ，且ab 0，则下列结论恒成立的是
A． a b 2 ab B．a2 b2 2ab
a b a b
C． 2 D． 2
b a b a
2
15．如图，测量河对岸的塔高 AB时，可以选与塔底 B在 同一水平面内的两
个测点C与D .测得 BCD 150， BDC 300，CD 30米，并在点C
0
测得塔顶 A的仰角为60 ,则塔高 AB=
A.15 6 B. 12 3 C.16 2 D.10 2
二、填空题：本大题共 4个小题，每小题 6分，共 24 分．把答案填在题中的横线上．
S
16. 设 Sn为等比数列{an}的前 n项和，8a2 a5 0，则 5 ．S2
17．函数 y 3 sin x sin(x ) 的最小正周期是 ___________.
2
18．袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有“2”，“3”，“4”，“6”这四个数，现从中随机选取三
个球，则所选的三个球上的数不能构成等差数列的概率是 .
19．已知圆C经过点 A(0,3)和 B(3,2) ,且圆心C在直线 y x上,则圆C的方程为 .
三、解答题：本大题共 3个小题，每小题 12 分，共 36 分．解答应写出文字说明、证明过程
或演算过程．
20.从某次知识竞赛中随机抽取 100 名考生的成绩， 频率
绘制成如图所示的频率分布直方图，分数落在 组距0.030
区间 55,65 ， 65,75 ， 75,85 内的频率之
比为 4:2:1． 0.019
（Ⅰ）求这些分数落在区间 55,65 内的频率； 0.012
（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间 45,75 内抽取 0.004
一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体， 0 15 25 35 45 55 65 75 85 质量指标值
从中任意抽取 2 个分数，求这 2 个分数都在区间 55,75 内的概率．
3
21.如图，在三棱锥 P ABC中，△PAB 和△CAB 都是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，D、E、F 分别是 PC、
AC、BC 的中点。．
(1) 证明：平面DEF //平面 PAB；
(2) 证明： AB PC；
(3) 若 AB 2PC 2，求三棱锥 P ABC的体积．
urur rr ur r
22. 已知向量 m 22ssininxx,1,1 ，,,nn ssininxx 33ccoossxx,, 33 ,,xx RR，,,函数 f (x) m· nn + 22.
（1）求函数 f (x)的最小正周期；
（2）设锐．角． ABC内角 A，B，C所对的边分别为 a,b,c,若 f (A) 2, a 7,b 3，求角 A和边 c的值．
4
2021 年广东省普通高中学业水平考试
数学科合格性考试模拟试题(五)
参考答案和评分标准
一、选择题 本大题共 15 小题，每小题 6 分，共 90 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
答案 C B A D C B B C D C C D B D A
二、填空题 本大题共 4小题，每小题 6分，满分 24 分．
1 2
16． 11 17． 2 18． 19． x 1 y 1 2 5
2
三、解答题 本题共 3 小题共 36 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．
20．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）设区间 75,85 内的频率为 x，
则区间 55,65 ， 65,75 内的频率分别为 4x和 2x．…………………………1 分
依题意得 0.004 0.012 0.019 0.030 10 4 x 2 x x 1，……………3 分
解得 x 0.05．所以区间 55,65 内的频率为 0.2．………4 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，区间 45,55 ， 55,65 ， 65,75 内的频率依次为0.3，0.2，0.1．
用分层抽样的方法在区间 45,75 内抽取一个容量为 6 的样本，
则在区间 45,55 0.3内应抽取6 3件，记为 A， A ， A ．
0.3 0.2 0.1 1 2 3
在区间 55,65 0.2内应抽取6 2件，记为 B1， B ．0.3 0.2 0.1 2
在区间 65,75 6 0.1内应抽取 1件，记为C．…………………6 分
0.3 0.2 0.1
设“从样本中任意抽取 2 件产品，这 2 件产品都在区间 55,75 内”为事件 M，
则所有的基本事件有： A1, A2 ， A1, A3 ， A1,B1 ， A1,B2 ， A1,C ， A2 , A3 ，
A2 ,B1 ， A2 ,B2 ， A2 ,C ， A3 ,B1 ， A3 ,B2 ， A3 ,C ， B1,B2 ， B1,C ， B2 ,C ，共
15 种．…………………………………………………………………8 分
事件 M 包含的基本事件有： B1,B2 ， B1,C ， B2 ,C ，共 3 种．…………10 分
3 1
所以这 2 件产品都在区间 55,75 内的概率为 ．……12 分
15 5
5
21．（本小题满分 12 分）
解：
（1）证明：∵ E、F 分别是 AC、BC 的中点，
∴ EF / /AB . …………………………………………………1分
∵ AB 平面PAB , EF 平面PAB ,
∴ EF / /平面PAB ,同理DF / /平面PAB .…………………………………………2分
∵ EF DF F且EF 平面DEF , DF 平面DEF , ……………………3 分
∴ 平面DEF / /平面PAB . …………………………………………4 分
（2）证明：取 AB的中点G，连结 PG、CG，
∵ △ PAB和△CAB都是以 AB为斜边的等腰直角三角形，
∴ PG AB ,CG AB ,
∵ PG CG G ,且PG 平面PCG ,CG 平面PCG,
∴ AB 平面PCG .……………………………………6 分
∵ PC 平面PCG ,
∴ AB PC . …………………………8 分
（3）解：在等腰直角三角形 PAB中， AB 2 ，G是斜边 AB的中点，
PG 1 AB 2∴ ,
2 2
2
同理CG 。 ……………………………………9 分
2
∵ PC 2 ,
2
∴ △ PCG是等边三角形，
S 1∴ PCG PG CG sin 60
1 2 2 3 3
. …………10 分
2 2 2 2 2 8
∵ AB 平面PCG ,
V 1 1∴ P ABC AB S PCG 2
3 6
. …………………………12 分
3 3 8 24
6
22.(本小题满分 12 分)
ur r
解：（1） f (x) m· n+ 22＝ 2sin x(sin x 3 cos x) 3 2………… 2 分
2sin2 x 2 3sin xcos x 1 3 sin 2x cos 2x…………4分

2sin(2x ) ………… 5分
6
f (x) 2 的最小正周期T ………… 6分
2

（2）由（I）知 f (A) 2sin(2A ) 2，解得 sin(2A ) 1 ………… 7 分
6 6
A 0,
π , 2A π π 5π ,
2 6 6 6
2A A …………9分
6 2 3
2 2 2 2
解法一：由余弦定理得 a 3 c 2 3c cos c 3c 9 7
3
解得 c 1或c 2…………10分
12 2c 1 cosB 7 32若 ，则 <0
2 1 7
B为钝角，这与 ABC为锐角三角形不符， c 1………… 11分
c 2…………12分
3 7 3 21
解法二：由正弦定理得 ，解得 sin B ………… 10分sin B sin 14
3
Q 2 7∵B是锐角, cosB 1 sin B
14
QC 21∵ (A B) sinC sin(A B) sin( B) ………… 11分
3 7
c 7
，解得 c 2 ………… 12分
21 3
7 2
7