第一章 集合与函数概念
一：集合的含义与表示
1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。[来源:21世纪教育网]
把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。
2、集合的中元素的三个特性：
（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。
（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。
（3）元素的无序性: 集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合
3、集合的表示：{…}
（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
（2）集合的表示方法：列举法与描述法。[来源:21世纪教育网]
a、列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}
b、描述法：
①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。
{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。21世纪教育网
4、集合的分类：
（1）有限集：含有有限个元素的集合
（2）无限集：含有无限个元素的集合
（3）空集：不含任何元素的集合
5、元素与集合的关系：
（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a?A21世纪教育网
（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A
??注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集 Z
有理数集 Q 实数集 R
6、集合间的基本关系
（1）.“包含”关系（1）—子集[来源:21世纪教育网]
定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：（或BＡ）
注意：有两种可能（1）A是B的一部分；
（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
（2）.“包含”关系（2）—真子集
如果集合，但存在元素x?B且x￠A，则集合A是集合B的真子集
如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)读作A真含与B
（3）．“相等”关系：A=B “元素相同则两集合相等”
如果A?B 同时 B?A 那么A=B
（4）. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
（5）集合的性质
① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②如果 A?B, B?C ,那么 A?C
③如果AB且BC，那么AC
④有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集题型1：集合元素的基本特征
[例1]定义集合运算：．设
，则集合的所有元素之和为（ ）
A．0；B．2；C．3；D．6
[解题思路]根据的定义，让在中逐一取值，让在中逐一取值，在值就是的元素
[解析]：正确解答本题,必需清楚集合中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知=，故应选择D
【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。
[例2]．数集与之的关系是（ ）
A．；B．； C．；D．
[解题思路]可有两种思路：一是将和的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。
[解析] 从题意看，数集与之间必然有关系，如果A成立，则D就成立，这不可能；
同样，B也不能成立；而如果D成立，则A、B中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C
【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。
[例3]．(山东高考改编）定义集合运算:,设集合,,则集合的所有元素之和为
[解析]18，根据的定义，得到，故的所有元素之和为18
7、集合的运算
运算类型
交 集
并 集
补 集
定 义
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB?={x|xA，或xB})．
全集：一般，若一个集合汉语我们所研究问题中这几道的所有元素，我们就称这个集合为全集，记作：U
设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作，
CSA=
韦恩图示
性 质
A ∩ A=A
A ∩Φ=Φ
A ∩B=BA
A ∩BA?
A ∩BB
A U A=A
A U Φ=A
A U B=B U A
A U BＡ
A U BB
(CuA)∩(CuB)= Cu(AUB)
(CuA) U (CuB)= Cu(A∩B)
AU(CuA)=U
A∩(CuA)=Φ．
[例4] 设集合，
若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围若，
[解题思路]对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。
[解析]因为，
（1）由知，，从而得，即
，解得或
当时，，满足条件；
当时，，满足条件
所以或
（2）对于集合，由
因为，所以
①当，即时，，满足条件；
②当，即时，，满足条件；
③当，即时，才能满足条件，
由根与系数的关系得，矛盾
故实数的取值范围是
【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。同时，要注意集合的子集要考虑空与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况.
[新题导练]
[例5]若集合，，则是（ ）
A. ；B. ；C.；D. 有限集
[解析] A；由题意知，集合表示函数的值域，故
集合；表示函数的值域，
，故
[练1]．已知集合，，那么集合为（ ）A.；B.；C.；D.
[解析]D；表示直线与直线的交点组成的集合，A、B、C均不合题意。
[练2]．集合,,且,求实数的值.
[解析] ；先化简B得, .由于,故或.
因此或,解得或.
容易漏掉的一种情况是: 的情形,此时.
故所求实数的值为.
二、函数的概念
1． 函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．
（1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
2． 函数的三要素：定义域、值域、对应法则
3． 函数的表示方法：[来源:21世纪教育网]
（1） 解析法：明确函数的定义域
（2） 图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。
（3） 列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。
4、函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .
(2) 画法
A、描点法： B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换，即平移。
（3）函数图像平移变换的特点：
1）加左减右——————只对x
2）上减下加——————只对y
3）函数y=f(x) 关于X轴对称得函数y=-f(x)
4）函数y=f(x) 关于Y轴对称得函数y=f(-x)
5）函数y=f(x) 关于原点对称得函数y=-f(-x)
6）函数y=f(x) 将x轴下面图像翻到x轴上面去，x轴上面图像不动得
函数y=| f(x)|
7）函数y=f(x) 先作x≥0的图像，然后作关于y轴对称的图像得函数f(|x|)
[例6] 试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1），；
（2），
（3），（n∈N*）；
（4），；
（5），
[解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。
[解析] （1）由于，，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.
（2）由于函数的定义域为，而的定义域为R，所以它们不是同一函数.
（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴，，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.
（4）由于函数的定义域为，而的定义域为，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.
（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.
[答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数
【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如，，都可视为同一函数.
三、函数的基本性质
1、函数解析式子的求法
（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）、求函数的解析式的主要方法有：
1）代入法：
2）待定系数法：
3）换元法：
4)拼凑法：
[例7]已知二次函数满足，求
方法一：换元法
令，则，从而
所以
方法二：配凑法
因为
所以
方法三：待定系数法
因为是二次函数，故可设，从而由可求出，所以
2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
[ 例8].函数的定义域为( )
A.;B.；C. ;D.
[解题思路]函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。
[解析]欲使函数有意义，必须并且只需
，故应选择
【名师指引】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。
[例9]设，则的定义域为（ ）
A. ；B. ；C. ；D.
[解题思路]要求复合函数的定义域，应先求的定义域。
[解析]由得，的定义域为，故
解得。故的定义域为.选B.
【名师指引】求复合函数定义域,即已知函数的定义为，则函数的定义域是满足不等式的x的取值范围；一般地，若函数的定义域是，指的是，要求的定义域就是时的值域
3、相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；
②定义域一致 (两点必须同时具备)
4、区间的概念：
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示
5、值域 （先考虑其定义域）
（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数，可变为解决
（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数就是利用函数和的值域来求。
（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数的值域
由得，若，则得，所以是函数值域中的一个值；若，则由得，故所求值域是
（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数的值域，因为
，而，所以，故
（5）利用基本不等式求值域：如求函数的值域
当时，；当时，，若，则
若，则，从而得所求值域是
（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数的值域
因，故函数在上递减、在上递增、在上递减、在上递增，从而可得所求值域为
（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。
[例10]已知函数，若恒成立，求的值域
[解题思路]应先由已知条件确定取值范围，然后再将中的绝对值化去之后求值域
[解析]依题意，恒成立，则，解得，
所以，从而，，所以的值域是
【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。
[新题导练]
6.分段函数
（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
（2）各部分的自变量的取值情况．
（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．
（4）常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数
[例11] 为了预防流感，某学校对教室用药物消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）从药物释放开妈，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为 ；
（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室。
[思路点拨]根据题意，药物释放过程的含药量y（毫克）与时间t是一次函数，药物释放完毕后，y与t的函数关系是已知的，由特殊点的坐标确定其中的参数，然后再由所得的表达式解决（Ⅱ）
[解析] （Ⅰ）观察图象，当时是直线，故；当时，图象过
所以，即，所以
（Ⅰ），所以至少需要经过小时
【名师指引】分段函数的每一段一般都是由基本初等函数组成的，解决办法是分段处理。
[例12] (2006·上海)设函数，在区间上画出函数的图像。
21世纪教育网
[思路点拨]需将来绝对值符号打开，即先解，然后依分界点将函数分段表示，再画出图象。
[解析] ,如右上图.
【名师指引】分段函数的解决办法是分段处理，要注意分段函数的表示方法，它是用联立符号将函数在定义域的各个部分的表达式依次表示出来，同时附上自变量的各取值范围。
7．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”
对于映射f：A→B来说，则应满足：
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射，而映射不一定的函数
[例13] 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文例如，明文对应密文当接收方收到密文时，则解密得到的明文为（ ）
A．；B．；C．；D．
[解题思路] 密文与明文之间是有对应规则的，只要按照对应规则进行对应即可。
[解析] 当接收方收到密文14，9，23，28时，
有，解得，解密得到的明文为C．
【名师指引】理解映射的概念，应注意以下几点：
（1）集合A、B及对应法则f是确定的，是一个整体系统；
（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的；
（3）集合A中每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应的本质特征；
（4）集合A中不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
（5）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.
8、函数的单调性(局部性质)及最值
（1）、增减函数
1）设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x12）如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种
（2）、 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
（3）、函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
1 任取x1，x2∈D，且x12 作差f(x1)－f(x2)；
3 变形（通常是因式分解和配方）；
4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数：如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
[例14] 设,函数.
试讨论函数的单调性.
[解题思路]分段函数要分段处理，由于每一段都是基本初等函数的复合函数，所以应该用导数来研究。
[解析]: 因为,所以.
(1)当x<1时，1-x>0，
①当时，在上恒成立，故F(x)在区间上单调递增；
②当时，令，解得，
且当时，；当时，
故F(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增；
(2)当x>1时， x-1>0，21世纪教育网
①当时，在上恒成立，故F(x)在区间上单调递减；
②当时，令，解得，
且当时，；当时，21世纪教育网
故F(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增；
综上得，①当k=0时，F(x)在区间上单调递增，F(x)在区间上单调递减；
②当k<0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减,在区间
上单调递增；③当时，F(x)在区间上单调递减,在区间
上单调递增,在区间上单调递减.
【名师指引】求函数的单调区间或研究函数的单调性是高考的一个热点，分段落函数用注意分段处理.
[例15]. (2008全国Ⅰ卷)已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
[解析] （1）；（2）
（1）求导：
当时，，，在上递增
当，求得两根为
即在递增，
递减，递增
（2），且解得：
9、函数的奇偶性（整体性质）
（1）、偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）、奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
（3）、具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
a、首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若是不对称，则是非奇非偶的函数；若对称，则进行下面判断；
b、确定f(－x)与f(x)的关系；
c、作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
（4）利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性
a、在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；
奇函数的加减仍为奇函数；
奇数个奇函数的乘除认为奇函数；
偶数个奇函数的乘除为偶函数；
一奇一偶的乘积是奇函数；
b、复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇。
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，
(1)再根据定义判定;
(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定;
(3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
[例16].（高州中学模拟）已知函数。
（Ⅰ）若为奇函数，求的值；
（Ⅱ）若在上恒大于0，求的取值范围。
[解析]（Ⅰ）；（Ⅱ）的取值范围为
（Ⅰ）的定义域关于原点对称
若为奇函数，则 ∴
（Ⅱ）
∴在上∴在上单调递增
∴在上恒大于0只要大于0即可,
∴
若在上恒大于0，的取值范围为
[例17]. 已知定义域为的函数是奇函数。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；
[解析]（Ⅰ）因为是奇函数，所以，即
又由知
（Ⅱ）[解法一]由（Ⅰ）知，易知在上
为减函数。又因是奇函数，从而不等式：
等价于，因为减函数，由上式推得：
．即对一切有：，
从而判别式
[解法二]由（Ⅰ）知．又由题设条件得：
，
即，
整理得
上式对一切均成立，从而判别式
10、函数最值、周期性及性质的应用
（1）、函数的最值
a 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
b 利用图象求函数的最大（小）值
c 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
（2）、函数的奇偶性与单调性
奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；[来源:21世纪教育网]
偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。
（3）、判断含糊单调性时也可以用作商法，过程与作差法类似，区别在于作差法是与0作比较，作商法是与1作比较。
（4）、绝对值函数求最值，先分段，再通过各段的单调性，或图像求最值。
（5）、在判断函数的奇偶性时候，若已知是奇函数可以直接用f(0)=0，但是f(0)=0并不一定可以判断函数为奇函数。（高一阶段可以利用奇函数f(0)=0）。
（6）．函数的周期性 周期性不仅仅是三角函数的专利，抽象函数的周期性是高考热点，主要难点是抽象函数周期的发现，主要有几种情况：
（1）函数值之和等于零型，即函数
对于定义域中任意满足，则有，故函数的周期是
（2）函数图象有，两条对称轴型
函数图象有，两条对称轴，即，
，从而得，
故函数的周期是
两个函数值之积等于，即函数值互为倒数或负倒数型
若，则得，所以函数的周期是；同理若，则的周期是
分式递推型，即函数满足
由得，进而得
，由前面的结论得的周期是
[例1]已知为实数，函数，若，求函数在上的最大值和最小值。
[解题思路]求三次多项式函数在闭区间上的最值，应该用导数作为工具来研究其单调性。
[解析]∵，
得：
当
当
因此，在区间内单调递减，而在内单调递减，
且
又 ，
，
【名师指引】用导数来研究其单调性和最值是高考考查的重点和热点，同时也是难点，要求考生熟练掌握用导数来研究其单调性和最值的方法和步骤。
[例19]（天津高考改编）在上定义的函数是奇函数，且，若在区间是减函数，则函数（ ）
A.在区间上是增函数，区间上是增函数
B.在区间上是增函数，区间上是减函数
C.在区间上是减函数，区间上是增函数
D.在区间上是减函数，区间上是减函数
[解析] C；由知的图象关于直线对称，由在区间是减函数知在区间是增函数，又由及是奇函数，得到
，进而得，所以是以4为周期的函数，故在上是减函数。
第三章 函数的应用
1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
3、函数零点的求法：
（代数法）求方程的实数根；
（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
4、基本初等函数的零点：
①正比例函数仅有一个零点。
②反比例函数没有零点。
③一次函数仅有一个零点。
④二次函数．
（1）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．21世纪教育网
（2）△＝０，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（3）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．
⑤指数函数没有零点。
⑥对数函数仅有一个零点1.
⑦幂函数，当时，仅有一个零点0，当时，没有零点。
5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把转化成，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数（基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数零点的个数。21世纪教育网
6、选择题判断区间上是否含有零点，只需满足。
7、确定零点在某区间个数是唯一的条件是:①在区间上连续，且②在区间上单调。
8、函数零点的性质：
从“数”的角度看：即是使的实数；
从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；
若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；
若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点．
9、二分法的定义
对于在区间，上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
10、给定精确度ε，用二分法求函数零点近似值的步骤：
（1）确定区间，，验证，给定精度；
（2）求区间，的中点；
（3）计算：
①若=，则就是函数的零点；[来源:21世纪教育网]
②若<，则令=（此时零点）；
③若<，则令=（此时零点）；
（4）判断是否达到精度；即若，则得到零点值（或）；否则重复步骤（2）~（4）．
11、二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。
12、解决应用题的一般程序：21世纪教育网
① 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
② 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③ 解模：求解数学模型，得出数学结论；21世纪教育网
④ 还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．[来源:21世纪教育网]
13、函数的模型
14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：
一次函数模型：
二次函数模型：
幂函数模型：
指数函数模型： （＞0，）
利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型
[例7]．函数f(x)＝6x2－5x－1的零点是( ).[来源:21世纪教育网]
A．或 B．1或－ C．2或3 D．1或－6
解析：B。令f(x)＝6x2－5x－1＝0，得x1＝1，x2＝－．
[例8]．函数f(x)＝x4－2x＋1的一个零点是( ).
A．－ B．0 C．1 D．2
解析：C。将－1，0，1，2分别代入到f(x)＝x4－2x＋1中，只有f(1)＝0，故答案选C．
[例9]．下列四个函数的图象中，在区间(0，＋∞)上有零点的是( ).
① ② ③ ④
A．①② B．①③④ C．②④ D．①④
解析：D。函数有零点，即存在自变量x0，使得f(x0)＝0，反映在图象上就是与x轴有交点．本题要求在区间(0，＋∞)上有零点，即交点在x轴的正半轴上．
[例10]．若二次函数f(x)＝－x2＋2ax＋4a＋1有一个零点小于－1，一个零点大于3，求实数a的取值范围．
解：因为二次函数f(x)＝－x2＋2ax＋4a＋1的图象开口向下，且在区间(―∞，
―1)，(3，＋∞)内各有一个零点，所以 ， 解得a＞．
[例11] 说明函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1，2)内必有零点，并用二分法求出一个零点的近似值(误差不超过0.01)．
由于f(x)＝x3－3x＋1在区间［1，2］上的图象是连续不间断的，且f(1)·f(2)＝－3＜0，所以函数f(x)在区间(1，2)内必有零点．
取区间［1，2］作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
端点(中点)坐标
计算中点的函数值
取区间
｜an－bn｜
x0＝1.5
f(x0)＝－0.125＜0
［1，2］
1
x1＝1.75
f(x1)＝0.109 375＞0[来源:21世纪教育网]
［1.5，2］21世纪教育网
0.5
x2＝1.625
f(x2)＝0.416 015＞0
［1.5，1.75］
0.25
x3＝1.562 5
f(x3)＝0.127 197 265＞0
［1.5，1.625］
0.125
x4＝1.531 25
f(x4)＝0.003 387 451 17＜0
［1.5，1.562 5］
0.062 5
x5＝1.546 875
f(x5)＝0.060 771 942＞0
［1.531 25，1.562 5］[来源:21世纪教育网]
0.031 25
x6＝1.539 062 5
［1.531 25，1.546 875］
0.015 625
由上表可知x6＝1.539 062 5可作为所求函数的误差不超过0.01的一个零点的近似值
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
〖2.1〗指数函数
（1）根式的概念
①如果，且，那么叫做的次方根．当是奇数时，的次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；0的次方根是0；负数没有次方根．21世纪教育网
②式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，．
③根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时， ．
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：且．0的正分数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是：且．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
①
②
③
（4）指数函数
函数名称
指数函数
定义
函数且叫做指数函数
图象21世纪教育网
21世纪教育网21世纪教育网
21世纪教育网21世纪教育网21世纪教育网
定义域
值域
过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况
变化对 图象的影响
在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低．
〖2.2〗对数函数
对数的定义
①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：．
（2）几个重要的对数恒等式
，，．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．
（4）对数的运算性质 如果，那么
①加法： ②减法：
③数乘： ④
⑤ ⑥换底公式：
（5）对数函数
函数
名称
对数函数
定义
函数且叫做对数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况
变化对 图象的影响
在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高．
(6)反函数的概念
设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成．
（7）反函数的求法
①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式中反解出；
③将改写成，并注明反函数的定义域．
（8）反函数的性质
①原函数与反函数的图象关于直线对称．
②函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．
③若在原函数的图象上，则在反函数的图象上．
④一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数．
〖2.3〗幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．
（2）幂函数的图象
（3）幂函数的性质
①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．
③单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．
④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数．
⑤图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方．
[例1]已知求
解：∵∴
∴
[例2]求函数的单调区间.
解：令，则为增函数，
＝＝
∴当t≥6,即x≥1时，y为关于t的增函数，
当t≤6,即x≤1时，y为关于t的减函数
∴函数的单调递减区间是，单调递增区间为
[例3]已知在[0，1]上是的减函数，则的取值范围是
解：∵是由，复合而成，又＞0
∴在[0，1]上是的减函数，由复合函数关系知
应为增函数，∴＞1
又由于 在[0，1]上时 有意义，又是减函数，∴＝1时，取最小值是＞0即可， ∴＜2
综上可知所求的取值范围是1＜＜2
[例4]已知函数.
（1）当时恒有意义，求实数的取值范围.
（2）是否存在这样的实数使得函数在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由.
解：（1）由假设，＞0，对一切恒成立，
显然，函数g(x)= 在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝＞0得到＜
∴的取值范围是（0，1）∪（1，）
(2)假设存在这样的实数，由题设知，即＝1
∴＝此时
当时，没有意义，故这样的实数不存在.
[例5]已知函数f(x)=, 其中为常数，若当x∈(－∞, 1］时, f(x)有意义，求实数a的取值范围.
解：>0, 且a2－a+1=(a－)2+>0,
∴ 1+2x+4x·a>0, a>,
当x∈(－∞, 1]时, y=与y=都是减函数，
∴ y=在(－∞, 1]上是增函数，max=－,
∴ a>－, 故a的取值范围是(－, +∞).
[例6]若，试求的取值范围.
解：∵幂函数有两个单调区间，
∴根据和的正、负情况，有以下关系
① ② ③
解三个不等式组：①得＜＜，②无解，③＜－1
∴的取值范围是（－∞，－1）∪（，）
