第一章 解三角形
1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．
2、正弦定理的变形公式：①，，；[来源:21世纪教育网]
②，，；③；
④．
（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）
如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想
画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：
当无交点则B无解、[来源:21世纪教育网]
当有一个交点则B有一解、
当有两个交点则B有两个解。
法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：21世纪教育网
当a
当bsinA当a=bsinA或a>b时，B有一解
注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。
3、三角形面积公式：．
4、余弦定理：在中，有，，
．
5、余弦定理的推论：，，．
(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角)
6、如何判断三角形的形状：设、、是的角、、的对边，则：①若，则；
②若，则；③若，则
附：三角形的五个“心”；[来源:21世纪教育网]
重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点.
7．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型21世纪教育网
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．
2．实际问题中的常用角21世纪教育网
(1)仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．
(2)方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．
(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．
(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．
一个步骤
3.解三角形应用题的一般步骤：
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．
两种情形
4.解三角形应用题常有以下两种情形
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
例1、一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )．
A．5海里 B．5海里
C．10海里 D．10海里
解析 如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10(海里)，
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在Rt△ABC中，得AB＝5(海里)，
于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．
答案 C
例2、如图所示，
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为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．
[审题视点] 在△BCD中，求出BC，在△ABC中，求出AB.
解 在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.∵∠BCD＝30°，∠BDC＝105°∴∠CBD＝45°
在△BCD中，由正弦定理可得BC＝＝a.[21世纪教育网
在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为AB＝＝a.
例3、如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．
解 在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1 km.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.
又∵∠ABC＝15°
在△ABC中，＝，
所以AB＝＝(km)，
同理，BD＝(km)．
故B、D的距离为 km.
例4、如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．
解 在△ADC中，AD＝10，
AC＝14，DC＝6，
由余弦定理得cos∠ADC＝
＝＝－，∴∠ADC＝120°，∴∠ADB＝60°.
在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，
由正弦定理得＝，
∴AB＝＝＝＝5.
第三章：不等式
1、；；．
比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。
2、不等式的性质： ①；②；③；
④，；⑤；
⑥；⑦；
⑧．
3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式．
4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
判别式
二次函数
的图象
一元二次方程
的根
有两个相异实数根
有两个相等实数根
没有实数根
一元二次不等式的解集
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5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是的不等式．
6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的和的取值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合．
8、在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点．
①若，，则点在直线的上方．
②若，，则点在直线的下方．
9、在平面直角坐标系中，已知直线．
①若，则表示直线上方的区域；表示直线下方的区域．
②若，则表示直线下方的区域；表示直线上方的区域．
10、线性约束条件：由，的不等式（或方程）组成的不等式组，是，的线性约束条件．
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量，的解析式．
线性目标函数：目标函数为，的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
可行解：满足线性约束条件的解．
可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．
11、设、是两个正数，则称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数．
12、均值不等式定理： 若，，则，即．
13、常用的基本不等式：
①；
②；
③；④．
14、极值定理：设、都为正数，则有
⑴若（和为定值），则当时，积取得最大值．
⑵若（积为定值），则当时，和取得最小值．
一元二次不等式的求解：
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)解的讨论.
二次函数
（）的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
对于a<0的不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。
2.分式不等式的解法
（1）标准化：移项通分化为>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式，
（2）转化为整式不等式（组）
3.含绝对值不等式的解法：
基本形式：
①型如：|x|＜a (a＞0) 的不等式 的解集为：
②型如：|x|＞a (a＞0) 的不等式 的解集为：
变型：
解得。其中-c型的不等式的解法可以由来解。
③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式：用“零点分区间法”分类讨论来解.
④绝对值不等式解法中常用几何法：即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
4.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析：
设ax2+bx+c=0的两根为，f(x)=ax2+bx+c,那么：
①若两根都大于0，即，则有
②若两根都小于0，即，则有
③若两根有一根小于0一根大于0，即，则有
④若两根在两实数m,n之间，即，
则有
⑤若两个根在三个实数之间，即，
则有
35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是的不等式．
36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的和的取值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合．
38、在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点．
①若，，则点在直线的上方．
②若，，则点在直线的下方．
39、在平面直角坐标系中，已知直线．
（一）由B确定：
①若，则表示直线上方的区域；表示直线下方的区域．
②若，则表示直线下方的区域；表示直线上方的区域．
（二）由A的符号来确定：
先把x的系数A化为正后，看不等号方向：
①若是“>”号，则所表示的区域为直线l: 的右边部分。
②若是“<”号，则所表示的区域为直线l: 的左边部分。
（三）确定不等式组所表示区域的步骤：
①画线：画出不等式所对应的方程所表示的直线
②定测：由上面（一）（二）来确定
③求交：取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。
40、线性约束条件：由，的不等式（或方程）组成的不等式组，是，的线性约束条件．
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量，的解析式．
线性目标函数：目标函数为，的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
可行解：满足线性约束条件的解．
可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．
41、设、是两个正数，则称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数．
42、均值不等式定理： 若，，则，即．
43、常用的基本不等式：①；②；③；
④．
44、极值定理：设、都为正数，则有：
⑴若（和为定值），则当时，积取得最大值．⑵若（积为定值），则当时，和取得最小值．
例1、求不等式的解集。
解：将原不等式因式分解为：
由方程：解得
将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图
由图可看出不等式的解集为：
例2、已知，求函数的最大值。
解：∵，∴
由原式可以化为：
当，即时取到“=”号
也就是说当时有
例3、求解不等式：
解：零点分类讨论法：
分别令
解得：
在数轴上，-3和2就把数轴分成了三部分，如右上图
①当时，（去绝对值符号）原不等式化为：
②当时，（去绝对值符号）原不等式化为：
③当时，（去绝对值符号）原不等式化为：
由①②③得原不等式的解集为：（注：是把①②③的解集并在一起）
函数图像法：
令
则有：
在直角坐标系中作出此分段函数及的图像如图
由图像可知原不等式的解集为：
例4、若方程有两个正实数根，求的取值范围。
解：由①型得
所以方程有两个正实数根时，。
例5、方程的一根大于1，另一根小于1，求的范围。
解：因为有两个不同的根，所以由
例6、(山东省烟台市2012届高三上学期期末文科)
某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.
（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，
试设计污水池的长和宽，使总造价最低.
解：（1）设污水处理池的宽为米，则长为米.
则总造价f(x)=400×（）+248×2x+80×162
=1 296x++12 960=1 296（）+12 960≥1 296×2+12 960=38 880（元），
当且仅当x= (x＞0),即x=10时取等号.
∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元.
（2）由限制条件知,∴
设g(x)= （）.
g（x）在上是增函数，
∴当x=10时(此时=16), g(x)有最小值，即f(x)有最小值.
∴当长为16米，宽为10米时，总造价最低.
例7、画出不等式组表示的平面区域．
解：把，代入中得
∴ 不等式表示直线下方的区域（包括边界），
即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示．
例8、求不等式组所表示的平面区域的面积．
解：不等式可化为或；
不等式可化为或．
在平面直角坐标系内作出四条射线
，
，
则不等式组所表示的平面区域如图
由于与、与互相垂直，
所以平面区域是一个矩形．
根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为和．
所以其面积为．
例9、若、满足条件求的最大值和最小值．
解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示．
作直线，即，它表示斜率为，纵截距为的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线过点时，取得最大值，当过点时，取得最小值．
∴ ∴
第二章 数列
1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
2、数列的项：数列中的每一个数．
3、有穷数列：项数有限的数列．
4、无穷数列：项数无限的数列．
5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．
6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．
7、常数列：各项相等的数列．21世纪教育网
8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
9、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式．
10、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．
11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．
12、由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．
13、若等差数列的首项是，公差是，则．
通项公式的变形：①；②；③；④；⑤．
14、若是等差数列，且（、、、），则；若是等差数列，且（、、），则；下角标成等差数列的项仍是等差数列；连续m项和构成的数列成等差数列。
15、等差数列的前项和的公式：①；②．
16、等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．②若项数为，则，且，（其中，）．
17、如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．
18、在与中间插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．
19、若等比数列的首项是，公比是，则．21世纪教育网
20、通项公式的变形：①；②；③；④．
21、若是等比数列，且（、、、），则；若是等比数列，且（、、），则；下角标成等差数列的项仍是等比数列；连续m项和构成的数列成等比数列。
22、等比数列的前项和的公式：．
时，，即常数项与项系数互为相反数。
23、等比数列的前项和的性质：①若项数为，则．21世纪教育网
②． ③，，成等比数列．
24、与的关系：
一些方法：
一、求通项公式的方法：
1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法
①若相邻两项相减后为同一个常数设为，列两个方程求解；
②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为，列三个方程求解；
③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为，q为相除后的常数，列两个方程求解；
2、由递推公式求通项公式：
①若化简后为形式，可用等差数列的通项公式代入求解；
②若化简后为形式，可用叠加法求解；
③若化简后为形式，可用等比数列的通项公式代入求解；
④若化简后为形式，则可化为，从而新数列是等比数列，用等比数列求解的通项公式，再反过来求原来那个。（其中是用待定系数法来求得）
3、由求和公式求通项公式：
① ② ③检验，若满足则为，不满足用分段函数写。
4、其他
（1）形式，便于求和，方法：迭加；
例如：
有：
（2）形式，同除以，构造倒数为等差数列；21世纪教育网
例如：，则，即为以-2为公差的等差数列。
（3）形式，，方法：构造：为等比数列；
例如：，通过待定系数法求得：，即等比，公比为2。
（4）形式：构造：为等比数列；[来源:21世纪教育网]
（5）形式，同除，转化为上面的几种情况进行构造；
因为，则，若转化为（1）的方法，若不为1，转化为（3）的方法
二、等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）
①若，则有最大值，当n=k时取到的最大值k满足
②若，则有最小值，当n=k时取到的最大值k满足
三、数列求和的方法：
①叠加法：倒序相加，具备等差数列的相关特点的，倒序之后和为定值；
②错位相减法：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式，如：；
③分式时拆项累加相约法：适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式。如：，等；
④一项内含有多部分的拆开分别求和法：适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分，如：等；
四、综合性问题中
①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为类型，这样可以相加约掉，相乘为平方差；
②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为类型，这样可以相乘约掉。
附：数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
3.错位相减法:适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。21世纪教育网
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
1）: 1+2+3+...+n = 2） 1+3+5+...+(2n-1) = 3）
4） 5）
6）
例1、已知数列{an}的通项为an=,求这个数列的前n项和Sn.
解：观察后发现：an=
∴
例2：已知数列{an}的通项公式为，求这个数列的前n项之和。
解：由题设得：
=
即
= ①
把①式两边同乘2后得
= ②21世纪教育网
用①-②，即：
= ①[来源:21世纪教育网]
= ②
得
∴
例3. 求和Sn=
解: 由得
,令k=1、2、3、…、n得
2－1=3·1＋3·1＋1
3－2＝3·2＋3·2＋1
4－3＝3·3＋3·3＋1
……
（n+1）－n=3n+3n+1
把以上各式两边分别相加得：
（n+1）－1=3(1+2+…+n)+3(1+2+3+…+n)+n
=3Sn+n(n+1)+n
因此，Sn＝n(n+1)(2n+1)
例4、已知数列：1，，，，…，，求它的前n项的和Sn．
解：∵ an＝1＋＋＋……＋[21世纪教育网]
＝ ∴an＝2－
则原数列可以表示为：
(2－1)，，，，…
前n项和Sn＝(2－1)＋＋＋…＋
＝2n－
＝2n－＝2n－2
＝＋2n－2
例5、设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，bn＝an·2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：取n＝1，则a1＝a1＝1
又Sn＝可得：＝
∵an≠－1(n∈N*) ∴an＝2n－1
∴Tn＝1·2＋3·22＋5·23＋……＋(2n－1)·2n ①
2Tn＝1·22＋3·23＋5·24＋……＋(2n－1)·2n＋1②
①－②得：21世纪教育网
∴－Tn＝2＋23＋24＋25＋……＋2n＋1－(2n－1)·2n＋1
＝2＋－(2n－1)·2n＋1＝－6＋(1－n)·2n＋2
∴Tn＝6＋(n－1)·2n＋2
例6、设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.
⑴ 求数列{an}和{bn}通项公式．
⑵ 设Cn＝，求数列{Cn}前n项和Tn ．
解：（1）当n＝1时a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－2，故{an}通项公式为an＝4n－2，即{an}是a1＝2，d＝4的等差数列，设{bn}的公比为q，则b1qd＝b1，d＝4，∴ q＝，故bn＝b1qn－1＝
（2）∵Cn＝＝
∴Tn＝C1＋C2＋…＋Cn＝1＋3×4＋5×42＋…＋（2n－1）4n－1
∴4Tn＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋（2n－3）4n－n＋（2n－1）4n
两式相减 3Tn＝
∴ Tn＝．
