选修2~1第一章：常用逻辑用语
知识点：
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.
2、“若，则”形式的命题中的称为命题的条件，称为命题的结论.
3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.
若原命题为“若，则”，它的逆命题为“若，则”.
4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.
若原命题为“若，则”，则它的否命题为“若，则”.
5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.21世纪教育网
若原命题为“若，则”，则它的否命题为“若，则”.
6、四种命题的真假性：
原命题21世纪教育网
逆命题
否命题
逆否命题21世纪教育网
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
真
假[来源:21世纪教育网]
假
假
假
四种命题的真假性之间的关系：
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
7、若，则是的充分条件，是的必要条件．
若，则是的充要条件（充分必要条件）．
8、用联结词“且”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，记作．21世纪教育网
当、都是真命题时，是真命题；当、两个命题中有一个命题是假命题时，是假命题．
用联结词“或”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，记作．
当、两个命题中有一个命题是真命题时，是真命题；当、两个命题都是假命题时，是假命题．
对一个命题全盘否定，得到一个新命题，记作．
若是真命题，则必是假命题；若是假命题，则必是真命题．
9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示．
含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对中任意一个，有成立”，记作“，”．
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示．
含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在中的一个，使成立”，记作“，”．
10、全称命题：，，它的否定：，．全称命题的否定是特称命题．
典型例题：
例1．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假．
(1）矩形的对角线相等且互相平分；
(2）正偶数不是质数．
解：（1）逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形（假命题）．
否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分（假命题）．21世纪教育网
逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形（真命题）．
（2）逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数（假命题）．
否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数（假命题）．21世纪教育网
逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数（假命题）．21世纪教育网
例2．已知命题：方程在[－1，1]上有解；命题：只有一个实数满足不等式，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．
解：由得,由题意:
由只有一个实数满足不等式可得:
命题“p或q”是假命题即为:命题p为假命题或q为假命题,所以,
所以,a的取值范围是.
例3．已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．
解：由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0，
显然a≠0，∴x＝－或x＝．
∵x∈[－1,1]，故||≤1或||≤1，∴|a|≥1.
“只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0”，
即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或2，
∴命题“p或q”为真命题时，|a|≥1或a＝0.
∵命题“p或q”为假命题，
∴a的取值范围为{a|－1
例4.已知命题：方程在［-1，1］上有解；命题：只有一个实数满足不等式，若命题“或”是假命题，求的取值范围。
解：由题意.
若正确，的解为或
若方程在［-1，1］上有解，
只需满足-1
即
若正确，即只有一个实数满足，
则有即或2
若或是假命题，则和都是命题，
有所以a的取值范围是 (1，0）（0，1）
例5．已知命题：方程有两个不等的负根，命题：无实根，且为真命题，求实数的取值范围.
解：由已知可知，，解得，
，解得
且为真，同时为真，则，
，实数的取值范围是.
例6.设函数的定义域为，若命题与命题有且只有一个为真命题，求实数的取值范围．
解：．21世纪教育网
若，则，即；
若，则，即．
若真假，则无解；
若假真，则[来源:21世纪教育网]
解得或．
综上，．
第三章：空间向量与立体几何
知识点：
1、空间向量的概念：
在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．
向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．
向量的大小称为向量的模（或长度），记作．
模（或长度）为的向量称为零向量；模为的向量称为单位向量．
与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作．
方向相同且模相等的向量称为相等向量．
2、空间向量的加法和减法：
求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形，则以起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．
求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点，作，，则．
3、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算．当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为．的长度是的长度的倍．
4、设，为实数，，是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．
分配律：；结合律：．
5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．
6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使．
7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．
8、向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，，使；或对空间任一定点，有；或若四点，，，共面，则．
9、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，，则称为向量，的夹角，记作．两个向量夹角的取值范围是：．
10、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作．
11、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作．即．零向量与任何向量的数量积为．
12、等于的长度与在的方向上的投影的乘积．
13若，为非零向量，为单位向量，则有；
；，，；
；．
14量数乘积的运算律：；；
．
15、空间向量基本定理：若三个向量，，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得．
16、三个向量，，不共面，则所有空间向量组成的集合是
．这个集合可看作是由向量，，生成的，
称为空间的一个基底，，，称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
17、设，，为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以，，的公共起点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．则对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量．存在有序实数组，使得．把，，称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作．此时，向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标．
18、设，，则．
．
．
．
若、为非零向量，则．
若，则．
．
．
，，则．
19、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示．向量称为点的位置向量．
20、空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定．点是直线上一点，向量表示直线的方向向量，则对于直线上的任意一点，有，这样点和向量不仅可以确定直线的位置，还可以具体表示出直线上的任意一点．
21、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为，．为平面上任意一点，存在有序实数对，使得，这样点与向量，就确定了平面的位置．
22、直线垂直，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量．
23、若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，，则
，．
24、若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则
，．
25、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，，则
，．
26、设异面直线，的夹角为，方向向量为，，其夹角为，则有
．
27、设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有．
28、设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角的平面角为，则．
29、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算．
30、在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为．
31、点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为．
典型例题：
例1．如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1.[来源:21世纪教育网]
(1)证明：EM⊥BF；
(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．
解：(1)证明：因为AC是圆O的直径，所以∠ABC＝90°，又∠BAC＝30°，AC＝4，所以AB＝2，而BM⊥AC，易得AM＝3，BM＝．
如图，以A为坐标原点，垂直于AC的直线、AC、AE所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．21世纪教育网
由已知条件得A(0,0,0)，
M(0,3,0)，E(0,0,3)，B(，3,0)，F(0,4,1)，
∴＝(0，－3,3)，
＝(－，1,1)．
由·＝(0，－3,3)·(－，1,1)＝0，
得⊥，∴EM⊥BF.
(2)由(1)知＝(－，－3,3)，＝(－，1,1)．
设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，
由n·＝0，n·＝0，得
令y＝1，得z＝2，x＝，∴n＝(，1,2)，21世纪教育网
由已知EA⊥平面ABC，
所以平面ABC的一个法向量为＝(0,0,3)，
设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为θ，
则cosθ＝|cos〈n，〉|＝＝，
故平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为．
例2．如图，正四棱柱中，，点在
上且．
21世纪教育网
(Ⅰ）证明：平面； (Ⅱ）求二面角的大小．
解：（Ⅰ）建立如图所示直角坐标系．
依题设，．
，．21世纪教育网
(Ⅰ）因为，
所以，．
又，所以平面．
(Ⅱ）设向量是平面的法向量，则，．
故，．
令，则，，．
等于二面角的平面角，．
所以二面角的大小为．
例3．已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．
(1)证明：PF⊥FD；
(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；
(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A-PD-F的余弦值．
解：(1)∵PA⊥平面ABCD，
∠BAD=90°，AB=1，AD=2，
建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0),B(1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0)
不妨令P(0,0,t)，则=(1,1,-t)，
=(1,-1,0)，
∴·=1×1+1×(-1)+(-t)×0=0，
即PF⊥FD．
(2)设平面PFD的法向量为n=(x,y,z)，
由得令z=1，
解得：x=y=．
∴n=(,,1)．
设G点的坐标为(0,0,m)，E(,0,0)，
则=(,0,m)，
要使EG∥平面PFD，只需·n=0，21世纪教育网21世纪教育网
即，
得m=t，从而满足AG=AP的点G即为所求．
(3)∵AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的法向量，
易得=(1,0,0)，
又∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，
得∠PBA=45°，则PA=1，
平面PFD的法向量为n=(,,1)，
∴，
由题意知二面角A-PD-F为锐角.故所求二面角A-PD-F的余弦值为.
例4．如图14－2，三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1.
(1)求证：AC1⊥平面A1BC；[来源:21世纪教育网]
(2)求二面角A－A1B－C的余弦值．
解： (1)如图，设A1D＝t(t>0)，取AB的中点E，
则DE∥BC，因为BC⊥AC，
所以DE⊥AC，又A1D⊥平面ABC，
以DE，DC，DA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A(0，－1,0)，C(0,1,0)，B(2,1,0)，A1(0,0，t)，C1(0,2，t)，
＝(0,3，t)，＝(－2，－1，t)，
＝(2,0,0)，由1·＝0，知AC1⊥CB，
又BA1⊥AC1，BA1∩CB＝B，所以AC1⊥平面A1BC.
(2)由·＝－3＋t2＝0，得t＝．
设平面A1AB的法向量为n＝(x，y，z)，
＝(0,1，)，＝(2,2,0)，
所以设z＝1，则n＝(，－，1)．
再设平面A1BC的法向量为m＝(u，v，w)，
＝(0，－1，)，＝(2,0,0)，
所以设w＝1，则m＝(0，，1)．
故cos〈m，n〉＝＝－．因为二面角A－A1B－C为锐角，所以可知二面角A－A1B－C的余弦值为．
例5．已知向量b与向量a=(2,-1,2)共线，且满足a·b=18,(ka+b)⊥(ka-b),求向量b及k的值.
解：∵a,b共线，∴存在实数λ,使b=λa,
∴a·b=λa2=λ︱a︱2,解得λ=2.
∴b=2a=(4,-2,4).21世纪教育网
∵(ka+b)⊥(ka-b),
∴(ka+b)·(ka-b)=(ka+2a)·(ka-2a)=0,
即(k2-4)︱a︱2=0，
解得k=±2.21世纪教育网
第二章：圆锥曲线与方程
知识点：
1、平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
2、椭圆的几何性质：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围[来源:21世纪教育网]
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
短轴的长 长轴的长
焦点
、
、
焦距
对称性
关于轴、轴、原点对称
离心率
准线方程
21世纪教育网
3、设是椭圆上任一点，点到对应准线的距离为，点到对应准线的距离为，则．
4、平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
5、双曲线的几何性质：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
或，
或，
顶点
、[来源:21世纪教育网]
、
轴长
虚轴的长 实轴的长
焦点
、
、
焦距
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
离心率[来源:21世纪教育网]
准线方程
渐近线方程
6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
7、设是双曲线上任一点，点到对应准线的距离为，点到对应准线的距离为，则．
8、平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线．
9、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即．
10、抛物线的几何性质：
标准方程
图形
顶点
对称轴
轴
轴
焦点
21世纪教育网
准线方程
离心率
范围
典型例题：
例1. 如图，直角三角形ABC的顶点坐标A(－2,0)，直角顶点B(0，－2)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．
(1)求BC边所在直线方程；
(2)M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；
(3)若动圆N过点P且与圆M相切，求动圆N的圆心N的轨迹方程．
解：(1)∵kAB＝－，AB⊥BC，∴kCB＝，21世纪教育网
∴BC边所在直线方程为y＝x－2．
(2)在BC边所在直线方程中，令y＝0，得C(4,0)，
∴圆心M(1,0)．又∵|AM|＝3，
∴外接圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.
(3)∵P(－1,0)，M(1,0)，
圆N过点P(－1,0)，∴PN是该圆的半径．
又∵动圆N与圆M内切，
∴|MN|＝3－|PN|，即|MN|＋|PN|＝3，
∴点N的轨迹是以M、P为焦点，长轴长为3的椭圆．
∴a＝，c＝1，b＝＝，
∴轨迹方程为＋＝1.
例2. 已知抛物线C的焦点为F(，0)，对应于这个焦点的准线方程为x=-.
(1)写出抛物线C的方程；
(2)过F点的直线与曲线C交于A、B两点，O点为坐标原点，求△AOB重心G的轨迹方程；
(3)点P是抛物线C上的动点，过点P作圆(x-3)2+y2=2的切线，切点分别是M，N.当P点在何处时，|MN|的值最小？并求出|MN|的最小值.
解：(1)容易求得抛物线方程为y2=2x.
(2)①当直线不垂直于x轴时，设方程为y=k(x-)，
代入y2=2x，得：k2x2-(k2+2)x+=0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=，
y1+y2=k(x1+x2-1)= 21世纪教育网
设△AOB的重心为G(x，y)，则
消去k得为所求.
②当直线垂直于x轴时，不妨令A(，1)，B(，-1)，
△AOB的重心G(，0)也满足上述方程.
综合①②得，所求的轨迹方程为
(3)设已知圆的圆心为Q(3，0)，半径r=
根据圆的性质有：
当|PQ|2最小时，|MN|取最小值，
设P点坐标为(x0，y0)，则
|PQ|2=(x0-3)2+ -4x0+9=(x0-2)2+5，
∴当x0=2，y0=±2时，|PQ|2取最小值5，
故当P点坐标为(2，±2)时，|MN|取最小值
例3．已知椭圆:的离心率等于,抛物线:的焦点在椭圆的顶点上．（1）求抛物线的方程。 (2）过的直线与抛物线交于、两点，又过、作抛物线的切线、，当时，求直线的方程。21世纪教育网
解：（1）已知椭圆的短半轴为，半焦距为， 由离心率等于
∴，∴椭圆的上顶点，∴抛物线的焦点为，∴抛物线的方程为
(2）设直线的方程为，，，，∴21世纪教育网
∴切线、的斜率分别为、 当时，即：由得：，解得或 ①∴即：满足 ①∴直线的方程为
例4.已知点分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，到焦点的距离的最大值为，且的最大面积为.
(I）求椭圆的方程。
(II）点的坐标为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点。对于任意的是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理
解： (I)由题意可知：a+c= +1 ，×2c×b=1,有∵a2=b2+c2
∴a2=2, b2=1, c2=1
∴所求椭圆的方程为：
(II）设直线l的方程为：y=k（x-1）A(x1，y1) ,B(x2，y2)，M(,0)
联立
则
