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北师大版 七年级下
1.7.2多项式除以单项式
情境引入
1、单项式除以单项式的步骤：
①系数相除
②同底数幂相除
③对于只在被除式里含的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式
2、练一练
（1）6a3÷2a2= .
（2）-8a3b2÷2ab= .
（3）-8a3b2c2 ÷(-2ab）= .
3a
-4a2b
4a2bc2
合作学习
【思考】一幅长方形油画的面积为(ma+mb)，宽为m，求它的长.
你会列式吗？
(ma+mb)÷m
这是什么运算？
(ma+mb) ÷ m
多项式
单项式
÷
计算下列各题，说说你的理由 .
(1)(ad+bd) ÷d =_________；
(2)(a2b+3ab) ÷a =_________；
(3)(xy3-2xy) ÷xy =_________.
方法1：利用乘除法的互逆
方法2：类比有理数的除法
由有理数的除法
类比得到
【思考】如何计算多项式除以单项式？
多项式除以单项式，先把这个多项式的 分别除以这个 ，再把所得的商 .
单项式
每一项
相加
(ma+mb)÷m=ma÷m+mb÷m=a+b
提炼概念
典例精讲
例2 计算：
(1) (6ab+8b)÷2b (2) (27a3-15a2+6a)÷3a
= 27a3÷3a -15a2÷3a +6a÷3a
=9a2-5a+2
解：= 6ab÷2b+8b÷2b
= 3a+4
例2 计算：
(3) (9x2y-6xy2)÷3xy； (4)
= 9x2y÷3xy - 6xy2 ÷3xy
= 3x -2y
归纳概念
总结：多项式除以单项式中的“三数变化特点”
（1）项数：被除式有几项，则商就有几项，计算中不可漏项；
（2）系数：各项系数相除时，应包含前面的符号，当被除式的系数为负数时，商式的各项符号与被除多项式各项的符号相反；
（3）次数：商的次数小于或等于被除式的次数。
【做一做】
小明在爬一小山时，第一阶段的平均速度为v，所用时间为 t1；第二阶段的平均速度为 v，所用时间为t2.
下山时，小明的平均速度保持为4v．已知小明上山的路程和下山的路程是相同的，问小明下山用了多长时间？
【分析】要求小明下山用了多长时间，就是用路程除以速度，先求出
上山的路程，再除以下山时的速度即可。
上山的路程：
vt2+vt1
下山的速度：
4v
下山的时间：
（ vt2+vt1）÷4v
答：小明下山所用时间为
课堂练习
1.下列计算：
①(6ab＋5a)÷a＝6b＋5；
②(8x2y－4xy2)÷(－4xy)＝－2x－y；
③(15x2yz－10xy2)÷5xy＝3x－2y；
④(3x2y－3xy2＋x)÷x＝3xy－3y2.
其中不正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
3.一个长方形的面积为a2+2a，若一边长为a，则另一边长为_____________.
a+2
B
2.如果(4a2b-3ab2)÷M=-4a+3b，那么单项式M等于( )
A.ab B.-ab C.a D.-b
4.计算：（1）(12a3-6a2+3a) ÷3a；（2）（14m3-7m2+14m）÷7m
解：（1） (12a3-6a2+3a) ÷3a
=12a3÷3a+(-6a2) ÷3a+3a÷3a
=4a2+(-2a)+1
=4a2-2a+1.
（2）（14m3-7m2+14m）÷7m
=14m3÷7m-7m2÷7m+14m÷7m
= 2m2-m+2.
5.已知一个多项式除以2x2，所得的商是2x2＋1，余式是3x－2，请求出这个多项式．
解：根据题意得
2x2(2x2＋1)＋3x－2
＝4x4＋2x2＋3x－2，
则这个多项式为4x4＋2x2＋3x－2.
6.先化简，后求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x＝2017，y＝2016.
解：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y
＝[2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y]÷x2y
＝x－y.
当x＝2017，y＝2016时，
原式＝x－y＝2017－2016＝1.
课堂总结
多项式除以单项式
法则
注意
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
(a+b+c) ÷m=a÷m+b÷m+c÷m (m≠0)
1.被除式有几项,则商就有几项，不可丢项.
2.各项系数相除时,应包含前面的符号.当除式的系数为负数时，商式的各项符号与被除多项式各项的符号相反.
3.商的次数小于或等于被除式的次数.
方法
转化为单项式除以单项式的问题
作业布置
教材课后配套作业题。
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1.7.2多项式除以单项式 教案
课题 1.7.2多项式除以单项式 单元 第1单元 学科 数学 年级 七年级（下）
学习目标 1.理解和掌握多项式除以单项式的运算法则.2.会进行简单的多项式除以单项式的运算.
重点 会进行多项式除以单项式的运算.
难点 准确运用法则将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式，并注意商的符号的确定.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题1、单项式除以单项式的步骤：①系数相除②同底数幂相除③对于只在被除式里含的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式2、练一练（1）6a3÷2a2= . （2）-8a3b2÷2ab= . （3）-8a3b2c2 ÷(-2ab）= . 思考 若一个长方形的面积为am + bm， 宽为m， 则它的长是 。想一想：用什么方法可以得出答案。计算下列各题，说说你的理由.（1）(ad + bd)÷d =____________;（2）(a2b + 3ab)÷a =__________;（3）(xy3－2xy)÷xy =__________.方法1：利用乘除法的互逆方法2：类比有理数的除法由有理数的除法议一议如何进行多项式除以单项式的运算？(am + bm + cm)÷m= am÷m + bm÷m + cm÷m= a + b + c【思考】观察算式及结果，你发现了什么？1.原来是一个几项式除以单项式，结果是一个几项式呢？2.结果中的每一项是怎么得来的呢？总结：多项式除以单项式的法则多项式除以单项式，先用这个多项式的 除以这个 ，再把所得的商 .关键：应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式. 思考自议通过问题的提出，再依据探索练习所导出的规律，让学生自己主动构建，获得新的知识：把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得商相加． 通过复习上节课所学的单项式除以单项式的运算，为探索多项式除以单项式做准备。
讲授新课 提炼概念总结：多项式除以单项式中的“三数变化特点”（1）项数：被除式有几项，则商就有几项，计算中不可漏项；（2）系数：各项系数相除时，应包含前面的符号，当被除式的系数为负数时，商式的各项符号与被除多项式各项的符号相反；（3）次数：商的次数小于或等于被除式的次数。 三、典例精讲例2 计算：（1）(6ab + 8b)÷2b；（2）(27a3－15a2 + 6a)÷3a；（3）(9x2y－6xy2)÷3xy；（4）(3x2y－xy2 +xy)÷(xy) .解：（1）= 6ab÷2b+8b÷2b = 3a+4 （2）= 27a3÷3a -15a2÷3a +6a÷3a =9a2-5a+2（3）= 9x2y÷3xy - 6xy2 ÷3xy = 3x -2y （4）做一做小明在爬一小山时，第一阶段的平均速度为 v，所用时间为 t1；第二阶段的平均速度为 v，所用时间为 t2.下山时，小明的平均速度保持为 4v．已知小明上山的路程和下山的路程是相同的，那么小明下山用了多长时间？ 教师鼓励学生大胆探索，学生积极探索，寻找突破口，得到多项式除以单项式法则。巩固学生所学的新知，并让学生学会对新知识的正用、逆用、变形用的能力，加强学生的计算能力和解决问题能力的培养。 利用多项式除以单项式解决简单的实际问题
课堂检测 四、巩固训练1.下列计算：①(6ab＋5a)÷a＝6b＋5；②(8x2y－4xy2)÷(－4xy)＝－2x－y；③(15x2yz－10xy2)÷5xy＝3x－2y；④(3x2y－3xy2＋x)÷x＝3xy－3y2.其中不正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个C 2.如果(4a2b-3ab2)÷M=-4a+3b，那么单项式M等于( ) A.ab B.-ab C.a D.-bB3.一个长方形的面积为a2+2a，若一边长为a，则另一边长为_____________.a+24.计算：（1）(12a3-6a2+3a) ÷3a；（2）（14m3-7m2+14m）÷7m解：（1） (12a3-6a2+3a) ÷3a =12a3÷3a+(-6a2) ÷3a+3a÷3a =4a2+(-2a)+1 =4a2-2a+1.（2）（14m3-7m2+14m）÷7m =14m3÷7m-7m2÷7m+14m÷7m = 2m2-m+2.5.已知一个多项式除以2x2，所得的商是2x2＋1，余式是3x－2，请求出这个多项式．解：根据题意得 2x2(2x2＋1)＋3x－2 ＝4x4＋2x2＋3x－2， 则这个多项式为4x4＋2x2＋3x－2.6.先化简，后求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x＝2017，y＝2016. 解：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y ＝[2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y]÷x2y ＝x－y. 当x＝2017，y＝2016时， 原式＝x－y＝2017－2016＝1.
课堂小结 本节课你学到了什么 1.多项式除以单项式运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加.2.注意（1）计算时，多项式的各项要包括它们前面的符号，要注意符号的变化；（2）当被除式的项与除式的项相同时，商是1，不能把“1”漏掉.
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1.7.2多项式除以单项式 学案
课题 1.7.2多项式除以单项式 单元 第1单元 学科 数学 年级 七年级下册
学习目标 1.理解和掌握多项式除以单项式的运算法则.2.会进行简单的多项式除以单项式的运算.
重点 会进行多项式除以单项式的运算.
难点 准确运用法则将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式，并注意商的符号的确定.
教学过程
导入新课 【引入思考】1、单项式除以单项式的步骤：①系数相除②同底数幂相除③对于只在被除式里含的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式2、练一练（1）6a3÷2a2= . （2）-8a3b2÷2ab= . （3）-8a3b2c2 ÷(-2ab）= . 【思考】一幅长方形油画的面积为(ma+mb)，宽为m，求它的长.你会列式吗？计算下列各题，说说你的理由 .(1)(ad+bd) ÷d =_________；(2)(a2b+3ab) ÷a =_________；(3) (xy3-2xy) ÷xy =_________.（1）计算（ad+bd）÷d就是相当于求（ ） ·d=ad+bd,∴（ad+bd）÷d=_______又知ad ÷d+bd ÷d=a+b.即 （ad+bd）÷d=ad ÷d+bd ÷d=a+b.（2）(a2b+3ab) ÷a =____÷____+____÷____=_________（3）(xy3-2xy) ÷xy =_____÷_____-_____÷_____=_________【思考】如何计算多项式除以单项式？多项式除以单项式，先把这个多项式的 分别除以这个 ，再把所得的商 .(ma+mb)÷m= = .
新知讲解 提炼概念总结：多项式除以单项式中的“三数变化特点”（1）项数：被除式有几项，则商就有几项，计算中不可漏项；（2）系数：各项系数相除时，应包含前面的符号，当被除式的系数为负数时，商式的各项符号与被除多项式各项的符号相反；（3）次数：商的次数小于或等于被除式的次数。典例精讲 例2 计算：（1）(6ab + 8b)÷2b；（2）(27a3－15a2 + 6a)÷3a；（3）(9x2y－6xy2)÷3xy；（4）(3x2y－xy2 +xy)÷(xy) .做一做小明在爬一小山时，第一阶段的平均速度为 v，所用时间为 t1；第二阶段的平均速度为 v，所用时间为 t2.下山时，小明的平均速度保持为 4v．已知小明上山的路程和下山的路程是相同的，那么小明下山用了多长时间？
课堂练习 巩固训练 1.下列计算：①(6ab＋5a)÷a＝6b＋5；②(8x2y－4xy2)÷(－4xy)＝－2x－y；③(15x2yz－10xy2)÷5xy＝3x－2y；④(3x2y－3xy2＋x)÷x＝3xy－3y2.其中不正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如果(4a2b-3ab2)÷M=-4a+3b，那么单项式M等于( ) A.ab B.-ab C.a D.-b3.一个长方形的面积为a2+2a，若一边长为a，则另一边长为_____________.4.计算：（1）(12a3-6a2+3a) ÷3a；（2）（14m3-7m2+14m）÷7m5.已知一个多项式除以2x2，所得的商是2x2＋1，余式是3x－2，请求出这个多项式．6.先化简，后求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x＝2017，y＝2016. 答案引入思考 方法1：利用乘除法的互逆方法2：类比有理数的除法由有理数的除法多项式除以单项式运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加.提炼概念典例精讲 例2 解：（1）= 6ab÷2b+8b÷2b = 3a+4 （2）= 27a3÷3a -15a2÷3a +6a÷3a =9a2-5a+2（3）= 9x2y÷3xy - 6xy2 ÷3xy = 3x -2y （4）做一做巩固训练1.C2.B3.a+24.解：（1） (12a3-6a2+3a) ÷3a =12a3÷3a+(-6a2) ÷3a+3a÷3a =4a2+(-2a)+1 =4a2-2a+1.（2）（14m3-7m2+14m）÷7m =14m3÷7m-7m2÷7m+14m÷7m = 2m2-m+2.5.解：根据题意得 2x2(2x2＋1)＋3x－2 ＝4x4＋2x2＋3x－2， 则这个多项式为4x4＋2x2＋3x－2.6.解：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y ＝[2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y]÷x2y ＝x－y. 当x＝2017，y＝2016时， 原式＝x－y＝2017－2016＝1.
课堂小结 本节课你学到了什么 1.多项式除以单项式运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加.2.注意（1）计算时，多项式的各项要包括它们前面的符号，要注意符号的变化；（2）当被除式的项与除式的项相同时，商是1，不能把“1”漏掉.
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