湖南师大附中2013届高三第5次月考数学理解析版
文档属性
| 名称 | 湖南师大附中2013届高三第5次月考数学理解析版 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 409.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-01-28 13:19:16 | ||
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文档简介
高三年级月考数学试题（5）
理 科
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 指数函数且在上是减函数，则函数在R上的单调性为（ ）
A.单调递增 B.单调递减
C.在上递增，在上递减 D.在上递减，在上递增
【答案】B
【解析】由已知有，显然函数在R上单调递减.
2. 已知集合，，且，则的可取值组成的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，满足条件
时，由或得，
故的可取值组成的集合为
3. 向量均为单位向量，其夹角为，则命题“”是命题“”的（ ）条件.
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.非充分非必要条件
【答案】B
【解析】
从而，反之不成立。21世纪教育网
4. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，
由已知有：，
则所成的角为
5. 一个样本a,3,5,7的平均数是b，且分别是数列的第2和第4项，则这个样本的方差是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】由已知，
则
6. 已知锐角A，B满足,则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
又，则
则.
【注】直接按和角公式展开也可.
7. 已知椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】双曲线的渐近线方程为，由可得，
椭圆方程为，而渐近线与椭圆的四个交点为顶点的四边形为正方形，[来源:21世纪教育网]
设在一象限的小正方形边长为，则，从而点（2,2）在椭圆上，
即：
于是。椭圆方程为，答案应选D。
8. 如果一个位十进制数的数位上的数字满足“小大小大小大”的顺序，即满足：，我们称这种数为“波浪数”；从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中任取一个五位数，这个数为“波浪数”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】显然中必有一个数字为5，由对称性，不妨先设，则.
若，则是的任意排列都满足，即种；
若，则是1,2的任意排列，且，即2种；
则满足条件的概率是：
填空题：（本大题共7小题, 每小题5分, 共35分.把答案填在答题纸的相应位置．）
9. 复数满足（其中为虚单位），则 .
【答案】
【解析】21世纪教育网
10. 的展开式中，系数最大的项为第______项.
【答案】3或5
【解析】的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最大，中间项为第4项其系数为负，则第3，5项系数最大.
11. 阅读下面算法语句：
21世纪教育网
则执行图中语句的结果是输出 .
【答案】i=4
【解析】这是当型循环语句，输出结果不是数字4，而是i=4.提醒学生注意细节.
12. 设x，y满足约束条件，向量，且
则的最小值为 .
【答案】
【解析】不等式对应的可行域是顶点为的三角形及其内部，由，得，可知在处有最小值
13. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于 .
【答案】0.3
【解析】，则，又分布图像关于直线，
，则，
14. 正四面体ABCD中，AO⊥平面BCD，垂足为，设是线段上一点，且是直角，则的值为 .
【答案】1
【解析】如图，联结，设正四面体的棱长为，则
,
故：,则.
15.我们把形如的函数称为“莫言函数”，并把其与轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心凡是与“莫言函数”有公共点的圆，皆称之为“莫言圆”，则当，时，
莫言函数的单调增区间为：
所有的“莫言圆”中，面积的最小值为____________21世纪教育网
解析(1)由图1易知x=1与x=-1是函数图像的渐近线
所以，单调增区间为：
(2)如图2显然圆心C(0,-1),由图当圆C与“莫言眉毛”相切时，
圆面积最小。在上任取一点P(x,y),则
R2=
令t=R2=,
面积的最小值为3
三、解答题(本大题6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)
16. （本小题满分12分）设△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设向量，，当取最小值时，判断△ABC的形状.
【解析】（Ⅰ）因为a、b、c成等比数列，则．由正弦定理得．
又，所以．因为sinB＞0，则． …… 4分
因为B∈（0，π），所以B＝或．……………… 5分[来源:21世纪教育网]
又，则或，即b不是△ABC的最大边，故．……… 6分
（Ⅱ）因为， ……………………………………… 7分
所以. ……………… 9分
所以当时，取得最小值.
此时（），于是. ……………… 11分21世纪教育网
又，从而△ABC为锐角三角形.…………………… 12分
17.（本小题满分12分）为调查某社区年轻人的周末生活状况，研究这一社区年轻人在周末的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区年轻人80人，得到下面的数据表：
性别 休闲方式
逛街
上网
合计
男
10
50
60
女
10
10
20
合计
20
60
80
（Ⅰ）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的年轻男性，设调查的3人在这一时间段以上网为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）根据以上数据，能否有99%的把握认为“周末年轻人的休闲方式与性别有关系”？
参考公式：
参考数据：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
【解析】（Ⅰ）依题意，随机变量X的取值为0，1，2，3，且每个男性在周末以上网为休闲方式的概率为 ……………………………………………………2分
解法一：………………….6分
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
∴ ………………………………….8分
解法二：根据题意可得， …………………………………...4分
∴ ………………………………………6分
………………………………………8分
（Ⅱ）提出假设H0：休闲方式与性别无关.
根据样本提供的2×2列联表得：
…10分
因为当H0成立时，的概率约为0.01，所以我们有99%的把握认为“周末年轻居民的休闲方式与性别有关系”. ……………………….12分
18.（本小题满分12分）某研究性学习小组设计了一种计算装置，装置有一数据入口A和一个数据出口B，执行某种运算程序：当从A口输入自然数1时，从B口得到实数，记为, 当从A口输入自然数n()时，在B口得到的结果是前一结果的倍.
（Ⅰ）当从A口输入2,3,4时，求从B口分别得到什么数？试猜想f(n)的表示式，并用数学归纳法证明你的结论；
（Ⅱ）记为数列的前n项的和，当从B口得到时，求对应的的值.
【解析】（Ⅰ）由已知得
当n=2时，，
同理可得 --------------------------------------------------------（2分）
猜想 （*）-------------------------------------------------（4分）
下面用数学归纳法证明（*）成立
①当n=1，2，3，4时，由上面的计算结果知（*）成立--------------------------（5分）21世纪教育网
②假设n=k（k≥4，k∈N*）时，（*）成立，即，
那么当n=k+1时，，
∴当n=k+1时，（*）也成立-----------------------------（7分）
综合①②所述，对?n∈N*， 成立．--------------------（8分）
（Ⅱ）由，得从A口输入的自然数-----（9分）
因为-----------------------------------（10分）
所以----（12分）
19.（本小题满分13分）某处理中心拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为4.设该容器的建造费用为千元.
（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的值.
【解析】（Ⅰ）因为容器的体积为立方米，
所以,解得,
所以圆柱的侧面积为=，…………(3分)
两端两个半球的表面积之和为,…………(4分)
所以+, …………(6分)
由 得。 定义域为.…………(7分)
（Ⅱ）因为+=,
所以令得，…………(8分)
令则所以。
①当即时，易知是函数的极小值点，也是最小值点。……(10分)②当即时，是函数的最小值点。…………(12分)
综上，当时，建造费用最小时；
当时，建造费用最小时米. …………(13分)
20、（本小题满分13分）
在直角坐标平面内轴右侧的一动点到点的距离比它到轴的距离大.
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；[来源:21世纪教育网]
（Ⅱ）将曲线上每个点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）得到曲线D的图象，设为曲线D上的一个动点，点、在轴上，若为圆的外切三角形，求面积的最小值.
【解析】（Ⅰ）由题知点到点的距离与它到直线的距离相等，所以点的轨迹是抛物线，方程为； …………5分
（Ⅱ）依题意，曲线D的方程是 …………6分
设，则即
由直线是圆的切线知即
同理，所以是方程的两根
…………9分
又由题知令，则
当即时， “”成立
面积的最小值为． …………13分
21、（本小题满分13分）已知函数，（）.
（Ⅰ）若，在上恒成立，求的取值范围.
（Ⅱ）设数列，为数列的前项和，求证
（III）设函数的图象与函数的图象交于点，，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点，，问是否存在点，使在M处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）时，
设，则. （1分）
若显然不满足题意；
若，则时，恒成立，
在上为减函数，有在上恒成立.
若，则时，，时，[来源:21世纪教育网]
所以在上单调递增.
，时，，不满足题意.
综上，时在上恒成立. （4分）
（Ⅱ）由（1）得在上恒成立.令有
则
即.（8分）
（III），设点，的坐标是，，且，
则点，的横坐标为.
在点处的切线斜率为.
在点处的切线斜率为.
假设在点处的切线与在点处的切线平行，则.
即.所以
====.
所以. （11分）
设，则，. ----- ①
令，，则.
因为，所以.所以在上单调递增.
故.则.这与①矛盾，假设不成立.
故在点处的切线与在点处的切线不平行. （13分）
理 科
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 指数函数且在上是减函数，则函数在R上的单调性为（ ）
A.单调递增 B.单调递减
C.在上递增，在上递减 D.在上递减，在上递增
【答案】B
【解析】由已知有，显然函数在R上单调递减.
2. 已知集合，，且，则的可取值组成的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，满足条件
时，由或得，
故的可取值组成的集合为
3. 向量均为单位向量，其夹角为，则命题“”是命题“”的（ ）条件.
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.非充分非必要条件
【答案】B
【解析】
从而，反之不成立。21世纪教育网
4. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，
由已知有：，
则所成的角为
5. 一个样本a,3,5,7的平均数是b，且分别是数列的第2和第4项，则这个样本的方差是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】由已知，
则
6. 已知锐角A，B满足,则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
又，则
则.
【注】直接按和角公式展开也可.
7. 已知椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】双曲线的渐近线方程为，由可得，
椭圆方程为，而渐近线与椭圆的四个交点为顶点的四边形为正方形，[来源:21世纪教育网]
设在一象限的小正方形边长为，则，从而点（2,2）在椭圆上，
即：
于是。椭圆方程为，答案应选D。
8. 如果一个位十进制数的数位上的数字满足“小大小大小大”的顺序，即满足：，我们称这种数为“波浪数”；从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中任取一个五位数，这个数为“波浪数”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】显然中必有一个数字为5，由对称性，不妨先设，则.
若，则是的任意排列都满足，即种；
若，则是1,2的任意排列，且，即2种；
则满足条件的概率是：
填空题：（本大题共7小题, 每小题5分, 共35分.把答案填在答题纸的相应位置．）
9. 复数满足（其中为虚单位），则 .
【答案】
【解析】21世纪教育网
10. 的展开式中，系数最大的项为第______项.
【答案】3或5
【解析】的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最大，中间项为第4项其系数为负，则第3，5项系数最大.
11. 阅读下面算法语句：
21世纪教育网
则执行图中语句的结果是输出 .
【答案】i=4
【解析】这是当型循环语句，输出结果不是数字4，而是i=4.提醒学生注意细节.
12. 设x，y满足约束条件，向量，且
则的最小值为 .
【答案】
【解析】不等式对应的可行域是顶点为的三角形及其内部，由，得，可知在处有最小值
13. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于 .
【答案】0.3
【解析】，则，又分布图像关于直线，
，则，
14. 正四面体ABCD中，AO⊥平面BCD，垂足为，设是线段上一点，且是直角，则的值为 .
【答案】1
【解析】如图，联结，设正四面体的棱长为，则
,
故：,则.
15.我们把形如的函数称为“莫言函数”，并把其与轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心凡是与“莫言函数”有公共点的圆，皆称之为“莫言圆”，则当，时，
莫言函数的单调增区间为：
所有的“莫言圆”中，面积的最小值为____________21世纪教育网
解析(1)由图1易知x=1与x=-1是函数图像的渐近线
所以，单调增区间为：
(2)如图2显然圆心C(0,-1),由图当圆C与“莫言眉毛”相切时，
圆面积最小。在上任取一点P(x,y),则
R2=
令t=R2=,
面积的最小值为3
三、解答题(本大题6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)
16. （本小题满分12分）设△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设向量，，当取最小值时，判断△ABC的形状.
【解析】（Ⅰ）因为a、b、c成等比数列，则．由正弦定理得．
又，所以．因为sinB＞0，则． …… 4分
因为B∈（0，π），所以B＝或．……………… 5分[来源:21世纪教育网]
又，则或，即b不是△ABC的最大边，故．……… 6分
（Ⅱ）因为， ……………………………………… 7分
所以. ……………… 9分
所以当时，取得最小值.
此时（），于是. ……………… 11分21世纪教育网
又，从而△ABC为锐角三角形.…………………… 12分
17.（本小题满分12分）为调查某社区年轻人的周末生活状况，研究这一社区年轻人在周末的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区年轻人80人，得到下面的数据表：
性别 休闲方式
逛街
上网
合计
男
10
50
60
女
10
10
20
合计
20
60
80
（Ⅰ）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的年轻男性，设调查的3人在这一时间段以上网为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）根据以上数据，能否有99%的把握认为“周末年轻人的休闲方式与性别有关系”？
参考公式：
参考数据：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
【解析】（Ⅰ）依题意，随机变量X的取值为0，1，2，3，且每个男性在周末以上网为休闲方式的概率为 ……………………………………………………2分
解法一：………………….6分
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
∴ ………………………………….8分
解法二：根据题意可得， …………………………………...4分
∴ ………………………………………6分
………………………………………8分
（Ⅱ）提出假设H0：休闲方式与性别无关.
根据样本提供的2×2列联表得：
…10分
因为当H0成立时，的概率约为0.01，所以我们有99%的把握认为“周末年轻居民的休闲方式与性别有关系”. ……………………….12分
18.（本小题满分12分）某研究性学习小组设计了一种计算装置，装置有一数据入口A和一个数据出口B，执行某种运算程序：当从A口输入自然数1时，从B口得到实数，记为, 当从A口输入自然数n()时，在B口得到的结果是前一结果的倍.
（Ⅰ）当从A口输入2,3,4时，求从B口分别得到什么数？试猜想f(n)的表示式，并用数学归纳法证明你的结论；
（Ⅱ）记为数列的前n项的和，当从B口得到时，求对应的的值.
【解析】（Ⅰ）由已知得
当n=2时，，
同理可得 --------------------------------------------------------（2分）
猜想 （*）-------------------------------------------------（4分）
下面用数学归纳法证明（*）成立
①当n=1，2，3，4时，由上面的计算结果知（*）成立--------------------------（5分）21世纪教育网
②假设n=k（k≥4，k∈N*）时，（*）成立，即，
那么当n=k+1时，，
∴当n=k+1时，（*）也成立-----------------------------（7分）
综合①②所述，对?n∈N*， 成立．--------------------（8分）
（Ⅱ）由，得从A口输入的自然数-----（9分）
因为-----------------------------------（10分）
所以----（12分）
19.（本小题满分13分）某处理中心拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为4.设该容器的建造费用为千元.
（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的值.
【解析】（Ⅰ）因为容器的体积为立方米，
所以,解得,
所以圆柱的侧面积为=，…………(3分)
两端两个半球的表面积之和为,…………(4分)
所以+, …………(6分)
由 得。 定义域为.…………(7分)
（Ⅱ）因为+=,
所以令得，…………(8分)
令则所以。
①当即时，易知是函数的极小值点，也是最小值点。……(10分)②当即时，是函数的最小值点。…………(12分)
综上，当时，建造费用最小时；
当时，建造费用最小时米. …………(13分)
20、（本小题满分13分）
在直角坐标平面内轴右侧的一动点到点的距离比它到轴的距离大.
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；[来源:21世纪教育网]
（Ⅱ）将曲线上每个点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）得到曲线D的图象，设为曲线D上的一个动点，点、在轴上，若为圆的外切三角形，求面积的最小值.
【解析】（Ⅰ）由题知点到点的距离与它到直线的距离相等，所以点的轨迹是抛物线，方程为； …………5分
（Ⅱ）依题意，曲线D的方程是 …………6分
设，则即
由直线是圆的切线知即
同理，所以是方程的两根
…………9分
又由题知令，则
当即时， “”成立
面积的最小值为． …………13分
21、（本小题满分13分）已知函数，（）.
（Ⅰ）若，在上恒成立，求的取值范围.
（Ⅱ）设数列，为数列的前项和，求证
（III）设函数的图象与函数的图象交于点，，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点，，问是否存在点，使在M处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）时，
设，则. （1分）
若显然不满足题意；
若，则时，恒成立，
在上为减函数，有在上恒成立.
若，则时，，时，[来源:21世纪教育网]
所以在上单调递增.
，时，，不满足题意.
综上，时在上恒成立. （4分）
（Ⅱ）由（1）得在上恒成立.令有
则
即.（8分）
（III），设点，的坐标是，，且，
则点，的横坐标为.
在点处的切线斜率为.
在点处的切线斜率为.
假设在点处的切线与在点处的切线平行，则.
即.所以
====.
所以. （11分）
设，则，. ----- ①
令，，则.
因为，所以.所以在上单调递增.
故.则.这与①矛盾，假设不成立.
故在点处的切线与在点处的切线不平行. （13分）
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