人教版数学九年级下册 28.1锐角三角函数 第一课时 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
第28章：锐角三角函数
人教版·九年级下册
28.1 锐角三角函数（1）
　　意大利比萨斜塔1350年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心点2.1 m．1972年比萨地区发生地震，这座高54.5 m的斜塔在大幅度摇摆后仍魏然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线5.2 m，而且还在继续倾斜，有倒塌的危险．当地从1990年对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心的距离减少了43.8 cm．
　　问题1 我们用“塔身中心线与垂直中心线所成的角θ”来描述比萨斜塔的程度，根据已测量的数据你能求角θ的度数吗？
　　在上述问题中，可以抽象出什么几何图形？上述问题可以抽象成什么数学问题？
　　答：这个问题可以抽象出一个直角三角形，实际是“已知直角三角形的一条直角边和斜边，求这条直角边所对锐角的度数”．
　　对直角三角形的边角关系，已经研究了什么？还可以研究什么？
　　答：我们前面研究了直角三角形中角与角之间的关系（两锐角互余）、三边之间的关系（勾股定理），还可以研究边与角之间的关系．
　　从实际需要看，要描述比萨斜塔的倾斜程度，我们需要研究直角三角形中边与角之间的关系：从数学内部看，我们已经研究了直角三角形的边与边的关系、角与角的关系，边与角之间有什么关系呢？本节课我们一起来学习“锐角三角函数”——锐角的正弦、余弦、正切．
　　我们先研究有一个锐角为30°的直角三角形问题．
　　问题2 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35 m，那么需要准备多长的水管？
　　你能用数学语言来表达这个实际问题吗？如何解决这个问题．
　　答：把上述实际问题抽象成数学问题为：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35 m，求AB．
　　依据“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”得到答案：“需要准备70 m长的水管”．
　　在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？
　　答：依据“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”得到答案：“需要准备100 m长的水管”．
　　对于有一个锐角为30°的任意直角三角形，30°角的对边与斜边有怎样的数量关系？
　　答：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 ．
　　问题3 在直角三角形中，如果锐角的大小发生了改变，其对边与斜边的比值还是 吗？例如，如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A的对边与斜边的比 ．由此你能得出什么结论？
　　答：在Rt△ABC中，∠C=90°，因为∠A=45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形．
　　由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=2BC2， ．因此 ．
　　结论：在一个直角三角形中，当一个锐角等于45°时，无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对角与斜边的比都等于 ．
　　问题4 由上述两个结论可知，在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，它是一个固定值；当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，它也是一个固定值．由此你能猜想出什么一般的结论呢？
　　答：在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．
　　问题5 如图，任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=α，那么 与 有什么关系？你能解释吗？
解： = ；因为∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'．
所以 ，即 ．
　　在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，它的对边与斜边的比都是一个固定值．这个固定值随锐角A的度数的变化而变化，由此我们给这个“固定值”以专门名称．
　　如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sin A，即
sin A= ．
当∠A=30°时，∠A的正弦为多少？∠A=45°呢？
答：sin 30°= ，sin 45°= ．
注意：正弦的三种表示方式：sin A（省去角的符号），sin 30°，sin∠DEF．
问题6 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A确定时，∠A的对边与斜边的比随之确定．此时，其他边之间的比是否也随之确定呢？为什么？
所以 ，即 ；
，即 ．
　　答：当∠A确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比都是确定的．
　　证明：如图，因为∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'．
　　我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cos A，即cos A= ；
　　把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tan A，即tan A= ．
　　∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数（trigonometric function of acute angle）．
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sin A和sin B的值．
分析：求sin A就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sin B就是要确定∠B的对边与斜边的比．
解：如图（1），在Rt△ABC中，由勾股定理，得
．
因此 ，
．
如图（2），在Rt△ABC中，由勾股定理，得
．
因此
，
．
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sin A，cos A，tan A的值．
解：由勾股定理，得
．
因此 ， ，
．
1．在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足BC︰CA︰AB=5︰12︰13，则cos B=（ ）．
A．　 B． C． D．
C
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，c=5，求sin A和tan A的值．
解：在Rt△ABC中，∵a=3，c=5，
∴ ．
∴sin A= ，tan A= ．
1．正弦、余弦、正切的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
（1）正弦：锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A= ．
（2）余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A= ；
（3）正切：锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A= ．
2．锐角三角函数的定义
∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数，即sin A，cos A，tan A都叫做锐角A的三角函数．