7.3万有引力理论的成就 练习（word版含答案）

人教版必修第二册 7.3 万有引力理论的成就
一、单选题
1．2021年5月15日，我国“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，这标志着我国对火星探测的重大突破。若探测器着陆火星后以10m/s的初速度竖直向上射出一小球，经4.5s后小球落回探测器内。已知火星的半径为地球半径的一半，且其表面空气非常稀薄，气体阻力忽略不计，地球表而重力加速度g取10m/s2。则（　　）
A．火星的密度与地球的密度之比为
B．火星的密度与地球的密度之比为
C．忽略地球及火星的自转，小球在火星表面所受重力与在地球表面所受重力大小之比为
D．忽略地球及火星的自转，小球在火星表面所受重力与在地球表面所受重力大小之比为
2．嫦娥五号探测器由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成。探测器预计在2017年由长征五号运载火箭在中国文昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球，带回约2kg月球样品。某同学从网上得到一些信息，如表格中的数据所示，请根据题意，判断地球和月球的密度之比为（ ）
月球半径 R0
月球表面处的重力加速度 g0
地球和月球的半径之比
地球表面和月球表面的重力加速度之比
A． B． C．4 D．6
3．一个物体在地球表面所受的重力为mg，则在距地面高度为地球半径的2倍时，所受引力为（　　）
A． B． C． D．
4．百余年前，爱因斯坦广义相对论率先对黑洞作出预言。时至今日，全球多地天文学家同步公布了人类首张黑洞照片。若某小型黑洞的半径R约45km，质量M和半径R的关系满足（其中c为真空中的光速，G为引力常量），则该黑洞表面重力加速度的数量级为（　　）
A． B． C． D．
5．天问一号于2021年2月10日实施火星捕获，将于2021年5月择机实施降轨软着陆火星表面。设天问一号距火星表面高度约为火星半径的n倍，其环绕周期为T，引力常量为G，则火星的密度为（　　）
A． B． C． D．
6．2021年4月，我国空间站的“天和”核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（　　）
A．核心舱的质量和地球半径 B．核心舱的质量和绕地球运行周期
C．核心舱绕地球运行的角速度和半径 D．核心舱绕地球运行的周期和距地高度
7．美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道，若“卡西尼”号探测器在半径R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度的表达式正确的是（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
8．“嫦娥五号”探测器由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成，自动完成月面样品采集，并从月球起飞返回地球。若已知月球半径为R，探测器在距月球表面高为R的圆轨道上飞行，周期为T，引力常量为G，下列说法正确的是（　　）
A．月球质量为 B．月球表面的重力加速度为
C．月球的密度为 D．月球表面的环绕速度为
9．地球的半径为R，地球表面处物体所受的重力为mg，近似等于物体所受的万有引力。关于物体在下列位置所受万有引力大小的说法正确的是（　　 ）
A．离地面高度R处为
B．离地面高度R处为
C．离地面高度R处为
D．以上说法都不正确
10．在半径为 R1的 K 星球表面竖直向上提起一质量为 m1的物体，拉力 F 与物体加速度 a 的关系如图线 1 所示。在半径为 R2的 T 星球表面竖直向上提起一质量为 m2的物体，拉力 F 与物体加速度 a 的关系如图线 2 所示。设两星球密度相等，质量分布均匀。则 （　　）
A．m1 : m2=3 : 1，R1 : R2=1 : 2 B．m1 : m2=3 : 2，R1 : R2=3 : 1
C．m1 : m2=3 : 1，R1 : R2=2 : 3 D．m1 : m2=3 : 2，R1 : R2=2 : 1
11．若在某行星和地球上离各自水平地面的相同高度处，同时由静止释放两质量相同的物体，它们在空中运动的时间之比为，已知该行星的半径约为地球半径的2倍，地球的质量为，由此可知，该行星的质量为（　　）
A． B． C． D．
12．如图所示，两人造地球卫星a、b在同一平面内绕地球c沿逆时针方向做匀速圆周运动，卫星b经过时间t （t 小于卫星b绕行周期），测得卫星b运动的弧长为s，卫星b与地球的中心连线扫过角度为θ，万有引力常量为G，则下列说法正确的是 （　　）
A．可知地球c的质量为
B．可知地球的密度为
C．若Ta∶Tb＝1∶k （k＞1，为正整数），从图示位置开始，在b运动一周的过程中，a、b距离最近的次数为k次
D．若Ta∶Tb＝1∶k （k＞1，为正整数），从图示位置开始，在b运动一周的过程中，a、b、c共线的次数为2k－2次
13．如图所示，“火星”探测飞行器P绕火星做匀速圆周运动，若“火星”探测飞行器某时刻的轨道半径为r，探测飞行器P观测火星的最大张角为β，下列说法正确的是（　　）
A．探测飞行器P的轨道半径r越大，其周期越小
B．探测飞行器P的轨道半径r越大，其速度越大
C．若测得周期和张角，可得到火星的平均密度
D．若测得周期和轨道半径，可得到探测器P的质量
14．一行星围绕某恒星做匀速圆周运动。由天文观测可得其运行周期为T、线速度为v，已知万有引力常量为G，则（　　）
A．行星运动的轨道半径为
B．行星的质量为
C．恒星的质量为
D．恒星表面的重力加速度大小为
15．假如人类发现了某星球，人类登上该星球后，进行了如下实验：在固定的竖直光滑圆轨道内部，一小球恰好能做完整的圆周运动，小球在最高点的速度为v，轨道半径为r.若已测得该星球的半径为R，引力常量为G，则该星球质量为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
16．有一宇宙飞船到了某行星附近（该行星没有自转运动），以速度v绕行星表面做匀速圆周运动，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则该行星的半径为_________；该行星的质量为_________；该行星的平均密度为__________；该行星表面的自由落体加速度为__________．
17．所谓“双星”就是两颗相距较近的恒星，这两颗星各自以一定的速率绕某一中心转动才不致由于万有引力而吸在一起，已知某“双星”中星体的质量分别为和，相距为L，它们的轨道半径之比= ______ ；它们转动的角速度为______ ．
18．若地球半径减小1%，而其质量不变，则地球表面重力加速度g的变化情况是_______（填“增大”、“减小”、“不变”），增减的百分比为____________%．（取一位有效数字）
三、解答题
19．北京时间2019年4月10日21时，人类首张黑洞照片面世。某黑洞质量和半径的之比为（其中为光速，为引力常量），且观测到距黑洞中心距离为r的天体以速度绕该黑洞做匀速圆周运动，求：
（1）该黑洞的质量M；
（2）该黑洞的半径R。
20．2021年2月10日19时52分，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为T，轨道半径为r。已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星的自转。求：
（1）“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小v；
（2）火星的质量M；
（3）火星表面的重力加速度的大小g。
21．假设地球可视为质量分布均匀的球体，不考虑地球自转的影响且已知地球的密度为，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，据此，求：
(1)地球半径R的表达式；
(2)甲、乙两同学认为地球密度相等，且两同学计算均无错误，若甲同学以估算出地球半径为6500，乙同学以估算，地球半径应是多少？
22．地球的平均半径约为6400km。月球绕地球的运动可以近似看作匀速圆周运动，由此能否估算出月球球心到地心的距离？若能，请用公式表示月地距离的大小，并指出公式中各量的大小；若不能，请说明理由。
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【详解】
CD．小球在火星上
根据
可得忽略地球及火星的自转，小球在火星表面所受重力与在地球表面所受重力大小之比为
故CD错误；
AB．根据
结合
联立可得
则星的密度与地球的密度之比
故A正确，B错误。
故选A。
2．B
【详解】
利用题给信息，对地球，有
G=mg
得
M=
又
V=πR3
得地球的密度
ρ=
对月球，有
G=mg0
得
M0=
又
V0=π
得月球的密度
ρ0=
则地球的密度与月球的密度之比
故选B。
3．D
【详解】
设地球的质量为M，半径为R，设万有引力常量为G，根据万有引力等于重力
在距地面高度为地球半径的2倍时
联立可得
故D正确，ABC错误。
4．C
【详解】
由
可知黑洞表面的加速度
故选C。
5．C
【详解】
当卫星环绕地球做半径为r的圆周运动时，万有引力提供向心力，有
又地球的质量为
轨道半径为
联立可得
ABD错误，C正确。
故选C。
6．C
【详解】
根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得
可得
可知已知核心舱的质量和绕地半径、已知核心舱的质量和绕地周期以及已知核心舱绕地球运行的周期和距地高度，都不能求解地球的质量；若已知核心舱的绕地角速度和半径可求解地球的质量。
故选C。
7．D
【详解】
根据万有引力提供向心力有
由题意可得
解得
平均密度为
，
联立解得
所以D正确；ABC错误；
故选D。
8．A
【详解】
A．对于探测器，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有
G=m·2R·
解得
m月=
故A正确；
B．在月球表面附近，物体的重力等于万有引力，有
解得月球表面的重力加速度为
g月==
故B错误；
C．月球的密度
ρ===
故C错误；
D．设月球表面的环绕速度为v，根据牛顿第二定律，有
解得
v==
故D错误。
故选A。
9．C
【详解】
由于地球表面处物体所受的重力近似等于物体所受的万有引力，得
离地面高度时的万有引力
故选C。
10．A
【详解】
物体在星球表面竖直向上加速，根据牛顿第二定律有
变形得
则图线的斜率表示物体的质量，则有
，
故
当时，拉力等于物体的重力，则有
、
则重力加速度之比为
根据物体在星球表面上，万有引力等于重力，则有
又
联立解得
故
故选A。
11．A
【详解】
根据题意可知，物体在某行星和地球上均做自由落体运动，则有
又因为
所以
则该行星的质量为
BCD错误；A正确。
故选A。
12．D
【详解】
A．由几何关系知卫星b绕地球运行轨道半径为
由
得
T＝
由
得地球质量
M＝＝
故A错误；
B．由于地球半径未行，不能确定地球的密度大小，B错误；
C．若Ta∶Tb＝1∶k （k＞1，为正整数），从图示位置开始，设每隔时间 T，a、b相距最近，则
（ωa－ωb）T＝2π
所以
卫星b运动一周的过程中，两人造卫星a、b相距最近的次数为
n＝＝＝＝k－1
卫星a、b距离最近的次数为k－1次，选项C错误；
D．设每隔时间t，a、b、c共线一次，则
（ωa－ωb）t＝π
所以
卫星b运动一周的过程中，a、b、c共线的次数为
n＝＝＝＝2k－2
选项D正确。
故选D。
13．C
【详解】
A．根据
可得
因此轨道半径r越大，周期越大，故A错误；
B．根据
可得
轨道半径r越大，速度越小，故B错误；
C．若测得张角为，如图
则可求出火星的半径
若测出飞行器P运行的周期T，根据
可得火星的的质量
因此火星的密度
故C正确；
D．由ABC中公式可知：探测器围绕火星做圆周运动的表达式中，探测器的质量m两边约去了，所以无法得到探测器P的质量，故D错误。
故选C。
14．C
【详解】
A．行星做匀速圆周运动，根据线速度与周期的关系可知
v
解得
故A错误；
B．行星属于环绕天体，质量无法求出，故B错误；
C．根据万有引力提供向心力，有
解得恒星的质量为
故C正确；
D．恒星的半径未知，表面的重力加速度无法确定，故D错误。
故选C。
15．D
【详解】
设小球的质量为m，该星球的质量为M，该星球表面的重力加速度为g，因小球恰好做完整的圆周运动，由牛顿第二定律以及向心力公式可得mg＝，解得g＝，对于该星球表面质量为m′的物体，万有引力近似等于其重力，即m′g＝，由此可得M＝。
故选D。
16．
根据匀速圆周运动由线速度和周期求得半径，再根据万有引力做向心力求得行星质量，即可由球体体积公式及平均密度定义求得密度；最后再根据行星表面物体重力等于万有引力求得重力加速度即自由落体加速度．
【详解】
设行星质量为M，半径为R，飞船质量为m，行星表面重力加速度为g；根据匀速圆周运动规律可得：，所以行星半径，根据万有引力做向心力可得：，所以行星质量，行星体积，故平均密度，根据行星表面物体重力等于万有引力可得：，所以重力加速度．
【点睛】
万有引力的应用问题一般由重力加速度求得中心天体质量，或由中心天体质量、轨道半径、线速度、角速度、周期中两个已知量，根据万有引力做向心力求得其他物理量．
17．
【详解】
[1].设“双星”的角速度为ω，根据牛顿第二定律得
对星1：
①
对星2：
②
由①：②得
[2].由①和②化简再得
解得
18． 增加 2％
【详解】
在地球表面有
，
解得
，
若地球半径减小1%，而其质量不变，则g增大，
地球表面的重力加速度增加量为
，
解得：
，
即增加了2％．
19．（1）；（2）
【详解】
（1）距黑洞中心距离为r的天体以速度绕该黑洞做匀速圆周运动，则
得
（2）由
得
20．（1）；（2）；（3）
【详解】
（1）由线速度定义可得
（2）设“天问一号”的质量为m，引力提供向心力有
得
（3）忽略火星自转，火星表面质量为的物体，其所受引力等于重力
得
21．(1)(2)6370km
【详解】
(1)根据
且
解得
(2)根据
乙同学以估算，地球半径
22．
【详解】
根据
解得
在地球表面
解得
带入得
g为地球表面重力加，取， R为地球半径约为6400km，T为月球围绕地球转动的周期约为27天。
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页