8.6.1　直线与直线垂直练习题（word含答案解析）

8.6.1　直线与直线垂直练习题
一、选择题
1.若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　　)
A.一定平行 B.一定垂直
C.一定是异面直线 D.一定相交
2.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有(　　)
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
3.在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ＝2，QR＝，PR＝3，那么异面直线AC和BD所成的角是(　　)
A.90° B.60°
C.45° D.30°
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为BC，CC1，A1D1，C1D1的中点，则直线EF，MN所成角的大小为(　　)
A. B.
C. D.
5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)
A. B.
C. D.
6.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面正方形边长为1，AA1＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)
A.－ B.
C. D.－
二、填空题
7.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有________.
8.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.
以上结论正确的为________(填序号).
9.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________.
10.空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝，则异面直线AD与BC所成角的大小为________.
11.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，E是B1C1的中点，则直线AE与BC所成角的大小为________，直线A1B与AC1所成角的余弦值为______.
三、解答题
12.正四棱锥P－ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，求异面直线BE与PA所成角的余弦值 .
13.如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证：CD1⊥EF.
14.如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥DA，PD⊥DC，在底面ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，又CD＝6，AB＝AD＝PD＝3，E为PC的中点.
(1)求证：BE∥平面ADP；
(2)求异面直线PA与CB所成角的大小.
8.6.1　直线与直线垂直练习题
参考答案
1答案　B
解析　∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.
2答案　B
解析　和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1.
3答案　A
解析　∠PQR(或其补角)为所求，由勾股定理的逆定理可知∠PQR＝90°.
4答案　C
解析　连接A1C1，C1B，A1B.
∵E，F，M，N分别是BC，CC1，A1D1，C1D1的中点.
∴MN∥A1C1，EF∥BC1，
∴∠A1C1B是异面直线EF与MN所成的角.
由△A1BC1为等边三角形，知∠A1C1B＝.
5答案　C
解析　法一　∵AB∥CD，∴∠EAB(或其补角)为AE与CD所成的角.
连接BE(图略)，则在Rt△ABE中，若设AB＝2，则BE＝，从而tan∠EAB＝＝，
∴异面直线AE与CD所成角的正切值为.故选C.
法二(补形法)
如图，在已知正方体ABCD－A1B1C1D1的后面再补上一个与其相同的正方体DCFG－D1C1F1G1，取FF1中点E1，连接DE1，EE1，则EE1綉CF綉AD，
∴四边形AEE1D是平行四边形.
∴DE1∥AE.
∴∠E1DC(或其补角)为AE与CD所成角.
连接E1C，设AB＝2，则DC＝2，CE1＝.
在Rt△DCE1中，tan∠E1DC＝＝.故选C.
6答案　B
解析　连接D1C，AC，如图所示，
在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，易知A1B∥D1C，
∴∠AD1C是异面直线A1B与AD1所成的角(或补角)，
在△AD1C中，易知AD1＝D1C＝，AC＝.
由余弦定理，得
AC2＝AD＋D1C2－2AD1·D1C·cos ∠AD1C.
∴cos ∠AD1C＝＝.
7答案　AB，A1B1
解析　由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1.
8答案　①③
解析　把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确.
9答案　5
解析　取AD的中点P，连接PM，PN，
则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角(或其补角)，
∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，
PM＝BD＝3，∴MN＝5.
10答案　60°
解析　如图取AC的中点为H，连接EH，HF，则易得EH∥BC，FH∥AD.
所以∠EHF就是异面直线AD，BC所成的角(或所成角的补角).
因为AD＝BC＝2，所以EH＝HF＝1，则△EHF是等腰三角形.又EF＝，所以∠EHF＝120°，
则异面直线AD，BC所成的角为60°.
11答案　90°　
解析　如图所示，连接AB1，由三棱柱的性质可得AC1＝AB1.
又因为E是B1C1的中点，所以AE⊥B1C1.
又BC∥B1C1，所以AE⊥BC，
即直线AE与BC所成的角为90°.
如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC－A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD，由四棱柱的性质知BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角.设AB＝a，
∵AA1与AC，AB所成的角均为60°，且AB＝AC＝AA1，
∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1·cos 30°＝a.
又∠BAC＝90°，∴在矩形ABDC中，AD＝a，
∴A1D1＝a，
∴A1D＋A1B2＝BD，∴∠BA1D1＝90°，
∴在Rt△BA1D1中，cos ∠A1BD1＝＝＝.
12解　连接AC，BD相交于O，连接OE，
则O为AC的中点，因为E是PC的中点，
所以OE是△PAC的中位线，
则OE綉PA，则OE与BE所成的角即为异面直线BE与PA所成的角，
设四棱锥的棱长为1，
则OE＝PA＝，OB＝BD＝，BE＝.
则cos∠OEB＝
＝＝.
13证明　如图，取CD1的中点G，
连接EG，DG，
∵E是BD1的中点，
∴EG∥BC，EG＝BC.
∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形，
∴EF∥DG，
∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.
又∵A1A＝AB，
∴四边形ABB1A1、四边形CDD1C1都是正方形，
又G为CD1的中点，∴DG⊥CD1，
∴∠D1GD＝90°，
∴异面直线CD1与EF所成的角为90°.
所以CD1⊥EF.
14(1)证明　取PD的中点为F，连接EF，AF，
则在△PCD中，EF∥CD且EF＝CD，
由已知AB∥CD且AB＝CD，
所以AB∥EF且AB＝EF，
所以四边形ABEF为平行四边形，
所以BE∥AF，而AF 平面ADP，BE 平面ADP，
所以BE∥平面ADP.
(2)解　取CD中点G，连接AG，PG，
所以AB∥GC且AB＝GC，
所以四边形ABCG为平行四边形，
所以BC∥AG，所以∠PAG(或其补角)为PA与CB所成角，由题意得PA＝AG＝PG＝3，
所以∠PAG＝60°，所以PA与CB所成角为60°.