8.6.2　直线与平面垂直第一课时　直线与平面垂直的判定练习题（word含答案解析）

8.6.2　直线与平面垂直练习题
一、选择题
1.已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面(　　)
A.有且只有一个 B.至多有一个
C.有一个或无数个 D.不存在
2.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是(　　)
A.平行 B.垂直
C.相交 D.不确定
3.线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.120°
4.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是(　　)
A.平行
B.垂直相交
C.垂直但不相交
D.相交但不垂直
5.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB∶BB1＝∶1，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为(　　)
A.45° B.60°
C.30° D.75°
6.在三棱锥S－ABC中，SA＝SB＝SC，则点S在平面ABC的射影一定在(　　)
A.BC边的中线上 B.BC边的高线上
C.BC边的中垂线上 D.∠BAC的平分线上
二、填空题
7.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是________.
8.矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角的大小为________.
9.如图，四棱锥S－ABCD底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个.
①AC⊥SB；
②AB∥平面SCD；
③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；
④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角.
10.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，正方形ABCD的面积为16，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为________.
11.(开放题)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)
三、解答题
12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，求：
(1)D1B与平面ABCD所成角的余弦值；
(2)EF与平面A1B1C1D1所成的角.
13.如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.
(1)求证：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
14.如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点.
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD.
8.6.2　直线与平面垂直练习题-参考答案
1答案　B
解析　若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在.
2答案　B
解析　由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB.
3答案　C
解析　如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，且BC＝AB，∠ABC为AB所在直线与平面α所成的角.
在Rt△ABC中，cos∠ABC＝＝，∴∠ABC＝60°.
故AB与平面α所成的角为60°.
4答案　C
解析　连接AC.因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.
又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.
因为AC∩ MC＝C，所以BD⊥平面AMC.
又MA 平面AMC，所以MA⊥BD.
显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.
5答案　A
解析　取BC的中点D，连接AD，B1D，
∵AD⊥BC且AD⊥BB1，
∴AD⊥平面BCC1B1，
∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角.
设AB＝，则AA1＝1，AD＝，AB1＝，
∴sin∠AB1D＝＝，∴∠AB1D＝45°.
6答案　C
解析　设点S在平面ABC上的射影为O，连接OA，OB，OC.
∵SA＝SB＝SC，SO⊥平面ABC，
∴OA＝OB＝OC，
∴点O是△ABC的外心，故点O在BC边的中垂线上.
7答案　l⊥AC
解析　∵AB⊥α，l α，∴AB⊥l，
又BC⊥β，l β，∴BC⊥l，
又AB∩BC＝B，且AB，BC 平面ABC，
∴直线l⊥平面ABC，故l⊥AC.
8答案　30°
解析　由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角.
在Rt△PAC中，tan∠PCA＝＝＝，
∴∠PCA＝30°，即PC与平面ABCD所成的角为30°.
9答案　4
解析　∵SD⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴SD⊥AC.
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，
又SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，且SB 平面SBD，
∴AC⊥SB，故①正确.
∵AB∥CD，AB 平面SDC，CD 平面SDC，
∴AB∥平面SCD，故②正确.
∵SD⊥平面ABCD，
∴SA在底面上的射影为AD，
∴SA与底面ABCD所成的角为∠SAD，③正确.
∵AB∥CD，故④也正确.
10答案　64
解析　∵S正方形ABCD＝16，∴AB＝CB＝4，
∵AB⊥平面BB1C1C，
故∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角，即∠AC1B＝30°.
从而BC1＝4，CC1＝＝4.
故长方体的体积V＝16×4＝64.
11答案　A1C1⊥B1C1(答案不唯一)
解析　如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C.
因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1.
由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC.
因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)
12解　(1)如图所示，连接DB，
∵D1D⊥平面ABCD，
∴DB是D1B在平面ABCD内的射影，
则∠D1BD即为D1B与平面ABCD所成的角.
∵DB＝AB，D1B＝AB，
∴cos ∠D1BD＝＝，
即D1B与平面ABCD所成角的余弦值为.
(2)∵E是A1A的中点，A1A⊥平面A1B1C1D1，
∴∠EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角.
在Rt△EA1F中，
∵F是A1D1的中点，∴∠EFA1＝45°，
即EF与平面A1B1C1D1所成的角为45°.
13证明　(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM .
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，
PB 平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.
又NQ 平面ANQ，∴PB⊥NQ.
14证明　(1)取PD的中点E，连接NE，AE，如图.
又∵N是PC的中点，∴NE∥DC且NE＝DC.
又∵DC∥AB且DC＝AB，
AM＝AB，
∴AM∥CD且AM＝CD，
∴NE∥AM，且NE＝AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE.
∵AE 平面APD，MN 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，∴AE⊥PD.
又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
∵AE 平面PAD，∴CD⊥AE，
∴CD⊥MN.又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
∴MN⊥平面PCD.