8.6.2　直线与平面垂直第二课时　直线与平面垂直的性质练习题（word含答案解析）

8.6.2第二课时　直线与平面垂直的性质练习题
一、选择题
1.若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线(　　)
A.只有一条 B.有无数条
C.是平面内的所有直线 D.不存在
2.直线l垂直于平面α，m α，则有(　　)
A.l∥m B.l和m异面
C.l和m相交 D.l和m不平行
3.地面上有两根相距a米的旗杆，它们的高分别是b米和c米(b>c)，则它们上端的距离为(　　)
A. B.
C. D.
4.设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列条件能使a⊥b成立的是(　　)
A.a⊥c，b⊥c B.α⊥β，a α，b β
C.a⊥α，b∥α D.a⊥α，b⊥α
5.PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任意一点，则下列关系不正确的是(　　)
A.PA⊥BC
B.BC⊥平面PAC
C.AC⊥PB
D.PC⊥BC
6.在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为(　　)
A.2 B.7
C. D.
7.(多选题)如图，等边三角形ABC的边长为1，BC边上的高为AD，沿AD把三角形ABC折起来，则(　　)
A.在折起的过程中始终有AD⊥平面DB′C
B.三棱锥A－DB′C的体积的最大值为
C.当∠B′DC＝60°时，点A到B′C的距离为
D.当∠B′DC＝90°时，点C到平面ADB′的距离为
二、填空题
8.已知A，B两点在平面α的同侧，且它们与平面α的距离相等，则直线AB与平面α的位置关系是________.
9.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，B为垂足，直线a β，a⊥AB.则直线a与直线l的位置关系是________.
10.一条与平面α相交的线段AB，其长度为10 cm，两端点A，B到平面α的距离分别是3 cm，2 cm，则线段AB与平面α所成的角大小是________.
11.如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面ABCD，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________.
三、解答题
12.如图，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F分别为BC，CD上的点，且EF⊥AC.求证：＝.
13.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.
(1)证明：B1C⊥AB；
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC－A1B1C1的高.
14.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点.
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)求证：AB⊥MN.
8.6.2第二课时　直线与平面垂直的性质练习题参考答案
1答案　B
解析　当a∥平面α时，在平面α内有无数条直线与直线a是异面垂直直线；当a α时，在α内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；当直线a与平面α相交但不垂直时，在平面α内有无数条平行直线与直线a垂直.
2答案　D
解析　因为l⊥α，m α，所以l⊥m，则l和m可能相交，也可能异面，即l和m不平行.
3答案　D
解析　如图，由线面垂直的性质定理可知AB∥CD，作AE⊥CD于E，则DE＝b－c，故AD＝.
4答案　C
解析　选项A，B中，a与b相交、平行或异面，选项C中，因为b∥α，所以可过b作一个平面γ，使α∩γ＝l，则b∥l，又a⊥l，所以a⊥b.选项D中，由线面垂直的性质定理，a∥b.
5答案　C
解析　∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC，A选项正确；又∵BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又PC 平面PAC，∴BC⊥PC，∴B，D选项均正确.故选C.
6答案　A
解析　如图所示，因为PC⊥平面ABC，所以PC⊥CM，则△PCM是直角三角形，故PM2＝PC2＋CM2，所以当CM⊥AB时，CM最小，此时PM也最小.由条件知AC＝4，BC＝4，故CM的最小值为2，
又PC＝4，则PM的最小值为＝2.
7答案　ABCD
解析　因为AD⊥DC，AD⊥DB′，且DC∩DB′＝D，DC，DB′ 平面DB′C，所以AD⊥平面DB′C，故A正确；
当DB′⊥DC时，△DB′C的面积最大，此时三棱锥A－DB′C的体积也最大，最大值为××××＝，故B正确；
当∠B′DC＝60°时，△DB′C是等边三角形，设B′C的中点为E，连接AE，DE，则AE⊥B′C，即AE为点A到B′C的距离，AE＝＝，故C正确；
当∠B′DC＝90°时，CD⊥DB′，CD⊥AD，故CD⊥平面ADB′，则CD就是点C到平面ADB′的距离，则CD＝，故D正确.
8答案　平行
9答案　平行
解析　∵EA⊥α，平面α∩平面β＝l，
即l α，∴l⊥EA.同理l⊥EB.
又EA∩EB＝E，EA，EB 平面EAB，
∴l⊥平面EAB.∵EB⊥β，a 平面β，∴EB⊥a.
又a⊥AB，EB∩AB＝B，EB，AB 平面EAB，
∴a⊥平面EAB，∴a∥l.
10答案　30°
解析　如图，作AC⊥α，BD⊥α，垂足分别为C，D，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于O，AB＝10 cm，AC＝3 cm，BD＝2 cm，则AO＝6 cm，BO＝4 cm，∴∠AOC＝∠BOD＝30°，即线段AB与平面α所成的角的大小为30°.
11答案　(6，＋∞)
解析　由题意知PA⊥DE，又PE⊥DE，PA∩PE＝P.
所以DE⊥平面PAE，则DE⊥AE.
易证△ABE∽△ECD.
设BE＝x，则＝，即＝，
∴x2－ax＋9＝0，　(*)
由题意方程(*)有两个不相等的实根，
故Δ＝a2－4×1×9>0，则a>6.
12证明　∵PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，BD 平面ABD，BD 平面BCD，EF 平面BCD，
∴PA⊥BD，PC⊥BD，PC⊥EF.
又PA∩PC＝P，PA，PC 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
又EF⊥AC，PC∩AC＝C，PC，AC 平面PAC，
∴EF⊥平面PAC.∴EF∥BD，
∴＝.
13(1)证明　连接BC1，则O为B1C与BC1的交点.
因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1.
又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，
故B1C⊥平面ABO.
由于AB 平面ABO，故B1C⊥AB.
(2)解　在平面BB1C1C内作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.
在平面AOD内作OH⊥AD，垂足为H.
由于BC⊥AO，BC⊥OD，
故BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC.
又OH⊥AD，所以OH⊥平面ABC.
因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形.
又BC＝1，可得OD＝.
由于AC⊥AB1，所以OA＝B1C＝.
由OH·AD＝OD·OA，且AD＝＝，
得OH＝.
又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为，
故三棱柱ABC－A1B1C1的高为.
14证明　(1)取PD中点Q，连接AQ，NQ.
∵N是PC中点，
∴NQ綉DC，
又∵M是AB中点，
AM綉DC，∴AM綉NQ，
∴四边形AQNM是平行四边形.∴MN∥AQ.
∵MN 平面PAD，AQ 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，∴PA⊥AB.
又∵底面ABCD为矩形，
∴AB⊥AD.又PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，又AQ 平面PAD，∴AB⊥AQ.
又∵AQ∥MN，∴AB⊥MN.