6.4三角形的中位线定理 同步练习(含解析)

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6.4三角形的中位线定理同步练习青岛版初中数学八年级下册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
如图，在中，，分别是、的中点，点在延长线上，添加一个条件使四边形为平行四边形，则这个条件是
A.
B.
C.
D.
如图，为了测量池塘边、两地之间的距离，在线段的同侧取一点，连结并延长至点，连结并延长至点，使得、分别是、的中点，若，则线段的长度是
A.
B.
C.
D.
如图，菱形的两条对角线，相交于点，是的中点，若，，则长为
A.
B.
C.
D.
如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是
A. B. C. D.
中，点，分别是的边，的中点，连接若，则
A. B. C. D.
点是矩形的对角线的中点，是边的中点，，，则线段的长为
A.
B.
C.
D.
如图，在矩形中，，分别是，的中点，，则的长为
A.
B.
C.
D.
如图，面积为的菱形中，点为对角线的交点，点是线段的中点，过点作于，于，则四边形的面积为
A.
B.
C.
D.
如图，在平行四边形中，、相交于点，点是的中点．若，则的长是
A. B. C. D.
如图，在中，延长至，使得，过中点作点位于点右侧，且，连接若，则的长为
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，在平行四边形中，点为边上一点，，点，点分别是，中点，若，则的长为______．
如图，矩形中，，，在边上，且，为上一动点，、分别是、的中点，当从向移动时，线段的长度为______．
如图，在三角形中，，，分别是、的中点，延长至点，使，连结、、，若，则______．
如图，矩形中，、交于点，、分别为、的中点．若，则的长为______．
三、解答题（本大题共4小题，共32分）
如图， 的对角线，相交于点，且、、、分别是、、、的中点．求证：四边形是平行四边形．
如图，在四边形中，，，点、分别为、的中点，连接、、．
求证：；
当时，设，，求，之间的数量关系式．
如图，在 中，点，，，分别是，，，的中点．求证：四边形是平行四边形．
在中，，、分别是、的中点，延长到点，使，连接、、、，与交于点．
试说明与互相平分；
若，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：在中，，分别是，的中点，
是的中位线，
．
A、根据不能判定，即不能判定四边形为平行四边形，故本选项错误．
B、根据可以判定，即，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形为平行四边形，故本选项正确．
C、根据，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项错误．
D、根据，不能判定四边形为平行四边形，故本选项错误．
故选：．
利用三角形中位线定理得到，结合平行四边形的判定定理进行选择．
本题三角形的中位线的性质和平行四边形的判定．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
2.【答案】
【解析】解：、分别是、的中点，
是的中位线，
，
故选：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
3.【答案】
【解析】
【分析】
根据菱形的性质可得，，，从而可判断是的中位线，在中求出，继而可得出的长度．
本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，熟练掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分的性质是解题关键．
【解答】
解：四边形是菱形，，，
，，，
又点是中点，
是的中位线，
在中，，
则．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：如图：
当点与点重合时，点在处，，
当点与点重合时，点在处，，
且，
当点在上除点、的位置处时，有，
由中位线定理可知：且，
点的运动轨迹是线段，
当时，取得最小值，
矩形中，，，为的中点，
、、为等腰直角三角形，，
，，
，
，
，即，
的最小值为的长，
在等腰直角中，，
，
的最小值是，
故选：．
根据中位线定理可得出点的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知，故B的最小值为的长，由勾股定理求解即可．
本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．
5.【答案】
【解析】解：点、分别是的边、的中点，
，
，
．
故选：．
根据三角形的中位线定理得到，根据平行线的性质即可求得．
本题主要考查了三角形的中位线定理，能熟练地运用三角形的中位线定理是解此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：在矩形中，，，是矩形的对角线的中点，是边的中点，
，，，
，
点为的中点，，
，
故选：．
根据题意，利用三角形中位线定理可以得到的长，然后根据勾股定理可以得到的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到的长，本题得以解决．
本题考查三角形中位线定理、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
7.【答案】
【解析】解：如图，连接，
四边形是矩形，
，
，分别是，的中点，
，
故选：．
连接，由矩形的性质可得，由三角形中位线定理可求的解．
本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．由菱形的性质得出，，，，证出四边形是矩形，，，得出、都是的中位线，则，，由矩形面积即可得出答案．
【解答】
解：四边形是菱形，
，，，，
于，于，
四边形是矩形，，，
点是线段的中点，
、都是的中位线，
，，
矩形的面积；
故选：．
9.【答案】
【解析】解：四边形为平行四边形，
，
点是的中点，
为的中位线，
，
，
．
故选：．
根据平行四边形的性质，可得出点平分，则是三角形的中位线，则，问题得解．
本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理，是基础知识比较简单，熟记平行四边形的各种性质是解题关键．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，作辅助线构建三角形的中位线是本题的关键取的中点，连接，根据三角形的中位线定理得：，设，则，证明四边形是平行四边形，可得．
【解答】
解：取的中点，连接，
是的中点，
是的中位线，
，
设，则，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
故选B．
11.【答案】
【解析】解：点，点分别是，中点，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理和平行四边形的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：如图，连接，
四边形是矩形，
，，，
，
，
、分别是、的中点，
是的中位线，
是定值，
当从向移动时，线段的长度始终是的一半，
．
故答案为：．
如图，连接，根据四边形是矩形，可得的值，根据、分别是、的中点，可得是的中位线，因为是定值，所以可得当从向移动时，线段的长度始终是的一半，进而可得的长．
本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质、三角形中位线定理．
13.【答案】
【解析】解：连接，
在中，，是的中点，
，
，分别是、的中点，
是的中位线，
，，
，
，又，
四边形为平行四边形，
，
故答案为：．
连接，根据直角三角形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，，根据平行四边形的判定定理、性质定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的性质判断和性质、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：、分别为、的中点，
是三角形的中位线，
．
四边形是矩形，
．
故答案为．
根据中位线的性质求出长度，再依据矩形的性质进行求解问题．
本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍数关系．
15.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
、、、分别是、、、的中点，
，，，，
，，
四边形是平行四边形．
【解析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定定理是解题的关键．
根据平行四边形的性质得到，，根据三角形中位线定理得到，，，，根据平行四边形的判定定理证明．
16.【答案】证明：点、分别为、的中点，
，
，
，
，
；
解：，，
是等边三角形，
，
，点、分别为、的中点，
，，
，，
，
，
，之间的数量关系式为．
【解析】根据三角形的中位线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论；
根据题意得到是等边三角形，求得，根据三角形中位线的性质和三角形外角的性质即可得到结论．
本题考查了三角形中位线的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
17.【答案】证明：连接，如图所示．
点是的中点，点是的中点，
，．
同理，可得出：，，
，，
四边形是平行四边形．
【解析】连接，由点是的中点、点是的中点，可得出为的中线，进而可得出、，同理，可得出、，即、，再利用平行四边形的判定定理即可证出四边形是平行四边形．
本题考查了中点四边形、平行四边形的判定，根据三角形中线定义找出、是解题的关键．
18.【答案】解：、分别是、的中点，
是的中位线，
且．
又，即，
，，
四边形是平行四边形，
与互相平分；
在中，，，，
由勾股定理得
又由知，，且，
．
在中，，，，
由勾股定理得．
【解析】结合已知条件推知四边形是平行四边形，在该平行四边形的两条对角线互相平分；
根据勾股定理求得的长度，然后由平行四边形的性质和勾股定理来求的长度．
本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质．三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
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