6.3特殊的平行四边形 同步练习(含解析)

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6.3特殊的平行四边形同步练习青岛版初中数学八年级下册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
如图，正方形的边长为，点的坐标为，平行于轴，则点的坐标为
A.
B.
C.
D.
周长为的菱形中，有一个角为，则菱形的面积为
A. B. C. D.
如图，矩形中，已知点为边的中点，沿将三角形进行翻折，点的对应点为点，若，，则的长度为
A.
B.
C.
D.
如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，已知、，则点的坐标为
A.
B.
C.
D.
如图，，矩形在的内部，顶点，分别在射线，上，，，则点到点的最大距离是
A.
B.
C.
D.
在菱形中，是对角线，，连结，，则的长为
A. B. C. 或 D.
如图，在菱形中，，，为对角线的中点，过点作，垂足为则线段的长是
A. B. C. D.
如图，在菱形中，，，，则的值是
A. B. C. D.
如图，在正方形中，点，分别在，上，，则图中与相等的角的个数是
A.
B.
C.
D.
已知 的对角线、相交于点，是等边三角形，且，则等于
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图所示平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形，以为圆心，为半径画圆交轴负半轴于点，则点的坐标为______．
如图，在菱形中，对角线，交于点，其中，，则菱形的面积为______．
如图，四边形中，，请添加一个条件______，可得出该四边形是正方形．
如图，在矩形中，如果，，是对角线的垂直平分线，分别交，于点，则的长为______．
三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）
如图，在 中，为的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，，若，求证：四边形是矩形．
如图，是正方形，是边上任意一点，连接，作，，垂足分别为，求证：．
如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点．
若，，求的长；
过点作的垂线，垂足为，连接，试判断四边形的形状，并说明原因．
如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于，两点，连接，．
求证：四边形为平行四边形；
若，，且，求的长．
如图，在正方形中，是边上一点，与、不重合，连接，将沿所在的直线折叠得到，延长交于，连接，作，与的延长线交于点，连接显然是的平分线，是的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线仅限于小于的角平分线，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：正方形的边长为，点的坐标为，平行于轴，
点的横坐标为：，纵坐标为：．
点的坐标为．
点的横坐标为：，纵坐标为：．
点的坐标为．
故选项A错误，选项B错误，选项C正确，选项D错误．
故选：．
根据正方形的边长为，点的坐标为，平行于轴，可以得到点的坐标，根据点的坐标可以得到点的坐标．
本题考查坐标与图形性质，解题的关键是明确正方形的各条边相等，能根据图形找出它们之间的关系．
2.【答案】
【解析】解：如图，
菱形周长为，
，
过点作于点，
，
，
，
菱形的面积为：．
故选：．
菱形周长为，，过点作于点，可得的值，进而求出菱形的面积．
本题考查了菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
3.【答案】
【解析】解：矩形中，已知点为边的中点，，，
，，
，
沿将三角形进行翻折，
，，
，
过作于，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
故选：．
根据矩形的性质得到，，由勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，求得，过作，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，足球的识别图形是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：菱形的顶点在轴上，，，
，，，
，
，
，
点的坐标为．
故选：．
首先根据菱形的性质和点的坐标求出，再利用勾股定理求出的长度，进而得到点的坐标．
此题主要考查了菱形的性质、勾股定理以及坐标与图形性质，解题的关键是利用勾股定理求出的长度．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了矩形的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理以及三角形三边关系，解决动态问题的最值问题一般转化为两点间线段最短或三角形三边关系问题．
取中点，连接、、，求出和值，利用三角形三边关系分析出当、、三点共线时，最大为．
【解答】
解：取中点，连接、、，
，
．
在中，利用勾股定理可得．
在中，根据三角形三边关系可知，
当、、三点共线时，最大为．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：连接交于．
四边形是菱形，
，，
在中，，
，
，
在中，．
故选：．
连接交于想办法求出，，利用勾股定理即可解决问题．
本题考查菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
为对角线的中点，
，
．
故选：．
由在菱形中，，可证得是等边三角形，又由为对角线的中点，，可求得的长，的度数，继而求得答案．
此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得是等边三角形是关键．
8.【答案】
【解析】解：设，则，
，
，
即：，
解得：，
，
故选：．
设，则，根据利用勾股定理得到，从而求得，再利用勾股定理求得的长即可．
考查了菱形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是能够根据菱形的性质结合勾股定理列出方程，难度不大．
9.【答案】
【解析】证明：四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
≌，
，
，
故图中与相等的角的个数是．
故选：．
根据正方形的性质，利用即可证明≌，再根据全等三角形的性质可得，进一步得到，从而求解．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10.【答案】
【解析】解：是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是矩形，
在中，，
故选：．
根据等边三角形的性质得出，利用平行四边形的性质和矩形的判定解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质解答即可．
11.【答案】
【解析】解：四边形是边长为的正方形，
，
以为圆心，为半径画圆交轴负半轴于点
，
点
点
故答案为：
由正方形的性质可得，由勾股定理可求，即可求点坐标．
本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，熟练运用正方形的性质是本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，，
，，
菱形的面积为．
故答案为：．
根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案．
此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形面积、是两条对角线的长度．
13.【答案】
【解析】解：四边形中，，
四边形是矩形，
当或时，四边形是正方形．
故答案为：．
由四边形中，，可得四边形是矩形，即可得当或时，四边形是正方形．
此题考查了正方形的判定以及矩形的判定与性质．注意邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形．
14.【答案】
【解析】解：连接，
垂直平分，
，
设，则，
在中，
，
即：，
解得：．
，
故答案为：．
连接，构造直角三角形，设为，则，利用勾股定理得到有关的一元一次方程，求得，即可求出的长．
本题考查了矩形的性质，线段的垂直平分线的性质和勾股定理，正确根据勾股定理列出方程是关键．
15.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
为的中点，
，
≌，
．
，
四边形是平行四边形，
在 中，，
又，
，
四边形是矩形．
【解析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用判定≌，从而得到；由已知可得四边形是平行四边形，再证，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形是矩形．
16.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
在和中，
≌，
，，
，
，
．
【解析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
根据正方形的性质可得，再利用同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，根据线段的和与差可得结论．
17.【答案】解：，，
，
，
，
，
平分，
，
，
过点用垂直于于点，
，
答：的长为；
，，平分，
，，
在与中，
，，
≌，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形是菱形
【解析】根据，，，，即可求的长；
过点作的垂线，垂足为，连接，根据菱形的判定即可判断四边形的形状，
本题考查了菱形的判定和性质，解决本题的关键是综合运用角平分线的性质、等腰三角形的判定、度特殊角的直角三角形．
18.【答案】解：证明：在矩形中，为对角线的中点，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形为平行四边形；
在矩形中，，
由知：，
，
四边形为平行四边形，，
平行四边形为菱形，
，
在中，根据勾股定理，得
，
，
解得．
【解析】在矩形中，为对角线的中点，可得，，可以证明≌可得，进而证明四边形为平行四边形；
根据，可得四边形为菱形；根据，，，即可在中，根据勾股定理，求的长．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
19.【答案】解：过点作于，
则，
四边形为正方形，
，，
将沿所在的直线折叠得到，
≌，
，，，
，
又，
≌，
，，
是的平分线，是的平分线；
由知，，，
又，
，
即，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
又，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的平分线；
，，
由知，，
，
是的平分线；
综上所述，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线．
【解析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质等，解题关键是能够灵活运用轴对称的性质及全等的判定方法．
过点作于，利用正方形的性质及轴对称的性质，证明≌，可推出是的平分线，是的平分线；证明≌，推出，得到，推出是的平分线；再证，可知是的平分线．
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