(共13张PPT)
16.3 二次根式的加减
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第十六章 二次根式
第2课时 二次根式的混合运算
知识要点
1.二次根式的混合运算
2.利用乘法公式运算
新知导入
想一想：根据所学知识回答下列问题。
2.二次根式的除法法则是什么？
（a≥0，b＞0）
1.二次根式的乘法法则是什么？
3.二次根式的加减实质是
合并同类二次根式（被开方数相同）.
课程讲授
1
二次根式的混合运算
归纳：二次根式的混合运算：
(1)运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方(或开方)的混合运算．
(2)运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算 加减，如果有括号就先算括号里面的．与有理数、实数运算一样.
课程讲授
1
二次根式的混合运算
例1 计算：
解：
课程讲授
1
二次根式的混合运算
例1
解：
课程讲授
1
二次根式的混合运算
练一练：计算：
解：
课程讲授
2
利用乘法公式运算
二次根式的混合运算法则:
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则、乘法公式仍然适用.
平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2 ;
（a+b）2=a2+2ab+b2;
（a-b）2=a2-2ab+b2;
完全平方公式：
课程讲授
2
利用乘法公式运算
练一练：计算：
解：
随堂练习
1.
(中考·宁夏)下列计算正确的是( )
A. ＋ ＝
B．(－ a2)2＝－ a4
C．(a－2)2＝a2－4
D. ÷ ＝ (a≥0，b＞0)
D
2.(中考·长沙)把 ＋ 进行化简，得到的
最简结果是________(结果保留根号)．
随堂练习
3.设 则a b(填“> ”“ < ” 或“= ”）.
=
4. 计算：
（1）
解：
（1）
（2）原式
随堂练习
5.
已知 ，求 的值.
解：
课堂小结
二次根式混合运算的运算顺序
二次根式的混合运算
先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的．
乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2(共14张PPT)
16.3 二次根式的加减
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第十六章 二次根式
第1课时 二次根式的加减
知识要点
1.同类二次根式
2.二次根式的加减
新知导入
想一想：根据所学知识回答下列问题。
1.二次根式的除法法则是什么？
（a≥0，b＞0）
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数.
课程讲授
1
同类二次根式
问题1：观察下列二次根式有什么共同特征？
二次根式的被开方数相同，都是
定义：经过化简后，各根式被开方数相同，像这样的几个二次根式被称为同类二次根式.
课程讲授
1
同类二次根式
例
下列根式中，不能与 合并的是( )
A. B.
C. D.
C
课程讲授
1
同类二次根式
练一练：
若最简二次根式 与 可以进行合并，则m 的值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
D
课程讲授
2
二次根式的加减
例1 计算：
解：
二次根式的加减，与整式的加减类似，关键是将同类二次根式合并.
(1) (2)
(1)
(2)
课程讲授
2
二次根式的加减
例2 计算：
解：
(1)
(2)
(1)
(2)
课程讲授
2
二次根式的加减
二次根式的加减运算的步骤：
（1）化为最简二次根式
（2）系数相加减
（3）二次根式不变
二次根式的加减实质是合并同类二次根式（被开方数相同）. 整式的加减的实质是合并同类项．
课程讲授
2
二次根式的加减
练一练：计算：
解：
解：
随堂练习
1.
下列计算正确的是( )
A.
B．
C．
D.
D
随堂练习
2.下列计算是否正确？为什么？
(1)
(2)
(3)
解：(1) 错误；
(2) 错误；
(3) 正确.
随堂练习
3.计算：
解：
解：
课堂小结
二次根式的加减
同类二次根式
二次根式的加减运算
经过化简后，各根式被开方数相同，像这样的几个二次根式被称为同类二次根式.
二次根式的加减实质是合并同类二次根式（被开方数相同）， 整式的加减的实质是合并同类项．(共22张PPT)
第2课时 二次根式的除法
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
16.2 二次根式的乘除
第十六章 二次根式
知识要点
1.二次根式的除法法则
2.商的算术平方根
3.最简二次根式
新知导入
想一想：根据所学知识回答下列问题。
1.二次根式的乘法法则是什么？
2.根据二次根式的乘法我们能得到哪些规律？
积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积.
课程讲授
1
二次根式的除法法则
问题1：计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
_______；
_______；
(2)
_______；
_______；
(3)
_______．
_______；
课程讲授
1
二次根式的除法法则
二次根式的除法法则:
（a≥0，b＞0）
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数.
课程讲授
1
二次根式的除法法则
例 计算：
解：
(1)
(2)
1 (1) ；(2)
课程讲授
1
二次根式的除法法则
练一练：计算：
解：
课程讲授
2
商的算术平方根
问题2：根据二次根式的除法法则，我们还能得到怎样的规律？
（a≥0，b＞0）
商的算术平方根
课程讲授
2
商的算术平方根
问题3：与积的算术平方根的性质比较，商的算术平方根有什么异同点？
共同点：一个根号变成两个根号.
区别：取值范围不同.
课程讲授
2
商的算术平方根
例2 化简：
解：
课程讲授
2
商的算术平方根
例3 计算：
解：
(1)
(1)解法1：
解法2：
课程讲授
2
商的算术平方根
解：
(2)
(3)
(3)
(2)
化简：
课程讲授
2
商的算术平方根
练一练：
解：
课程讲授
3
最简二次根式
问题1：比较下面几个二次根式，试着发现其中的规律.
与其他的二次根式不同
被开方数不含分母
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
课程讲授
3
最简二次根式
定义：我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
特点归纳如下：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
课程讲授
3
最简二次根式
例4 将下列二次根式化简为最简二次根式.
解：
课程讲授
3
最简二次根式
例5
解：
设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a ，b.已知S= ，b= ,求 a 的值.
因为S = ab，所以
课程讲授
3
最简二次根式
练一练：
下列根式是最简二次根式的是( )
A. B.
C. D.
C
随堂练习
1.计算 的结果是（ ）
A．
B．5
C．
D．2
B
随堂练习
2.下列各式中 ,正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
C
随堂练习
3.计算：
解：
课堂小结
二次根式的除法
二次根式的除法法则
（a≥0，b＞0）
最简二次根式
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
被开方数不含分母
商的算术平方根(共14张PPT)
16.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第十六章 二次根式
知识要点
1.二次根式的乘法法则
2.积的算术平方根的性质
课程讲授
1
二次根式的乘法法则
问题1：计算下列各式, 观察计算结果,试着归纳其中规律.
从计算结果中我们发现：
(1) =_______, =_______;
(2) =_______, =_______;
(3) =_______, =_______.
6
6
20
20
30
30
课程讲授
1
二次根式的乘法法则
二次根式的乘法法则:
两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.
a，b必须都是非负数！
课程讲授
1
二次根式的乘法法则
例1 计算：
解：
（1）
(2)
课程讲授
1
二次根式的乘法法则
练一练：计算:
解：
(1) ；(2) .
(1)
(2)
课程讲授
2
积的算术平方根的性质
把 反过来，就得到 ，
利用它可以进行二次根式的化简.
这个性质称之为“积的算术平方根的性质”
课程讲授
2
积的算术平方根的性质
例2 化简：（1） ；（2） .
解：(1)
(2)
例3 计算：(1) (2) (3)
解：(1)
(2)
(3)
2
积的算术平方根的性质
课程讲授
课程讲授
2
积的算术平方根的性质
练一练：计算
解：
随堂练习
1.下列各式中 ,正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
D
随堂练习
2.计算 的结果是（ ）
A．
B．4
C．
D．2
B
随堂练习
3.计算
解：
课堂小结
二次根式的乘法
二次根式的乘法法则
积的算术平方根的性质
(a≥0，b≥0).(共14张PPT)
16.1 二次根式
第十六章 二次根式
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第2课时 二次根式的性质
知识要点
1.运用( )2＝a(a≥0)化简
2.运用 ＝a(a≥0)化简
3.代数式的定义
新知导入
想一想：根据所学知识回答下列问题：
2.如何确定二次根式 中字母的取值范围？
1.怎样的式子叫二次根式？
被开方数为非负数，即a ≥0.
我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式.
课程讲授
1
运用( )2＝a (a≥0)化简
问题1：根据算术平方根的意义填空，并试着归纳其中的规律．
4
2
0
归纳：一般地，有 ，即任何一个非负数算术平方根的平方都等于这个数.
课程讲授
1
运用( )2＝a(a≥0) 化简
例 计算：(1) ；
(2) .
解：(1)( )2=1.5;
(2)(2 )2=22×( )2=4×5=20.
课程讲授
1
运用( )2＝a(a≥0)化简
练一练： 计算：(1)( )2;
(2)(3 )2.
解：(1)( )2=3;
(2)( )2=32×( )2=9×2=18.
课程讲授
2
运用 ＝a(a≥0)化简
问题2：根据算术平方根的意义填空，并试着归纳其中的规律．
归纳：一般地，根据算术平方根的意义有 ＝|a| .
=______; =_____;
=______; =______;
2
0.1
0
课程讲授
2
运用 ＝a(a≥0)化简
例 计算：
(1) ; (2) .
解： (1)
(2)
课程讲授
2
运用 ＝a(a≥0)化简
练一练：如果 ＝1－2a，则( )
A．a< B．a≤
C．a> D．a≥
B
课程讲授
3
代数式的定义
归纳：回顾我们学过的式子，如5，a，a+b，-ab ， ，-x3， ， (a≥0)，它们都是用基本运算符号
(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
课程讲授
3
代数式的定义
练一练：指出下列式子，哪些是代数式，哪些不是代数式
(1)a=b；(2)a-b；(3)2x-1=3；(4)1；(5)2+3- ；
(6)3-4x＞6；(7)(a+b)(a-b)；(8)
解：(2)(4)(5)(7)(8)是代数式；(1)(3)(6)不是代数式.
随堂练习
1. 下列式子中不是代数式的为( )
A. a2+b2 B．5a＋8＝7
C．2 020 D.
2.在△ABC中，a，b，c为三角形的三边，化简
－2|c－a－b|的结果为( )
A．3a＋b－c
B．－a－3b＋3c
C．a＋3b－c
D．2a
B
B
随堂练习
4.计算 .
解：因为1－ <0，
所以
3.化简：
（1） ＝ ; （2） ＝ ;
（3） ; （4） .
3
4
7
81
课堂小结
二次根式
二次根式的性质
代数式的定义(共16张PPT)
16.1 二次根式
第十六章 二次根式
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第1课时 二次根式的概念
知识要点
1.二次根式的概念
2.二次根式有意义的条件
3.二次根式的非负性
新知导入
想一想：根据所学知识回答下列问题.
2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？
正数的正的平方根叫做它的算术平方根.
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
0的算术平方根是0.
a的平方根是 .
用 (a≥0)表示.
课程讲授
1
二次根式的概念
思考：用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
(1)面积为3的正方形的边长为______，面积为S 的正方形的边长为_____.
(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 ㎡,则它的宽为_____m.
课程讲授
1
二次根式的概念
思考：用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t
(单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m)
满足关系h =5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为
______.
课程讲授
1
二次根式的概念
问题：你认为下列各代数式有哪些共同特点？
共同点：它们表示一些正数的算术平方根．
定义：我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号.
课程讲授
1
二次根式的概念
练一练：下列各式中不是二次根式的是 ( )
A.
B.
C.
D.
C
课程讲授
2
二次根式有意义的条件
问题1：根据二次根式的定义，试着归纳二次根成立的需要满足的条件.
外貌特征：含有“ ”
内在特征：被开数a≥0
既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
课程讲授
2
二次根式有意义的条件
二次根式有意义的条件：
被开方数为非负数，即a≥0.
课程讲授
2
二次根式有意义的条件
例 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有
意义
解：由x -2≥0，得
当x ≥2时， 在实数范围内有意义.
x≥2.
课程讲授
2
二次根式有意义的条件
练一练：若二次根式 有意义 ,则实数 x的取值范围是 （ ）
A.x≥-2
B.x>-2
C.x<2
D.x≤2
D
课程讲授
3
二次根式的非负性
问题1：二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
当a ＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；
当a =0时， 表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a ≥0时， ≥0.我们把这个性质叫做二次根式的双重非负性.
课程讲授
3
二次根式的非负性
练一练：若 ，则x-y的值为 ( )
A．1
B．－1
C．7
D．－7
C
随堂练习
1. 当x______时, 二次根式有意义.
≥1
2.当x=5时，二次根式 的值为_____.
2
3.若 , 则a-b+c=_____.
3
随堂练习
4.已知 ，试求x+2y的值.
解：由题意知
解得x=1，
y=2019，
所以
1-x ≥ 0,
x-1 ≥ 0
所以x+2y=1+2×2019=4035.
课堂小结
二次根式
概念
二次根式有意义的条件
二次根式的非负性
我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式.
被开方数为非负数，即a≥0.
二次根式 中,a≥0且 ≥0
