2021-2022学年人教A版（2019） 必修第二册 第八章 立体几何初步 8.5.1　直线与直线平行 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
共面直线
相交直线
平行直线
在同一个平面内,有且只有一个公共点:
在同一个平面内,没有公共点:
异面直线
不同在任何一个平面内,没有公共点:
无公共点
复习
图形 文字语言(读法) 符号语言
相 交
（两直线共面且有一个公共点）
aIb=A
b
a
A
a∥b
平 行
（两直线共面且无公共点）
b
a
异面直线
（两直线不共面且无公共点）
a、b异面直线
b
a
【问题1】在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，在空间中此结论仍成立吗？
观察 如图1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
DC//AB，A1B1//AB ，则DC 与A1B1平
行吗？
如图2，已知l1// l2 ，l3// l2 ，那么l1// l3吗？
l1
l2
l3
b
a
c
基本事实4（平行公理）:
(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
基本事实4的作用：它是判断空间两条直线平行的依据
将空间两条直线的平行问题转化为平面两条直线的平行问题
推广：在空间中平行于一条已知直线的所有直线都互相平行
平行的传递性
证明：连接BD，
因为EH是 的中位线，
解题思想：把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题
——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。
例1 如图 ，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形。
四条线段首尾相接，并且最后一条的尾端和最初一条的首端重合，就组成一个四边形，如果四个顶点不共面，这样的四边形叫做空间四边形。
A
B
C
D
所以 EH//BD,且
同理 FG//BD,且
所以 EH//FG，且EH=FG
所以，四边形EFGH是平行四边形。
变式1 例1中，再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形
E
H
F
G
A
B
C
D
四边形EFGH是菱形。
变式2 空间四边形ABCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD
上的点,且 ，
求证:四边形EFGH为梯形.
A
B
C
D
E
H
F
G
思路：证明一组对边平行，但不相等。
例2 如图，已知在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.
求证：四边形MNA1C1是梯形.
证　如图 ，连接AC，在△ACD中，∵M，N分别是CD，AD的中点，
由正方体的性质，得AC∥A1C1，且AC＝A1C1.
即MN≠A1C1，
∴MN是△ACD的中位线，
∴四边形MNA1C1是梯形.
【悟】
证明直线平行的方法
(1)定义法：一要证两直线在同一平面内；二要证两直线没有公共点(反证法)
(2)基本事实4：空间问题转化为平面问题
3)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明．
【练1】在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是
AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.
　因为E，E′分别是AB，A′B′的中点，
所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.
所以四边形EBB′E′是平行四边形，
所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.
所以EE′∥FF′.
证明
【问题2】在平面内, 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角
相等或互补.空间中这一结论是否仍然成立呢？
（1）
（2）
当空间中两个角的两边分别对应平行时，这两个角有如下图所示的两种位置：
【问题2 】在平面内, 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角
相等或互补.空间中这一结论是否仍然成立呢？
当空间中两个角的两边分别对应平行时，这两个角有如下图所示的两种位置：
【典例】求证：在空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补
【典例】求证：在空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补
C’
等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
两边方向均相同，则两角相等;
（1）
（2）
两边方向一边相同，一边相反，则两角互补.
1.定理
文字语言
符号语言
图形语言

作用
2.推广 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 .
OA∥O′A′，OB∥O′B′ ∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′＝180°
判断或证明两个角相等或互补
例3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，E1分别是棱AD，A1D1的中点.
求证：∠BEC＝∠B1E1C1.
证明　如图，连接EE1. ∵E1，E分别为A1D1，AD的中点，
∴A1A//E1E且A1A=E1E ，
∴A1E1//AE且A1E1=AE ，∴四边形A1E1EA为平行四边形，
同理E1C1∥EC. 又∠B1E1C1与∠BEC的两边分别对应平行，方向相同，
∴∠B1E1C1＝∠BEC.
【悟】
等角定理的结论是两个角相等或互补，在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能.
【练2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，
求证：△EFG∽△C1DA1.
证明　如图所示，连接B1C.
因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF∥B1C.
又B1C∥FG，由基本事实4知A1D∥FG. 同理可证A1C1∥EG，DC1∥EF.
又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两条边分别对应 平行且均为锐角，
所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF. 所以△EFG∽△C1DA1.
又ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以CD AB，A1B1 AB，
//
//
由基本事实4知CD A1B1，所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D // B1C.
//
1.知识点：
2.方法：转化法.
3.易错点：用等角定理时，角度有可能相等或互补.
等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
作 业
课本P135 练习 1,2,3,4
本课到此结束