7.2勾股定理 同步练习(含解析)

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7.2勾股定理同步练习青岛版初中数学八年级下册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
在平面直角坐标系中，点到原点的距离是
A. B. C. D.
如图，正方形的面积是
A.
B.
C.
D.
如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是
A.
B.
C.
D.
如图，在正方形中，对角线，交于点，过点的直线分别交边，于点，，，则的值为
A.
B.
C.
D.
如图，正方形中，，相交于点，是的中点．动点从点出发，沿着的路径以每秒个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图所示，则的长为
A. B. C. D.
我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图如图，由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是
A.
B.
C.
D.
在中，，，，则的长是
A. B. C. D.
等腰三角形的腰长为，底边长为，则该三角形的面积是
A. B. C. D.
如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为
A.
B.
C.
D.
如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，若，，则两个三角形重叠部分的面积为
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，在直角坐标系中，点，是第一象限角平分线上的两点，点的纵坐标为，且，在轴上取一点，连接，，，，使得四边形的周长最小，这个最小周长的值为______．
点、、在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为，则点到线段所在直线的距离是______．
在中，，，点是斜边上一点，若是等腰三角形，则线段的长可能为______．
如图，矩形纸片中，，，先按图操作：将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为；再按图操作，沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，则、两点间的距离为______．
三、解答题（本大题共5小题，共40分）
设直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为
已知，，求；
已知，，求；
已知，，求．
如图，在中，于点，若，，，求的面积．
如图，在中，，于点，于点，，与交于点，连接．
求证≌
求证：；
若，求的长．
如图，在直角梯形中，，，，点从点出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点从点出发，以每秒的速度沿线段方向向点运动．已知动点、同时发，当点运动到点时，、运动停止，设运动时间为．
求的长；
当四边形为平行四边形时，求四边形的周长；
在点、点的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．
已知：如图，为等边三角形，点为边上的一动点点不与、重合，以为边作等边，连接求证：，；
如图，在中，，，点为上的一动点点不与、重合，以为边作等腰，顶点、、按逆时针方向排列，连接，类比题请你猜想：的度数；线段、、之间的关系，并说明理由；
如图，在的条件下，若点在的延长线上运动，以为边作等腰，顶点、、按逆时针方向排列，连接；
则题的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；
连结，若，，直接写出的长。
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
根据勾股定理计算即可．
【解答】
解：点到原点的距离．
2.【答案】
【解析】解：设正方形的边长为，
由勾股定理可知：，
，
故选：．
根据勾股定理以及正方形的面积公式即可求出答案．
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
连接，由矩形的性质得出，，，，由线段垂直平分线的性质得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】
解：连接，如图所示，
四边形是矩形，
，，，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即；
故选B．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质，知道过对角线交点的线段被这个点平分，还考查了三角形全等和勾股定理等知识点，设未知数表示线段的长是本题的关键．
作辅助线，构建矩形，先说明和是等腰直角三角形，设，，则，，证明≌，得，根据勾股定理得：，列式可得．
【解答】
解：过作于点，于点，
四边形是正方形，
，
和是等腰直角三角形，
设，，则，，
四边形是正方形，
，，
，
，
≌，
，，
中，由勾股定理得：，
，
，
故选：．
5.【答案】
【解析】【试题解析】
解：如图，连接．
四边形是正方形，
，，
由题意，设，则，
，
，
解得或不合题意舍弃，
，
，
故选：．
连接，由题意，设，则，，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
本题考查动点问题，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意读懂图象信息，属于中考常考题型．
6.【答案】
【解析】解：设全等的直角三角形的两条直角边为、且，
由题意可知：
，，，
因为，即
，
所以，
的值是．
故选：．
根据正方形的面积和勾股定理即可求解．
本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积．
7.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，
故选：．
根据在中，，，和勾股定理，可以求得的长．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答．
8.【答案】
【解析】解：如图，作底边上的高，
则，，
，
三角形的面积为：．
故选：．
作底边上的高，根据等腰三角形三线合一和勾股定理求出高，再代入面积公式求解即可．
考查了勾股定理，等腰三角形的性质，本题利用等腰三角形“三线合一”作出底边上的高，再根据勾股定理求出高的长度，作高构造直角三角形是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，，
矩形的面积为，
，
对角线，交于点，
的面积为矩形面积的，
的面积，
，，
，即，
，
，
，
故选：．
依据矩形的性质即可得到的面积为，再根据，即可得到的值．
本题主要考查了矩形的性质、三角形的面积、勾股定理，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分．
10.【答案】
【解析】解：如图设交于，连接，作于，于．
，
，
，，
≌，
，，
，
，
在中，，
，
，
平分，于，于，
，
，
，
故选：．
如图，设交于，连接，作于，于想办法求出的面积．再求出与的比值即可解决问题；
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法确定线段之间的关系，属于中考选择题中的压轴题．
11.【答案】
【解析】解：点，点的纵坐标为，
轴，
，
，
，
，
，
，
作关于轴的对称点，
连接交轴于，
则此时，四边形的周长最小，这个最小周长的值，
过作交的延长线于，
则，，
，
最小周长的值，
故答案为：．
根据平行线的性质得到，得到，求得，作关于轴的对称点，连接交轴于，则此时，四边形的周长最小，这个最小周长的值，过作交的延长线于，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了轴对称最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：连接，，设点到线段所在直线的距离是，
，，
，
．
故答案为：．
连接，，设点到线段所在直线的距离是，利用勾股定理求出的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
13.【答案】，或
【解析】解：
若是等腰三角形，，
时，为的中点，，
时，过作于，则，
综上所述，的长为，或，
故答案为：，或．
根据等腰三角形的性质分三种情况解答即可．
此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质解答．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中档题．
如图中，连接由题意可知在中，，，根据，计算即可．
【解答】
解：如图中，连接．
由题意可知在中，，，
，
故答案为．
15.【答案】解：直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为，，，
；
直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为，，，
；
直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为，，，
．
【解析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
根据即可得出结论；
根据即可得出结论；
根据即可得出结论．
16.【答案】解：，
在中，，
在中，，
，，，
，，
，
．
【解析】由于，为和的公共边，在这两个三角形中利用勾股定理可求出和的长，然后根据三角形面积公式求得即可．
本题考查了勾股定理的运用，根据勾股定理求得的长是解题的关键．
17.【答案】，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，，
，
在和中，，
≌；
证明：≌，
，
，，
，
；
解：≌，
，
在中，，
，，
．
．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
先判定出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明≌即可；
根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而得证；
根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据代入数据即可得解．
18.【答案】解：如图，过点作于，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
在中，，，
根据勾股定理得，，
；
当四边形是平行四边形，
当点在上，点在上，
如图，由运动知，，，
，
，
此时，，，根据勾股定理得，；
四边形的周长为；
当点在线段上时，即：时，
如图，，
；
当点在线段上时，即：时，
如图，，，
，或舍，
即：满足条件的的值为秒或秒．
【解析】先构造直角三角形，求出，，进而得出结论；
利用平行四边形的对边相等，建立方程求解即可得出结论；
分两种情况利用三角形面积为建立方程求解即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，分类讨论的思想，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
19.【答案】证明：如图，
和是等边三角形，
，，
在和中，
≌
≌
；
证明：如图，
即，
在与中，
≌
，
中，
中的结论还成立。
理由：
即，
在与中，
≌
，
中，
中，，
中，
是等腰直角三角形，
【解析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质。
根据等边三角形的性质就可以得出，，，进而就可以得出≌，即可得出结论；
由≌以及等边三角形的性质，得出，则；
先判定≌，得出，，在中，根据勾股定理得出，即可得到；
运用中的方法得出；根据中，，，求得，进而得出，在中，求得，最后根据是等腰直角三角形，即可得出的长。
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