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第一章 三角形的证明
【基础评测】
一、单选题
1．三名同学分别站在一个三角形三个顶点的 ( http: / / www.21cnjy.com )位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ）21教育网
A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点
2．在下列由线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝4，b＝5，c＝6 B．a＝12，b＝5，c＝13
C．a＝6，b＝8，c＝10 D．a＝7，b＝24，c＝25
3．如图，在中，，BE平分，于D，，那么CE等于
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A． cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
4．若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．10 B．17 C．13 D．13或17
5．若一个等腰三角形的外角为，则它的顶角度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
6．若等腰三角形的周长为26cm，一边为6cm，则腰长为（ ）
A．6cm B．10cm C．10cm或6cm D．以上都不对
7．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪的三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）21cnjy.com
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A．△ABC三边的垂直平分线的交点
B．△ABC的三条中线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
8．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（ ）
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A．1 B．2 C． D．4
9．满足下列条件的ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝2：4：6 B．
C．AC＝6，BC＝8，AB＝10 D．AC＝1，BC＝2，
10．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（ ）21世纪教育网版权所有
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A．10 B．6 C．7 D．8
11．下列命题是真命题的为（ ）
A．若两角的两边分别平行，则这两角相等 B．若两实数相等，则它们的绝对值相等
C．对应角相等的两个三角形是全等三角形 D．锐角三角形是等边三角形
12．以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，6，8 C．8，24，25 D．6，12，13
13．等腰三角形的两边长分别为，，则该三角形的周长为（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
14．下列关于等边三角形的性质的叙述中，错误的是（ ）
A．是等腰三角形 B．三个角都相等 C．三条边都相等 D．只有一条对称轴
15．如图，OA平分∠BAC，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON＝8cm，则OM长为（ ）
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A．4cm B．5cm C．8cm D．20cm
16．如图，若记北京为地，莫斯科为地，雅典为地．若想建立一个货物中转仓，使其到、、三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ）21·cn·jy·com
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A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
17．如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点是上一动点，，则的最小值是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．10 B．7 C．5 D．4
18．下列命题中是假命题的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．三角形的外角大于任何一个内角
C．等边对等角
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
19．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a=1，b=1，c= B．a=2，b=3，c=4
C．a=1，b=，c=2 D．a=3，b=4，c=
20．如图，已知于点，于点，且，，，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
21．如图，在中，，，尺规作图如下：分别以点、点为圆心，大于为半径作弧，连接两弧交点的直线交于点，连接，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
22．下列说法，正确的是（ ）
A．一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三边的距离相等
B．“若，则”的逆命题是真命题
C．在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中有一个内角大于
23．如图，有一种电子游戏，其规则为：电子屏幕上有一正方形，点P沿直线从右往左移动，当出现点P与正方形四个顶点中的两个顶点构成等腰三角形时，就会发出警报，则直线上会发出警报的点P有（ ）2·1·c·n·j·y
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A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
24．如图所示是跷跷板示意图，横板绕中点O上下移动，立柱与地面垂直，当横板的A端着地时，测得，则在玩跷跷板时，上下最大可以转动的角度为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A． B． C． D．
25．有下列命题：某中正确的有（ ）
①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；
②直角三角形两锐角互余；
③有一个外角等于的等腰三角形是等边三角形；
④三角形的一个外角大于它的任何一个内角；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
26．已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A． B． C．或 D．或
27．已知等边三角形的边长为3，P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（ ）
A． B． C． D．不能确定
28．如图，中，于点D，若，则的长为（ ）
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A． B． C． D．
29．如图，是等边的中线，点E在上，，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
30．已知等腰三角形的一边长，另一边长，则它的周长是（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
31．如图，面积为9，平分，于点，连结，则的面积为（ ）
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A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
32．已知等腰三角形中一边长为4，周长为18，则腰长为（ ）
A．4或10 B．7 C．4或7 D．10
33．如图，在中，，D是线段上的动点（不含端点B、C）若线段长为正整数，则点D的个数共有（ ）21·世纪*教育网
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
34．如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（ ）
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A． B． C．平分 D．
35．在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，
C． D．，，
36．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，10
37．如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于（ ）
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A．10 B．7 C．5 D．3
38．下列条件中，能判断是直角三角形的有（ ）
①；②；③；
④；⑤；⑥．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
39．等腰三角形一边长为3，另一边长为4，则它的周长等于（ ）
A．10 B．11 C．12 D．10或11
40．下列各组线段中的三个长度：①9，12，15；②5，12，13；③；④1，2，，其中可以构成直角三角形的有（ ）www-2-1-cnjy-com
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
41．如图钢架中，，焊上等长的钢条来加固钢架，若，问这样的钢条至多需要_________根．
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42．在中，与相邻的外角是，要使为等腰三角形，则的度数是________．
43．如图中，是的角平分线，且．那么与的面积比是_______，________．
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44．如图，在中，，，点，分别在，上运动，连结、，则的最小值为________．21*cnjy*com
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45．如图，中，是边上的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为__________．【来源：21cnj*y.co*m】
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三、解答题
46．如图，一块四边形的土地，其中，，，，．
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（1）试说明；
（2）求这块土地的面积．
47．已知直线l及位于其两侧的两点A、B，如图，
（1）在图①中的直线l上求一点P，使PA=PB；
（2）在图②中的直线l上求一点Q使直线l平分 ．
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48．如图，的顶点均在正方形网格图的格点上，且网格中每个小正方形的边长都是1．
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（1）画出在网格图中关于直线对称的图形；
（2）在直线上找一点，使得（要求在直线上标出点的位置）；
（3）连接、，计算四边形的面积．
49．如图所示的是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，在图中画线段，满足于点．【出处：21教育名师】
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50．已知中，，，点D为BC边上一点，连接AD，作于点E，于点F．
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（1）若AD为的角平分线（如图1），图中、有何数量关系？请说明理由．
（2）若AD为的高（如图2），求图中、的度数．
51．已知：如图，线段和射线有公共端点．
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求作：点，使点在射线上，且为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹）【版权所有：21教育】
52．如图，在中，是的角平分线，是的垂直平分线，交于点，连接．求证：．
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53．如图，，，，求的度数．
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54．如图，在直角中，，的平分线交于点，若垂直平分，求的度数．
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55．如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、并且相交于点．2-1-c-n-j-y
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求证：（1）；
（2）．
56．如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD⊥于AC于D，求∠DBC的度数．
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57．如图，若AC＝12，BC＝7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长．
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58．如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
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（1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称；
（2）在直线l上找一点P，使点P到边AB、BC的距离相等．
59．如图，已知点、在的边上，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
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60．已知：如图，B、C、D在同一直线上，△ABC，△ADE是等边三角形，求证：CE＝AB+CD．
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第一章 三角形的证明
【基础评测】
一、单选题
1．三名同学分别站在一个三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ）21世纪教育网版权所有
A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】
根据题意可知，凳子的位置应该到三个顶点的距离相等，从而可确定答案．
【详解】
因为三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，这样就能保证凳子到三名同学的距离相等，以保证游戏的公平，21·世纪*教育网
故选：D．
【点睛】
本题主要考查垂直平分线的应用，掌握垂直平分线的性质是关键．
2．在下列由线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝4，b＝5，c＝6 B．a＝12，b＝5，c＝13
C．a＝6，b＝8，c＝10 D．a＝7，b＝24，c＝25
【答案】A
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证较短的两边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
A、，所以该三角形不是直角三角形，故该选项符合题意；
B、，所以该三角形是直角三角形，故该选项不符合题意；
C、，所以该三角形是直角三角形，故该选项不符合题意；
D、，所以该三角形是直角三角形，故该选项不符合题意．
故选A．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．【版权所有：21教育】
3．如图，在中，，BE平分，于D，，那么CE等于
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A． cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
【答案】C
【分析】
根据角平分线到两边的距离相等得出DE=CE，即可得出CE的值．
【详解】
解：∵，，BE平分∠ABC，
∴，
∵
∴；
故选：C．
【点睛】
此题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线性质是解本题的关键．
4．若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．10 B．17 C．13 D．13或17
【答案】B
【分析】
因为等腰三角形的两边为3和7，但已知中没有点明底边和腰，所以有两种情况，需要分类讨论，还要注意利用三角形三边关系考查各情况能否构成三角形．
【详解】
解：当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；
当3为腰时，其它两边为3和7，
∵3+3=6＜7，
所以不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有17．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
5．若一个等腰三角形的外角为，则它的顶角度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】
此外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需要分情况考虑，再结合三角形的内角和为180°，可求出顶角的度数．
【详解】
解：①若100°是顶角的外角，则顶角=180°-100°=80°；
②若100°是底角的外角，则底角=180°-100°=80°，那么顶角=180°-2×80°=20°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，当外角不确定是底角的外角还是顶角的外角时，需分两种情况考虑，再根据三角形内角和180°、三角形外角的性质求解．
6．若等腰三角形的周长为26cm，一边为6cm，则腰长为（ ）
A．6cm B．10cm C．10cm或6cm D．以上都不对
【答案】B
【分析】
题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解．
【详解】
解：①当6cm为腰长时，则腰长为6cm，底边=26-6-6=14cm，因为14＞6+6，所以不能构成三角形；
②当6cm为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10cm，因为6-6＜10＜6+6，所以能构成三角形；
故腰长为10cm．
故答案为：B．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，关键是利用三角形三边关系进行检验．
7．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪的三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）21cnjy.com
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A．△ABC三边的垂直平分线的交点
B．△ABC的三条中线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
【答案】A
【分析】
由于凉亭到草坪的三个顶点的距离相等 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，可知是△ABC三条边垂直平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
【详解】
解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三边的垂直平分线的交点．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查的是线段的垂直平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
8．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（ ）
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A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】
根据角平分线的性质直接可得．
【详解】
如图，过点P作，垂足为点G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，．
故选B．
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【点睛】
本题考查了角平分线的性质；掌握好有关角平分线的基础知识是关键．
9．满足下列条件的ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝2：4：6 B．
C．AC＝6，BC＝8，AB＝10 D．AC＝1，BC＝2，
【答案】B
【分析】
利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理进行计算即可．
【详解】
解：A、设∠A=2x°，∠B=4x°，∠C=6x°，
2x+4x+6x=180，解得：x=15，
则∠C=6×15°=90°，
∴△ABC是直角三角形，故此选项不合题意；
B、（）2+（）2≠（）2，△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、62+82=102，△ABC是直角三角形，故此选项不合题意；
D、12+22=（）2，则△ABC是直角三角形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是 ( http: / / www.21cnjy.com )掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．【来源：21cnj*y.co*m】
10．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（ ）
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A．10 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】
分AB是腰长时，根据网格结 ( http: / / www.21cnjy.com )构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【详解】
解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
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故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定．解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．
11．下列命题是真命题的为（ ）
A．若两角的两边分别平行，则这两角相等 B．若两实数相等，则它们的绝对值相等
C．对应角相等的两个三角形是全等三角形 D．锐角三角形是等边三角形
【答案】B
【分析】
A． 根据两角的两边分别平行，得出这两角相等或互补，即可判断A是假命题；
B． 根据绝对值的意义得出两实数相等，则它们的绝对值相等，即可判断B是真命题；
C． 根据全等三角形的判定定理得出对应角相等的两个三角形不一定是全等三角形，即可判断C是假命题；
D． 根据等边三角形的定义得出锐角三角形不一定是等边三角形， 即可判断D是假命题
【详解】
解：A． 若两角的两边分别平行，则这两角相等或互补，故A是假命题，不符合题意；
B． 若两实数相等，则它们的绝对值相等，故B是真命题，符号题意；
C． 对应角相等的两个三角形不一定是全等三角形，故C是假命题，不符合题意；
D． 锐角三角形不一定是等边三角形， 故D是假命题，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定，等边三角形的判定，实数的绝对值，真命题与假命题，解题的关键是熟练掌握相关知识内容．
12．以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，6，8 C．8，24，25 D．6，12，13
【答案】A
【分析】
找出每个选项中的两个较小的数，求他们 ( http: / / www.21cnjy.com )的平方和，再求这组数据中最大数的平方，比较两个数是否相等，若相等，就能构成直角三角形，不相等就不能构成直角三角形．
【详解】
解：A、32+42=52，能组成直角三角形；
B、42+62≠82，不能组成直角三角形；
C、82+242≠252，不能组成直角三角形；
D、62+122≠132，不能组成直角三角形．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
13．等腰三角形的两边长分别为，，则该三角形的周长为（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
【答案】B
【分析】
根据题意得出两种情况，根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，再求出周长即可．
【详解】
解：当等腰三角形的三边长是4cm，4cm，8cm时，4+4=8，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边长是4 cm，8 cm，8 cm时，符合三角形的三边关系定理，此时能组成三角形，三角形的周长是4+8+8=20（cm），
所以该三角形的周长是20 cm，
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．
14．下列关于等边三角形的性质的叙述中，错误的是（ ）
A．是等腰三角形 B．三个角都相等 C．三条边都相等 D．只有一条对称轴
【答案】D
【分析】
利用等边三角形的性质依次分析即可得出答案．
【详解】
解：A、等边三角形也是等腰三角形，原说法正确，故此选项不合题意；
B、等边三角形三个角都相等，原说法正确，故此选项不合题意；
C、等边三角形三条边都相等，原说法正确，故此选项不合题意；
D、等边三角形有3条对称轴，原说法错误，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形的性质以及等边三角形的性质，正确把握相关性质是解题关键．
15．如图，OA平分∠BAC，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON＝8cm，则OM长为（ ）
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A．4cm B．5cm C．8cm D．20cm
【答案】C
【分析】
根据角平分线的性质解答．
【详解】
解：∵OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC，ON⊥AB，
∴OM＝ON＝8cm，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
16．如图，若记北京为地，莫斯科为地，雅典为地．若想建立一个货物中转仓，使其到、、三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ）
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A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
【答案】A
【分析】
依题意，对实际问题进行数学模型化处理，需要寻找一个点，到三点的距离相等；结合三角形垂直平分线的性质，即可求解．
【详解】
由题，对建立货物中转仓到A、B、C三地距离相等；
进行数学模型转换为：在△ABC中找一点到三点距离相等；
依据三角形垂直平分线的性质，可知，三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个点的距离相等；
∴ 中转仓位于三边垂直平分线的交点；
故选A．
【点睛】
本题考查三角形垂直平分线、角平分线、高线、中线的性质，重点在于掌握实际问题的数学模型化．
17．如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点是上一动点，，则的最小值是（ ）
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A．10 B．7 C．5 D．4
【答案】C
【分析】
CE的值固定，所以要求的最小值，只要求出EP的最小值即可，是上一动点，过点E作BC的垂线，设垂足为F，则垂线段EF的长度即为EP的最小值，再结合题意可得DE=EF，故的最小值即可求得．
【详解】
解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图，
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∵是上一动点，
∴垂线段EF的长度即为EP的最小值，
又∵是边上的高线，平分，
∴EF=DE,
∴的最小值为=CE+DE=CD,
∵,
∴的最小值为5．
故选：C．
【点睛】
本题考查了点到直线的距离，角平分线的性质，解题的关键是作出点E到直线BC的距离．
18．下列命题中是假命题的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．三角形的外角大于任何一个内角
C．等边对等角
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【答案】B
【分析】
直接利用全等三角形的性质以及三角形的外角、角平分线的性质分别分析得出答案．
【详解】
解：A、全等三角形的对应角相等，是真命题，不合题意；
B、三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角，钝角三角形钝角的外角比与它相邻的内角小,故原命题是假命题，符合题意；
C、等边对等角，是真命题，不合题意；
D、角平分线上的点到角两边的距离相等，是真命题，不合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质，三角形的外角的性质，角平分线的性质，利用性质选出正确选项即可，属于基础问题.
19．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a=1，b=1，c= B．a=2，b=3，c=4
C．a=1，b=，c=2 D．a=3，b=4，c=
【答案】B
【分析】
根据勾股定理的逆定理逐一判断即可．
【详解】
解：由12＋12=，所以a=1，b=1，c=能构成直角三角形，故A选项不符合题意；
由22＋32≠42，所以a=2，b=3，c=4不能构成直角三角形，故B选项符合题意；
由12＋=22，所以a=1，b=，c=2能构成直角三角形，故C选项不符合题意；
由32＋=42，所以a=3，b=4，c=能构成直角三角形，故D选项不符合题意；
故选B．
【点睛】
此题考查的是直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
20．如图，已知于点，于点，且，，，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据到角的两边距离相等的 ( http: / / www.21cnjy.com )点在角的平分线上得到AD是∠BAC的平分线，求出∠CAD的度数，再根据直角三角形的两锐角互余求出∠CDA的度数，即可求解．
【详解】
解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠BAC=40°，
∴∠CAD=∠BAC=20°，
∴∠CDA=90°-20°=70°，
∵，
∴∠CDG=∠ADG-∠CDA=130°-70°=60°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定与直角三角形的两锐角互余的性质，仔细分析图形是解题的关键．
21．如图，在中，，，尺规作图如下：分别以点、点为圆心，大于为半径作弧，连接两弧交点的直线交于点，连接，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先根据三角形内角和求出的度数，然后根据垂直平分线的性质求出的度数，然后利用两角差求解即可．
【详解】
∵，，
．
由作图可知，所作的直线为BC的垂直平分线，
，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和定理和垂直平分线的性质，能够判断所作直线为垂直平分线是关键．
22．下列说法，正确的是（ ）
A．一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三边的距离相等
B．“若，则”的逆命题是真命题
C．在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中有一个内角大于
【答案】C
【分析】
逐一进行判断即可．
【详解】
A. 一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，故该选项错误；
B. “若，则”的逆命题为“若，则”为是假命题，故该选项错误；
C. 在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，故该选项正确；
D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于，故该选项错误，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查真假命题，掌握垂直平分线的性质，逆命题，角平分线的判定和反证法是关键．
23．如图，有一种电子游戏，其规则为：电子屏幕上有一正方形，点P沿直线从右往左移动，当出现点P与正方形四个顶点中的两个顶点构成等腰三角形时，就会发出警报，则直线上会发出警报的点P有（ ）21*cnjy*com
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A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【答案】C
【分析】
根据正方形的性质，利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到直线AB上会发出警报的点P的个数．
【详解】
解：当BC=BP时，△BCP为等腰三角形；
当P与B重合时，△APC为等腰三角形；
当P运动到AB边的中点时，PD=PC，此时△PCD为等腰三角形；
当P与A重合时，△PBD为等腰三角形；
当PA=AD时，△PAD为等腰三角形；
当AP=AC时，△APC是等腰三角形，这时有2个；
当BD=BP时，△BDP 是等腰三角形，这时有2个；
综上，直线AB上会发出警报的点P有9个．
故选：C．
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【点睛】
此题考查了等腰三角形的判定，以及正方形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．
24．如图所示是跷跷板示意图，横板绕中点O上下移动，立柱与地面垂直，当横板的A端着地时，测得，则在玩跷跷板时，上下最大可以转动的角度为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
当B端着地时，如图，∠A′OA即为上下转动的最大角度，利用三角形外角的性质即可解决问题；
【详解】
解：当B端着地时，如图，∠A′OA即为上下转动的最大角度，
∵O是AB的中点，
∴OA=OB，
∵OA=OB′，
∴∠A=∠B′=28°
∴∠A′OA=∠A+∠B′=56°．
故选：B．
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【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及邻补角的定义等知识．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
25．有下列命题：某中正确的有（ ）
①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；
②直角三角形两锐角互余；
③有一个外角等于的等腰三角形是等边三角形；
④三角形的一个外角大于它的任何一个内角；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质，外角的性质分别判断即可．
【详解】
解：①等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高重合，故错误；
②直角三角形两锐角互余，故正确；
③有一个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形，故正确；
④三角形的一个外角大于它的任何一个不相邻的内角，故错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题与定理，涉及等腰三角形的性质，直角三角形的性质，外角的性质，比较基础，难度不大．
26．已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】
首先要进行分析题意，“等腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角，所以要分两种情况进行讨论．
【详解】
解：分两种情况：
①当50°角为底角时，顶角为180°-2×50°=80°；
②50°角为等腰三角形的顶角；
因此这个等腰三角形的顶角为80°或50°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
27．已知等边三角形的边长为3，P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】
作出图形，根据等边三角形的性质求出高AH的长，再根据三角形的面积公式求出点P到三边的距离之和等于高线的长度，从而得解．【出处：21教育名师】
【详解】
解：如图，等边三角形的边长为3，
高线，
，
，
，
即点到三角形三边距离之和为．
故选：C．
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【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P到三边的距离之和等于等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观．
28．如图，中，于点D，若，则的长为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据同角的余角相等求出∠BCD=∠A=60°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC、AB的长，然后根据勾股定理计算即可得解．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠A=60°，
∴∠ACD=∠B=30°，
∵AD=1，
∴AC=2AD=2，
∴AB=2AC=3，
∴BC==，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．
29．如图，是等边的中线，点E在上，，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由等边三角形三线合一即可求出，．再由等腰三角形的性质可求出，最后即可求出．
【详解】
∵是等边三角形，且AD为中线．
∴，，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查等边三角形和等腰三角形的性质．掌握等边三角形三线合一是解答本题的关键．
30．已知等腰三角形的一边长，另一边长，则它的周长是（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
【答案】B
【分析】
题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和10cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】
解：分两种情况：
当腰为5时，5+5=10，所以不能构成三角形；
当腰为10时，5+10＞10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5=25cm．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
31．如图，面积为9，平分，于点，连结，则的面积为（ ）
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A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
【答案】B
【分析】
延长AP交BC于E，根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP=PE，得出S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，推出S△PBC=S△ABC．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：延长AP交BC于E，
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∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠EPB=90°，
在△ABP和△EBP中，
，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP=PE，
∴S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，
∴S△PBC=S△ABC=×9=4.5，
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．
32．已知等腰三角形中一边长为4，周长为18，则腰长为（ ）
A．4或10 B．7 C．4或7 D．10
【答案】B
【分析】
根据等腰三角形的性质分为两种情况解答：当边长4cm为腰或者4cm底边时．
【详解】
解：分情况考虑：当4是腰时，则底边长是18-8=10，此时4，4，10不能组成三角形，应舍去；
当4是底边时，腰长是（18-4）× =7，4，7，7能够组成三角形．
此时腰长是7．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关 ( http: / / www.21cnjy.com )系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
33．如图，在中，，D是线段上的动点（不含端点B、C）若线段长为正整数，则点D的个数共有（ ）21教育网
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】
首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD ( http: / / www.21cnjy.com )最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．
【详解】
解：过A作AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴EC=BE=BC=4，
∴AE==3，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．
∴3≤AD＜5，
∵线段AD长为正整数，
∴AD=3或4，
而使AD=3的有一条，使AD=4的有2条,
∴点D的个数共有3个，
故选：B．
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【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，关键是正确利用勾股定理计算出AD的最小值，然后求出AD的取值范围．
34．如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（ ）
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A． B． C．平分 D．
【答案】D
【分析】
利用三线合一的性质对每一个选项进行验证从而求解．
【详解】
解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点，
∴∠B=∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD=∠CAD（故C正确）
无法得到AB=2BD，（故D不正确）．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质．
35．在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，
C． D．，，
【答案】C
【分析】
根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【详解】
解：A、52+122=132，即能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，即能组成直角三角形，故本选项不符合题意；2·1·c·n·j·y
C、12+22≠52，即不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D、42+52≠62，即不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能熟记 ( http: / / www.21cnjy.com )定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
36．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，10
【答案】B
【分析】
根据勾股定理逆定理：，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【详解】
解：A、，不能构成直角三角形，故A错误；
B、，能构成直角三角形，故B正确；
C、，不能构成直角三角形，故C错误；
D、，不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，要求学生熟练掌握这个逆定理．
37．如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于（ ）
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A．10 B．7 C．5 D．3
【答案】C
【分析】
作于，根据角平分线的性质定理得到，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】
解：作于，
平分，，，
，
的面积．
故选：C．
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【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
38．下列条件中，能判断是直角三角形的有（ ）
①；②；③；
④；⑤；⑥．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【分析】
利用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理判断即可得到结果．
【详解】
解：①，
∴，
∴∠C=90°，即△ABC为直角三角形；
②，
∴，
∴，
∴∠A=90°，即△ABC为直角三角形；
③，
∴=，即△ABC为直角三角形；
④，
∴可以假设∠A=6k，∠B=3k，∠C=2k，
∴6k+3k+2k=180°，
∴k=，
∴∠A=＞90°，即△ABC是钝角三角形；
⑤，
设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则x+2x+3x=180°，
解得x=30°，故∠C=3x=90°，即△ABC是直角三角形；
⑥，
设AB=3x，AC=4x，BC=5x，则（3x）2+（4x）2=（5x）2，即△ABC是直角三角形，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长符合勾股定理或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形．
39．等腰三角形一边长为3，另一边长为4，则它的周长等于（ ）
A．10 B．11 C．12 D．10或11
【答案】D
【分析】
分3是腰长和底边两种情况讨论求解．
【详解】
解：3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
能组成三角形，
它的周长=3+3+4=10，
3是底边时，三角形的三边分别为3、4、4，
能组成三角形，
它的周长=3+4+4=11，
综上所述，它的周长等于10或11．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形．
40．下列各组线段中的三个长度：①9，12，15；②5，12，13；③；④1，2，，其中可以构成直角三角形的有（ ）
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
【答案】B
【分析】
根据勾股定理的逆定理知，当三角形的三边关系为：a2+b2=c2时，它是直角三角形，由此可解出本题．
【详解】
解：①中有92+122=152，可构成直角三角形；
②中有52+122=132，可构成直角三角形；
③中（32）2+（42）2≠（52）2，不可构成直角三角形；
④中12+22=（）2，可构成直角三角形；
所以可以构成3组直角三角形．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的逆定理的应用，只要计算出两数的平方和等于第三个数的平方即可．
二、填空题
41．如图钢架中，，焊上等长的钢条来加固钢架，若，问这样的钢条至多需要_________根．
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【答案】8
【分析】
由于焊上的钢条长度相等，并且AP1=P1P ( http: / / www.21cnjy.com )2，所以∠A=∠P1P2A，则可算出∠P2P1P3的度数，并且和∠P1P3P2度数相等，根据平角的度数为180度和三角形内角和为180度，结合等腰三角形底角度数不大于90度即可求出最多能焊上的钢条数．
【详解】
解：如图：
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∵
∠A=∠P1P2A=10°，
∴∠P2P1P3=20°，
同理：∠P3P2P4=30°，
∠P4P3P5=40°，
∠P9P8B=90°．
此时就不能在往上焊接了，综上所述总共可焊上8条．
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形底角相等，三角形内角 ( http: / / www.21cnjy.com )和为180度，平角度数为180度等．结合图形依次算出各角的度数，根据等腰三角形底角小于90度判断何时不能在焊接上．
42．在中，与相邻的外角是，要使为等腰三角形，则的度数是________．
【答案】50°或65°或80°
【分析】
依据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质进行判断即可．
【详解】
解：∠A=180°-130°=50°．
当AB=AC时，∠B=∠C=（180°-50°）=65°；
当BC=BA时，∠A=∠C=50°，则∠B=180°-50°-50°=80°；
当CA=CB时，∠A=∠B=50°．
∠B的度数为50°或65°或80°，
故答案为：50°或65°或80°．
【点睛】
本题主要考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质定理是解题的关键．
43．如图中，是的角平分线，且．那么与的面积比是_______，________．
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【答案】2：1 6
【分析】
根据CF和BF的关系即可得到△ABF和△ACF的面积之比，再根据角平分线的性质可得高相等，可得AB和AC的关系，从而得到AB．
【详解】
解：∵CF=BF，
∴BF：CF=2：1，
∴S△ABF：S△ACF=2：1，
∵AF平分∠BAC，
∴点F到AB和AC的距离相等，
即△ABF中AB边的高和△ACF中AC边的高相等，
∵AC=3，
∴AB=6，
故答案为：2：1，6．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，角平分线的性质，解题的关键是根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到三角形的高相等．
44．如图，在中，，，点，分别在，上运动，连结、，则的最小值为________．
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【答案】
【分析】
作点B关于AC的对称点B'，过B′作B′D⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )AB交AC于E，连接AB′，B′D即为BE+ED的最小值，利用含30°的直角三角形的性质解答即可．
【详解】
解：作B关于AC的对称点B′，过B′作B′D⊥AB交AC于E，连接AB′，
此时B′E+ED=BE+ED为最小值，
此时∠B′AB=2∠BAC=30°，B′D=AB′=AB=，
即BE+ED的最小值为，
故答案为：．
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【点睛】
此题考查了最短路径问题，关键是作点B关于AC的对称点B'，利用轴对称的性质解答即可．
45．如图，中，是边上的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为__________．
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【答案】4.8
【分析】
作BM⊥AC于M，交AD于F， ( http: / / www.21cnjy.com )根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC，根据三角形面积公式求出BM，根据对称性质求出BF=CF，根据垂线段最短得出CF+EF≥BM，即可得出答案．
【详解】
解：作BM⊥AC于M，交AD于F，
∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，
∴BD=DC=3，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴B、C关于AD对称，
∴BF=CF，
根据垂线段最短得出：CF+EF=BF+EF≥BF+FM=BM，
即CF+EF≥BM，
∵S△ABC=×BC×AD=×AC×BM，
∴BM=，
即CF+EF的最小值是4.8，
故答案为：4.8．
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【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
三、解答题
46．如图，一块四边形的土地，其中，，，，．
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（1）试说明；
（2）求这块土地的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）先根据勾股定理求出BD的长度，然后根据勾股定理的逆定理，即可证明BD⊥BC；
（2）根据两个直角三角形的面积即可求解．
【详解】
（1）如图，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=4m，AD=3m，由勾股定理得：BD=5m，
∵BC=13m，CD=12m，BD=5m.
∴BD2+DC2=BC2，
∴∠BDC=90°，
即BD⊥BC；
（2）如图，四边形ABCD的面积是
S△ABD+S△BDC=×3×4+×5×12=36．
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【点睛】
本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形面积公式等知识，解题的关键是用勾股定理逆定理推出直角三角形，再求三角形面积．21·cn·jy·com
47．已知直线l及位于其两侧的两点A、B，如图，
（1）在图①中的直线l上求一点P，使PA=PB；
（2）在图②中的直线l上求一点Q使直线l平分 ．
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【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析．
【分析】
（1）连接AB，再作出线段AB的垂直平分线即可求解；
（2）作点B关于直线的对称点，连接交直线于点Q，连接BQ，则Q点即为所求．
【详解】
（1）连接AB，分别以A、B为圆心，以大于为半径作圆，两圆相交于C、D两点，连接CD与直线相交于P点，则P点即为所求；21教育名师原创作品
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（2）作点B关于直线的对称点，连接交直线于点Q，连接BQ，则Q点即为所求．
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【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质及角平分线的性质，解题的关键是熟知线段垂直平分线的性质及角平分线的性质，熟悉尺规作图的方法．
48．如图，的顶点均在正方形网格图的格点上，且网格中每个小正方形的边长都是1．
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（1）画出在网格图中关于直线对称的图形；
（2）在直线上找一点，使得（要求在直线上标出点的位置）；
（3）连接、，计算四边形的面积．
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）．
【分析】
（1）根据网格结构找出点、、关于直线的对称点、、的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，过中点作交直线于点，点即为所求；
（3）根据列式计算即可得解．
【详解】
解：（1）△如图所示；
（2）如图所示，过中点作交直线于点，此时；
（3）．
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【点睛】
本题考查了利用轴对称变换作图，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
49．如图所示的是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，在图中画线段，满足于点．www.21-cn-jy.com
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【答案】答案见解析．
【分析】
利用垂线的定义结合网格图的特点，取格点E，连接BE，并延长交AC于点D作图．
【详解】
解：如图，线段即为所求．
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【点睛】
本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握垂线的定义．
50．已知中，，，点D为BC边上一点，连接AD，作于点E，于点F．
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（1）若AD为的角平分线（如图1），图中、有何数量关系？请说明理由．
（2）若AD为的高（如图2），求图中、的度数．
【答案】（1），理由见解析；（2），
【详解】
解：（1）∵AD为的角平分线
∴
又∵，
∴
∴
即
（2）∵AD为的高
∴
又∵
∴
又∵
∴
又∵，
∴，
∴
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理及直角三角形中两锐角的性质，熟练掌握三角形内角和定理及直角三角形中两锐角互余的性质是解题的关键【来源：21·世纪·教育·网】
51．已知：如图，线段和射线有公共端点．
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求作：点，使点在射线上，且为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析．
【分析】
分别作出①AP=CP；②AP=AC；③AC=CP即可．
【详解】
如图所示，点、、即为所求．
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【点睛】
本题考查尺规作图-作等腰三角形．特别注意是等腰三角形的三种情况，避免漏答案．
52．如图，在中，是的角平分线，是的垂直平分线，交于点，连接．求证：．
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【答案】见解析
【分析】
连接，根据等腰三角形的性质可得，根据线段垂直平分线的性质得，，进而得结论．
【详解】
证明：连接，
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∵，平分，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质．2-1-c-n-j-y
53．如图，，，，求的度数．
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【答案】
【分析】
根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据直角三角形两锐角互余求出，由即可求解．
【详解】
解：∵，
∴．
∵在中，，
∴．
∵，
，，
∴
，
∴．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
54．如图，在直角中，，的平分线交于点，若垂直平分，求的度数．
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【答案】
【分析】
根据平分，得到，根据垂直平分，求证，进而得到，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数．
【详解】
解：平分，
，
又垂直平分，
，
，
，
，，
，
，
即，
．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．21*cnjy*com
55．如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、并且相交于点．
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求证：（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得 ( http: / / www.21cnjy.com )出AD=AB，AC=AE，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根据SAS推出△DAC≌△BAE即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠BEA=∠ACD，求出∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠ACE+∠AEC，代入求出即可．
【详解】
证明：（1）∵以AB、AC为 ( http: / / www.21cnjy.com )边分别向外做等边△ABD和等边△ACE，
∴AD=AB，AC=AE，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；
（2）∵△DAC≌△BAE，
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠DCA+∠ACE+∠PEC
=∠BEA+∠ACE+∠PEC
=∠ACE+∠AEC
=60°+60°
=120°．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出△DAC≌△BAE．
56．如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD⊥于AC于D，求∠DBC的度数．
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【答案】
【分析】
根据三角形的内角和定理与∠C=∠ABC=2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数．
【详解】
解：∵∠C=∠ABC=2∠A，
∴∠C+∠A ( http: / / www.21cnjy.com )BC+∠A=5∠A=180°，
∴∠A=36°．
∴∠C=∠ABC=2∠A=72°．
∵BD⊥AC，
∴∠DBC=90°-∠C=18°．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理的运用，关键是掌握三角形内角和定理：三角形的内角和是180°．
57．如图，若AC＝12，BC＝7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长．
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【答案】△BCD的周长＝19
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，然后求出△BCD的周长．
【详解】
∵AC＝12，
∴AD+CD＝12，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴BD+CD＝12，
∵BC＝7，
∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝19．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质，理解性质并灵活应用是解题关键．
58．如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
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（1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称；
（2）在直线l上找一点P，使点P到边AB、BC的距离相等．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用角平分线的性质，作∠ABC的平分线与直线l的交点解答即可．
【详解】
（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
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（2）如图所示：点P即为所求．
【点睛】
本题考查轴对称作图，及角平分线的性质，理解角平分线的性质是解题关键．
59．如图，已知点、在的边上，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
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【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）作于点，利用等腰三角形三线合一的性质得到，，相减后即可得到正确的结论；
（2）根据等边三角形的判定得到是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．
【详解】
（1）证明：如图，过点作于．
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，，
，，
，
．
（2），
是等边三角形，
，
，
，
，
．
答：的度数为：．
【点睛】
本题考查了等腰三角形和等边三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是本题的关键．
60．已知：如图，B、C、D在同一直线上，△ABC，△ADE是等边三角形，求证：CE＝AB+CD．
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【答案】见解析
【分析】
由“SAS”可证△BAD≌△CAE，由全等三角形的性质可得BD＝CE，进而得出结论．
【详解】
证明：∵△ABC，△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°．
∴∠BAC+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE．
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
∴BD＝CE．
∵BD=BC+CD
∴CE＝AB+CD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．
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