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第一章 三角形的证明
【提升评测】
一、单选题
1．如图，在中，为的中点，，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
2．如图，，点在线段上，，则的度数是（ ）
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A． B． C． D．
3．如图，，点和点是对应顶点，，记，当时，与之间的数量关系为（ ）
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A． B． C． D．
4．如图，根据下列条件，不能判断是直角三角形的是（ ）
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A． B．
C． D．
5．如图，已知垂直平分，若，则四边形的周长是（ ）
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A． B． C． D．
6．已知，是线段上的两点，，，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则一定是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
7．如图所示，直线m，n交于点B，m，n的夹角为，A是直线m上的点，在直线n上寻找一点C，使是等腰三角形，这样的点C有（ ）21·cn·jy·com
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．有下列说法：①等腰三角形的两腰相等 ( http: / / www.21cnjy.com )；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高线相等：④等腰三角形两底角的平分线相等其中正确的有（ ）www-2-1-cnjy-com
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．下列不能判定两个三角形全等的是（ ）
A．有两直角边对应相等的两个直角三角形 B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形
C．有一个角是，腰相等的两个等腰三角形 D．两腰对应相等的两个等腰三角形
10．下列命题的逆命题正确的是（ ）
A．全等三角形的面积相等 B．全等三角形的周长相等
C．等腰三角形的两个底角相等 D．直角的补角都相等
11．已知等边的边长为3，点E在直线上，点D在直线上，且，若，则的长为（ ）
A．6 B．9 C．3或6 D．3或9
12．如图，在中，，以斜边为边向外作等腰直角三角形，连接，则的长为（ ）
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A．15 B．16 C．17 D．18
13．如图中，分别在上，，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
14．学习了角平分线及其性质后，某校数学兴趣小组的同学尝试只用一副带刻度的三角板作的角平分线，根据提供的条件，无法判断是角平分线的是（ ）【版权所有：21教育】
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A．，P为中点 B．，
C．， D．，P为中点
15．一次数学课上，老师请 ( http: / / www.21cnjy.com )同学们在一张长为18厘米．宽为16厘米的长方形纸板上．剪下一个根长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其它两个顶点在长方形的边上，先剪下的等腰三角形的面积为（ ）21*cnjy*com
A．50 B．50或40 C．50或40或30 D．50或30或20
16．如图，中，的角平分线相交于点D．若，则等于（ ）
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A． B． C． D．
17．如图，锐角三角形中，直线为的中垂线，直线为的角平分线，与相交于点．若，则是（ ）
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A． B． C． D．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＞BC，BE＝BC，∠ABE＝∠BCD，则图中一定是等腰三角形的有（ ）个
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A．5 B．4 C．3 D．2
19．满足下列条件的三角形：
①三边长之比为3：4：5；
②三内角之比为3：4：5；
③n2﹣1，2n，n2+1；
④，，6．
其中能组成直角三角形的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
20．图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC=2，则S△ABE的值是（ ）
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A．4 B．5 C．6 D．8
21．如图，在平面直角坐标系中、，轴，存在第一象限的一点使得是以为斜边的等腰直角三角形，则点的坐标（ ）．21·世纪*教育网
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A．或 B． C．或 D．
22．如图，中，分别平分和，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①；②；③的周长等于的周长；④．其中正确的有（ ）2-1-c-n-j-y
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A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④
23．如图所示，在中，，边的延长线与外角的平分线交于点D．若，则的度数是（ ）
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A． B． C． D．
24．如图所示，平分平分，且，设，则的周长为（ ）
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A．30 B．33 C．36 D．39
25．如图，在平面直角坐标系中，点，直线交坐标轴于B、C，且，点M在直线上，且，则直线的解析式为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A． B． C． D．
26．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边，点C为x轴正半轴上一动点，连接，以线段为边在第四象限内作等边，直线交y轴于点E，点E的坐标是（ ）
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A．点E的坐标随着点C位置的变化而变化 B．
C． D．
27．如图，△ABC的面积是18cm2，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，过点C作CD⊥AP于点D，连接BD，则△DAB的面积是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．9cm2 B．8cm2 C．7cm2 D．6cm2
28．如图，等边三角形中，D、E分别为、边上的点，，与交于点F，于点G，则的值为（ ）【出处：21教育名师】
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A．1 B． C． D．2
29．如图，C为线段上一动点（不与点A，B重合），在同侧分别作等边和等边与交于点F，与交于点G，与交于点H，连接．以下四个结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（ ）
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A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
30．如图，等边△ABC的边长为2，AD是BC边上的高，则高AD的长为（ ）
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A． B． C． D．
31．如图，在中，的平分线相交于点E，边的垂直平分线相交于点D．若，则的度数为（ ）21cnjy.com
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A． B． C． D．
32．如图，在中，己知，，那么的度数为（ ）
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A．72° B．66° C．60° D．54°
33．如图，四边形ABCD中，对角线AD平分∠BAC，，，则∠ADB的度数为（ ）
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A．54° B．50° C．48° D．46°
34．如图，在中，， ．分别是上的任意一点，求的最小值为（ ）
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A．1.5 B．2 C． D．
35．如图，在等腰直角三角形中，是斜边的中点，点分别在直角边上，且交于点P，有下列结论：①图形中全等的三角形只有两对；②的面积等于四边形的面积的2倍；③；④．其中正确的结论有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
36．如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，现有下列结论：①；②；③平分;④，其中正确的有（ ）21*cnjy*com
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
37．在中，，点D为中点，绕点D旋转，、分别与边、交于E、F两点．下列结论：
①；②始终为等腰直角三角形；③；④．其中正确的是（ ）
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A．①②③④ B．①④ C．②③ D．①②③
38．如图在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论：其中正确的结论有（ ）个．21教育网
①；②；③点到各边的距离相等；
④设,，则；⑤的周长等于的和．
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A．1 B．2 C．3 D．4
39．如图，在中，分别为边上的高，相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（ ）2·1·c·n·j·y
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A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④
40．如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于交的延长线于于，现有下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（ ）
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
第II卷（非选择题）
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二、填空题
41．如图，为上一点，，点P是上的一动点，点Q是上的一个动点，则的最小值为_________．
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42．如图所示：的内部有一点到顶O的距离为是上的动点．若，则周长的最小值为_______．
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43．如图，中，，在内依次作等边三角形，使一边在上，另一个顶点在边上，依次作出的等边三角形分别是第1个为，第2个为，第3个为，则第2019个等边三角形的边长为__________．
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44．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的腰长为2，直角顶点A在直线，且斜边轴，当在直线l上移动时，的中点，写出n关于m的关系式为_________．
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45．如图，，内有一定点P，且．在上有一动点Q，上有一动点R．若周长最小，则最小周长是________．
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三、解答题
46．已知与都是等腰直角三角形，与均为斜边．如图，B，D，F在同一直线上，过F作于点F，取，连接交于点H，连接．
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（1）求证：；
（2）请判断的形状，并给予证明；
（3）请用等式表示线段的数量关系，不必说明理由．
47．如图，在中，平分交于点F，垂足是E，与交于点A．
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（1）求证：；
（2）求证：是的中垂线；
（3）若，求的长度．
48．在等边的外侧作直线，点关于的对称点为，连接．
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（1）如图1，若，直接写出的度数；
（2）如图2，若，过点作交直线于点，
①依题意补全图形；
②直接写出的度数（用含的代数式表示）；
③求证：．
49．如图，是上的一点，．
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（1）判断的形状，并说明理由
（2）若，求出的长．
50．已知：如图，等边中，分别在边上运动，且始终保持，点始终不与等边的顶点重合．连结交于点．21教育名师原创作品
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（1）写出在运动过程中始终全等的三角形，并选择其中一组证明；
（2）运动过程中，的度数是否会改变？如果改变，请说明理由；如果不变，求出的度数，再说明理由．
51．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．的边在x轴上，A，C，B三点的坐标分别为，，，点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒．
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（1）求直线的解析式和的边上的高线长；
（2）连接，写出的面积S与t的函数表达式；
（3）是否存在一点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出P点满足条件时，所有t的值；若不存在，请说明理由．
52．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．
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（1）求的长．
（2）求的长．
53．如图所示，在中，，N是上任一点（不与点A，B重合），过点N作交所在直线于点M．
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（1）若，求的度数．
（2）如果将（1）中的度数改为，其余条件不变，求的度数．
（3）综合（1）（2），你发现了什么规律？试证明之．
（4）若将（1）中的改为直角或钝角，你发现的规律是否仍然成立？（直接写出结论）
54．如图所示，，E是上一点，．求证：．
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55．如图，在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且．
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（1）求证：；
（2）若，求的度数．
56．如图，三角形ABC中，AC＝BC，D是BC上的一点，连接AD，DF平分∠ADC交∠ACB的外角∠ACE的平分线于F．求证：CFAB．21世纪教育网版权所有
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57．已知，如图，在ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE．
（1）求证：∠D＝∠E；
（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，则图中共有 个等腰三角形．
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58．（1）（问题原型）如图，在等腰直角三角形中，，．过作，且，连结，过点作的边上的高，易证，从而得到的面积为_________．
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（2）（初步探究）如图，在中，，，过作，且，连结．用含的代数式表示的面积并说明理由．
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（3）（简单应用）如图，在等腰中，，，过作，且，连结，求的面积（用含的代数式表示）．
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59．如图，在中，，，，延长交于点E．
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求证：（1）．
（2）平分．
（3）若，，，求线段的长度．
60．如图，点C为线段上一点，都是等边三角形，与交于点与相交于点G．
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（1）求证：；
（2）求证：
（3）若，求的面积．
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第一章 三角形的证明
【提升评测】
一、单选题
1．如图，在中，为的中点，，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，根据等边对等角与三线合一的性质，即可求得答案．
【详解】
解：∵AB=AC，点D为BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD=25°，
∴∠BAC=50°，
故选：D．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
2．如图，，点在线段上，，则的度数是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
依据，即可得到，，，再根据等腰三角形的性质，即可得到的度数，进而得出的度数．
【详解】
解：，
，，，
，
中，，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
3．如图，，点和点是对应顶点，，记，当时，与之间的数量关系为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据全等三角形的性质得到AB=DB，∠ABC ( http: / / www.21cnjy.com )=∠DBE，从而得到∠ABD=α，求出∠BAD，根据平行线的性质得到∠CAD=90°，从而得到关于α和β的关系，化简即可．21教育名师原创作品
【详解】
解：∵△ACB≌△DEB，
∴AB=DB，∠ABC=∠DBE，
∴∠ABD=∠CBE=α，
在△ABD中，
∠BAD=（180°-α），
∵AD∥BC，
∴∠CAD=180°-∠C=90°，
∴β+（180°-α）=90°，
∴α=2β，
故选A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，等边对等角，三角形内角和，平行线的性质，解题的关键是根据全等三角形得到相等的线段和角．
4．如图，根据下列条件，不能判断是直角三角形的是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理一一判断即可．
【详解】
解：A、∠D=20°，∠B=70°，
则∠BAD=180°-20°-70°=90°，则△ABD是直角三角形；
B、AB=5，AD=12，BD=13，满足，
则△ABD是直角三角形；
C、AC=BC=CD，则∠B=∠CAB，∠D=∠CAD，
∴∠BAD=∠CAB+∠CAD=（∠B+∠CAB+∠D+∠CAD）=90°，则△ABD是直角三角形；
D、∠B=3∠D，∠BAD=8∠D，
则3∠D+8∠D+∠D=180°，
解得：∠D=15°，则∠BAD=8∠D=120°，则△ABD不是直角三角形；
故选D．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．如图，已知垂直平分，若，则四边形的周长是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由于CD垂直平分AB，所以AC=BC，AD=BD，而AC=3cm，AD=5cm，由此即可求出四边形ADBC的周长．
【详解】
解：∵CD垂直平分AB，若AC=3cm，AD=5cm，
∴AC=BC=3cm，AD=BD=5cm，
∴四边形ADBC的周长为AD+AC+BD+BC=16cm．
故选A．
【点睛】
此题主要考查线段的垂直平分线的性质，利用了线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解题是解答本题的关键．
6．已知，是线段上的两点，，，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】
依据作图即可得到AC=AN=4，BC=BM=3，AB=2+2+1=5，进而得到AC2+BC2=AB2，即可得出△ABC是直角三角形．
【详解】
解：如图所示，
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AC=AN=4，BC=B ( http: / / www.21cnjy.com )M=3，AB=2+2+1=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
7．如图所示，直线m，n交于点B，m，n的夹角为，A是直线m上的点，在直线n上寻找一点C，使是等腰三角形，这样的点C有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
分别以∠A、∠B、∠C为顶角进行讨论即可求得答案．
【详解】
解：∵△ABC为等腰三角形，
∴分三种情况：
①当以∠C为顶角时，则有BC=AC，即点C在线段AB的垂直平分线上，可知满足条件；
②当以∠A为顶角时，则有AC=AB，由两直线夹角为50°，可知此时点C只能在直线m的上方，有一个点；
③当以∠B为顶角时，则有AB=CB，此时点C可以在直线m的上方，也可以在直线n的上方，有两个点，
综上可知满足条件的C点有4个，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定，由条件确定出点C的位置是解题的关键，注意分类讨论．
8．有下列说法：①等腰三角形的两腰相等；②等 ( http: / / www.21cnjy.com )腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高线相等：④等腰三角形两底角的平分线相等其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
等腰三角形中顶角平分线，底边中线及高互相重合，即三线合一，两腰上的角平分线、中线及高都相等．
【详解】
解：①等腰三角形的两腰相等；正确；
②等腰三角形的两底角相等；正确；
③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；正确；
④等腰三角形两底角的平分线相等．正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质以及命题与定理的概念，能够熟练掌握是解题的关键．
9．下列不能判定两个三角形全等的是（ ）
A．有两直角边对应相等的两个直角三角形 B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形
C．有一个角是，腰相等的两个等腰三角形 D．两腰对应相等的两个等腰三角形
【答案】D
【分析】
根据全等三角形的判定方法进行分析，不难求解，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．
【详解】
解：A、有两直角边对应相等的两个直角三角形，满足SAS，能判定全等；
B、一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形，满足ASA或AAS，能判定全等；
C、有一个角是100°，腰相等的两个等腰三角形，满足SAS，能判定全等；
D、两腰对应相等的两个等腰三角形，只有两腰不能判定两三角形全等．
故选D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全 ( http: / / www.21cnjy.com )等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
10．下列命题的逆命题正确的是（ ）
A．全等三角形的面积相等 B．全等三角形的周长相等
C．等腰三角形的两个底角相等 D．直角的补角都相等
【答案】C
【分析】
先写出各命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定、等腰三角形的判定定理和补角的定义分别对各逆命题进行判断．
【详解】
解：A、全等三角形的面积相等的逆命题为：面积相等的三角形为全等三角形，错误，故A选项不符合；
B、全等三角形的周长相等的逆命题为：周长相等的三角形为全等三角形，错误，故B选项不符合；
C、等腰三角形的两个底角相等的逆命题为：有两个角相等的三角形为等腰三角形，正确，故C选项符合；
D、直角的补角都相等的逆命题为：相等的角都为直角的补角，错误，故D选项不符合．
故选：C．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．
11．已知等边的边长为3，点E在直线上，点D在直线上，且，若，则的长为（ ）
A．6 B．9 C．3或6 D．3或9
【答案】D
【分析】
①在线段的延长线上时，过点作于，②当在线段的延长线时，过点作于，根据等边三角形的性质求出长和，解直角三角形求出，求出，即可求出答案．21*cnjy*com
【详解】
解：点在直线上，，点位置有两种情况：
①在线段的延长线上时，过点作于，
是等边三角形，的边长为3，，
，，
，
，
，
，
，
，
；
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②如图2，当在线段的延长线时，过点作于，
是等边三角形，的边长为3，，
，，
，
，
，
，
，
，
；
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即或3，
故选：D．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
12．如图，在中，，以斜边为边向外作等腰直角三角形，连接，则的长为（ ）
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A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【分析】
过点D作DE⊥CA，交CA的延长线于点E，借助等腰直角三角形的性质，证明△ADE≌△BAC，得到CE和DE的长，再利用勾股定理计算出CD．
【详解】
解：如图，过点D作DE⊥CA，交CA的延长线于点E，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴∠BAD=90°，AD=AB，
∴∠DAE+∠BAC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠CBA=90°，
∴∠DAE=∠CBA，
∵DE⊥AE，
∴∠DEA=90°，
在△ADE和△BAC中，
，
∴△ADE≌△BAC（AAS），
∴BC=AE=7，AC=DE=8，
∴CE=AE+AC=7+8=15，
在△CED中，
CD==17,
故选C．
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【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．21·世纪*教育网
13．如图中，分别在上，，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由已知根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠C与∠A之间的关系，从而再利用三角形内角和定理求解即可．【出处：21教育名师】
【详解】
解：∵AE=ED，
∴∠ADE=∠A，
∴∠DEB=∠A+∠ADE=2∠A，
∵BD=ED，
∴∠ABD=∠DEB=2∠A，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3∠A，
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=3∠A，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=3∠A，
∵∠ABC+∠C+∠A=180°，
∴7∠A=180°，
∴∠A=．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形的外角的性质的综合运用．
14．学习了角平分线及其性质后，某校数学兴趣小组的同学尝试只用一副带刻度的三角板作的角平分线，根据提供的条件，无法判断是角平分线的是（ ）
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A．，P为中点 B．，
C．， D．，P为中点
【答案】D
【分析】
根据全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，等边对等角和平行线的性质综合进行判断即可．
【详解】
解：A、OC=OD，CP=DP，OP=OP，根据SSS可判定△OCP≌△ODP，可得出∠POC=∠POD，故不符合题意；
B、CD∥OB，可得∠CPO=∠POB，再由OC=CP，可得∠CPO=∠COP，可得∠POB=∠COP，故不符合题意；
C、OC=OD，OF=OE，∠COF=∠DOE，根据SAS可判定△OCP≌△ODP，可得出∠POC=∠POD，故不符合题意；
D、CD⊥OB，PC=PD，而PC和OA不垂直，不能判定∠POC=∠POD，故符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，等边对等角和平行线的性质，解题的关键是读懂图形，结合已知条件判定结论．
15．一次数学课上，老师请同学们在一张 ( http: / / www.21cnjy.com )长为18厘米．宽为16厘米的长方形纸板上．剪下一个根长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其它两个顶点在长方形的边上，先剪下的等腰三角形的面积为（ ）
A．50 B．50或40 C．50或40或30 D．50或30或20
【答案】C
【分析】
本题中由于等腰三角形的位置不确定，因此要分三种情况进行讨论求解，①如图（1），②如图（2），③如图（3），分别求得三角形的面积．
【详解】
解：如图四边形是矩形，cm，cm；
本题可分三种情况：
①如图（1）：中，cm；
cm2；
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②如图（2）：中，cm；
在中，cm；
根据勾股定理有：cm；
cm2；
③如图（3）：中，cm；
在中，cm；
根据勾股定理有cm；
cm2．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键在于能够进行正确的讨论．
16．如图，中，的角平分线相交于点D．若，则等于（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设∠BAC=x，根据已知可以分别表示出∠ABD和∠BAD，再根据三角形内角和定理即可求得∠BAC的度数．
【详解】
解：设∠BAC=x，
∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-x），
∵BD是∠ABC的角平分线，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠ABD=（180°-x），∠DAB=x，
∵∠ABD+∠DAB+∠ADB=180°，
∴（180°-x）+x+130°=180°，
∴x=20°．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
17．如图，锐角三角形中，直线为的中垂线，直线为的角平分线，与相交于点．若，则是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据角平分线定义求出∠ABP=∠CB ( http: / / www.21cnjy.com )P，根据线段的垂直平分线性质得出BP=CP，求出∠CBP=∠BCP，根据三角形内角和定理得出方程3∠ABP+24°+60°=180°，求出方程的解即可．
【详解】
解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP=CP，
∴∠CBP=∠BCP，
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=60°，∠ACP=24°，
∴3∠ABP+24°+60°=180°，
解得：∠ABP=32°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，等腰三角形的性质的应用，能求出∠ABP=∠CBP=∠BCP是解此题的关键，数形结合思想的应用．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＞BC，BE＝BC，∠ABE＝∠BCD，则图中一定是等腰三角形的有（ ）个
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A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】
先分别设∠A=，∠ABE＝∠BCD =，再依次表示出其余各角，利用有两个角相等的三角形是等腰三角形即可判断出图中的等腰三角形的个数．
【详解】
解：如图，令∠A=，∠ABE＝∠BCD =，
∴∠BEC=（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∵BE＝BC，
∴∠BCE=，
∴∠DCE=
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=，
∴∠OBC=，
∴∠EOC=，
将以上各角在图中标注，依据等角对等边，由图可知：这四个三角形是等腰三角形，
故选：B．
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【点睛】
本题考查了三角形外角的性质和等腰三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )与判定，要求学生理解并掌握相关概念性质，并能用于解决相关问题，此题容易漏解，因此将一些角标注出来可以更清楚的看出哪些三角形是等腰三角形，对学生的审题、分析和读图的能力都有一定的考查．
19．满足下列条件的三角形：
①三边长之比为3：4：5；
②三内角之比为3：4：5；
③n2﹣1，2n，n2+1；
④，，6．
其中能组成直角三角形的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【答案】A
【分析】
欲求证是否为直角三角形，若已知三边长，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方；若已知三个角的度数，只要验证是否存在直角即可．
【详解】
①三边长之比为；则有，为直角三角形；
②三个内角度数之比为，
则各角度数分别为，，，不是直角三角形；
③，是直角三角形；
④，构不成三角形．
故选：A．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
20．图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC=2，则S△ABE的值是（ ）
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A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【分析】
由垂直平分线的性质，得AE=BE，然后求出∠AEC=30°，则求出AE=4，由三角形的面积公式，即可求出答案．
【详解】
解：根据题意，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠EAD=∠B=15°，
∴∠AEC=15°+15°=30°，
∵在△ACE中，∠ACE=90°，
∴AE=2AC=2×2=4，
∴BE=4，
∴S△ABE=；
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，30度直角三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是熟练所学的知识，正确的进行解题．
21．如图，在平面直角坐标系中、，轴，存在第一象限的一点使得是以为斜边的等腰直角三角形，则点的坐标（ ）．
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A．或 B． C．或 D．
【答案】C
【分析】
分点P在AB的上方和点P在AB的下方，根据全等三角形的判定与性质进行讨论求解即可．
【详解】
解：当点P在AB的上方时，过P作x轴的平行线交y轴于E，交CB延长线于F，如图1，
则∠AEP=∠PFB=∠APB=90°，E(0，2a﹣5)，F(6，2a﹣5)，
∴PE=a，PF=6﹣a，AE=2a﹣9，
∵∠EAP+∠EPA=90°，∠EPA+∠BPF=90°，
∴∠EAP=∠BPF，又∠AEP=∠PFB，PA=PB，
∴△AEP≌△PFB(AAS)，
∴AE=PF，
∴6﹣a=2a﹣9，解得：a=5，
∴P(5，5)；
当点P在AB的下方时，同样过P作x轴的平行线交y轴于E，交CB于F，如图2，
则∠AEP=∠PFB=∠APB=90°，E(0，2a﹣5)，F(6，2a﹣5)，
∴PE=a，PF=6﹣a，AE=9﹣2a，
∵∠EAP+∠EPA=90°，∠EPA+∠BPF=90°，
∴∠EAP=∠BPF，又∠AEP=∠PFB，PA=PB，
∴△AEP≌△PFB(AAS)，
∴AE=PF，
∴9﹣2a=6﹣a，解得：a=3，
∴P（3，1），
综上，点P的坐标为（3，1）或（5，5），
故选：C．
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【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定与性质、等角的余角相等、坐标与图形性质、解一元一次方程等知识，过已知点向坐标轴作平行线或垂线，然后求出相关线段的长是解决此类问题的基本方法．
22．如图，中，分别平分和，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①；②；③的周长等于的周长；④．其中正确的有（ ）
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A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【分析】
①根据平分线的性质、平行线的性质，借助于等量代换可求出；②同理可得②的结论；③用特殊值法，当为等边三角形时，连接，根据等边三角形的性质，角平分线定义和等腰三角形的判定便可得出，进而得，便可得出；的周长不等于的周长；④利用两次三角形的内角和，以及平分线的性质，进行等量代换，可求的和之间的关系式．
【详解】
解：①是的角平分线，
，
又，
，
，故①正确；
②同理，故②正确；
③假设为等边三角形，则，如图，连接，
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，，
，，
的周长，
是，的平分线的交点
第三条平分线必过其点，即平分，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
即的周长的周长，故③错误；
④在中，（1），
在中，
即（2），
（2）（1）得，故④正确；
故选C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及角平 ( http: / / www.21cnjy.com )分线的性质，以及三角形内角和定理解答，涉及面较广，需同学们仔细解答．尤其是第③小题在常规方法不能判断正误时，可采用的特殊值法进行判断，也即是举反例的方法．
23．如图所示，在中，，边的延长线与外角的平分线交于点D．若，则的度数是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设∠BAC=x，则∠C=3x，根据三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形外角定理得到∠DBA=4x，由等腰三角形的性质得到∠D=∠DBA=4x，由三角形外角定理得到∠DAE=5x，∠EAD=∠BAD=7x，根据平角等于180°列出方程，求解即可求得结论．
【详解】
解：设∠BAC=x，则∠C=3x，
∴∠DBA=4x，
∵AD=AB，
∴∠D=∠DBA=4x，
∴∠DAE=7x，
∴∠EAD=∠BAD=7x，
∵∠EAD+∠BAD+∠BAC=180°，
即15x=180°，
∴x=12°，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
24．如图所示，平分平分，且，设，则的周长为（ ）
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A．30 B．33 C．36 D．39
【答案】A
【分析】
根据BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，可得出MO=MB，NO=NC，所以三角形AMN的周长是AB+AC．
【详解】
解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，
∴∠MBO=∠OBC，∠OCN=∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，
∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，
∴MO=MB，NO=NC，
∵AB=18，AC=12，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AB+AC=18+12=30．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查学生对等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是基础知识要熟练掌握．
25．如图，在平面直角坐标系中，点，直线交坐标轴于B、C，且，点M在直线上，且，则直线的解析式为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
作MN⊥AC于N，由A、B的坐标可知OA= ( http: / / www.21cnjy.com )1，OB=3，证得△AMN≌△BAO，得到MN=OA=1，AN=OB=3，得出M（-4，1），然后根据待定系数法即可求得BC的解析式．
【详解】
解：作MN⊥AC于N，
∵点A（-1，0），B（0，3），
∴OA=1，OB=3，
∵∠CBA=45°，AM⊥AB，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AM=AB，
∵∠NAM+∠BAO=90°=∠BAO+∠ABO，
∴∠NAM=∠ABO，
在△AMN和△BAO中，
，
∴△AMN≌△BAO（AAS），
∴MN=OA=1，AN=OB=3，
∴ON=AN+OA=4，
∴M（-4，1），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把M（-4，1），B（0，3）代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为，
故选：C．
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【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边，点C为x轴正半轴上一动点，连接，以线段为边在第四象限内作等边，直线交y轴于点E，点E的坐标是（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．点E的坐标随着点C位置的变化而变化 B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由等边三角形的性质可得AO=OB=AB=2，BC=BD=CD，∠OBA=∠CBD=60°，可证△OBC≌△ABD，可得∠BAD=∠BOC=60°，可求∠EAO=60°，即可求OE=，可求点E坐标．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：∵△AOB，△BCD是等边三角形，
∴AO=OB=AB=2，BC=BD=CD，∠OBA=∠CBD=60°，
∴∠OBC=∠ABD，且OB=AB，BC=BD，
∴△OBC≌△ABD（SAS），
∴∠BAD=∠BOC=60°，
∴∠EAO=180°-∠OAB-∠BAD=60°，
在Rt△AOE中，AO=2，∠EAO=60°，
∴AE=4，OE==，
∴点E坐标（0，），
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，坐标与图形性质，灵活运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．
27．如图，△ABC的面积是18cm2，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，过点C作CD⊥AP于点D，连接BD，则△DAB的面积是（ ）
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A．9cm2 B．8cm2 C．7cm2 D．6cm2
【答案】A
【分析】
延长CD交AB于点E，根据ASA证明△ACD≌△AED，得到CD=ED，进而得到S△BCD=S△BED，S△ACD=S△AED，推出S△ABD=S△AED＋S△BED=S△ABC，即可得到答案．
【详解】
解：如图，延长CD交AB于点E，
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由题可得，AP平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD，
又∵CD⊥AP，
∴∠ADC=∠ADE=90°，
又∵AD=AD，
∴△ACD≌△AED（ASA），
∴CD=ED，
∴S△BCD=S△BED，S△ACD=S△AED，
∴S△ABD=S△AED+S△BED=S△ABC=×18=9（cm2）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了基本作图方法，角平 ( http: / / www.21cnjy.com )分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形中线与面积的关系，熟知基本作图，角平分线、中线定义，熟练掌握全等三角形判定、性质定理是解题的关键．
28．如图，等边三角形中，D、E分别为、边上的点，，与交于点F，于点G，则的值为（ ）
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A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】
根据等边三角形性质得出AC=AB，∠BA ( http: / / www.21cnjy.com )C=∠B=60°，证△ABE≌△CAD，推出∠BAE=∠ACD求出∠AFD=∠BAC=60°求出∠FAG=30°，得到AF=2FG，得到AG，即可求出答案．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB，∠BAC=∠B=60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD （SAS），
∴∠BAE=∠ACD，
∴∠AFD=∠CAE+∠ACD=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°，
∵AG⊥CD，
∴∠AGF=90°，
∴∠FAG=30°，
∴AF=2FG，
∴AG==FG，
∴=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形性质，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力．
29．如图，C为线段上一动点（不与点A，B重合），在同侧分别作等边和等边与交于点F，与交于点G，与交于点H，连接．以下四个结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（ ）
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A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】
根据等边三角形的性质可以得出△ACE≌△DCB，就可以得出∠CAE＝∠CDB，通过证明△ACG≌△DCH就可以得出CG＝CH，AG=DH，可以得出△GCH是等边三角形，再判断AC与DH的大小关系，求出∠DFG=∠GCA=60°，利用外角定理即可得到．
【详解】
∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AD＝AC＝CD，CE＝CB＝BE，∠ACD＝∠BCE＝60°．
∵∠ACB＝180°，
∴∠DCE＝60°．
∴∠DCE＝∠BCE．
∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB．
在△ACE和△DCB中，，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴
即，①正确；
在△ACG和△DCH中，，
∴△ACG≌△DCH（ASA），
∴GC=HC,AG=DH
又∠GCH=60°，
∴为等边三角形，②正确；
又AC≠AG，∴DH≠AC，④错误；
∵∠GAC+∠ACG+∠AGC=180°，∠GDF+∠DFG+∠DGF=180°
又∠AGC=∠DGF，∠GAC=∠GDF
∴∠DFG=∠ACG=60°
又∠DFG=，
∴，③正确；
故选A．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角之间的关系的运用，解答时证明三角形全等是关键．
30．如图，等边△ABC的边长为2，AD是BC边上的高，则高AD的长为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据等边三角形的性质求出CD，再根据勾股定理求出AD即可．
【详解】
解：∵等边△ABC的边长为2，AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，BD=CD=BC=1，
由勾股定理得：AD=，
故选：B．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和勾股定理，能根据等边三角形的性质求出CD的长是解此题的关键．
31．如图，在中，的平分线相交于点E，边的垂直平分线相交于点D．若，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由，可求∠EBC+∠ECB=，由BE，CE分别，可得，可求，可得，由边的垂直平分线相交于点D．可得AD=BD=CD，可得，可求，，可得，可求．
【详解】
解：∵
∴∠EBC+∠ECB=180°-，
∵BE，CE分别，
∴
∴
∵边的垂直平分线相交于点D．
∴AD=BD=CD，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选择：D．
【点睛】
本题考查三角形内角和，角平分线，线段垂直平分线，周角，掌握三角形内角和，角平分线，线段垂直平分线，周角是解题关键．
32．如图，在中，己知，，那么的度数为（ ）
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A．72° B．66° C．60° D．54°
【答案】B
【分析】
根据等腰三角的两底角相等，可得∠1与∠3，∠B与∠C的关系，根据三角形外角的性质，可得一元一次方程，根据解方程，可得答案．
【详解】
解：AB＝AC＝BD，
∴∠B＝∠C，∠1＝∠3．
设∠1＝x°＝∠BAD，
∠B＝∠C＝180° 2x，
由三角形外角的性质得∠1＝∠2＋∠C，
即x＝18°＋（180° 2x）
解得x＝66°，
则∠1＝66°．
故选：B．
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【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
33．如图，四边形ABCD中，对角线AD平分∠BAC，，，则∠ADB的度数为（ ）
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A．54° B．50° C．48° D．46°
【答案】C
【分析】
过作于，于，于，依据角平分线的性质，即可得到，再根据三角形外角性质，根据角平分线的定义，即可得到．
【详解】
解：如图所示，过作于，于，于，
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平分，于，于，
，
又，，
，，
平分，
又于，于，
，
，
平分，
，
平分，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的判定和性质，解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
34．如图，在中，， ．分别是上的任意一点，求的最小值为（ ）
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A．1.5 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】
作关于的对称点，作于点，交于于点，则此时有最小值，且，利用直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：作关于的对称点，作于点，交于于点，
则此时有最小值，且，
，，，
，，
，
，
，
，
，
的最小值为1.5．
故选：A．
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【点睛】
此题考查了最短路径问题、勾股定理、直角三角形的性质以及轴对称的性质．注意准确找到，的位置是解此题的关键．
35．如图，在等腰直角三角形中，是斜边的中点，点分别在直角边上，且交于点P，有下列结论：①图形中全等的三角形只有两对；②的面积等于四边形的面积的2倍；③；④．其中正确的结论有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
结论①错误．因为图中全等的三角形有3 ( http: / / www.21cnjy.com )对；结论②正确．由全等三角形的性质可以判断；结论③正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断．结论④正确．利用全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行判断．
【详解】
解：结论①错误．理由如下：
图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．
由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．
∵OC⊥AB，OD⊥OE，
∴∠AOD=∠COE．
在△AOD与△COE中，
，
∴△AOD≌△COE（ASA）．
同理可证：△COD≌△BOE．
结论②正确．理由如下：
∵△AOD≌△COE，
∴S△AOD=S△COE，
∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC，
即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．
结论③正确，理由如下：
∵△AOD≌△COE，
∴CE=AD，
∴CD+CE=CD+AD=AC=OA．
结论④正确，理由如下：
∵△AOD≌△COE，
∴AD=CE；
∵△COD≌△BOE，
∴BE=CD．
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，
∴AD2+BE2=DE2．
∵△AOD≌△COE，
∴OD=OE，
又∵OD⊥OE，
∴△DOE为等腰直角三角形，
∴OD2+OE2=2OE2=DE2，
∴AD2+BE2=2OE2．
故选C．
【点睛】
本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形和勾股定理等重要几何知识点，综合利用知识，灵活解决问题．21cnjy.com
36．如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，现有下列结论：①；②；③平分;④，其中正确的有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知，故此可知，，从而可证明②正确；③若平分，则，从而得到为等边三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接、，然后证明，从而得到，从而可证明④．
【详解】
解：如图所示：连接、．
( http: / / www.21cnjy.com / )
①平分，，，
．
①正确．
②，平分，
．
，
．
，，
．
同理：．
．
②正确．
③由题意可知：．
假设平分，则，
又，
．
．
是否等于不知道，
不能判定平分，
故③错误．
④是的垂直平分线，
．
在和中
，
．
．
又，，
．
故④正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
37．在中，，点D为中点，绕点D旋转，、分别与边、交于E、F两点．下列结论：
①；②始终为等腰直角三角形；③；④．其中正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①②③④ B．①④ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】
连接CD根据等腰直角三角形的性质，就可以 ( http: / / www.21cnjy.com )得出△ADE≌△CDF，根据全等三角形的性质得出AE=CF，进而得出CE=BF，就有AE+BF=AC，再由勾股定理就可以求出结论．
【详解】
解：如图所示，连接，
，点为中点，，
，，，
，
，
．
在和中，
，
，
，，．
，
，
．
，
．
，，
，
，故①正确；
，，
始终为等腰直角三角形，故②正确；
，
，
又，
，故③正确；
，，
，
又，
，故④错误；
正确的有①②③．
故选：D．
( http: / / www.21cnjy.com / )．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理以及三角形的面积公式的运用，根据ASA证明△ADE≌△CDF是解决问题的关键．
38．如图在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论：其中正确的结论有（ ）个．
①；②；③点到各边的距离相等；
④设,，则；⑤的周长等于的和．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
①根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G可得出∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG，再由EF∥BC可知∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，故可得出BE=EG，GF=CF，由此可得出结论；②先根据角平分线的性质得出∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB），再由三角形内角和定理即可得出结论；③根据三角形角平分线的性质即可得出结论；④连接AG，由三角形的面积公式即可得出结论；⑤根据BE=EG，GF=CF，进行等量代换可得结论．
【详解】
解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG．
∵EF∥BC，
∴∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，
∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，
∴BE=EG，GF=CF，
∴EF=EG+GF=BE+CF，故①正确；
②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A），
∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A，故②错误；
③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴点G也在∠BAC的平分线上，
∴点G到△ABC各边的距离相等，故③正确；
④连接AG，作GM⊥AB于M，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵点G是△ABC的角平分线的交点，GD=m，AE+AF=n，
∴GD=GM=m，
∴S△AEF=AE GM+AF GD=（AE+AF） GD=nm，故④错误．
⑤∵BE=EG，GF=CF，
∴AE+AF+EF=AE+AF+EG+FG=AE+AF+BE+CF=AB+AC，
即△AEF的周长等于AB+AC的和，故⑤正确，
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性 ( http: / / www.21cnjy.com )质、角平分线的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质是解题的关键．
39．如图，在中，分别为边上的高，相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（ ）
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A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④
【答案】B
【分析】
证明△BDF≌△ADC， ( http: / / www.21cnjy.com )可判断①；求出∠FCD=45°，∠DAC＜45°，延长CF交AB于H，证明∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，可判断③；根据①可以得到E是AC的中点，然后可以推出EF是AC的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质可判断④．
【详解】
解：∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，∠ABC=45°，
∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，
而∠ADB=∠ADC=90°，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴BF=AC，FD=CD，故①正确，
∵∠FDC=90°，
∴∠DFC=∠FCD=45°，
∵∠DAC=∠DBF＜∠ABC=45°，
∴∠FCD≠∠DAC，故②错误；
延长CF交AB于H，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，
∴∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，
∴CH⊥AB，
即CF⊥AB，故③正确；
∵BF=2EC，BF=AC，
∴AC=2EC，
∴AE=EC=AC，
∵BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴AF=CF，BA=BC，
∴△FDC的周长=FD+FC+DC
=FD+AF+DC
=AD+DC
=BD+DC
=BC
=AB，
即△FDC的周长等于AB，故④正确，
综上：①③④正确，
故选B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定， ( http: / / www.21cnjy.com )也考查了线段的垂直平分线的性质与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高．＜
40．如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于交的延长线于于，现有下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】
①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知，故此可知，，从而可证明②正确；③先说明AD平分∠EDF，再由AD和DM不一定共线，故③错误；④连接、，然后证明，从而得到，从而可证明④．
【详解】
解：如图所示：连接、．
( http: / / www.21cnjy.com / )
①平分，，，
．故①正确．
②，平分，
．
，
．
，，
．
同理：．
．故②正确．
③由题意可知：∵∠EAD=∠FAD=30°，
∴∠ADE=∠ADF=60°，
则AD平分∠EDF，
而AD和DM不一定共线，
不能判定平分．故③错误．
④是的垂直平分线，
．
在和中
，
．
．
又，，
．故④正确．
故选B．
【点睛】
本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．www.21-cn-jy.com
二、填空题
41．如图，为上一点，，点P是上的一动点，点Q是上的一个动点，则的最小值为_________．
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【答案】
【分析】
作点关于的对称点，根据轴对称性找出点的位置，如图，根据含30°角的直角三角形的性质求出，，再根据直角三角形的性质求出结论．
【详解】
解：作点关于的对称点，过作于交于，
则的长即为的最小值，
设交于，则，，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
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【点睛】
本题考查含30°直角三角形的性质、轴对称—最短路线问题，正确确定P点的位置是解题的关键．
42．如图所示：的内部有一点到顶O的距离为是上的动点．若，则周长的最小值为_______．
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【答案】cm
【分析】
设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小．
【详解】
解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=5cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=90°，
∴△COD是等腰直角三角形，
∴CD==cm．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=cm．
故答案为：cm．
( http: / / www.21cnjy.com / ) ．
【点睛】
此题主要考查轴对称—最短路线问题，综合运用了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的知识．
43．如图，中，，在内依次作等边三角形，使一边在上，另一个顶点在边上，依次作出的等边三角形分别是第1个为，第2个为，第3个为，则第2019个等边三角形的边长为__________．21*cnjy*com
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【答案】
【分析】
根据题目已知条件可推出，，，依此类推，第个等边三角形的边长等于，从而求解．
【详解】
解：，，
，
，．
而△为等边三角形，，
，则．
在中，，
同理得：，
依此类推，第个等边三角形的边长等于，
则第2019个等边三角形的边长为．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查勾股定理、等边三角形的性质及解直角三角形，关键是归纳出边长的规律．
44．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的腰长为2，直角顶点A在直线，且斜边轴，当在直线l上移动时，的中点，写出n关于m的关系式为_________．
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【答案】
【分析】
设：，则，由题意得：为等腰直角三角形，则，解得：，，则，则，即可求解．
【详解】
解：设：，则，
由题意得：为等腰直角三角形，
则，解得：，
，则，
则，
即：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，涉及到等腰直角三角形的性质，题目的关键通过长度计算的长度，利用点和之间的关系，求解函数表达式．
45．如图，，内有一定点P，且．在上有一动点Q，上有一动点R．若周长最小，则最小周长是________．
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【答案】8
【分析】
先画出图形，作PM⊥OA ( http: / / www.21cnjy.com )与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR的周长=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解．
【详解】
解：设∠POA=θ，则∠POB=30°-θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM，
作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN，
连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形，
∵OA是PE的垂直平分线，
∴EQ=QP；
同理，OB是PF的垂直平分线，
∴FR=RP，
∴△PQR的周长=EF，
∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°-θ）=60°，
∴△EOF是正三角形，
∴EF=8，即在保持OP=8的条件下△PQR的最小周长为8．
故答案为：8．
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【点睛】
本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答．
三、解答题
46．已知与都是等腰直角三角形，与均为斜边．如图，B，D，F在同一直线上，过F作于点F，取，连接交于点H，连接．
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（1）求证：；
（2）请判断的形状，并给予证明；
（3）请用等式表示线段的数量关系，不必说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）AM2=BD2+DF2
【分析】
（1）根据AAS即可证明△AHB≌△MHF；
（2）先根据SAS证明△GAD≌△GMF，得AG=GM，再证明∠AGD+∠DGM=90°，可得△GAM是等腰直角三角形；【来源：21·世纪·教育·网】
（3）先根据等腰直角三角形的斜边是直角边的倍，及勾股定理得：AM2=2MG2，Rt△GMF中，有MG2=AB2+FG2，代入可得：AM2=2MG2=BD2+DF2．
【详解】
解：（1）证明：如图1，∵MF⊥GF，
∴∠GFM=90°，
∵△ABD与△GDF都是等腰直角三角形，
∴∠DFG=∠ABD=45°，
∴∠HFM=90°-45°=45°，
∴∠ABD=∠HFM，
∵AB=MF，∠AHB=∠MHF，
∴△AHB≌△MHF；
（2）如图1，△GAM是等腰直角三角形，理由是：
∵△ABD与△GDF都是等腰直角三角形，
∴AB=AD，DG=FG，
∠ADB=∠GDF=45°，
∴∠ADG=∠GFM=90°，
∵AB=FM，
∴AD=FM，
∴△GAD≌△GMF，
∴AG=GM，∠AGD=∠MGF，
∴∠AGD+∠DGM=∠MGF+∠DGM=90°，
∴△GAM是等腰直角三角形；
（3）如图1，AM2=BD2+DF2，理由是：
∵△AGM是等腰直角三角形，
∴AM2=2MG2，
Rt△GMF中，MG2=FG2+FM2=AB2+FG2，
∵△ABD与△GDF都是等腰直角三角形，
∴AB2=，FG2=，
∴AM2=2MG2=2（+）=BD2+DF2．
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【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质和判定、三角形全等的性质和判定、勾股定理，本题运用了类比的思想解决问题，证明三角形全等是关键．21教育网
47．如图，在中，平分交于点F，垂足是E，与交于点A．
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（1）求证：；
（2）求证：是的中垂线；
（3）若，求的长度．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）欲证明BF=AC，只要证明△BDF≌△CDA（ASA）即可；
（2）只要证明BC=BA即可解决问题；
（3）连接AF，根据△BDF≌△CDA得到AD=DF，求出AF，再根据垂直平分线的性质可得CF=AF．
【详解】
解：（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠AEB=90°，
∵∠DBF+∠A=90°，∠DCA+∠A=90°，
∴∠DBF=∠DCA，
∵BD=CD，
∴△BDF≌△CDA（SAS），
∴BF=AC．
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠BEA=∠BEC=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，∠BCA+∠CBE=90°，
∴∠A=∠BCA，
∴BC=BA，
∵BE⊥AC，
∴CE=EA，
∴BE是AC的中垂线．
（3）连接AF．
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∵△BDF≌△CDA，
∴AD=DF=1，AF=，
∵BE垂直平分AC，
∴CF=AF=．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、 ( http: / / www.21cnjy.com )等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
48．在等边的外侧作直线，点关于的对称点为，连接．
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（1）如图1，若，直接写出的度数；
（2）如图2，若，过点作交直线于点，
①依题意补全图形；
②直接写出的度数（用含的代数式表示）；
③求证：．
【答案】（1）；（2）①见解析；②；③见解析
【分析】
（1）根据对称性和等边三角形的性质即可求解；
（2）①根据已知条件进行作图即可 ( http: / / www.21cnjy.com )；②根据对称性和等边三角形的性质即可求解；③根据等边三角形的性质和直角三角形的性质证明两个三角形全等即可证明．
【详解】
解：（1）点关于对称点为，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
答：的度数为．
（2）①如图即为补全的图形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
②如图，同（1），，
，
=AC，
．
答：的度数为．
③，
，
，
，
，
点关于对称点为，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了复杂作图、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、对称性，解决本题的关键是综合以上知识．
49．如图，是上的一点，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）判断的形状，并说明理由
（2）若，求出的长．
【答案】（1）等腰直角三角形，理由见解析；（2）
【分析】
（1）证明△ABC≌△DEB，得到BC=BE，∠ACB=∠EBD，再证明∠CBE=90°，可得结论；
（2）利用勾股定理求出BC，可得BE，再利用勾股定理求出CE即可．
【详解】
解：（1）∵AC∥ED，∠A=90°，
∴∠A=∠D=90°，
∴在△ABC与△DEB中，
，
∴△ABC≌△DEB（AAS），
∴BC=BE，∠ACB=∠EBD，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠1+∠ACB=90°，
又∵∠ACB=∠EBD，
∴∠1+∠EBD=90°，
∴∠CBE=90°，
∴△CBE为等腰直角三角形；
（2）∵AC=BD=2，AD=6，
∴AB=AD-BD=4，
∴在△ABC中，
BC==，
由（1）可知，△CBE为等腰直角三角形，
∴BC=BE=，
∴CE==．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是证明△ABC≌△DEB．2·1·c·n·j·y
50．已知：如图，等边中，分别在边上运动，且始终保持，点始终不与等边的顶点重合．连结交于点．【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）写出在运动过程中始终全等的三角形，并选择其中一组证明；
（2）运动过程中，的度数是否会改变？如果改变，请说明理由；如果不变，求出的度数，再说明理由．
【答案】（1），，证明见解析；（2）60°
【分析】
（1）由等边三角形的性质得出，，由，得出，由即可证得；由即可证得；
（2）由得出，由三角形内角和定理得出，推出，由，则，即可得出不变；
【详解】
解：（1），；理由如下：
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
；
在和中，
，
；
（2）的度数不变；理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
的度数不变．
【点睛】
本题是三角形综合题，主要考查了等边 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
51．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．的边在x轴上，A，C，B三点的坐标分别为，，，点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒．
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（1）求直线的解析式和的边上的高线长；
（2）连接，写出的面积S与t的函数表达式；
（3）是否存在一点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出P点满足条件时，所有t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）直线AC的解析式为，AC边上的高为；（2）；（3）存在，符合条件的t为1或1.5或6.5或．
【分析】
（1）利用待定系数法即可求得AC的解析式，利用等面积法即可求得AC边上的高；
（2）分点P在原点左侧和原点右侧两种情况讨论求解；
（3）分AP=AC，PC=AC，AP=PC三种情况，分别求得OP的长以及BP的长，即可得出所有t的值．
【详解】
解：（1）设直线AC的解析式为，将，代入得
，解得，
∴直线AC的解析式为，
∵，，，
∴，，，
∴，
设AC边上的高为h，
则，即，
解得，即AC边上的高为；
（2）当0≤t＜2.5时，OP=5-2t，
∴△POA的面积，
当t＞2.5时，OP=2t-5，
∴△POA的面积，
故；
（3）如图，当AP=AC时，
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∵AO⊥BC，
∴PO=OC=3，BP=5-3=2，
∴此时t=1；
当PC=AC时，
∴BP=BC-PC=8-5=3或BP=BC+PC=8+5=13，
∴t=1.5或t=6.5；
当AP=PC时，
设PO=a，则CP=a+3，
∴，解得，
∴，
∴．
综上所述，存在，符合条件的t为1或1.5或6.5或．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式．主要用到分类讨论思想．解题的关键是根据点P的不同位置进行分类讨论．
52．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．
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（1）求的长．
（2）求的长．
【答案】（1）5；（2）
【分析】
（1）根据勾股定理求出AB，根据线段垂直平分线的定义求出AD；
（2）连接BE，用未知数表示出EC，BE的长，再利用勾股定理得出EC的长，进而得出答案．
【详解】
解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．
根据勾股定理得：AB=＝10，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝AB＝5；
（2）连接BE，
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∵DE垂直平分AB，
∴BE＝AE，
设EC＝x，则AE＝BE＝8 x，
∴在Rt中， 62＋x2＝（8 x）2，
解得：x＝，
∴AE＝8 ＝，
在Rt中，DE＝．
【点睛】
本题主要考查垂直平分线的性质、勾股定理，添加辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列出方程，是解题的关键．
53．如图所示，在中，，N是上任一点（不与点A，B重合），过点N作交所在直线于点M．
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（1）若，求的度数．
（2）如果将（1）中的度数改为，其余条件不变，求的度数．
（3）综合（1）（2），你发现了什么规律？试证明之．
（4）若将（1）中的改为直角或钝角，你发现的规律是否仍然成立？（直接写出结论）
【答案】（1）15°；（2）34°；（3），证明见解析；（4）成立
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质可先求得∠B，在Rt△BMN中利用三角形内角和可求得∠NMB；
（2）方法同（1）；
（3）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可找到∠A与∠NMB之间的关系，可证明结论；
（4）结合（3）的证明，可知仍然成立，证明方法同（3）．
【详解】
解：（1），
，
，
，
，
；
（2）当时，同理有；
（3）规律：，证明如下：
，
，
，
，
，
；
（4）当为钝角或直角时，仍然有．
若∠A为钝角，如图，
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∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=，
∵MN⊥AB，
∴∠NMB=90°-∠ABC=90°-=，
同理，当∠A为锐角，依然成立．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角及三角形内角和为180°是解题的关键．
54．如图所示，，E是上一点，．求证：．
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【答案】见解析
【分析】
根据AB∥DC即可得出∠B+∠C=1 ( http: / / www.21cnjy.com )80°，由AB=BE、CD=CE利用等腰三角形的性质即可得出∠1=∠2、∠3=∠4，再根据三角形内角和定理以及角的计算即可得出∠2+∠3=90°，从而得出∠AED=90°，进而证出AE⊥DE．
【详解】
解：证明：∵AB∥DC，
∴∠B+∠C=180°．
∵AB=BE，CD=CE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠B+∠1+∠2=∠C+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=（180°-∠B+180°-∠C）=[360°-（∠B+∠C）]=90°，
∴∠AED=180°-∠2-∠3=90°．
∴AE⊥DE．
【点睛】
本题考查了垂直、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及角的计算，通过角的计算找出∠AED=90°是解题的关键．
55．如图，在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且．
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（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）70°
【分析】
（1）可根据“HL”判断Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由AB=CB，∠ABC= ( http: / / www.21cnjy.com )90°，可判断△ABC为等腰直角三角形，则∠BAC=∠BCA=45°，可得到∠BAE=20°，再根据Rt△ABE≌Rt△CBF得到∠BCF=∠BAE=20°，然后根据∠CFA=90°-∠FCB进行计算．
【详解】
解：（1）证明：如图，∵∠ABC=∠CBF=90°，
∴在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
（2）∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠CAE=25°，
∴∠BAE=45°-25°=20°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=20°，
∴∠CFA=90°-20°=70°．
【点睛】
本题考查了直角三角形全等的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com )：判定直角三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．
56．如图，三角形ABC中，AC＝BC，D是BC上的一点，连接AD，DF平分∠ADC交∠ACB的外角∠ACE的平分线于F．求证：CFAB．
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【答案】见解析
【分析】
根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BAC，由三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形外角的性质得到∠ACE=∠B+∠BAC，求得∠ACE=2∠B，由角平分线的定义得到∠ACE=2∠FCE，等量代换得到∠B=∠FCE，根据平行线的判定定理即可得到结论．
【详解】
证明：∵AC=BC，
∴∠B=∠CAB，
∴∠ACE=∠B+∠CAB=2∠B．
∵CF是∠ACE的平分线，
∴∠ACE=2∠FCE，
∴2∠B=2∠FCE，
∴∠B=∠FCE，
∴CF//AB．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
57．已知，如图，在ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE．
（1）求证：∠D＝∠E；
（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，则图中共有 个等腰三角形．
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【答案】（1）见解析；（2）5
【分析】
（1）证明△EBC≌△DCB（SAS），可得结论．
（2）根据等腰三角形的定义，判断即可．
【详解】
（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△EBC和△DCB中，
，
∴△EBC≌△DCB（SAS），
∴BE＝CD．
（2）图中共有5个等腰三角形．
∵∠BAC＝108°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝36°，
∵∠D＝∠E＝36°，
∴∠D＝∠BCD，∠E＝∠CBE，
∴∠DAB＝∠EAC＝72°，
∴∠DBA＝∠DAB＝72°，∠EAC＝∠ECA＝72°，
∴DB＝DA，EA＝EC，
∴△ABD，△AEC，△BCD，△BCE，△ABC是等腰三角形．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定，等腰三角形不要漏找．
58．（1）（问题原型）如图，在等腰直角三角形中，，．过作，且，连结，过点作的边上的高，易证，从而得到的面积为_________．21世纪教育网版权所有
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（2）（初步探究）如图，在中，，，过作，且，连结．用含的代数式表示的面积并说明理由．
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（3）（简单应用）如图，在等腰中，，，过作，且，连结，求的面积（用含的代数式表示）．
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【答案】（1）32；（2）；答案见解析；（3）．
【分析】
（1）【问题原型】根据AAS证明出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=8．进而由三角形的面积公式得出结论
（2）【初步探究】过点D作 ( http: / / www.21cnjy.com )BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a．进而由三角形的面积公式得出结论．
（3）【简单应用】过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出，由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE，由三角形的面积公式就可以得出结论．
【详解】
解：（1）【问题原型】如图，
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∵过点D作BC的垂线，与BC的延长 ( http: / / www.21cnjy.com )线交于点E．
∴∠BED=∠ACB=90°，
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，
∴AB=BD，∠ABD=90°．
∴∠ABC+∠DBE=90°．
∵∠A+∠ABC=90°．
∴∠A=∠DBE．
在△ABC和△BDE中，
∴△ABC≌△BDE（AAS）
∴BC=DE=8．
∴S△BCD=32，
（2）【初步探究】．
理由：过做上以垂足为，
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∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在△ABC和△BDE中，
∵．
∴=a．
∴
（3）【简单应用】过做于，过做于．
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∴∠AFB=∠E=90°，
∴∠FAB+∠ABF=90°．
∵∠A ( http: / / www.21cnjy.com )BD=90°，
∴∠ABF+∠DBE=90°，
∴∠FAB=∠EBD．
∵线段BD是由线段AB旋转得到的，
∴AB=BD．
在△AFB和△BED中，
∴△AFB≌△BED（AAS），
∴．
∵，，，
∴
∴．
∴
．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质的运用，等腰三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键．【来源：21cnj*y.co*m】
59．如图，在中，，，，延长交于点E．
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求证：（1）．
（2）平分．
（3）若，，，求线段的长度．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8
【分析】
（1）易证AD=BD，即可证明△ACD≌△BCD，即可解题；
（2）由（1）结论和∠ACB=90°，可得∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ACD=∠BCD=45°，即可求得∠BDC=∠ADC=120°，可得∠CDE=60°，即可解题；
（3）易证△CDE≌△MDE，可得CE=EM，∠DEM=∠AEC=75°，即可求得∠MEF=30°，即可求得MF=BF，即可解题．
【详解】
解：（1）证明：∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠DAB=∠DBA，
∴AD=BD，
在△ACD和△BCD中，
，
∴△ACD≌△BCD（SAS）；
（2）∵△ACD≌△BCD，∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCD=45°
∴∠BDC=∠ADC=120°，
∴∠CDE=60°，
∴DE平分∠CDB；
（3）∵在△CDE和△MDE中，
，
∴△CDE≌△MDE（SAS），
∴CE=EM，∠DEM=∠AEC=75°，
∴∠MEF=30°，
∵EM=FM，
∴∠MFE=30°，
∵∠CBD=15°，
∴∠FMB=15°，
∴MF=BF，
∴BF=MF=EM=CE=8．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACD≌△BCD和△CDE≌△MDE是解题的关键．21·cn·jy·com
60．如图，点C为线段上一点，都是等边三角形，与交于点与相交于点G．
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（1）求证：；
（2）求证：
（3）若，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据SAS即可证明△BCE≌△ACD；
（2）由△ACD≌△BCE可得∠CBG=∠CAF，从而利用ASA可证明△ACF≌△BCG；
（3）求出CG=CF=4，过G作GM⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )BD于M，过点F作FN⊥BD于N，求出GM，FN，根据S△ACD=S△ACF+S△CDF=S△BCG+S△CDF可求出答案．
【详解】
解：（1）证明：∵△ABC，△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠BCE=∠DCA，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
（2）由（1）得△ACD≌△BCE，
∴∠CBG=∠CAF，
又∵∠ACF=∠BCG=60°，BC=AC，
在△ACF和△BCG中，
，
∴△ACF≌△BCG（ASA）；
（3）∵△ACF≌△BCG，
∴S△ACF=S△BCG，CG=CF，而CF+CG=8，
∴CG=CF=4，
过G作GM⊥BD于M，过点F作FN⊥BD于N，
( http: / / www.21cnjy.com / )
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴GM=CG=，FN=CF=，
∴S△ACD=S△ACF+S△CDF
=S△BCG+S△CDF
=BC GM+CD FN
=（BC+CD）
=BD
=．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质得出CG=CF是解答此题的关键．
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