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第三章 图形的平移与旋转
【提升评测】
一、单选题
1．如图，在中，，，点是边上一点（点不与点，点重合），将绕点顺时针旋转至，交于点，且平分，若，则点到线段的距离为（ ）21世纪教育网版权所有
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A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴y轴交于点A和点B，将直线绕点A顺时针旋转90°后，所得直线与y轴的交点坐标为（ ）21*cnjy*com
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A． B． C． D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝，AC＝4，BC＝3，把Rt△ABC绕着点A逆时针旋转，使点C落在AB边的C′上，的长度是（ ）
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A．1 B． C．2 D．
4．如图，，点和点是对应点，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ）
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A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，∠BA ( http: / / www.21cnjy.com )C＝105 ，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，若点D恰好落在边BC上，且AD＝CD，则∠C的度数为（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．25 B．30 C．35 D．40
6．如图，在中，，AC=4，BC=3，将绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为（ ）
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A． B． C．3 D．
7．如图，在△ABC中，∠CA ( http: / / www.21cnjy.com )B =75°，在同一平面内，将△ABC 绕点A旋转到△AB′C′ 的位置，使得CC′//AB，则∠BAB′=（ ）
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A． B． C． D．
8．如图，点D为等边三角形ABC内的一点，DA＝5，DB＝4，DC＝3，将线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′，下列结论：①点D与点D′的距离为5；②△ACD′可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到；③点D到CD′的距离为3；④S四边形ADCD′＝6＋，其中正确的有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，等腰的直角顶点为，且轴，等腰中，，将与组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转则第次旋转结束时，点的坐标为（ ）
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A． B． C． D．
10．下列命题中真命题的是（ ）
A． B．点A(2，1)与B(-2，-1)关于原点对称
C．64的立方根是±4 D．若a11．如图，在中，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在BC边上，且，，则的度数为（ ）．
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A．72° B．108° C．144° D．156
12．如图，将绕着点顺时针旋转后得到．若，，则的度数是（ ）
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A． B． C． D．
13．在平面直角坐标系中，将直线沿坐标轴方向平移后，得到直线与关于坐标原点中心对称，则下列平移作法正确的是（ ）
A．将向右平移4个单位长度 B．将向左平移6个单位长度
C．将向上平移6个单位长度 D．将向上平移4个单位长度
14．如图，在中，．将绕点按顺时针方向旋转 度后得到，此时点在边上，斜边交边于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
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A．27 B．9 C． D．
15．如图，根据的已知条件，按如下步骤作图：
（1）以圆心，长为半径画弧；
（2）以为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点；
（3）连接，与交于点，连接、．
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以下结论：①BP垂直平分AC；②AC平分；③四边形是轴对称图形也是中心对称图形；④，请你分析一下，其中正确的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
16．如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上，若，，则等于（ ）
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A． B． C． D．
17．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
18．如图，等边的顶点，，规定把等边“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，顶点C的坐标为（ ）
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A． B． C． D．
19．如图，点A，B的坐标分别为（1，1）、 ( http: / / www.21cnjy.com )（3，2），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△A'B'C'，则B'点的坐标为（ ）
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A．（﹣1，3） B．（－1，2） C．（0，2） D．（0，3）
20．如图，在中，，，将绕点O逆时针旋转45°到处，此时线段与交于点E，则线段的长度为（ ）2-1-c-n-j-y
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A． B． C．4 D．
21．如图，将绕点C逆时针旋转得到，若点D刚好落在边上，与交于点F，，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
22．观察下列“风车”的平面图案，其中既是轴对称又是中心对称图形的有（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
23．如图，在平面直角坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标系中，点A（﹣1，m）在直线y=2x+3上，连结OA，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点B恰好落在直线y=﹣x+b上，则b的值为（ ）21*cnjy*com
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A．﹣2 B．1 C． D．2
24．如图，在平面直角坐标系中点A的坐标为，点B的坐标为，将沿x轴向左平移得到，若点的坐标为，点落在直线上，则k的值为（ ）
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A． B． C． D．
25．在方格纸中，选择标有序号中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（ ）21教育名师原创作品
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A． B． C． D．
26．如图，一块等腰直角三角形三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到的位置，使A、C、三点共线，那么旋转角的大小是（ ）
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A． B． C． D．
27．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． D．
28．如图，已知△ABC中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6，点D为直线AB上一动点，将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接ED、BE，当BE最小时，线段AD的值为（ ）
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A．5.5 B．6 C．7.5 D．8
29．如图，等边中，点在轴正半轴上，点坐标为，将绕点逆时针旋转，此时点对应点的坐标是（ ）
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A． B． C． D．
30．如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则（ ）
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A． B． C． D．
31．道路千万条，安全第一条，下列交通标志是中心对称图形的为（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
32．我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ）
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A． B． C． D．
33．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△CDO是由△ABO绕点O按顺时针方向旋转而得，则旋转的角度是（ ）
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A．30° B．45° C．60° D．90°
34．如图，在△ABC中，AB＝A ( http: / / www.21cnjy.com )C，∠BAC＝45°，点D在AC边上．将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，且D′、D、B三点在同一条直线上，则∠ABD的大小为（ ）
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A．15° B．22.5°
C．25° D．30°
35．如图，将周长为8的沿BC方向平移1个单位得到，则四边形ABFD的周长是（ ）
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A．8 B．10 C．12 D．16
36．如图，已知中，，，，若把绕点A逆时针旋转一个角度，使它与原的重叠部分为等腰三角形．则为（ ）
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A．或 B．或 C．或 D．或
37．如图，O是正内一点，，，．将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论错误的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．点O与的距离为4 B．
C．S四边形AOBO′ D．
38．如图，等边三角形的边长为2，点O是的中心（三角形三条中垂线的交点），，绕点O旋转分别交线段于D，E两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为3，上述结论中正确的个数是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
39．如图，是边长为8的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是（ ）
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A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
40．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是（ ）
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A．2 B．4 C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
41．如图，在平面直角坐标系中，是第一象限角平分线上的一点，且点的纵坐标为4．把一块三角板的直角顶点固定在点处，将此三角板绕点旋转，在旋转的过程中设一直角边与轴交于点，另一直角边与轴交于点，若为等腰三角形，则点的坐标为________．www.21-cn-jy.com
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42．平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，那么平移后对应的点的坐标是______．
43．如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转60°得到线段，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为______．
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44．如图，将周长为7的沿方向向右平移2个单位得到，则四边形的周长为__________．
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45．如图，在中，，，点和点均在边上，且，若，，则________．
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三、解答题
46．按要求画图及填空：在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点及的顶点都在格点上．
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（1）图中线段的长度为 ．
（2）将先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到，画出；
（3）将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的，直接写出点、的坐标．
47．如图所示，点是等边三角形内的一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到．
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（1）求的长；
（2）的度数．
48．如图，所有的网格都是由边长为1的小正方形构成，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，ABC为格点三角形．【出处：21教育名师】
（1）如图，图1，图2，图3都是6×6的正方形网格，点M，点N都是格点，请分别按要求在网格中作图：
①在图1中作MNP，使它与ABC全等；
②在图2中作MDE，使MDE由ABC平移而得；
③在图3中作NFG，使NFG与ABC关于某条直线对称；
（2）如图4，是一个4×4的正方形网格，图中与ABC关于某条直线轴对称的格点三角形有 个．
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49．如图，在直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
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（1）画出关于原点O的中心对称图形：
（2）画出将绕点O逆时针方向旋转90°后的图形．
（3）求的面积．
50．在△ABC中AB=AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ；21cnjy.com
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（发现问题）如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是 ；
（探究猜想）如图2，如果点P ( http: / / www.21cnjy.com )为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；21教育网
（二）拓展应用
（拓展应用）如图3，在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )AC=2，∠ACB=90°，∠ABC=30°，P是线段BC上的任意一点连接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AQ，连接CQ，请直接写出线段CQ长度的最小值．
51．在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，点，点为的顶点．
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（1）作关于原点O成中心对称的．
（2）将向上平移5个单位，作出平移后的．
（3）在x轴上求作一点P，使的值最小，则点P的坐标______．
52．如图，在中，，点D、E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转后得CF，连接EF．
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（1）补充完成图形；
（2）若，求证：．
53．如图，在平面直角坐标系中，已知
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（1）在图中作出关于轴的对称图形
（2）若将向右平移2个单位得到，则点的对应点的坐标是______
（3）的长等于_______，的面积是__________
54．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2，3)、B(－6，0)、C(－1，0)．
（1）将△ABC向右平移6个单位，再向上平移2个单位，画出平移后的△A1B1C1，直接写出点C的对应点C1的坐标_________；21·世纪*教育网
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△A2B2C2，直接写出点B的对应点B2的坐标_________．
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55．已知：如图，把一个含30°角的直角三角板ABC绕着顶点C顺时针旋转，得到三角形CDE，点A的对应点D落在BC的延长线上．
（1）三角板ABC旋转了多少度？
（2）连接BE，求∠BEC的度数．
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56．如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A(1，1)，B(4，0)，C(4，4)
（1）图中线段AB的长度为________；
（2）按下列要求作图：
①将ABC向左平移4个单位，得到；
②将绕点逆时针旋转90 ，得到
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57．已知：如图，把ABC平移得对应，且A(-2，1)的对应点为(1，2)．
（1）在网格中作出，并写出，的坐标；
（2）点P在y轴上，且BCP与ABC的面积相等，求点P的坐标．
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58．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，C的坐标为，线段，上分别有两个动点P，Q，连结，已知，以，为邻边作平行四边形，设．
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（1）求点A，B的坐标，并用含m的代数式表示点D的坐标．
（2）当与平行四边形的面积相等时，求点Q的坐标．
（3）是否存在点P，Q使得以O，B，D为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的m的值；若不存在，说明理由．2·1·c·n·j·y
（4）作点D关于点Q的对称点，当点恰好落在直线上时，________．（直接写出结果）
59．如图，在中，，点P为边上的一点，将线段绕点A顺时针方向旋转（点P对应点）．当旋转至时，点恰好在同一直线上，此时作于点E．【版权所有：21教育】
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（1）求证：；
（2）若，求的面积；
（3）在（2）的条件下，点N为边上一动点，点M为边上一个动点，连接，求的最小值．
60．在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（0，b）．已知a，b满足．
（1）①求出A，B两点的坐标；
②如图1，点P为△AOB三个内角角平分线的交点，且AB=5，求点P的坐标；
（2）如图2．若点C为点A关于y轴对称的 ( http: / / www.21cnjy.com )点，△DBE是将△ABC绕点B顺时针旋转后所得图形，连接AD、CE交于点F．求证：BF平分∠CFD．21·cn·jy·com
（3）在（2）的基础上继续绕点B旋转使得D、B、C三点共线，若，求∠CFD的度数（用含的式子表示）．
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第三章 图形的平移与旋转
【提升评测】
一、单选题
1．如图，在中，，，点是边上一点（点不与点，点重合），将绕点顺时针旋转至，交于点，且平分，若，则点到线段的距离为（ ）21·cn·jy·com
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
过点B作BF⊥AD于F，过点A作AE⊥BC ( http: / / www.21cnjy.com )于E，由等腰三角形的性质可得CE=BE=8，∠C=∠ABC，由勾股定理可求AE的长，由“SAS”可证△ACD≌△AC1D，可得∠C=∠C1，可求AB=DB=10，由面积法可求解．
【详解】
解：如图，过点B作BF⊥AD于F，过点A作AE⊥BC于E，
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∵AB=AC=10，BC=16，AE⊥BC，
∴CE=BE=8，∠C=∠ABC，
∴，
∵将AC绕点A顺时针旋转至AC1，
∴AC=AC1，
∵AD平分∠CAC1，
∴∠CAD=∠C1AD，
在△ACD和△AC1D中，
∴△ACD≌△AC1D（SAS），
∴∠C=∠C1，
∵DC1∥AB，
∴∠C1=∠HAB，
∵∠ADB=∠C+∠CAD，∠DAB=∠DAC1+∠HAB，
∴∠DAB=∠ADB，
∴AB=DB=10，
∴DE=BD-BE=2，
∴，
∵S△ABD=×BD×AE=×AD×BF，
∴10×6=2×BF，
∴BF=3，
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，求出AD的长是本题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴y轴交于点A和点B，将直线绕点A顺时针旋转90°后，所得直线与y轴的交点坐标为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求得直线与轴轴交点、的坐标，即可求得，．接着在直线AC上取一点D，使得：，过点D作于点E，然后根据全等三角形的性质可得点D坐标，即可求得直线AD表达式，进而求得直线AD与轴的交点坐标．
【详解】
解：如图，设旋转后的直线与轴的交点为，在直线AC上取一点D，使得：，过点D作于点E，
直线分别与轴轴交于点和点，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，即，
，
，
设直线AD表达式为：
将点、点分别代入上式得：
，
解得：，
，
令，得：，
．
故选：B．
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【点睛】
本题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练构造全等三角形是解题的关键．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝，AC＝4，BC＝3，把Rt△ABC绕着点A逆时针旋转，使点C落在AB边的C′上，的长度是（ ）
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A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】
首先由勾股定理求出AB=5，再由旋转的性质得出，从而可求出的长．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠C＝，AC＝4，BC＝3，
∴
∴
由旋转的性质得，
∴
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了旋转的性质和勾股定理的运用，运用勾股定理求出AB=5是解答此题的关键．
4．如图，，点和点是对应点，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由旋转的性质可得，，可得，，由等腰三角形的性质可得，由平行线的性质可得，即可求解．
【详解】
解：把顺时针旋转得，
，，
，
在中，，
，∠O=∠D=90° ，
，
，
整理得，．
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
5．如图，在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAC＝105 ，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，若点D恰好落在边BC上，且AD＝CD，则∠C的度数为（ ）
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A．25 B．30 C．35 D．40
【答案】A
【分析】
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵将绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键．
6．如图，在中，，AC=4，BC=3，将绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为（ ）
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A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】
由旋转的性质可求得AE、DE，由勾股定理可求得AB，则可求得BE，连接BD，在Rt△BDE中可求得BD的长．
【详解】
解：如图，连接BD．
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在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，
∴∠DEA=∠C=90°，AE=AC=4，DE=BC=3，
∴BE=AB-AE=5-4=1，
在Rt△BDE中，由勾股定理可得 ，
即B、D两点间的距离为，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质和勾股定理．掌握旋转前后对应线段相等、对应角相等是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，∠CAB =75 ( http: / / www.21cnjy.com )°，在同一平面内，将△ABC 绕点A旋转到△AB′C′ 的位置，使得CC′//AB，则∠BAB′=（ ）【出处：21教育名师】
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据旋转的性质可知，旋转角 ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAB′=∠CAC′，AC=AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA=∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′，即可求出∠BAB′的度数．
【详解】
解：∵CC′//AB，∠CAB=75°，
∴∠C′CA=∠CAB=75°，
∵AC=AC′，
∴∠CAC′=180°-2∠C′CA=30°，
∴∠BAB′=∠CAC′=30°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的基本性质， ( http: / / www.21cnjy.com )对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用相关知识推导角之间的关系．
8．如图，点D为等边三角形ABC内的一点，DA＝5，DB＝4，DC＝3，将线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′，下列结论：①点D与点D′的距离为5；②△ACD′可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到；③点D到CD′的距离为3；④S四边形ADCD′＝6＋，其中正确的有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
连接DD′，根据旋转的性质得AD=AD′，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )DAD′=60°，可判断△ADD′为等边三角形，则DD′=5，可对①进行判断；由△ABC为等边三角形得到AB=AC，∠BAC=60°，则把△ABD逆时针旋转60°后， AB与AC重合，AD与AD′重合，于是可对②进行判断；再根据勾股定理的逆定理得到△DD′C为直角三角形，则可对③④进行判断；由于四边形ADCD′的面积=△ADD′的面积+△D′DC的面积，利用等边三角形的面积公式和直角三角形面积公式计算后可对⑤进行判断．
【详解】
解：连接DD′，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′，
∴AD=AD′，∠DAD′=60°，
∴△ADD′为等边三角形，
∴DD′=5，所以①正确；
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴把△ABD逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AD′重合，
∴△ACD′可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到，所以②正确；
∴D′C=DB=4，
∵DC=3，
∴在△DD′C中，DC2+D′C2=DD′2，
∴△DD′C为直角三角形，
∴∠DCD′=90°，
∴DC⊥CD′，
∴点D到CD′的距离为3，所以③正确；
∵四边形ADCD′的面积=S△ADD′+S△D′DC=，所以④正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图 ( http: / / www.21cnjy.com )形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．www-2-1-cnjy-com
9．如图，等腰的直角顶点为，且轴，等腰中，，将与组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转则第次旋转结束时，点的坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求出OD的长，再利用等腰 ( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形的性质确定C点坐标，根据题意可得经过4次旋转后点C回到初始位置，由于2021=4×505+1，所以第2021次旋转结束时，点C到达第一次旋转时的位置，由此求解．
【详解】
解：由题意可得：，
∴C点坐标为（-9，3）
∵将与组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转
∴经过4次旋转后，点C回到初始位置，
∵2021=4×505+1，
∴第2021次旋转结束时，点C到达第一次旋转时的位置，即
故选：A
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-旋转，等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是找出C点坐标变化的规律．
10．下列命题中真命题的是（ ）
A． B．点A(2，1)与B(-2，-1)关于原点对称
C．64的立方根是±4 D．若a【答案】B
【分析】
根据算术平方根、点关于原点对称、立方根以及不等式的性质进行判断即可．
【详解】
解：A.，故原选项是假命题，不符合题意；
B. 点A(2，1)与B(-2，-1)关于原点对称,是真命题，故此选项是真命题，符合题意；
C.64的立方根是4，故原选项是假命题，不符合题意；
D.当c≤0时ac≥bc，故原选项是假命题，不符合题意；
故选B
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
11．如图，在中，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在BC边上，且，，则的度数为（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．72° B．108° C．144° D．156
【答案】B
【分析】
根据旋转可得等腰三角形B，再根据，求出∠和∠B即可．
【详解】
解：∵绕点按逆时针方向旋转得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，解题关键是熟练利用等腰三角形的性质求出相应角的度数．
12．如图，将绕着点顺时针旋转后得到．若，，则的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据旋转的性质，得≌，得到，， ∠BCA=∠=180°-110°-40°=30°，由=∠BCA+计算即可．
【详解】
∵绕着点顺时针旋转后得到，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴≌，
∴，，
∴∠BCA=∠=180°-110°-40°=30°，
∴=∠BCA+
＝30°＋50°
=．
故选B
【点睛】
本题考查了旋转的性质，旋转角的确定，熟练掌握旋转的全等性，准确找到旋转角是解题的关键．
13．在平面直角坐标系中，将直线沿坐标轴方向平移后，得到直线与关于坐标原点中心对称，则下列平移作法正确的是（ ）
A．将向右平移4个单位长度 B．将向左平移6个单位长度
C．将向上平移6个单位长度 D．将向上平移4个单位长度
【答案】D
【分析】
先画出图象，求出直线与坐标轴交点A、B坐标，根据中心对称的性质得到对应点D、C坐标，利用待定系数法求出直线解析式，直线平移的规律即可求解．
【详解】
解：如图，把y=0代入得到，把x=0代入得到y=-2，
∴直线与x轴、y轴的交点分别为A、B（0,-2），
∵直线与关于坐标原点中心对称，
∴点A关于原点对称的点D的坐标为，点B关于原点对称的点C的坐标为（0,2）
设的解析式为，
则，
解得
∴的解析式为
∴直线可以看做直线向上平移4个单位得到．
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故选：D
【点睛】
本题考查了求一次函数与坐标轴的交点、待定系数法、一次函数的平移、中心对称的性质等知识，熟知一次函数的知识和中心对称的性质是解题关键．
14．如图，在中，．将绕点按顺时针方向旋转 度后得到，此时点在边上，斜边交边于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
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A．27 B．9 C． D．
【答案】D
【分析】
由旋转的性质，易得BC=DC= ( http: / / www.21cnjy.com )6，由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，即可求得∠B=60°，即可判定△DBC是等边三角形，易得△DFC是含30°角的直角三角形，则可求得DF与FC的长，继而求得阴影部分的面积．
【详解】
解：∵将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，
∴BC=DC，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°-∠A=60°，
∴△DBC是等边三角形，
∴∠DCB=60°，
∴∠DCA=90°-∠DCB=90°-60°=30°，
∵BC=6，
∴DC=6，
∵∠FDC=∠B=60°，
∴∠DFC=90°，
∴，
∴，
∴S阴影=S△DFC=，
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等边三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理，此题综合性较强，难度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
15．如图，根据的已知条件，按如下步骤作图：
（1）以圆心，长为半径画弧；
（2）以为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点；
（3）连接，与交于点，连接、．
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以下结论：①BP垂直平分AC；②AC平分；③四边形是轴对称图形也是中心对称图形；④，请你分析一下，其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
【答案】D
【分析】
由题意得：AB=AP，CB=CP，从而可判 ( http: / / www.21cnjy.com )断①；根据等腰三角形的性质，可判断②；根据轴对称和中心对称图形的定义，可判断③；根据SSS，可判断④．
【详解】
由题意得：AB=AP，CB=CP，
∴点A、C在BP的垂直平分线上，即：AC垂直平分BP，故①错误；
∵AB=AP，AC⊥BP，
∴AC平分，故②正确；
∵AC垂直平分BP，
∴点B、P关于直线AC对称，即：四边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故③错误；
∵AB=AP，CB=CP，AC=AC，
∴，故④正确；
故选D．
【点睛】
本题主要考查垂直平分线的判定定理。等腰 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的性质，轴对称图形和中心对称图形的定义，全等三角形的判定定理，熟练掌握上述判定定理和性质定理，是解题的关键．
16．如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上，若，，则等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先根据旋转的性质以及三角形外角的性质得出∠ ( http: / / www.21cnjy.com )BCA′+∠A′=∠B′BC=45°+25°=70°，以及∠BB′C=∠B′BC=70°，再利用三角形内角和定理得出∠ACA′=∠A′BA=40°．
【详解】
解：∵∠A=25°，∠BCA′=45°，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45°+25°=70°，
∵CB=CB′，
∴∠BB′C=∠B′BC=70°，
∴∠B′CB=40°，
∴∠ACA′=40°，
∵∠A=∠A′，∠A′DB=∠ADC，
∴∠ACA′=∠A′BA=40°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质以及三角形的外角的性质和三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识，根据已知得出∠ACA′=40°是解题关键．21*cnjy*com
17．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】A
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可判断结论；
【详解】
A是轴对称图形也是中心对称图形，故本项正确；
B不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本项错误；
C是轴对称图形不是中心对称图形，故本项错误；
D不是轴对称图形，是中心对称图形，故本项错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟记相关概念是解题的关键．
18．如图，等边的顶点，，规定把等边“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，顶点C的坐标为（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求出点C坐标，第一次变 ( http: / / www.21cnjy.com )换，根据轴对称判断出点C变换后在x轴下方然后求出点C纵坐标，再根据平移的距离求出点C变换后的横坐标，最后写出第一次变换后点C坐标，同理可以求出第二次变换后点C坐标，以此类推可求出第n次变化后点C坐标．
【详解】
∵△ABC是等边三角形AB=3-1=2
∴点C到x轴的距离为1+，横坐标为2
∴C(2，)
由题意可得:第1次变换后点C的坐标变为(2-1，)，即(1，)，
第2次变换后点C的坐标变为(2-2，)，即(0，)
第3次变换后点C的坐标变为(2-3，)，即(-1，)
第n次变换后点C的坐标变为(2-n，)(n为奇数)或(2-n，)(n为偶数)，
∴连续经过2021次变换后，等边的顶点的坐标为(-2019，)，
故选：D．
【点睛】
本题考查了利用轴对称变换（即翻折）和平移的特点求解点的坐标，在求解过程中找到规律是关键．
19．如图，点A，B的坐标分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )（1，1）、（3，2），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△A'B'C'，则B'点的坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．（﹣1，3） B．（－1，2） C．（0，2） D．（0，3）
【答案】D
【分析】
根据题意画出图形，然后结合直角坐标系即可得出B'的坐标．
【详解】
解：如图，
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根据图形可得：点B′坐标为（0，3），
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转作图的知识及旋转后坐标的变化，解答本题的关键是根据题意所述的旋转三要素画出图形，然后结合直角坐标系解答．
20．如图，在中，，，将绕点O逆时针旋转45°到处，此时线段与交于点E，则线段的长度为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】
利用旋转的性质得到=45°，过E点作EG⊥与点G，利用等腰直角三角形的性质求出EG，最后利用勾股定理求出OE的长．
【详解】
∵绕点O逆时针旋转45°到处，
∴=45°，
过E点作EG⊥于点G，设EG=x，
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∴=45°=，
∴OG= EG=x，
∵=
∴=8-x，
∵在Rt中，，
∴=2x；
由勾股定理得，B′G=，
∴，
解得x=4-4；
∵==45°，EG⊥，
∴由勾股定理得OE==．
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质以及勾股定理的相关知识，熟练掌握这些知识是解题的重点．
21．如图，将绕点C逆时针旋转得到，若点D刚好落在边上，与交于点F，，则的度数为（ ）21教育名师原创作品
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据旋转的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据等腰三角形的性质即可得．
【详解】
由旋转的性质得：，
，
，
又，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
22．观察下列“风车”的平面图案，其中既是轴对称又是中心对称图形的有（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】A
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的两个概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A、既是轴对称又是中心对称图形，故此项正确；
B、是轴对称，不是中心对称图形，故此项错误；
C、不是轴对称，是中心对称图形，故此项错误；
D、是轴对称，不是中心对称图形，故此项错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴 ( http: / / www.21cnjy.com )对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．21世纪教育网版权所有
23．如图，在平面直角坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )系中，点A（﹣1，m）在直线y=2x+3上，连结OA，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点B恰好落在直线y=﹣x+b上，则b的值为（ ）
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A．﹣2 B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】
先把点A 坐标代入直线y=2x+3，得出 m 的值，然后得出点 B 的坐标，再代入直线 y =- x + b 解答即可．
【详解】
把点A代入直线y=2x+3，可得m=－2+3=1，因此A（-1，1），
OA绕点O顺时针旋转90°，
B为（1，1），
把点B代入直线y=-x+b可求得b=2．
故选：D
【点睛】
此题考查一次函数问题，关键是根据代入法解解析式进行分析．
24．如图，在平面直角坐标系中点A的坐标为，点B的坐标为，将沿x轴向左平移得到，若点的坐标为，点落在直线上，则k的值为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
确定向左平移的距离为，确定点的坐标为（-8,6），将其代入y=kx中，得k==.
【详解】
∵点B的坐标为，将沿x轴向左平移得到，且点的坐标为，
∴向左平移的距离为，
∵点A的坐标为，
∴点的坐标为（-8,6），
∵点落在直线，
∴6= -8k，解得k=，
故选：B.
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【点睛】
本题考查了平移的基本规律，正比例函数解析式的确定，熟记平移的规律是解题的关键.
25．在方格纸中，选择标有序号中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（ ）21教育网
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将一个图形旋转180度后能与原图形重合的图形是中心对称图形，根据定义解答．
【详解】
A、涂④后构成轴对称图形，不符合题意；
B、涂③后构成轴对称图形，不符合题意；
C、涂②后构成中心对称图形，符合题意；
D、涂①后既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
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【点睛】
此题考查中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的特点及区别是解题的关键．
26．如图，一块等腰直角三角形三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到的位置，使A、C、三点共线，那么旋转角的大小是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据等腰直角三角形的性质得到∠ACB=，根据旋转得到，由此计算得出答案．
【详解】
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=，
由旋转得，
∴旋转角，
故选：C．
【点睛】
此题考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．
27．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． D．
【答案】C
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图 ( http: / / www.21cnjy.com )形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
28．如图，已知△ABC中，∠ACB=90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，∠BAC=30°，AB=6，点D为直线AB上一动点，将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接ED、BE，当BE最小时，线段AD的值为（ ）
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A．5.5 B．6 C．7.5 D．8
【答案】C
【分析】
以BC为边作等边△BCF，连接DF，可证△BCE≌△FCD，可得BE=DF，则DF⊥AB时，DF的长最小，即BE的长最小，即可求解．
【详解】
如图，以BC为边作等边△BCF，连接DF，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6，
∴∠ABC=60°，BC=3，
∵将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，
∴CD=CE，∠DCE=60°，
∵△BCF是等边三角形，
∴CF=BC=BF=3，∠BCF=∠DCE =60°，
∴∠BCE=∠DCF，且BC=CF，DC=CE，
∴△BCE≌△FCD(SAS)，
∴ BE= DF，
∴DF⊥AB时，DF的长最小，即BE的长最小，
如图，此时作，
∵=180°-60°-60°=60°，，
∴ ，
∴，
故选：C．
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【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题关键．
29．如图，等边中，点在轴正半轴上，点坐标为，将绕点逆时针旋转，此时点对应点的坐标是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据等边三角形可知∠AOB=60°，OA与y轴所成锐角为30°，可知落在y轴上，作AC⊥OB，垂足为C，求出OA长即可．
【详解】
解：∵等边，
∴∠AOB=60°，
∴OA与y轴所成锐角为30°，
将绕点逆时针旋转，可知落在y轴上，
作AC⊥OB，垂足为C，
，
∴．
故选：C
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【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，解题关键是明确旋转后的A′所在位置，根据勾股定理求出OA长．
30．如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
旋转中心为点A，B与B′， ( http: / / www.21cnjy.com )C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′=∠CAC′，AC=AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA=∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′，即可求出∠BAB′的度数．
【详解】
解：∵CC′∥AB，∠CAB=75° ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴∠C′CA=∠CAB=75°，
又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC=AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠BAB′=∠CAC′=180°-2∠C′CA=30°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
31．道路千万条，安全第一条，下列交通标志是中心对称图形的为（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】D
【分析】
根据中心对称图形定义可得答案．
【详解】
解：A、不是中心对称图形， ( http: / / www.21cnjy.com )故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
32．我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由已知条件得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【详解】
解：，
，
，
，，
，
故选：．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
33．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△CDO是由△ABO绕点O按顺时针方向旋转而得，则旋转的角度是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】D
【分析】
根据旋转变换的性质判断即可．
【详解】
观察图象可知，∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴旋转角为90°，
故选：D．
【点睛】
本题考查旋转变换的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
34．如图，在△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上．将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，且D′、D、B三点在同一条直线上，则∠ABD的大小为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．15° B．22.5°
C．25° D．30°
【答案】B
【分析】
由旋转的性质可得∠BAC=∠CAD'= ( http: / / www.21cnjy.com )45°，AD=AD'，由等腰三角形的性质可得∠AD'D=67.5°，∠D'AB=90°，即可求∠ABD的度数．
【详解】
解：∵将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，
∴∠BAC=∠CAD'=45°，AD=AD'，
∴∠AD'D=(180°-45°)=67.5°，∠D'AB=90°，
∴∠ABD=90°-67.5°=22.5°；
故选：B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余等知识；熟练运用旋转的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
35．如图，将周长为8的沿BC方向平移1个单位得到，则四边形ABFD的周长是（ ）
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A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】B
【分析】
根据平移的性质可得AD=CF=1，AC=DF，再根据线段的和差和已知条件求解即可．
【详解】
解：∵将周长为8的沿BC方向平移1个单位得到，
∴AD=CF=1，AC=DF，AB+BC+AC=8，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BC+CF+DF=AB+BC+AC+2AD=8+2=10．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平移的性质、属于基础题型，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
36．如图，已知中，，，，若把绕点A逆时针旋转一个角度，使它与原的重叠部分为等腰三角形．则为（ ）
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A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】C
【分析】
由∠BAC=90°，AB=AC ( http: / / www.21cnjy.com )可判断△ABC为等腰直角三角形，则∠ABC=∠ACB=45°，再由BD∥AC得∠ABD=∠BAC=90°，则利用互余可计算出∠BAD=60°，由于把△ABD绕点A逆时针旋转一个角度α（0＜α＜90°），使它与原△ABC的重叠部分为等腰三角形，而等腰三角形的腰不能确定，所以分类讨论：当AE=AF时，如图1，根据旋转的性质得∠BAB′=α，∠B′AD=60°，可判断△AEF为等边三角形，得到∠1=∠2=60°，则可根据三角形外角性质可计算出∠BAB′=∠1-∠ABC=15°，即α=15°；当AFA=FC时，如图2，∠BAB′=α，根据等腰三角形的性质得∠ACB=∠FAC=45°，所以∠BAB′=45°，即α=45°，由此得到α的值为15°或45°．
【详解】
解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵BD∥AC，
∴∠ABD=∠BAC=90°，
∵∠D=30°，
∴∠BAD=60°，
把△ABD绕点A逆时针旋转一个角度α（0＜α＜90°），使它与原△ABC的重叠部分为等腰三角形，
当AE=AF时，如图1，则∠BAB′=α，∠B′AD=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴∠1=∠2=60°，
而∠1=∠B+∠BAB′，
∴∠BAB′=60°-45°=15°，
即α=15°；
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当AF=FC时，如图2，则∠BAB′=α，
∵∠ACB=45°，
∴∠FAC=45°，
∴∠BAB′=90°-45°=45°，
即α=45°；
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综上所述，α的值为15°或45°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋 ( http: / / www.21cnjy.com )转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．
37．如图，O是正内一点，，，．将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．点O与的距离为4 B．
C．S四边形AOBO′ D．
【答案】D
【分析】
证明△BO′A≌△BOC，得△OBO′是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得△AOO′是直角三角形，进而可判断．
【详解】
解：如图，连接OO′，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，
∴∠1＝∠3，
又∵OB＝O′B，AB＝BC，
∴△BO′A≌△BOC，
又∵∠OBO′＝60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′＝OB＝4．
故A正确；
∵△BO′A≌△BOC，
∴O′A＝5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，
∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，
故B正确；
S四边形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′═×3×4+×42＝6+4，
故C正确；
如图2
( http: / / www.21cnjy.com / )
将△AOC绕A点顺时针旋转60°到△ABO'位置，
同理可得S△AOC+S△AOB=6+，
故D错误；
故选D．
【点睛】
此题考查了旋转的性质，等边三角形、直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
38．如图，等边三角形的边长为2，点O是的中心（三角形三条中垂线的交点），，绕点O旋转分别交线段于D，E两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为3，上述结论中正确的个数是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
连接OB、OC，如图，利用等边三角形的性质得∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，再证明∠BOD＝∠COE，于是可判断△BOD≌△COE，所以BD＝CE，OD＝OE，则可对①进行判断；由，可对②进行判断；利用S△BOD＝S△COE得到四边形ODBE的面积＝S△ABC，可对③进行判断；由于△BDE的周长＝BC＋DE＝2＋DE＝2＋OE，根据垂线段最短，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：连接OB、OC，如图，
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∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点O是△ABC的中心，
∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝120°，即∠BOE＋∠COE＝120°，
而∠DOE＝120°，即∠BOE＋∠BOD＝120°，
∴∠BOD＝∠COE，
在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴BD＝CE，OD＝OE，
故①正确；
∴，
故②正确；
∵△BOD≌△COE，
∴S△BOD＝S△COE，
∴四边形ODBE的面积＝S△OBC═S△ABC＝××22＝，
故③正确；
作OH⊥DE于H，如图，则DH＝EH，
∵∠DOE＝120°，
∴∠ODE＝∠OEH＝30°，
∴OH＝OE，HE＝OH＝OE，
∴DE＝OE，
∵BD＝CE，
∴△BDE的周长＝BD＋BE＋DE＝CE＋BE＋DE＝BC＋DE＝2＋DE＝2＋OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝ ，
∴△BDE周长的最小值＝2＋×＝3，
∴④正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转 ( http: / / www.21cnjy.com )中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．
39．如图，是边长为8的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是（ ）
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A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】A
【分析】
如图，取AC的中点G，连接EG，根据等 ( http: / / www.21cnjy.com )边三角形的性质和角的和差可得CD＝CG，∠DCF＝∠GCE，根据旋转的性质可得CE＝CF，然后即可利用“边角边”证明△DCF和△GCE全等，进而可得DF＝EG，然后根据垂线段最短可得EG⊥AD时EG最短，再根据30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】
解：如图，取AC的中点G，连接EG，
∵△ABC是等边三角形， AD是△ABC的对称轴，
∴AB=BC=AC=8，∠ACB=60°，
∴CD＝BC=4=CG，
∵旋转角为60°，
∴∠ECD+∠DCF＝60°，
又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝60°，
∴∠DCF＝∠GCE，
又∵CE旋转到CF，∴CE＝CF，
在△DCF和△GCE中，
，
∴△DCF≌△GCE（SAS），
∴DF＝EG，
根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，
此时∵∠CAD＝×60°＝30°，AG＝AC＝×8＝4，
∴EG＝AG＝×4＝2，
∴DF的最小值是2．
故选：A．
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【点睛】
本题考查了旋转的性质、等边 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短以及30°角的直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
40．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是（ ）
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A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】
如图，取AB的中点E，连接CE，PE．由△QBC≌△PBE（SAS），推出QC＝PE，推出当EP⊥AC时，QC的值最小；
【详解】
如图，取AB的中点E，连接CE，PE，则AE＝BE＝4．
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠CBE＝60°，
∵BE＝AE，
∴CE＝BE＝AE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝BE，
∵∠PBQ＝∠CBE＝60°，
∴∠QBC＝∠PBE，
∵QB＝PB，CB＝EB，
∴△QBC≌△PBE（SAS），
∴QC＝PE，
∴当EP⊥AC时，QC的值最小，
在Rt△AEP中，∵AE＝4，∠A＝30°，
∴PE＝AE＝2，
∴CQ的最小值为2，
故选：A．
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【点睛】
本题旋转的性质，考查全等三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
二、填空题
41．如图，在平面直角坐标系中，是第一象限角平分线上的一点，且点的纵坐标为4．把一块三角板的直角顶点固定在点处，将此三角板绕点旋转，在旋转的过程中设一直角边与轴交于点，另一直角边与轴交于点，若为等腰三角形，则点的坐标为________．
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【答案】（4，0）或（8，0）或或．
【分析】
根据题意，结合图形，分情况讨论：①PE=OE；②OP=PE；③OP=OE，依据OE的长即可得到点E的坐标．
【详解】
解：△POE是等腰三角形的条件是：OP、PE、EO其中有两段相等，分情况讨论：
①当PE=OE时，PE⊥x轴，则PF⊥y轴，则OE=PE=4，故E的坐标是（4，0）；
( http: / / www.21cnjy.com / )
②当OP=PE时，作PD⊥OE，
则FD=DE=4，OE=FD+DE=8，故E的坐标是（8，0）；
( http: / / www.21cnjy.com / )
③当OP=OE，点E在x轴正半轴上时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，
∴，
当点E在x轴负半轴上时，同理可得．
综上所述，E点的坐标为：（4，0）或（8，0）或或．
故答案为：（4，0）或（8，0）或或．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化、等腰三角形的判定等知识的综合运用，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论．
42．平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，那么平移后对应的点的坐标是______．
【答案】
【分析】
根据平移时，点的坐标变化规律“左减右加”进行计算即可．
【详解】
解：根据题意，从点A平移到点A′，点A′的纵坐标不变，横坐标是3+2=5，
故点A′的坐标是（5，-2）．
故答案为：（5，-2）．
【点睛】
此题考查了点的坐标变化和平移之间的联系，平移时点的坐标变化规律是“上加下减，左减右加”．
43．如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转60°得到线段，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为______．
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【答案】4
【分析】
如图，取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H．证明△TBP≌△CBQ（SAS），推出CQ=PT，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，最小值=TH=AT=4．
【详解】
解：如图，取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，∠ABC=60°，
∵AT=TB，
∴BC=BT，
∵BP=BQ，∠CBT=∠PBQ，
∴∠CBT-∠PBC=∠PBQ-∠PBC，即∠TBP=∠CBQ，
∴△TBP≌△CBQ（SAS），
∴CQ=PT，
根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，最小值=TH=AT=AB=4，
∴CQ的最小值为4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查旋转变换，垂线段最短，全等三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．2-1-c-n-j-y
44．如图，将周长为7的沿方向向右平移2个单位得到，则四边形的周长为__________．
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【答案】11
【分析】
根据平移的性质可得，，然后根据四边形的周长的定义列式计算即可得解．
【详解】
解：沿方向平移2个单位得到，
，，
四边形的周长，
的周长，
，
四边形的周长．
故答案为：11
【点睛】
本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．
45．如图，在中，，，点和点均在边上，且，若，，则________．
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【答案】5
【分析】
将△ABD绕点A旋转至△ACD'，使AB与A ( http: / / www.21cnjy.com )C重合，连接ED'，先证△AED≌AED'（SAS），得DE=D'E，再证∠ECD=90°，然后由勾股定理求出D'E=5，即可得出答案．
【详解】
解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ ( http: / / www.21cnjy.com )B=∠ACB=45°，
将△ABD绕点A旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，如图所示：
则CD'=BD=4，∠CAD'=∠BAD，AD'=AD，∠ACD'=∠B=45°，
∴∠DAD'=∠BAC=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠D'AE=90°-45°=45°，
∴∠DAE=∠D'AE，
在△AED和△AED'中，
，
∴△AED≌AED'（SAS），
∴DE=D'E，
∵∠ECD'=∠ACB+∠ACD'=45°+45°=90°，
∴D'E=，
∴DE=5，
故答案为：5．
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【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识；熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
三、解答题
46．按要求画图及填空：在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点及的顶点都在格点上．
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（1）图中线段的长度为 ．
（2）将先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到，画出；
（3）将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的，直接写出点、的坐标．
【答案】（1）；（2）作图见解析；（3）作图见解析，，
【分析】
（1）结合题意，根据勾股定理和直角坐标系两点之间距离的性质计算，即可得到答案
（2）根据直角坐标系和平移的性质分析，即可得到答案；
（3）根据旋转的性质，首先作，再根据直角坐标系的性质分析，即可完成求解．
【详解】
（1）根据题意,的长度为：
故答案为：；
（2）结合题意，如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )；
（3）如下图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，．
【点睛】
本题考查了直角坐标系、平移、勾股定理、旋转的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系中两点之间距离、坐标、平移、旋转的性质，从而完成求解．21cnjy.com
47．如图所示，点是等边三角形内的一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到．
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（1）求的长；
（2）的度数．
【答案】（1）6；（2）
【分析】
（1）连结PP′，由旋转性质可知BP′ ( http: / / www.21cnjy.com )＝PC＝10，AP′＝AP，∠PAC＝∠P′AB，根据∠PAC+∠BAP=∠P′AB+∠BAP=60°可得△APP′为等边三角形，即可证明PP′=AP=6；
（2）利用勾股定理的逆定理可得△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，由（1）得∠APP′=60°，即可得答案．
【详解】
解：（1）连结，如图．
∵为等边三角形，
∴，，
∵绕点逆时针能转后，得到，
∵∠PAC+∠BAP=∠P′AB+∠BAP=60°，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，．
（2）在中，
∵，，，
在△BPP′中，
∴，
∴为直角三角形，，
∴．
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【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等； ( http: / / www.21cnjy.com )对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．
48．如图，所有的网格都是由边长为1的小正方形构成，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，ABC为格点三角形．
（1）如图，图1，图2，图3都是6×6的正方形网格，点M，点N都是格点，请分别按要求在网格中作图：
①在图1中作MNP，使它与ABC全等；
②在图2中作MDE，使MDE由ABC平移而得；
③在图3中作NFG，使NFG与ABC关于某条直线对称；
（2）如图4，是一个4×4的正方形网格，图中与ABC关于某条直线轴对称的格点三角形有 个．
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【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）5
【分析】
（1）①根据全等三角形的判定画出图形即可；②根据平移的性质画出图形即可；③根据轴对称的性质画出图形即可；
（2）根据轴对称的性质画出图形即可解决问题．
【详解】
解：（1）①如图1中，△MNP即为所求作．
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②如图2中，△MDE即为所求作．
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③如图3中，△NFG即为所求作．
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（2）如图4中，有5个三角形．
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故答案为：5．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、作图﹣轴对称变换、作图﹣平移变换，解题的关键是综合运用相关知识解题．
49．如图，在直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
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（1）画出关于原点O的中心对称图形：
（2）画出将绕点O逆时针方向旋转90°后的图形．
（3）求的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）．
【分析】
（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、、即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△的面积．
【详解】
解：（1）如图，△为所作；
（2）如图，△为所作；
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（3）△的面积．
【点睛】
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
50．在△ABC中AB=AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ；
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（发现问题）如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是 ；
（探究猜想）如图2，如果点P为平面内 ( http: / / www.21cnjy.com )任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；
（二）拓展应用
（拓展应用）如图3，在△ABC中，AC=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠ACB=90°，∠ABC=30°，P是线段BC上的任意一点连接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AQ，连接CQ，请直接写出线段CQ长度的最小值．
【答案】发现问题：BQ=PC；探究猜想：BQ=PC仍然成立，理由见解析；拓展应用：线段CQ长度最小值是1
【分析】
发现问题：由旋转知，AQ=AP，∠PAQ=∠BAC，可得∠BAQ=∠CAP，可知△BAQ≌△CAP（SAS），BQ=CP即可；
探究猜想：结论：BQ=PC ( http: / / www.21cnjy.com )仍然成立，理由：由旋转知，AQ=AP，由∠PAQ=∠BAC，可得∠BAQ=∠CAP，可知△BAQ≌△CAP（SAS），可得BQ=CP；
拓展应用：在AB上取一点E，使AE=AC=2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，由旋转知，AQ=AP，∠PAQ=60°，可求∠CAQ=∠EAP，可证△CAQ≌△EAP（SAS），CQ=EP，当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，在Rt△ACB中，∠ACB=30°，AC=2可求AB=4，由AE=AC=2，可求BE=AB-AE=2，在Rt△BFE中，∠EBF=30°，BE=2，可得EF=BE=1即可
【详解】
发现问题：由旋转知，AQ=AP，
∵∠PAQ=∠BAC，
∴∠PAQ-∠BAP=∠BAC-∠BAP，
∴∠BAQ=∠CAP，
在△BAQ和△CAP中，
，
∴△BAQ≌△CAP（SAS），
∴BQ=CP，
故答案为：BQ=PC；
探究猜想：结论：BQ=PC仍然成立，
理由：由旋转知，AQ=AP，
∵∠PAQ=∠BAC，
∴∠PAQ-∠BAP=∠BAC-∠BAP，
∴∠BAQ=∠CAP，
在△BAQ和△CAP中，
，
∴△BAQ≌△CAP（SAS），
∴BQ=CP；
解：拓展应用：如图，
在AB上取一点E，使AE=AC=2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，
由旋转知，AQ=AP，∠PAQ=60°，
∵∠ABC=30°，
∴∠EAC=60°，
∴∠PAQ=∠EAC，
∴∠CAQ=∠EAP，
在△CAQ和△EAP中，
，
∴△CAQ≌△EAP（SAS），
∴CQ=EP，
要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是AB上的动点，
∴当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，
即：点P与点F重合，CQ最小，最小值为EP，
在Rt△ACB中，∠ACB=30°，AC=2，
∴AB=4，
∵AE=AC=2，
∴BE=AB-AE=2，
在Rt△BFE中，∠EBF=30°，BE=2，
∴EF=BE=1．
故线段CQ长度最小值是1．
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【点睛】
本题考查三角形旋转变换性质，三角形全等判定 ( http: / / www.21cnjy.com )与性质，30°角直角三角形性质，掌握旋转变换性质，三角形全等判定与性质，30°角直角三角形性质，利用辅助线构造准确的图形．把所求线段转化为与动点P有关的线段，根据垂线段最短确定线段位置是解本题的关键．21·世纪*教育网
51．在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，点，点为的顶点．
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（1）作关于原点O成中心对称的．
（2）将向上平移5个单位，作出平移后的．
（3）在x轴上求作一点P，使的值最小，则点P的坐标______．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）（，0）
【分析】
（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）根据点平移的坐标变换规律写出点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）作A点关于x轴的对称点A′，连接 ( http: / / www.21cnjy.com )A′A2交x轴于点P，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件，再利用待定系数法求出直线A′A2的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可．【版权所有：21教育】
【详解】
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）如图，作A点关于x轴的对称点A′，连接A′A2交x轴于点P，则P点为所作；
设直线A′A2的解析式为y=kx+b，
把A′（-2，-3），A2（2，2）代入得，
解得：，
∴直线A′A2的解析式为，
当y=0时，，
解得：，
∴P点坐标为（，0）．
( http: / / www.21cnjy.com / )【点睛】
本题考查在网格中做某一个图形关于一点的成中心对称的图形和平移作图，本题的解题关键是找到满足条件的P点和求解一次函数的解析式．
52．如图，在中，，点D、E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转后得CF，连接EF．
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（1）补充完成图形；
（2）若，求证：．
【答案】（1）图形见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据题意，利用旋转性质将图形补全，并按要求标清相应的字母即可；
（2）由旋转的性质得到∠D ( http: / / www.21cnjy.com )CF为直角，由EF与CD平行，得到∠F为直角，利用SAS得到△BDC与△EFC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．
【详解】
（1）解：所补图形如图所示：
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（2）证明：由旋转的性质得：，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中， ，
∴．
∴．
【点睛】
此题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
53．如图，在平面直角坐标系中，已知
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（1）在图中作出关于轴的对称图形
（2）若将向右平移2个单位得到，则点的对应点的坐标是______
（3）的长等于_______，的面积是__________
【答案】（1）图见解析；（2）图见解析，（1，2）；（3），3.5．
【分析】
（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C向右平移2个单位的对应点、、的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标；【来源：21·世纪·教育·网】
（3）利用勾股定理列式计算即可求出AC的长，再利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积列式计算即可得解．
【详解】
解：（1）△A1B1C1如图所示；
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（2）如图所示，（1，2）
故答案为：（1，2）；
（3）由勾股定理得，，
△ABC的面积，
=9-1-3-1.5，
=9-5.5，
=3.5．
故答案为：，3.5．
【点睛】
本题考查了利用轴对称变换作图，利用平移变换作图，勾股定理．熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
54．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2，3)、B(－6，0)、C(－1，0)．
（1）将△ABC向右平移6个单位，再向上平移2个单位，画出平移后的△A1B1C1，直接写出点C的对应点C1的坐标_________；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△A2B2C2，直接写出点B的对应点B2的坐标_________．
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【答案】（1）图见解析，点C1的坐标（5，2）；（2）图见解析，点B2的坐标为（0，－6）．
【分析】
（1）△ABC向右平移6个单位，A、B、C三点的横坐标加上6，纵坐标不变；再向上平移2个单位，横坐标不变，纵坐标加上2；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，C2点坐标是（0， 1），B2点坐标是（0， 6），A2点坐标是（ 3， 2）；
【详解】
解：（1）如图，△A1B1C1为所求作的图形，点C1的坐标（5，2）；
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（2）如图，△A2B2C2为所求作的图形，点B2的坐标为（0，－6）．
【点睛】
本题考查了图形的平移、旋转与坐标变化，掌握平 ( http: / / www.21cnjy.com )移与旋转的性质以及平移与坐标变化之间的关系是解题的关键，此类题目能有效地锻炼学生的创造能力和空间想象能力．
55．已知：如图，把一个含30°角的直角三角板ABC绕着顶点C顺时针旋转，得到三角形CDE，点A的对应点D落在BC的延长线上．
（1）三角板ABC旋转了多少度？
（2）连接BE，求∠BEC的度数．
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【答案】（1）150°；（2）15°．
【分析】
（1）三角尺旋转的角度即为∠ACD的度数，而∠ACD和三角尺的30°角互为补角，由此可求出旋转的度数；
（2）由旋转的性质知：BC=CE，由此可得出△BCE的形状，进而求出∠BEC的度数；
【详解】
解：（1）∵把一块直角三角板ABC绕着30°角的顶点C顺时针旋转，
∴∠ACB=30°，
∴∠DCE=30°，
∴∠ACD=∠BCE=180°30°=150°，
即旋转了150°；
（2）根据旋转的性质知，CB=CE，故△CBE为等腰三角形，
故∠BEC=∠CBE==15°；
【点睛】
此题主要考查了旋转的性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识点，掌握旋转的性质是解题关键．
56．如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A(1，1)，B(4，0)，C(4，4)
（1）图中线段AB的长度为________；
（2）按下列要求作图：
①将ABC向左平移4个单位，得到；
②将绕点逆时针旋转90 ，得到
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【答案】（1）；（2）①见解析，②见解析
【分析】
（1）根据两点间距离公式求解即可得到AB的值；
（2）①根据平移的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
②分别作出A1，C1的对应点A2，C2即可．
【详解】
解：（1）∵A(1，1)，B(4，0)
∴；
故答案为：；
（2）作图如下：
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【点睛】
本题考查作图-旋转变换，平移变换，解题的关键是熟练掌握基本知识．
57．已知：如图，把ABC平移得对应，且A(-2，1)的对应点为(1，2)．
（1）在网格中作出，并写出，的坐标；
（2）点P在y轴上，且BCP与ABC的面积相等，求点P的坐标．
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【答案】（1）见解析，，；（2）P(0，1)或(0，﹣5)
【分析】
（1）由对应点的坐标变化确定平移方向和平移距离，从而作图求解．
（2）设P（0，m），构建方程解决问题即可．
【详解】
解：（1）∵A(-2，1)的对应点为(1，2)
∴ABC向右平移3个单位，向上平移1个单位得对应
∴可得：B′（0，-1），C′（4，-1）
即为所求
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（2）设P（0，m），
由题意：×4×|m+2|＝×4×3，
解得m＝1或﹣5，
∴P（0，1）或（0，﹣5）．
【点睛】
本题考查坐标与图形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
58．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，C的坐标为，线段，上分别有两个动点P，Q，连结，已知，以，为邻边作平行四边形，设．
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（1）求点A，B的坐标，并用含m的代数式表示点D的坐标．
（2）当与平行四边形的面积相等时，求点Q的坐标．
（3）是否存在点P，Q使得以O，B，D为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的m的值；若不存在，说明理由．
（4）作点D关于点Q的对称点，当点恰好落在直线上时，________．（直接写出结果）
【答案】（1）点A（-3，0），点B（0，4），点D（2+m，4-2m）；（2）点Q （3）的值为1或或；（4）．
【分析】
（1）分别根据、时求出B点和A点坐标，再根据点的平移规律求出点D坐标；
（2）由三角形面积，列出关于m的方程即可求解；
（3）两点距离公式用m表示出OD、BD的距离，再根据等腰三角形定义三种情况解方程求解m即可；
（4）由对称的性质可知点Q是线段中点，根据中点坐标公式列方程求解即可．
【详解】
解：（1）当时，，即点B坐标为（0，4），
当时，，解得：，即点A坐标为（-3，0），
∵，，
∴，，
∵在平行四边形中，，，
∴点D坐标为（2+m，4-2m），
综上所述：点A坐标为（-3，0），点B坐标为（0，4），点D坐标为（2+m，4-2m）；
（2）由（1）可知：，
∴，
∴，
，
∴当与平行四边形的面积相等时，，
解得，（舍去），
故点Q的坐标为
（3）由（1）可知：点B（0，4），点D（2+m，4-2m），
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∴，
，
以O，B，D为顶点的三角形是等腰三角形有三种可能：
①当时，则：，
解得：
②当时，则：，
解得：，（舍去），
③当时，则：，
解得：，（此时，故舍去），
综上所述：当等于1，，时，以O，B，D为顶点的三角形是等腰三角形；
（4）当点恰好落在直线上时，设点坐标为，
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∵点D关于点Q的对称点是点，
∴点Q是线段中点，
∵点D坐标为（2+m，4-2m），点Q坐标为（-m，0），
∴ ，
解得：，
故填：．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与几 ( http: / / www.21cnjy.com )何综合，涉及了一次函数图像上点的特征、平行四边形性质、平面直角坐标系中两点距离计算及等腰三角形的判定、中心对称的点坐标特征等，解题关键是掌握相关知识，利用点的坐标表示线段的关系，利用数形结合思想进行解题．【来源：21cnj*y.co*m】
59．如图，在中，，点P为边上的一点，将线段绕点A顺时针方向旋转（点P对应点）．当旋转至时，点恰好在同一直线上，此时作于点E．
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（1）求证：；
（2）若，求的面积；
（3）在（2）的条件下，点N为边上一动点，点M为边上一个动点，连接，求的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）9；（3）4.8
【分析】
（1）根据旋转的性质可得，根据等边对等角的性质可得，再根据等角的余角相等证明即可；
（2）过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后求出，利用“角角边”证明和△全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求得PC的长，再根据三角形面积公式计算即可；
（3）过D作DH⊥BC，交BP于M，交BC于H，此时H点即为N点，连接CM，再由等积法即可求出DN，即为MC+MN的最小值．
【详解】
解：（1）证明：是旋转得到，
，
，
，，
，，
又
；
（2）如图，过点作于，
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又，，
，
，
，
又，
，
在和△中，
，
△，
，
，
，，
，，
设，则，，
在中，，
解得，
，
∴△PBC的面积==9；
（3）∵BP平分∠ABC，且PD⊥AB，
∴点D为C点关于BP的对称点，连接CD，
过D作DH⊥BC，交BP于M，交BC于H，此时H点即为N点，连接CM，
∴CM=DM，MC+MN=MN+MD=DN，
由等面积法得：
，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
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【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定与性质，旋转的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，（2）作辅助线构造出过渡线段DP并得到全等三角形是解题的关键．
60．在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（0，b）．已知a，b满足．
（1）①求出A，B两点的坐标；
②如图1，点P为△AOB三个内角角平分线的交点，且AB=5，求点P的坐标；
（2）如图2．若点C为点A关于y轴对称 ( http: / / www.21cnjy.com )的点，△DBE是将△ABC绕点B顺时针旋转后所得图形，连接AD、CE交于点F．求证：BF平分∠CFD．
（3）在（2）的基础上继续绕点B旋转使得D、B、C三点共线，若，求∠CFD的度数（用含的式子表示）．
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【答案】（1）①A(-3，0)，B(0，4)；②(-1，1)；（2）①证明见解析；②
【分析】
（1）①根据非负性可求出a 和b，即可得到A、B的坐标；
②从P点分别向AB、BO、AO作垂线，分别交D、E、F，先证明△BDP≌△BEP，同理可证△PFO≌△PEO，△PDA≌△PFA，设PF=x，则DP=PE=x，可得到，即可求得PF，进而得到P点坐标；
（2）①根据△DBE是将 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC绕点B顺时针旋转后所得图形，点C为点A关于y轴对称的点，可证得△DBE≌△ABC，进而可证得△BDA≌△BCE，得到∠BAF=∠BEC，进而得到△EFB≌△AFB，即可证得BF平分∠CFD；
②连接BF，可得∠BFC=∠ECA，根据∠BFC=180°-∠FBC-∠BCF即可求解．
【详解】
解：（1）①∵，
∴a+3=0，b-4=0，
∴a=-3，b=4，
∴A(-3，0)，B(0，4)；
②∵点P为△AOB三个内角角平分线的交点，且AB=5，
∴∠DBP=∠EBP，∠FOP=∠EOP，∠DAP=∠FAP，
从P点分别向AB、BO、AO作垂线，分别交D、E、F，如下图所示，
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∴DP=PE=PF，
在△BDP和△BEP中，，
∴△BDP≌△BEP，
同理可得△PFO≌△PEO，△PDA≌△PFA，
设PF=x，则DP=PE=x，
∴，
即，
解得：x=1，
又∵点P在第二象限，
∴P点坐标为：(-1，1)；
（2）①∵点C为点A关于y轴对称的点，
∴AB=BC，
在△BDA和△BCE中，
∵△DBE是将△ABC绕点B顺时针旋转后所得图形，
∴△DBE≌△ABC，
∴BD=AB=BE=BC，∠DBE=∠ABC，
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA，即∠DBA=∠EBC，
∴△BDA≌△BCE，
∴∠BAF=∠BEC，
在△EFB和△AFB中，AB=EB，BF=BF，∠BAF=∠BEC，
∴△EFB≌△AFB，
∴BF平分∠CFD；
②如图，连接BF，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由题可知，∠BFC=∠ECA，
∴∠BFC=180°-∠FBC-∠BCF
=180°-（∠ABC+∠FBA）-∠BCF
=180°-∠ABC-（∠BCF+∠FBA）
=180°-∠ABC-（∠BCF+∠FCA）
=180°--（90°-）
=，
∴∠CFD=．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、几何变换-旋转，解题的关键是综合运用相关知识．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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