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第18章 平行四边形
【提升评测】
一、单选题
1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥DC，AD＝BC
【答案】D
【分析】
根据平行四边形的定义，平行四边形的判定定理两个角度思考判断即可．
【详解】
解：∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选项A不符合题意；
∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选项B不符合题意；
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选项C不符合题意；
∵AB∥DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，熟练平行四边形的定义法，判定定理法是解题的关键．
2．如图，正方形的边长为，的平分线交于点E，若点P，Q分别是和上的动点．则的最小值是（ ）21*cnjy*com
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A． B．4 C． D．
【答案】B
【分析】
过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′， ( http: / / www.21cnjy.com )再过D′作D′P′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．
【详解】
解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=32，
∵AP′=P′D'，
2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=32，
∴P′D′=4，即DQ+PQ的最小值为4，
故选B．
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【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题、勾股定理、作图与基本作图等知识点的应用，解此题的关键是根据轴对称的性质找出P'点，题型较好，难度较大．
3．顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形一定是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．正方形
【答案】A
【分析】
利用三角形的中位线定理得到EF与HG平行且相等，得到四边形EFGH为平行四边形，再由EH=EF，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；
【详解】
解：如图所示，
∵ E、F分别为AB、BC的中点，
∴ EF为△ABC的中位线，
∴ EF∥AC，EF=AC，
∵G、H分别为CD、AD的中点，
∴GH为△ACD的中位线，
∴HG∥AC，HG=AC，
∴EF∥HG，且EF=HG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵E、H分别为AB、AD的中点，
∴EH=BD，
∵AC=BD，
∴EF=EH，
∴ 四边形EFGH为菱形．
故选A．
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【点睛】
本题考查了中点四边形，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
4．在四边形中，给出下列条件：①；②；③；④．从以上选择两个条件使四边形为平行四边形的选法有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】B
【分析】
根据平行四边形的判定方法即可 ( http: / / www.21cnjy.com )找到所有组合方式：（1）两组对边平行①④；（2）间接利用两组对边平行两①③或③④；（3）一组对边平行且相等②④，所以有四种组合．
【详解】
解（1）①④，
利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定；
∵；．
∴四边形ABCD为平行四边形，
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（2）①③或③④，可推出两组对对边分别平行，利用两组对边分别平行的的四边形是平行四边形判定；
①；③；
∵，
∴∠A+∠D=180°，
又∵，
∴∠C+∠D=∠A+∠D=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
③；④．
∵，
∴∠A+∠B=180°，
又∵，
∴∠C+∠B=∠A+∠B=180°，
∴AB∥DC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
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（3）②④，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定；
②；④．
∵，，
∴四边形ABCD为平行四边形；
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共4种组合方法，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定方法，熟练掌 ( http: / / www.21cnjy.com )握平行四边形的判定方法是解题的关键.平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：1、四边形的两组对边分别平行；2、一组对边平行且相等；3、两组对边分别相等；4、对角线互相平分；5、两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．
5．如图：在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝10，BF＝3，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F．连接DF，求DF的长（ ）21cnjy.com
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A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】C
【分析】
延长，，交于点，构造直角三角形，求出，利用勾股定理即可解决问题；
【详解】
解：延长，，交于点，
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四边形是平行四边形，
，，，
，．
，，
，．
是的中点，
，
在和中
，
，．
，
，
，
在中，，
则由勾股定理可得：，
，，
在中，，
则由勾股定理可得： ．
故选：C．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、全等三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
6．如图，ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．11 B．17 C．18 D．16
【答案】B
【分析】
根据等腰三角形的性质得到BD=DC，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【出处：21教育名师】
【详解】
解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴，
∵点E为AC的中点，
∴，
∴△CDE的周长=CD+CE+DE=17，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
7．如图．正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，，H是AF的中点，CH＝3，那么CE的长是（ ）
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A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】
连接AC、CF，如图，设CE的长为x，根据正方形的性质得∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，AC＝，CF＝x，则∠ACF＝90°，再利用勾股定理计算出AF＝，然后根据直角三角形斜边上的中线得到方程即可求解．
【详解】
解：连接AC、CF，如图，
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∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，设CE的长为x
∴∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，AC＝BC＝，CF＝CE＝x，
∴∠ACF＝45°＋45°＝90°，
在Rt△ACF中，AF＝，
∵H是AF的中点，
∴CH＝AF＝3．
∴=6，
解得x=，
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质：正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
8．如图，在边长为1的正方形网格中，平 ( http: / / www.21cnjy.com )行四边形ABCD的顶点在格点上，平行四边形EFGH的顶点E、F在边CD上，且AD∥EH， AD＝EH，AG交CD于点O，则S阴影为（ ）
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A．7平方单位 B．8平方单位 C．14平方单位 D．无法确定
【答案】A
【分析】
先求出平行四边形ABCD面积，再根据平行四边形的性质结合已知条件得出△DOA≌△FOG，从而得出
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD的面积=7×2=14，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴EH//GF，EH=GF，
∵AD//EH， AD＝EH，
∴AD//GF，EH=AD，
∴∠DAO=∠FGO，
∵∠DOA=∠FOG，
∴△DOA≌△FOG
∴，
∴，
故选：A
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
9．如图，在平行四边形中，，平分交于点，若，则的度数是（ ）
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A．10° B．15°
C．20° D．25°
【答案】C
【分析】
先根据平行四边形，，平分得出△BAE是等边三角形，从而可求出△EAD≌△CDA，再求出∠ACE的度数，即可求出答案．
【详解】
∵平行四边形
∴AD∥BC，AB=DC，∠B=∠ADC
∴∠AEB=∠DAE
∵平分
∴∠BAE=∠DAE
∴∠BAE=∠AEB
∵
∴△BAE是等边三角形
∴∠BAE=∠DAE =，AB=AE=BE
∴AE=DC，∠ADC=∠DAE
∵AD=AD
∴△EAD≌△CDA
∴∠DAC=∠ADE
∵AD∥BC
∴∠DAC=∠ACE=∠ADE=∠DAC
∵
∴∠DAC=∠ACE=∠ADE=∠DAC=40°
∴=120
∴=180 ∠ACE=20
故答案选C．
【点睛】
本题主要考察了平行四边形，等边三角形，全等三角形等知识点，找出里面的全等三角形是解题关键．
10．如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=6，BC=9，点D为BC边上的中点，将ACD沿AD对折，使点C落在同一平面内的点处，连接，则的长为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由折叠的性质可得AD⊥CC'，CN=C'N，由勾股定理可求AD，DN的长，即可求BC'的长．
【详解】
解：如图，连接CC'，
∵将△ACD沿AD对折，使点C落在同一平面内的点C'处，
∴AD⊥CC'，CN=C'N，
∵点D为BC边上的中点，
∴CD=BC=
AD=
∵S△ACD=×AC×CD=×AD×CN
∴CN=
∴DN=，
∵CN=C'N，CD=DB，
∴C'B=2DN=，
故选：B．
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【点睛】
本题考查翻折变换，勾股定理，三角形中位线定理，利用勾股定理可求DN的长是本题的关键．
11．如图，在矩形ABCD中，AB=7，A ( http: / / www.21cnjy.com )D=5，对角线BD上的一动点，以E为直角顶点，AE为直角边做等腰Rt△AEＦ，（E，F按逆时针方向排列），当点E从点D运动到点B时，点F的运动路径长是（ ）
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A．12 B． C．18 D．
【答案】B
【分析】
分别考虑当点E与点B重合时，点E与点D重合时的情况，由此确定出F点的运动轨迹，从而构造直角三角形求解即可．21*cnjy*com
【详解】
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=DC=7，AD=BC=5，
如图，当点E与点B重合时，点F与点M重合，
此时，AB=BM=7，BC=AD=5，
∴CM=BM-BC=7-5=2；
当点E与点D重合时，点F与点N重合，
此时，AD=DN=5，
CN=DN+CD=5+7=12，
∴点F的运动轨迹为线段MN，
在Rt△MCN中，
，
故选：B．
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【点睛】
本题考查矩形中的动点问题，理解矩形的性质，找准动点的轨迹是解题关键．
12．如图，△ABC中，∠B＝90°， ( http: / / www.21cnjy.com )过点C作AB的平行线，与∠BAC的平分线交于点D，若AB＝6，BC＝8．E，F分别是BC，AD的中点，则EF的长为 （ ）
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A．1 B．1.5 C．2 D．4
【答案】C
【分析】
延长EF交AC于点G，根据勾股定理求出AC=10，再根据角平分定义结合平行线的性质得出AC=CD，最后根据三角形中位线的性质得出结论即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8
∴
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
∵AB//CD
∴∠BAD=∠CDA
∴∠CDA=∠CAD
∴DC =AC=10
延长EF交AC于点G，如图，
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∴EG是△ADC的中位线，FG是△ABC的中位线，
∴
∴
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理以及三角形中位线性质定理，作出三角形中位线是解答此题的关键．
13．如图，ABC中，AB＞AC，AE平分∠BAC，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，F为BC的中点，给出结论：①FD∥AC；②FE＝FD；③AB﹣AC＝DE；④∠BAC+∠DFE＝180°．其中正确的是（ ）
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A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】
延长CE交AB于G，延长BD交AC延长线于H，根据角分线与垂线，三角形全等判定与性质，三角形中位线定理和矩形的判定和性质解答即可．
【详解】
解：延长CE交AB于G，延长BD交AC延长线于H，
∵AE平分∠GAC， BD⊥AE，
∴∠BAD=∠HAD，∠ADB=∠ADH=90°
在△ADB和△ADH中，
∴△ADB≌△ADH（ASA）
∴BD=HD，
∵F为BC的中点，
∴BF＝CF，BD＝HD，，
∴DF∥CH，即DF∥AC，故①正确，
∵AE平分∠GAC， CE⊥AE，
∴∠GAE=∠CAE，∠AEG=∠AEC=90°
在△AGE和△ACE中，
∴△AGE≌△ACE（ASA）
∴GE=CE，
∴DF＝CH，
∵GE＝CE，BF＝CF，
∴EF＝BG，
∵GB＝AB﹣AG＝AH﹣AC＝CH，即GB＝CH，
∴GB＝CH，即EF＝DF，
故②正确，
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∴AB﹣AC＝AB﹣AG＝BG，
过G作GI⊥BH于I，
∵∠GED＝∠EDI＝∠GID＝90°，
∴四边形GIDE是矩形，
∴GI＝ED，
∴BG＞GI＝ED，
∴AB﹣AC＞DE，故③错误；
∵EF∥BG，DF∥HC，
∴∠FED＝∠BAD，∠FDE＝∠HAD，
∴∠FED+∠FDE＝∠BAD+∠HAD＝∠BAC，
∵∠FED+∠FDE+∠EFD＝180°，
∴∠BAC+∠EFD＝180°，
故④正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查角平分线，垂线，三角形全等 ( http: / / www.21cnjy.com )判定与性质，三角形中位线，矩形判定，直角三角形中斜边大于直角边，三角形内角和，掌握角平分线，垂线，三角形全等判定与性质，三角形中位线，矩形判定，直角三角形中斜边大于直角边，三角形内角和是解题关键．21·世纪*教育网
14．如图，某花木场有一块四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD的空地，其各边的中点为E、F、G、H，测得对角线AC＝11米，BD＝9米，现想用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆总长度是（ ）
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A．20米 B．11米 C．10米 D．9米
【答案】A
【分析】
根据三角形中位线定理分别求出EF、FG、GH、HE，根据四边形的周长公式计算即可．
【详解】
解：∵E、F、G、H分别为四边形ABCD各边的中点，
∴EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△CDA、△ABD的中位线，
∴EF＝AC＝（米），FG＝BD＝（米），HG＝AC＝（米），HE＝BD＝（米），
∴四边形EFGH总长度＝EF+FG+GH+HE＝20（米），
故选：A．
【点睛】
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
15．如图，四边形中，分别为线段上的动点（含端点，但点不与点重合），分别为的中点，则长度的最大值为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
连接BN，根据三角形的中位线定理得出EFDN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN＝DB＝6，从而求得EF的最大值为3．
【详解】
解：如图，连接BN，
∵分别为的中点，
∴EFDN，
∴DN最大时，EF最大，
∴N与B重合时DN最大，
此时DN＝DB6，
∴EF的最大值为3．
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故选：A
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握两个定理是解题的关键．
16．如图，在正方形中，点、分别在、上（不与端点重合），连接、相交于点，BF＝CE，则下列结论不正确的是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据正方形及全等三角形的判定与性质找到各角边的关系即可．
【详解】
解：∵ABCD是正方形
∴∠ABF＝∠C＝90°，AB＝BC
∵BF＝CE
∴△ABF≌△BCE
∴AF＝BE，（故A正确）；∠BAF＝∠CBE，∠AFB＝∠BEC（故B错误）；
∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠CBE+∠ABE＝90°，
∴∠DAF＝∠ABE（故C正确）；
∵∠BAF＝∠CBE，∠BAF+∠AFB＝90°
∴∠CBE+∠AFB＝90°，
∴∠BGF＝90°，
∴AG⊥BE（故D正确）
所以不正确的是B，
故选B．
【点睛】
此题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相关性质进行推理证明．
17．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．平行四边形对角线互相平分
【答案】D
【分析】
先写出各选项的逆命题，再判断真假即可求解．
【详解】
解：A. 若，则，逆命题为若，则，是假命题，不合题意；
B. 若，则，逆命题为若，则，是假命题，不合题意；
C. 若，则，逆命题为若，则，是假命题，不合题意；
D. 平行四边形对角线互相平分，逆命题为对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意．
故选：D
【点睛】
本题考查了原命题与逆命题，命题真假的判断，熟知相关定义，并能正确进行判断是解题关键．
18．如图，四边形中，，，，点M，N分别为线段，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为、的中点，则长度的最大值为（ ）．
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A．3 B． C．4 D．2
【答案】D
【分析】
由题中条件可判定EF是中位线，可得，当动点N与点B重合时，DN值最大，，此时EF长度取最大值．
【详解】
解：如图，连接DN，
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∵点E、F分别为、的中点，
∴EF是中位线，，
当动点N与点B重合时，，此时DN长度取最大值，即此时EF长度取最大值．
∵，，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查了中位线性质，用勾股定理解三角形，理解长度的最大值就是求DN长度最大值是解题关键．
19．如图，在平行四边形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠DAB＝120°，AB＝4，AD＝2，点O为对称中心，点M从点A出发沿AB向点B运动，到点B停止运动，连接MO并延长交CD于点N，则四边形AMCN形状的变化依次为（ ）
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A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形→平行四边形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形→平行四边形
【答案】B
【分析】
根据OM与OA的位置关系，数量关系，两个方面去判断
【详解】
如图，连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AM∥NC，
∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，
∴△MAO≌△NCO，
∴MO=NO，
∴四边形ANCM是平行四边形，
当∠AOM=90°时，
四边形ANCM是菱形，
当∠AOM＞90°，且OA≠OM时，
四边形ANCM是平行四边形，
当∠AOM＞90°，且OA=OM时，
四边形ANCM是矩形，
当∠AOM＞90°，且OA≠OM时，
四边形ANCM是平行四边形，
∴选B．
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【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，熟练掌握对角线与四边形的形状之间的关系是解题的关键．
20．如图，分别以RtABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形ACD和ABE，F为AB的中点，连接DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，其中错误的是（ ）
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A．AC⊥DF B．四边形BCDF为平行四边形
C．DA+DF＝BE D．÷S四边形BCDE＝
【答案】C
【分析】
根据平行四边形的判定定理判断B，根据平行四边形的性质和平行线的性质判断A，根据三角形三边关系判断C，根据等边三角形的性质分别求出、、的面积，计算即可判断D．
【详解】
解：，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
为的中点，
，
，，
四边形为平行四边形，B选项正确，不符合题意；
四边形为平行四边形，
，，又，
，A选项正确，不符合题意；
∵等边三角形ACD和ABE，
， ，
，C选项错误，符合题意；
设，则，
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，，，
，D选项正确，不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、等边三角形的有关计算是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
21．如图，等边的边长为，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当（ ）时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
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A．1或2 B．2或3 C．2或4 D．2或6
【答案】D
【分析】
首先根据平行四边形的性质得到AE=CF，再分点F在线段BC上和点F在线段BC的延长线上两种情况进行解答即可求出t的值．
【详解】
解：若以A、、、为顶点的四边形是平行四边形，则有AE=CF
当点F在线段BC上时，AE=BC-BF，即：
t=6-2t
解得，t=2；
当点F在线段BC的延长线上时，AE=BF-BC，即：
t=2t-6
解得，t=6
所以，当t=6s或2s时，以A、、、为顶点的四边形是平行四边形．
故选：D.
【点睛】
此题主要考查了动点几何问题以及平行四边形的性质和等边三角形的性质，熟练掌握相关性质是解答此题的关键.
22．如图，在中，P是对角线上一点，过点P作，与和分别交于点E和点F，连结．已知，则阴影部分的面积和是（ ）
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A． B． C．5 D．10
【答案】B
【分析】
过点P作MN∥AD，交AB于M，交CD ( http: / / www.21cnjy.com )于N，过点P作PH⊥AE于H，易证S△ABD=S△CBD，AB∥EF∥CD，AD∥MN∥BC，得出四边形AEPM、四边形BFPM、四边形DEPN、四边形CFPN都是平行四边形，则S△AEP=S△AMP，S△DEP=S△DNP，S△BMP=S△BFP，S△CFP=S△CNP，得出S△AEP=S△CFP，由MN∥BC，求出PH，由S阴影部分=2S△AEP即可得出结果．21·cn·jy·com
【详解】
解：过点P作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，过点P作PH⊥AE于H，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥AB，MN∥AD，
∴S△ABD=S△CBD，AB∥EF∥CD，AD∥MN∥BC，
∴四边形AEPM、四边形BFPM、四边形DEPN、四边形CFPN都是平行四边形，
∴S△AEP=S△AMP，S△DEP=S△DNP，S△BMP=S△BFP，S△CFP=S△CNP，
∴S△AEP=S△CFP，
∵MN∥BC，
∴∠AMP=∠ABC=60°，
∵四边形AEPM是平行四边形，
∴∠PEH=60°，
∴∠EPH=30°，
∴HE=EP=1，
∴PH=，
∴S阴影部分=2S△AEP=2×AE PH=2××5×=，
故选：B．
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【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、三角形面积的计算等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
23．如图，中，对角线相交于点交于点，连接，若的周长为28，则的周长为（ ）
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A．28 B．24 C．21 D．14
【答案】D
【分析】
根据平行四边形的性质OA=OC及OE⊥AC，可得AE=CE，从而△ADE的周长为AD+CD，由此可得结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
∵OE⊥AC
∴OE是线段AC的垂直平分线
∴AE=CE
∵平行四边形ABCD的周长为28，即2（AD+CD）=28
∴AD+CD=14
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DE+CE=AD+CD=14
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分 ( http: / / www.21cnjy.com )线的性质、多边形的周长，关键是根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，从而把△ADE的周长转化为平行四边形的两邻边的和．
24．如图，直线m经过点B且平行于AC，点P为直线m上的一动点，连接PC，PA，随着点P在直线m上移动，则下列说法中一定正确的是（ ）
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A．与全等 B．与的周长相等
C．与的面积相等 D．四边形ACBP是平行四边形
【答案】C
【分析】
由全等三角形和平行四边形的判定，以及同底等高三角形的面积相等，可以得出正确的选项．
【详解】
解：选项A，因为点A，B，C是定点，而点P是直线m上的动点，所以与不一定全等，故A错误；
选项B，的周长是定值，而的周长随着点P位置的变化而变化，所以B错误；
选项C，由于与都可以看作是以AC为底边的三角形，且直线m平行于AC，可由平行线间的距离处处相等知道与属于同底等高的三角形，故二者面积相等，所以选项C正确；
选项D，由于P是动点，点A，B，C，是定点，所以BP不总是等于AC，而平行四边形的对边应该相等，所以选项D错误．
故选：C．
【点睛】
本题是考查全等三角形和平行四边形的判定，以及同底等高三角形的面积相等的，属于中等难度的题目．
25．如图，在 ABCD中，BE垂直平分CD于点E，且∠BAD＝45°，AD＝3，则 ABCD的对角线AC的长为（ ）
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A． B．5 C．5 D．2
【答案】A
【分析】
过C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，连接BD，根据菱形的性质可知BC＝BD＝AD＝3，由∠BAD＝45°可知∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，依据勾股定理，在Rt△ABD中，AB＝AD＝，由∠CBF＝∠DAB＝45°，∠F＝90°得出FC＝FB＝，在Rt△ACF中，根据勾股定理即可求出AC＝．
【详解】
解：如图所示，过C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，连接BD，
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∵在 ABCD中，BE垂直平分CD于点E，
∴BC＝BD＝AD＝3，
又∵∠BAD＝45°，
∴∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，
∴Rt△ABD中，AB＝AD＝，
∵∠CBF＝∠DAB＝45°，∠F＝90°，
∴∠BCF＝45°，
∴FC＝FB＝，
∴Rt△ACF中，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质．
26．在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片可以进行如下操作：①把翻折，点B落在C边上的点E处，折痕为，点F在边上；②把翻折，点D落在边上的点G处，折痕为，点H在边上，若，则（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用翻折不变性可得，推出，，设，在中，，可得，设，在中，，可得，由此即可解决问题．
【详解】
解：四边形是矩形，
，，，
由翻折不变性可知：，，，，
，
在中，，
，
设，在中有：，
，
设，在中，，
，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
27．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若，，则菱形ABCD的周长为（ ）
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A． B．16 C． D．32
【答案】C
【分析】
首先利用三角形的中位线定理得出AC，再利用菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长，即可计算出菱形ABCD的周长．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF＝，
∴AC＝2EF＝，
∵四边形ABCD是菱形，，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝，OB＝BD＝4，
∴AB＝＝，
∴菱形ABCD的周长为：＝．
故选：C．
【点睛】
此题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
28．如图，将一张矩形纸片ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′地位置，ED′的延长线与BC相交于点G，若∠EFG=68°，则∠1的度数是（ ）
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A．112° B．136° C．144° D．158°
【答案】B
【分析】
由AD//BC，∠EFG=68°，根据两直线平行，内错角相等，可求得∠DEF的度数，然后由折叠的性质，求得∠DEG的度数，继而求得答案．
【详解】
解：∵AD//BC，∠EFG=68°，
∴∠DEF=∠EFG=68°，
由折叠的性质可得：∠FEG=∠DEF=68°，
∴∠DEG=∠DEF+∠FEG=136°，
∵AD//BC，
∴∠1=∠DEG=136°．
故选：B．
【点睛】
此题考查了平行线的性质以及折叠的性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键．
29．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，连接CE，则CE的长为（ ）
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A．5 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】
过E作EF⊥AC，垂足为F，利 ( http: / / www.21cnjy.com )用AAS得到△AEF≌△BAC，利用全等三角形的对应边相等得到EF＝AC＝AF＝BC＝3，由FA+AC求出FC的长，在直角三角形CEF中，利用勾股定理即可求出EC的长．
【详解】
解：过E作EF⊥AC，交CA的延长线于F，
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∵四边形ABDE为正方形，
∴∠BAE＝90°，AE＝AB，
∵∠EAF+∠AEF＝90°，∠EAF+∠BAC＝90°，
∴∠AEF＝∠BAC，
在△AEF和△BAC中，
，
∴△AEF≌△BAC（AAS），
∴EF＝AC＝AF＝BC＝3，
在Rt△ECF中，EF＝3，FC＝FA+AC＝3+3＝6，
根据勾股定理得：CE＝．
故选：C．
【点睛】
此题考查了勾股定理，正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
30．如图，在四边形ABCD中，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
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A．AB∥DC， AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AD∥BC，AB＝DC D．AB∥DC，AB＝DC
【答案】C
【分析】
注意题目所问是“不能”，根据平行四边形的判定条件可解出此题．
【详解】
解：平行四边形的判定条件：
A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；
B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；
C、可能是等腰梯形，不能判定，符合题意；
D、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的基本性质是解答本题的关键
31．如图，在Rt△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B的大小是（ ）
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A．32° B．64° C．77° D．87°
【答案】C
【分析】
取CF的中点T，连接DT，AT．证明∠TDA ( http: / / www.21cnjy.com )＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，进而证明CT＝TF，得到∠AFC＝45°，∠BFD＝13°，最后求出∠B＝77°．
【详解】
解：如图，取CF的中点T，连接DT，AT．
∵∠BAC＝90°，FD⊥BC，
∴∠CAF＝∠CDF＝90°，
∴AT＝DT＝CF，
∴TD＝TC＝TA，
∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，
∵∠ADB＝45°，
∴∠ADT+∠TDC＝135°，
∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°，
∴AT⊥CF，
∵CT＝TF，
∴AC＝AF，
∴∠AFC＝45°，
∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°，
∵∠BDF＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°．
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故选：C
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的直线等于斜边一半、等腰三角形的性质、三角形的角的计算等知识，根据题意添加辅助线，构造等腰三角形是解题关键．
32．如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则是（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
由在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，易证得△ABE是等腰三角形，即可得AB＝AE，继而求得DE的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝7，
∴AD∥BC，AD＝BC＝7，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵AD是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝4，
∴DE＝AD﹣AE＝3．
故选：B．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，关键是证明等腰三角形．
33．如图．已知正方形的边长为．，将正方形的边沿折叠到，延长交于，连接．现有如下个结论；①；②；③的周长是．其中正确的个数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据折叠的定义可得，在根据HL可证，可得，，，，根据角的平分线的意义求∠GDE，根据GE=GF+EF=EC+AG，确定△BGE的周长为AB+BC即可得到结论①②③正确
【详解】
正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，
∴EF=EC，DF=DC，∠CDE=∠FDE，
∵DA=DF，DG=DG，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG，
∴AG=FG，∠ADG=∠FDG，
,故结论①正确；
∴∠GDE=∠FDG+∠FDE
=（∠ADF+∠CDF）
=45°，故结论②正确
∵△BGE的周长=BG+BE+GE，GE=GF+EF=EC+AG，
∴△BGE的周长=BG+BE+ EC+AG
=AB+BC，
正方形ABCD的边长为
的周长为24，故结论③正确；
故选：D
【点睛】
本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，三角形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键.
34．如图是一张矩形纸片，，若将纸片沿折叠，使落在上，点C的对应点为点F，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意求出EC的长，根据翻折变换的性质得到四边形FECD是正方形，根据正方形的性质解答即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AE= AD=8cm，
∵AD=8cm，BE=5cm，
∴EC=3cm，
由翻折变换的性质可知，四边形FECD是正方形，
∴CD=EC=3cm．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是翻折变换的性质、正方形的判定， ( http: / / www.21cnjy.com )翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
35．如图，矩形中，，点在边上，且．动点从点出发，沿运动到点停止．过点作交射线于点，联结．设是线段的中点，则在点运动的整个过程中，线段长的最小值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知M再BE的垂直平分线上运动，根据点到直线的距离垂线段最短可知当DM与BE的垂直平分线垂直时最短，但结合图形可知DM不可能与垂直，所以可知当运动时长的最小，此时为等边三角形，求得，运用勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD为矩形，，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，，∠ABC=∠C=90°，
∵，
∴AE=2，ED=6，
∴，
∴∠ABE=30°，∠EBC=60°，
连接EM，BM，
∵是线段的中点，
∴，
∴M在BE的垂直平分线上运动，
∴作BE的垂直平分线与BC交于，当运动时长的最小，
此时,
∵∠EBC=60°，
∴为等边三角形，，
∴，
在中，根据勾股定理
．
故选：B．
【点睛】
本题考查矩形的性质，垂直平分线的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质和判定定理，等边三角形的性质和判定，勾股定理等．能根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和垂直平分线的判定定理得出M的运动轨迹是解题关键．
36．如图，在□ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中：①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＜2S△CEF；④∠DFE＝4∠AEF．一定成立的有（ ）个．
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A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
①先证出AF=FD=CD，得到∠DFC=∠DCF，再根据平行线性质得到∠DFC=∠FCB，即可得到∠DCF=∠BCF，可得∠DCF= ∠BCD，故①正确；
②做辅助线延长EF，交CD延长线于M，先证△AEF≌△DMF（ASA），得到FE=MF 即，再通过在中斜边上的中线等于斜边的一半得到，即可得到CF=EF，故②正确；
③根据EF=FM，可得，那么，再通过MC＞BE，得到，即，故③的正确；
④先证FC=FE，设∠FCE=x，那么，再通过证∠DCF=∠DFC，那么，则，进一步证得，即可证得，故④错误．
【详解】
解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵ ，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF= ∠BCD，
故①正确；
②延长EF，交CD延长线于M，
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∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，即，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∴
∵，
∴CF=EF，
故②正确；
③∵EF=FM，
∴，
∴，
∵MC＞BE，
∴
∴故③正确；
④设∠FEC=x，
∵CE⊥AB，，
∴，
∵F 是EM的中点，
∴FC=FE，
∴∠FCE=x，
∴，
∵
∴∠FCB=∠DFC
∵∠DCF＝∠FCB；
∴∠DCF=∠DFC
∴
∴，
∴，
∵，
∴∠DFE=3∠AEF，故④错误．
综上所述正确的是：①②③．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形性质等知识，能准确找到边与边之间、角与角之间的关系是解答此题的关键．
37．如图，菱形ABCD和菱形EF ( http: / / www.21cnjy.com )GH，∠A＝∠E，它们的面积分别为9 cm 2和64 cm 2，CD落在EF上，若△BCF的面积为4cm2，则△BDH的面积是（ ）
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A．8 cm 2 B．8.5 cm 2 C．9 cm 2 D．9.5 cm 2
【答案】B
【分析】
先连接FH，求出，再将求的面积转化为求的面积即可．
【详解】
解：如图，连接FH，
∵菱形ABCD和菱形EFGH，∠A＝∠E，
∴，
∴，
∴，
∴和同底等高，
∴，
∵菱形ABCD面积为9 cm2，△BCF的面积为4cm2，
∴（cm2），
∴（cm2）．
故选：B．
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【点睛】
本题考查了菱形性质及其应用，解决本题的关键是利用同底等高将求的面积转化为求的面积，考查了学生的分析和推理的能力，运用了转化的思想方法．
38．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连接GH，则线段GH的长为（ ）
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A．5 B．2 C．2 D．4
【答案】B
【分析】
延长BG交CH于点E，根据正方形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE＝BE﹣BG＝2、HE＝CH﹣CE＝2、∠HEG＝90°，由勾股定理可得GH的长．
【详解】
解：如图，延长BG交CH于点E，
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∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，
∴AG2+BG2＝AB2，
∴△ABG和△DCH是直角三角形，
在△ABG和△CDH中，
，
∴△ABG≌△CDH（SSS），
∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，
∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，
又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，
∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，
在△ABG和△BCE中，
，
∴△ABG≌△BCE（ASA），
∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，
∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，
同理可得HE＝2，
在Rt△GHE中，GH＝ ，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE为等腰直角三角形是解题的关键．
39．如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝5，CD＝3，则EF的长为（ ）
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A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【答案】D
【分析】
连接DE并延长交AB于H， ( http: / / www.21cnjy.com )证明△DCE≌△HAE，根据全等三角形的性质可得DE＝HE，DC＝AH，则EF是△DHB的中位线，再根据中位线的性质可得答案．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：连接DE并延长交AB于H，
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∵CD∥AB，
∴∠C＝∠A，
∵E是AC中点，
∴CE＝EA，
在△DCE和△HAE中，
，
∴△DCE≌△HAE（ASA），
∴DE＝HE，DC＝AH，
∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣DC＝2，
∵F是BD中点，
∴EF是△DHB的中位线，
∴EF＝BH，
∴EF＝1，
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形中位线性质，关键是正确画出辅助线，证明△DCE≌△HAE，得出EF是中位线．21教育名师原创作品
40．如图，在正方形中，是对角线上一点，且满足．连接并延长交于点，连接，过点作于点，延长交于点．在下列结论中：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个
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A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
先判断出∠DAE＝∠ABH，再判断△ ( http: / / www.21cnjy.com )ADE≌△CDE得出∠DAE＝∠DCE＝22.5°，∠ABH＝∠DCF，再判断出△ABH≌△DCF从而得到①正确，根据三角形的外角求出∠AEF＝45°，得出②正确；结合①②可得DF＝DE，根据AH＝DF即可得③正确；连接HE，判断出S△EFH≠S△EFD得出④错误．
【详解】
解：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE＝∠ADE＝∠CDE＝45°，AB＝BC，
∵BE＝BC，
∴AB＝BE，
∵BG⊥AE，
∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH＝∠DBH＝22.5°，
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°﹣∠ABH＝67.5°，
∵∠AGH＝90°，
∴∠DAE＝∠ABH＝22.5°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCE＝22.5°，
∴∠ABH＝∠DCF，
在△ABH和△DCF中，
，
∴△ABH≌△DCF（ASA），
∴AH＝DF，∠CFD＝∠AHB＝67.5°，
∵∠CFD＝∠EAF+∠AEF，
∴67.5°＝22.5°+∠AEF，
∴∠AEF＝45°，故①②正确；
∵∠FDE＝45°，∠DFE＝∠FAE+∠AEF＝22.5°+45°＝67.5°，
∴∠DEF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴DF＝DE，
∵AH＝DF，
∴AH＝DE，故③正确；
如图，连接HE，
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∵BH是AE垂直平分线，
∴AG＝EG，
∴S△AGH＝S△HEG，
∵AH＝HE，
∴∠AHG＝∠EHG＝67.5°，
∴∠DHE＝45°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠DEH＝90°，∠DHE＝∠HDE＝45°，
∴EH＝ED，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∵EF不垂直DH，
∴FH≠FD，
∴S△EFH≠S△EFD，
∴S四边形EFHG＝S△HEG+S△EFH＝S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故④错误，【版权所有：21教育】
∴正确的是①②③．
故选：C
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出△ADE≌△CDE，难点是作出辅助线．
二、填空题
41．如图，矩形中，于点E，于点F，连结，．若，四边形的面积为，则的边长为________．
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【答案】
【分析】
设，根据矩形的性质表示出EF，BE，DF，根据四边形的面积为得到方程，求出a值，即可得到AB．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形面积，解题的关键是根据矩形的性质得到相应边角之间的关系．
42．如图，已知，，，，，，则的面积为________．
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【答案】
【分析】
知道AD的长，只要求出AD边上的高 ( http: / / www.21cnjy.com )，就可以求出△ADE的面积；过点D作DG⊥BC于G，过点E作EF⊥AD交AD的延长线于F，构造出△EDF≌△CDG，求出GC的长，即为EF的长，利用三角形的面积公式解答即可．
【详解】
解：过点D作DG⊥BC于G，过点E作EF⊥AD交AD的延长线于F，如图所示：
则四边形ABGD是矩形，
∴AD=BG，
∵∠EDF+∠FDC=90°，
∠GDC+∠FDC=90°，
∴∠EDF=∠GDC，
在△EDF和△CDG中，
，
∴△EDF≌△CDG（AAS），
∴EF=CG=BC-BG=BC-AD=4-3=1，
∴S△ADE= AD EF=×3×1=，
故答案为：．
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【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形面积计算等知识，通过作辅助线构造△EDF≌△CDG是解题的关键．
43．如图，在平行四边形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )AB＝5，AD＝7，AE⊥BC于点E，AE＝4，则AC的长为_____；平行四边形ABCD的面积为_____．
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【答案】 28
【分析】
在中求出，再在中求出，利用平行四边形的面积公式即可解决问题；
【详解】
解：，
，
在中，，，
，
在平行四边形中，，
，
，
，
在中，，
．
故答案为，28．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
44．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．则OE+OF＝___．
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【答案】
【分析】
连接AC交BD于P点，延长EO交CD ( http: / / www.21cnjy.com )于G点，根据菱形的性质求出AC的长度，并证明OF=OG，从而OE+OF＝EG，利用菱形的面积公式求解EG即可．
【详解】
如图所示，连接AC交BD于P点，延长EO交CD于G点，
根据菱形的性质得：AB=10，BP=8，∠APB=90°，
∴在Rt△APB中，根据勾股定理得：AP=6，
∴AC=2AP=12，
又根据菱形的对称性得：OF=OG，
∴OE+OF＝EG，
根据菱形的面积公式：，
∴，
解得：，
即：，
故答案为：．
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【点睛】
本题考查菱形的性质以及面积公式，理解菱形的面积可由对角线乘积的一半进行计算是解题关键．
45．如图，在中，，点为斜边上的一点，连接，将沿翻折，使点落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，点恰好与点重合．若，则_______，________2-1-c-n-j-y
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【答案】10
【分析】
根据折叠的性质和勾股定理定理即可得到结论．
【详解】
解：在Rt△ACB中，BC=6，∠ACB=90°，
∵将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，
∴BD=DE，BC=CE=6，∠B=∠CED，
∵将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合，
∴∠A=∠DEF，AD=DE，AF=EF，
∴∠FED+∠CED=90°，
∴AD=DB，
∴CD=DA=DB=AB，
∵DC=5，
∴AB=10，
∴AC==8，
∴CF=8-AF，
∴EF2+CE2=CF2，
∴AF2+62=（8-AF）2，
∴CF=，
∴AF=AC-CF=，
故答案为：10，．
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【点睛】
本题考查翻折变换、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题．www-2-1-cnjy-com
三、解答题
46．如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连结．
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（1）求证：．
（2）当时，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用AAS即可证明；
（2）根据≌得到，根据中位线的性质得到，从而证明四边形是平行四边形，再利用三线合一得到，即可证明结果．
【详解】
解：（1）∵是AD中点，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴≌（AAS）．
（2）∵≌，
∴，
∴是BF中点，
又∵是BC中点，
∴，
即，
又∵，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵，AD是BC边上的中线，
∴（三线合一），
∴，
∴四边形ADCF是矩形．
【点睛】
本题考查了矩形的证明，三线合一，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，知识点较多，难度一般．
47．如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．
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（1）求证：≌；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBE；
（2）由全等三角形的性质可求∠CEB=70°，由三角形的外角的性质可求解．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABC=∠ADC=90°，∠ABE=∠CBE=∠ADB=×90°=45°，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CBE，
∴∠AEB=∠CEB，
又∵∠AEC=140°，
∴∠CEB=70°，
∵∠DEC+∠CEB=180°，
∴∠DEC=180°-∠CEB=110°，
∵∠DFE+∠ADB=∠DEC，
∴∠DFE=∠DEC-∠ADB=110°-45°=65°．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是本题的关键．
48．已知：如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别相交于点E、F．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）当EF与AC满足什么关系时，以A、E、C、F为顶点的四边形是菱形？并给出证明．
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【答案】（1）证明见解析；（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．证明见解析
【分析】
（1）由矩形的性质：OB=OD，AECF，进一步即可证明△BOE≌△DOF；
（2）若四边形为菱形，则 ( http: / / www.21cnjy.com )对角线互相垂直，因此可添加条件：EF⊥AC，再根据（1）的结论和题目条件证明OA=OC，OE=OF，根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形得出结论．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，
∵AECF，
∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF，
在△BOE与△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（AAS）；
（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．
证明：∵△BOE≌△DOF，
∴OE=OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形得判定等知识，证明定理的综合运用能力是解决问题的关键．
49．如图，在中，是边上一点，于点E，点F是线段上一点，连结．
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（1）若点F是线段的中点，试猜想线段与的大小关系，并加以证明．
（2）在（1）的条件下，若，求两点间的距离．
【答案】（1）EF=CF；（2）
【分析】
（1）根据直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，即可解答；
（2）连接CE，由（1）求出EF=CF=3，再证明∠EFC=90°，利用勾股定理求出CE即可．
【详解】
解：（1）EF=CF，理由如下，
∵∠ACB=90°，DE⊥AB，
则在Rt△AED和Rt△ACD中，
∵点F是线段AD的中点，
∴EF=AD，CF=AD，
∴EF=CF；
（2）连接CE，如图，
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由（1）得EF=AF=CF=AD=3，
∴∠FEA=∠FAE，∠FCA=∠FAC，
∴∠EFC=2∠FAE+2∠FAC=2∠BAC=2×45°=90°，
∴CE=．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是证明∠EFC=90°．
50．如图，、分别为的边、的中点，延长到，使得连、、
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（1）求证：四边形是平行四边形
（2）与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由
【答案】（1）证明见解析；（2）AF=AD，证明见解析．
【分析】
（1）利用平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形去证明即可得到答案；
（2）利用对角线相等且互相平分的四边形是矩形进行条件判断即可．
【详解】
解：（1）∵E、C分别是AF、DF的中点
∴AE=EF，CF=CD
又∵CE=BE
∴四边形ABFC的对角线互相平分
∴四边形ABFC是平行四边形
∴AB∥FC且AB=FC
∴AB∥DC且AB=DC
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）当AF=AD时，四边形ABFC是矩形
证明：∵E、C分别是AF、DF的中点
∴由中位线定理得CE=
又∵CE=BE
∴BC=AD
∴AF=AD=BC
由（1）证得四边形ABFC是平行四边形，
∴四边形ABFC是矩形．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形和矩形的判定定理，中位线定理，解题的关键在于能够熟练的掌握相关的知识点．
51．如图1，在 ABCD中，∠D＝45°，E为BC上一点，连接AC，AE．
（1）若 ABCD中BC边上的高为2，求AB的长．
（2）若AB＝2，AE＝4，求BE的长．
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【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）如图，过作于，再根据平行四边形的性质可得：，最后根据勾股定理计算即可；
（2）先根据平行四边形的性质可得：，然后解和 即可求出BE的长．
【详解】
解：（1）如图，过作于，
在 ABCD中，，
，中BC边上的高为2，
，
又
，
;
（2）在中，，，
，
，
，
．
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【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线解题的关键．
52．如图，矩形纸片ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )AB＝CD＝4，AD＝BC＝8，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，使点G与点D重合．
（1）求证：AE＝AF；
（2）求GF的长．
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【答案】（1）详见解析；（2）3．
【分析】
（1）根据翻折的性质可得，根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得；
（2）根据翻折的性质可得，设，则，再根据勾股定理有：，于是有，进而得到．
【详解】
解：（1）由翻折的性质得，，
矩形的对边，
，
，
；
（2）由翻折的性质得，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
又由（1）可知，，
，
由翻折的性质得，．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出的长度是解题的关键．
53．如图，在 ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F， ABCD周长为20，DE＝4，DF＝6，求 ABCD的面积．
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【答案】24
【分析】
已知平行四边形的高，，根据“等面积法”列方程，求，根据平行四边形的面积底乘以高可得出答案．
【详解】
解： ABCD周长为20，
，
设，则，根据平行四边形的面积公式可得：，
解之得，
即，
，，
平行四边形的面积等于．
【点睛】
本题主要考查的知识点：（1）平行四边形的两组对边分别相等；（2）平行四边形的面积等于边长乘以高．
54．已知：如图，点、在平行四边形的边上，，延长到点，使得．
求证：．
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【答案】见解析．
【分析】
连接，，，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得，，又四边形也是平行四边形，所以，，从而得到，，然后得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边平行即可得证．
【详解】
证明：连接，，．
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，，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
，（平行四边形对边相等且平行），
平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，作出辅助线构造出平行四边形是解题的关键．
55．如图，平行四边形中，，垂足分别是E，F．
（1）求证：．
（2）连结，，若，求四边形的面积．
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【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到CD=AB，CD∥AB，可得∠DCE=∠BAF，利用AAS证明△CDE≌△ABF，可得结论；
（2）根据30°的直角三角形的性质得到DE，利用勾股定理求出AE，同理得到CF和BF，求出EF，从而计算四边形DEBF的面积．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴∠DCE=∠BAF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠BFA=90°，
∴△CDE≌△ABF（AAS），
∴CE=AF；
（2）∵AD=4，∠DAC=30°，∠DEA=90°，
∴DE=2，
∴AE==，
同理：CF=，BF=DE=2，
∵AC=7，
∴EF=AC-AE-CF=7-，
∴四边形DEBF的面积==．
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【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，知识点较多，难度中等，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质得到相等线段和角．
56．如图，正方形ABCD，E为平面内一点，且，把△BCE绕点B逆时针旋转得△BAG，直线AG和直线CE交于点F．
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（1）证明：四边形BEFG是正方形；
（2）若CE＝ CF，则＝ °．
【答案】（1）见解析；（2）135
【分析】
（1）根据， 绕点B逆时针旋转得，得到，，得到四边形BEFG为矩形，进而可证明矩形BEFG是正方形；
（2））作DH⊥AF于H，先证明△BAG≌△ADH，再根据绕点B逆时针旋转得和正方形的性质得到DH=AG=EC=，即可得到GH=AG=DH，即可得到∠DGH=45°，问题得解．
【详解】
解：（1）证明：， 绕点B逆时针旋转得，
∴，∠EBG=90°，∠BGA=90°，
∴∠BGF=90°，
∴，
∴四边形BEFG为矩形，
∵BE=BG，
∴矩形BEFG是正方形；
（2）作DH⊥AF于H，
∴∠AHD=∠BGA=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠BAD=90°，
∴∠BAG+∠GAD=∠ADH+∠GAD=90°，
∴∠BAG=∠ADH，
∴△BAG≌△ADH，
∴AG=DH，BG=AH，
∵绕点B逆时针旋转得，
∴CE=AG=DH，
∵CE=CF，
∴正方形BGFG中，EC=，
∴DH=AG=EC=，
∴GH=AG=DH，
∵∠DHG=90°，
∴∠DGH=45°，
∴∠AGD=135°．
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故答案为：135
【点睛】
本题考查了正方形的判定与性质，旋转的性质，熟知相关定理，并根据题意添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
57．如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若菱形ABCD的周长为20，则EF＝_______．
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【答案】
【分析】
由菱形的性质可求AB=5，再由三角形中位线定理即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵菱形ABCD的周长=4AB=20，
∴AB=5，
∵E，F分别是AD，BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF=AB=，
故答案为：
【点睛】
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，灵活应用三角形中位线性质是解决问题的关键．
58．如图，在平行四边形中，连接，且，过点 作于点，过点作于点 ，且直线与之间的距离为，在的延长线上取一点 满足，求 的长度．
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【答案】8．
【分析】
在平行四边形中，，可得，再根据，得到，即有，利用与之间的距离为，得到，根据，可求出，再根据求出答案．
【详解】
解：在平行四边形中，，
∵
之间的距离为
（外角）
又
中，
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【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形的判定与性质的运用，熟悉相关性质是解决问题的关键．
59．如图，中，于，于，与相交于点．
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（1）如图1，，求的度数；
（2）如图2，，和的平分线相交于点，求的度数；
（3）如图3，点为的中点，连接和，请判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）∠BFC =120°；（2）；（3）为等腰三角形，理由见解析．
【分析】
（1）利用同角的余角相等，证明∠CFD=∠A，再利用邻补角即可解决问题．
（2）求出∠FBC+∠FCB=60°，再根据角平分线的定义求出∠GBC+∠GCB=30°，由此即可解决问题．
（3）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PE=PD，从而可得为等腰三角形．
【详解】
解：（1）∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
∴∠AEC=∠BDC=90°，
∴∠A+∠ACE=90°，∠ACE+∠CFD=90°，
∴∠CFD=∠A=60°，
∴∠BFC=180°-∠DFC=180°-∠A=120°；
（2）由（1）得∠BFC=120°，
∴∠FBC+∠FCB=180°-∠BFC=60°，
∵∠FBC、∠FCB的平分线交于点G，
∴
∴；
（3）为等腰三角形，理由如下：
∵于，于，点为的中点，
∴，，
∴PE=PD，
∴为等腰三角形．
【点睛】
本题考查直角三角形两锐角互余，同 ( http: / / www.21cnjy.com )角的余角相等，等腰三角形的定义，直角三角形斜边上的中线，角平分线的有关证明和三角形内角和定理．熟练掌握这些定理，并能正确识图是解题关键．
60．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于．
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（1）求证：．
（2）已知，求点到线段的距离．
（3）在（2）的基础上，求线段的长度．
【答案】（1）见解析；（2）3；（3）
【分析】
（1）连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，由，等量代换得到，再根据等腰三角形三线合一的性质，即可得出；21教育网
（2）作于点，根据等腰三角形三线合一的性质得出，再利用勾股定理即可求出；
（3）先求出的长，然后在直角中利用勾股定理得出的长．
【详解】
解：（1）连接，
是边上的高线，
是直角三角形，
是边上的中线，
是的中点，
即是斜边上的中线，
，
，
，
，
；
（2）作于点，
，，
，
，，
，
，
，
点到线段的距离为3；
（3）在直角中，，，，
．
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【点睛】
此题考查了勾股定理，三角形中位线的性质和等腰三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
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第18章 平行四边形
【提升评测】
一、单选题
1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）21教育网
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A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥DC，AD＝BC
2．如图，正方形的边长为，的平分线交于点E，若点P，Q分别是和上的动点．则的最小值是（ ）21cnjy.com
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A． B．4 C． D．
3．顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形一定是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．正方形
4．在四边形中，给出下列条件：①；②；③；④．从以上选择两个条件使四边形为平行四边形的选法有（ ）2·1·c·n·j·y
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
5．如图：在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝10，BF＝3，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F．连接DF，求DF的长（ ）21·世纪*教育网
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A．10 B．9 C．8 D．7
6．如图，ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为（ ）2-1-c-n-j-y
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A．11 B．17 C．18 D．16
7．如图．正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，，H是AF的中点，CH＝3，那么CE的长是（ ）21*cnjy*com
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A．3 B．4 C． D．
8．如图，在边长为1的正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形网格中，平行四边形ABCD的顶点在格点上，平行四边形EFGH的顶点E、F在边CD上，且AD∥EH， AD＝EH，AG交CD于点O，则S阴影为（ ）
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A．7平方单位 B．8平方单位 C．14平方单位 D．无法确定
9．如图，在平行四边形中，，平分交于点，若，则的度数是（ ）
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A．10° B．15°
C．20° D．25°
10．如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=6，BC=9，点D为BC边上的中点，将ACD沿AD对折，使点C落在同一平面内的点处，连接，则的长为（ ）
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A． B． C． D．
11．如图，在矩形ABCD中，AB=7， ( http: / / www.21cnjy.com )AD=5，对角线BD上的一动点，以E为直角顶点，AE为直角边做等腰Rt△AEＦ，（E，F按逆时针方向排列），当点E从点D运动到点B时，点F的运动路径长是（ ）
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A．12 B． C．18 D．
12．如图，△ABC中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )B＝90°，过点C作AB的平行线，与∠BAC的平分线交于点D，若AB＝6，BC＝8．E，F分别是BC，AD的中点，则EF的长为 （ ）
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A．1 B．1.5 C．2 D．4
13．如图，ABC中，AB＞AC，AE平分∠BAC，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，F为BC的中点，给出结论：①FD∥AC；②FE＝FD；③AB﹣AC＝DE；④∠BAC+∠DFE＝180°．其中正确的是（ ）
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A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
14．如图，某花木场有一块四边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD的空地，其各边的中点为E、F、G、H，测得对角线AC＝11米，BD＝9米，现想用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆总长度是（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．20米 B．11米 C．10米 D．9米
15．如图，四边形中，分别为线段上的动点（含端点，但点不与点重合），分别为的中点，则长度的最大值为（ ）
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A． B． C． D．
16．如图，在正方形中，点、分别在、上（不与端点重合），连接、相交于点，BF＝CE，则下列结论不正确的是（ ）
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A． B．
C． D．
17．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．平行四边形对角线互相平分
18．如图，四边形中，，，，点M，N分别为线段，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为、的中点，则长度的最大值为（ ）．
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A．3 B． C．4 D．2
19．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB ( http: / / www.21cnjy.com )＝120°，AB＝4，AD＝2，点O为对称中心，点M从点A出发沿AB向点B运动，到点B停止运动，连接MO并延长交CD于点N，则四边形AMCN形状的变化依次为（ ）
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A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形→平行四边形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形→平行四边形
20．如图，分别以RtABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形ACD和ABE，F为AB的中点，连接DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，其中错误的是（ ）21世纪教育网版权所有
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A．AC⊥DF B．四边形BCDF为平行四边形
C．DA+DF＝BE D．÷S四边形BCDE＝
21．如图，等边的边长为，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当（ ）时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
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A．1或2 B．2或3 C．2或4 D．2或6
22．如图，在中，P是对角线上一点，过点P作，与和分别交于点E和点F，连结．已知，则阴影部分的面积和是（ ）
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A． B． C．5 D．10
23．如图，中，对角线相交于点交于点，连接，若的周长为28，则的周长为（ ）
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A．28 B．24 C．21 D．14
24．如图，直线m经过点B且平行于AC，点P为直线m上的一动点，连接PC，PA，随着点P在直线m上移动，则下列说法中一定正确的是（ ）
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A．与全等 B．与的周长相等
C．与的面积相等 D．四边形ACBP是平行四边形
25．如图，在 ABCD中，BE垂直平分CD于点E，且∠BAD＝45°，AD＝3，则 ABCD的对角线AC的长为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A． B．5 C．5 D．2
26．在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片可以进行如下操作：①把翻折，点B落在C边上的点E处，折痕为，点F在边上；②把翻折，点D落在边上的点G处，折痕为，点H在边上，若，则（ ）21教育名师原创作品
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A． B． C． D．
27．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若，，则菱形ABCD的周长为（ ）
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A． B．16 C． D．32
28．如图，将一张矩形纸片AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′地位置，ED′的延长线与BC相交于点G，若∠EFG=68°，则∠1的度数是（ ）
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A．112° B．136° C．144° D．158°
29．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，连接CE，则CE的长为（ ）
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A．5 B． C．3 D．
30．如图，在四边形ABCD中，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
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A．AB∥DC， AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AD∥BC，AB＝DC D．AB∥DC，AB＝DC
31．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝ ( http: / / www.21cnjy.com )90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B的大小是（ ）
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A．32° B．64° C．77° D．87°
32．如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则是（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
33．如图．已知正方形的边长为．，将正方形的边沿折叠到，延长交于，连接．现有如下个结论；①；②；③的周长是．其中正确的个数为（ ）21·cn·jy·com
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A． B． C． D．
34．如图是一张矩形纸片，，若将纸片沿折叠，使落在上，点C的对应点为点F，若，则（ ）
A． B． C． D．
35．如图，矩形中，，点在边上，且．动点从点出发，沿运动到点停止．过点作交射线于点，联结．设是线段的中点，则在点运动的整个过程中，线段长的最小值是（ ）
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A． B． C． D．
36．如图，在□ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中：①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＜2S△CEF；④∠DFE＝4∠AEF．一定成立的有（ ）个．
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A．1 B．2 C．3 D．4
37．如图，菱形ABCD和菱 ( http: / / www.21cnjy.com )形EFGH，∠A＝∠E，它们的面积分别为9 cm 2和64 cm 2，CD落在EF上，若△BCF的面积为4cm2，则△BDH的面积是（ ）
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A．8 cm 2 B．8.5 cm 2 C．9 cm 2 D．9.5 cm 2
38．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连接GH，则线段GH的长为（ ）
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A．5 B．2 C．2 D．4
39．如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝5，CD＝3，则EF的长为（ ）
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A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
40．如图，在正方形中，是对角线上一点，且满足．连接并延长交于点，连接，过点作于点，延长交于点．在下列结论中：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个
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A．1 B．2 C．3 D．4
第II卷（非选择题）
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二、填空题
41．如图，矩形中，于点E，于点F，连结，．若，四边形的面积为，则的边长为________．www.21-cn-jy.com
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42．如图，已知，，，，，，则的面积为________．
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43．如图，在平行四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，AB＝5，AD＝7，AE⊥BC于点E，AE＝4，则AC的长为_____；平行四边形ABCD的面积为_____．21*cnjy*com
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44．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．则OE+OF＝___．
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45．如图，在中，，点为斜边上的一点，连接，将沿翻折，使点落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，点恰好与点重合．若，则_______，________【出处：21教育名师】
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三、解答题
46．如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连结．
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（1）求证：．
（2）当时，求证：四边形是矩形．
47．如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．
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（1）求证：≌；
（2）若，求的度数．
48．已知：如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别相交于点E、F．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）当EF与AC满足什么关系时，以A、E、C、F为顶点的四边形是菱形？并给出证明．
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49．如图，在中，是边上一点，于点E，点F是线段上一点，连结．
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（1）若点F是线段的中点，试猜想线段与的大小关系，并加以证明．
（2）在（1）的条件下，若，求两点间的距离．
50．如图，、分别为的边、的中点，延长到，使得连、、
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（1）求证：四边形是平行四边形
（2）与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由
51．如图1，在 ABCD中，∠D＝45°，E为BC上一点，连接AC，AE．
（1）若 ABCD中BC边上的高为2，求AB的长．
（2）若AB＝2，AE＝4，求BE的长．
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52．如图，矩形纸片ABCD中，A ( http: / / www.21cnjy.com )B＝CD＝4，AD＝BC＝8，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，使点G与点D重合．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：AE＝AF；
（2）求GF的长．
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53．如图，在 ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F， ABCD周长为20，DE＝4，DF＝6，求 ABCD的面积．
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54．已知：如图，点、在平行四边形的边上，，延长到点，使得．
求证：．
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55．如图，平行四边形中，，垂足分别是E，F．
（1）求证：．
（2）连结，，若，求四边形的面积．
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56．如图，正方形ABCD，E为平面内一点，且，把△BCE绕点B逆时针旋转得△BAG，直线AG和直线CE交于点F．【版权所有：21教育】
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（1）证明：四边形BEFG是正方形；
（2）若CE＝ CF，则＝ °．
57．如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若菱形ABCD的周长为20，则EF＝_______．
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58．如图，在平行四边形中，连接，且，过点 作于点，过点作于点 ，且直线与之间的距离为，在的延长线上取一点 满足，求 的长度．
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59．如图，中，于，于，与相交于点．
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（1）如图1，，求的度数；
（2）如图2，，和的平分线相交于点，求的度数；
（3）如图3，点为的中点，连接和，请判断的形状，并说明理由．
60．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于．
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（1）求证：．
（2）已知，求点到线段的距离．
（3）在（2）的基础上，求线段的长度．
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