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第18章 平行四边形
【基础评测】
一、单选题
1．以下条件能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边平行，一组对角相等
C．一组对边相等，一组对角相等 D．一组对边平行，一组邻角互补
2．菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．四边相等 C．对角线互相平分 D．邻边互相垂直
3．下列说法错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线相等
C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D．对角线互相垂直的四边形是菱形
4．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＋∠D＝100°，则∠A等于（ ）
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A．50° B．130° C．100° D．65°
5．下列命题中，真命题是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
C．直角三角形中，角所对直角边都等于斜边的一半
D．对角线相等的平行四边形是正方形
6．下列说法正确的是（ ）
A．矩形的对角线互相垂直且平分
B．矩形的邻边一定相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．有三个角为直角的四边形为矩形
7．如图，在中，，，，D、E分别是、的中点，则的长为（ ）
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A．3 B．2.5 C．4 D．3．5
8．下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
A．对角互补 B．邻角互补 C．对角相等 D．内角和是360°
9．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．邻边相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．邻角互补
10．已知平行四边形的一边长为5，则对角线，的长可取下列数据中的（ ）
A．2和4 B．3和4 C．4和5 D．5和6
11．如图，在平行四边形中，平分，则平行四边形的周长是（ ）
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A． B． C． D．
12．矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．是轴对称图形 C．对角线相等 D．对角线互相垂直
13．下列关于平行四边形的特征的描述中，正确的个数有（ ）
（1）对边相等；（2）对角相等；（3）对角线相等；（4）邻边相等；（5）邻角互补．
A．2个 B．5个 C．3个 D．4个
14．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
15．如图，已知在中，，则（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．18° B．36° C．45° D．72°
16．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线相等 C．两组对角分别相等 D．对角线互相垂直
17．如图，在正方体的两个面上画了两条对角线、，则等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．135° B．90° C．75° D．60°
18．下面说法正确的有（ ）
①等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之 ( http: / / www.21cnjy.com )和等于一腰上的高；②如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；③等腰三角形的两个内角相等；④到三角形三边距离相等的点是三边垂直平分线的交点；⑤等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半．21教育网
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
19．如图，已知平行四边形中，，则（ ）
A．18° B．36° C．72° D．144°
20．如图，在中，若，则的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
21．如图，在中，的平分线交于点E，若，则的周长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．7.5 B．9 C．15 D．30
22．如图，已知，长方形的顶点，在两边上运动，若，，则线段的最大值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．4 D．
23．如图，四边形是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且．若a与b之间的高是3，b与c之间的距离是5，则正方形的面积是（ ）www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．16 B．30 C．34 D．64
24．下列命题中，是真命题的为（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．一组邻边相等的矩形是正方形
D．对角线相等且互相垂直的四边形是矩形
25．如图，四边形是平行四边形，将延长至点，若，则等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．110° B．35° C．80° D．55°
26．如图，平行四边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若平行四边形ABCD的周长为18，则△ABE的周长为（ ）2·1·c·n·j·y
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A．8 B．9 C．10 D．18
27．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分
28．如图，中，，，点为斜边上的中点，交于点，则的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
29．如图，在中，平分交于点为的中点，连结，则的周长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．23 B．25 C． D．22
30．已知平面直角坐标系中有 ( http: / / www.21cnjy.com )O、A、B、C 四个点，其中点O （0，0）， A（3，0）， B（1，1），若四边形OABC是平行四边形，则点C 的坐标为 （ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．（4，－1） B．（4，1） C．（2，－1） D．（－2，1）
31．平行四边形一边长是10cm，那么它的两条对角线的长度可以是（ ）
A．8cm和6cm B．8cm和8cm C．8cm和12cm D．8cm和16cm
32．在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠A的度数为（ ）
A．130° B．100° C．80° D．70°
33．如图，平行四边形ABCD的周长为36cm，ABC的周长为28cm，则对角线AC的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．28cm B．18cm C．10cm D．8cm
34．如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．30° B．75° C．100° D．150°
35．如图，在ABC中，AB＝10，BC＝16，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段EF的长为（ ）21·世纪*教育网
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A．2 B．3 C．4 D．5
36．中，的度数比可能是（ ）
A． B． C． D．
37．下列各组条件中，不能判断一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形 B．两组对角分别相等的四边形
C．一组对边平行另一组对边相等的四边形 D．两条对角线互相平分的四边形
38．平行四边形中，对角线和相交于点，若，，，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
39．如图，平行四边形OABC的顶点A，B坐标分别为（﹣6，0），（﹣8，2），则点C的坐标是（ ）
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A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（2，2） D．（﹣2，2）
40．如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为，，则（ ）
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A． B．3 C．2 D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
41．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且，则AB的长为__．21cnjy.com
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42．如图，在中，若，则的度数是________．
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43．在一个直角三角形中，两边长分别为3，5，则斜边上的中线长为______．
44．一副三角板拼成如图所示，是的中点，则________．
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45．如图，在正方形中，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为__________．www-2-1-cnjy-com
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三、解答题
46．如图，在平行四边形中，点在的延长线上，点在的延长线上，连接，分别与，交于点，，．求证：．21*cnjy*com
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47．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，连接CE、AF，∠DCE=∠BAF．试判断四边形AECF的形状并加以证明．2-1-c-n-j-y
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48．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．
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49．如图，平行四边形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，E、F分别是对角线BD上的两点，且BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF．四边形AECF是什么样的四边形，说明你的道理．【来源：21cnj*y.co*m】
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50．如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．
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51．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点上．若，，求BF的长．
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52．如图，的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为OC，OA的中点．求证：BE＝DF．
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53．已知，如图，在Rt ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，且EF∥DC，（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）若EF＝2cm，求AB的长．
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54．如图，E，F为 ABCD对角线BD上的两点，若再添加一个条件，就可证出AE∥CF．请完成以下问题：
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（1）你添加的条件是 ．
（2）请根据题目中的条件和你添加的条件证明AE∥CF．
55．如图，已知AB//CD，BE丄AD，垂足为点E，CF丄AD，垂足为点F，并且AF=DE．
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求证：四边形是平行四边形．
56．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交BC、AD于点E、F，G、H分别是OB、OD的中点．求证：21世纪教育网版权所有
（1）OE＝OF；
（2）四边形GEHF是平行四边形．
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57．在平行四边形中，为的中点，连接并延长交的延长线于.
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求证：.
58．如图，四边形是平行四边形， ，垂足分别为，且．
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（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接并延长，交的延长线于点，若，求的长．
59．如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC交CD延长线于点E，作CF⊥BE于F．
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（1）求证：BF=EF；
（2）若AB=6，DE=3，求□ABCD的周长．
60．如图，平行四边形的对角线，相交于，过点的直线分别交，于，，连结，．求证：四边形是平行四边形．21·cn·jy·com
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第18章 平行四边形
【基础评测】
一、单选题
1．以下条件能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边平行，一组对角相等
C．一组对边相等，一组对角相等 D．一组对边平行，一组邻角互补
【答案】B
【分析】
根据平行四边形的判定方法依次分析各项即可判断．
【详解】
A.一组对边平行，另一组对边相等，可能是梯形，故不符合题意；
B. 一组对边平行，一组对角相等，可以判定是平行四边形，故满足题意；
C.一组对边相等，一组对角相等，不一定是平行四边形，故不符合题意；
D.一组对边平行，一组邻角互补，也不能判定，故不符合题意；
故答案选：B．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定与性质，是平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，掌握判定定理是关键 ．www-2-1-cnjy-com
2．菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．四边相等 C．对角线互相平分 D．邻边互相垂直
【答案】B
【分析】
根据菱形和矩形的性质进行逐一判定即可
【详解】
解：菱形具有而矩形不具有的性质是：四边相等
故选：B
【点睛】
本题考查了菱形和矩形的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键
3．下列说法错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线相等
C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【答案】D
【分析】
根据菱形的判定、矩形和平行四边形和直角三角形斜边上的中线性质进行判定即可．
【详解】
A、平行四边形的对角线互相平分，说法正确，不符合题意；
B、矩形的对角线相等，说法正确，不符合题意；
C、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，说法正确，不符合题意；
D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形，矩形和菱形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质定理是解题的关键．
4．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＋∠D＝100°，则∠A等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．50° B．130° C．100° D．65°
【答案】B
【分析】
根据平行四边形的对角相等可得∠B=∠D，然后求出∠B，再根据平行四边形的邻角互补列式计算即可求出∠A．【版权所有：21教育】
【详解】
解：在平行四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，∠B=∠D，AD∥BC，
∵∠B+∠D=100°，
∴∠B=50°，
∴∠A=180°-∠B=180°-50°=130°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是利用平行四边形的对角相等，邻角互补的性质．
5．下列命题中，真命题是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
C．直角三角形中，角所对直角边都等于斜边的一半
D．对角线相等的平行四边形是正方形
【答案】C
【分析】
利用平行四边形及特殊的平行四边形的判定定理逐一判定后即可得到正确的选项.
【详解】
A、因为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以该选项是假命题；
B、因为对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以该选项是假命题；
C、直角三角形中， 30° 角所对直角边都等于斜边的一半，是.真命题；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，所以该选项是假命题；
故选：C.
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法，难度不大.
6．下列说法正确的是（ ）
A．矩形的对角线互相垂直且平分
B．矩形的邻边一定相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．有三个角为直角的四边形为矩形
【答案】D
【分析】
根据矩形的性质可知：A、B两个选项错误 ( http: / / www.21cnjy.com )；根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形这个判定知，C选项错误；三个角为直角，则第四个也为直角，根据有四个角是直角的四边形是矩形判定得，故D选项正确．
【详解】
A：矩形的对角线的性质是：矩形的对角线互相平分且相等，故此说法错误；
B：矩形的邻边不一定相等，但对边一定相等，故此说法错误；
C：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，由此判定知，此说法错误；
D：当有三个角是直角时，根据四边形内角和定理，第四个角也是直角，从而判定是矩形，此说法正确．
故选：D
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质，必须准确而熟练地掌握矩形的判定和性质．
7．如图，在中，，，，D、E分别是、的中点，则的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3 B．2.5 C．4 D．3．5
【答案】B
【分析】
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等于的一半．
【详解】
解：点、分别是边、的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查三角形的中位线定理，三角形共有三条中位线，每一条中位线与第三边都有相应的位置关系和数量关系，弄清哪条边昰第三边是解本题的关键．
8．下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
A．对角互补 B．邻角互补 C．对角相等 D．内角和是360°
【答案】A
【分析】
利用平行四边形的性质逐个判断，即可得出结论．
【详解】
解：四边形ABCD是平行四边形，
∴对角相等，不一定互补，故A符合题意，C不符合题意．
AB∥CD，AD∥BC，
∴邻角互补，故B不符合题意．
任意四边形的内角和为360°，故D不符合题意．
故选：A．
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【点睛】
本题主要考查了平行四边形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质．性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
9．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．邻边相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．邻角互补
【答案】A
【分析】
根据菱形的性质及矩形的性质，结合各选项进行判断即可得出答案．
【详解】
解：A、邻边相等，菱形具有而矩形不具有，故本选项正确；
B、对角线互相平分，菱形具有而矩形也具有，故本选项错误；
C、对角线相等，菱形不具有矩形具有，故本选项错误；
D、邻角互补，菱形具有而矩形也具有，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、菱形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质、菱形的性质．
10．已知平行四边形的一边长为5，则对角线，的长可取下列数据中的（ ）
A．2和4 B．3和4 C．4和5 D．5和6
【答案】D
【分析】
由三角形三边关系可得三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
【详解】
解：由于两条对角线的一半与平行四边形的一边组成一个三角形，
所以（AC-BD）＜5＜（AC+BD），
由题中数据可得，AC和BD的长可取5和6，
故选D．
【点睛】
本题考查了平行四边形对角线互相平分及三角形三边关系问题，能够熟练求解此类问题．
11．如图，在平行四边形中，平分，则平行四边形的周长是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据角平分线的定义以及两直线 ( http: / / www.21cnjy.com )平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出 ABCD的周长．
【详解】
解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD=6，AB=CD，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵AD=6，BE=2，
∴CE=BC-BE=6-2=4，
∴CD=AB=4，
∴ ABCD的周长=6+6+4+4=20．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明CE=CD是解题的关键．www.21-cn-jy.com
12．矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．是轴对称图形 C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【答案】D
【分析】
根据矩形的性质即可判断．
【详解】
解：∵矩形的对角线线段，四个角是直角，对角线互相平分，
∴选项A、B、C正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查矩形的性质，解题的关键是记住矩形的性质．
13．下列关于平行四边形的特征的描述中，正确的个数有（ ）
（1）对边相等；（2）对角相等；（3）对角线相等；（4）邻边相等；（5）邻角互补．
A．2个 B．5个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行，即可判断各选项的正误．
【详解】
解：∵平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行，对边相等，邻角互补
可知（1）（2）（5）正确，
故选：C．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行，即平行四边形的邻角互补．
14．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【答案】D
【分析】
利用菱形的性质和平行四边形的性质进行判断可求解．
【详解】
解：∵菱形具有的性质有：四边相等，两组对边 ( http: / / www.21cnjy.com )平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
平行四边形的性质有：两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，
∴菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是四边相等，对角线互相垂直，
故选：D．21世纪教育网版权所有
【点睛】
本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
15．如图，已知在中，，则（ ）
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A．18° B．36° C．45° D．72°
【答案】B
【分析】
在□ABCD中，可得∠A+∠B=180°，又由∠B=4∠A，即可求得∠A的度数，继而求得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A＝∠C，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝4∠A，
∴∠C＝∠A＝×180°＝36°．
故选：B．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对角相等，邻角互补．
16．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线相等 C．两组对角分别相等 D．对角线互相垂直
【答案】B
【分析】
分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．
【详解】
解：矩形的对角线相等且平分，菱形的对角线垂直且平分，
所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等，
故选：B．21cnjy.com
【点睛】
本题主要考查矩形和菱形的性质，掌握矩形的对角线相等且平分、菱形的对角线垂直且平分是解题的关键．
17．如图，在正方体的两个面上画了两条对角线、，则等于（ ）
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A．135° B．90° C．75° D．60°
【答案】D
【分析】
根据正方体的概念和特性可知AB，AC和左面上的对角线形成一个等边三角形，进而即可求解
【详解】
连接BC，
∵AC、AB、BC是正方形的对角线，
∴AC=AB=BC，
∴△ABC为等边三角形．
∴∠BAC=60°．
故选D．
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【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质、正方形与正方形的性质；证明△ABC为等边三角形是解题的关键．
18．下面说法正确的有（ ）
①等腰三角形底边上的任意一点到 ( http: / / www.21cnjy.com )两腰的距离之和等于一腰上的高；②如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；③等腰三角形的两个内角相等；④到三角形三边距离相等的点是三边垂直平分线的交点；⑤等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半．21教育名师原创作品
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】
根据等腰三角形的性质、三角形的内心和外心、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可．
【详解】
解：①等腰三角形底边上的任意一点到两腰的 ( http: / / www.21cnjy.com )距离之和等于一腰上的高，正确；
②如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，正确；
③等腰三角形的两个内角相等，正确；
④在三角形中，到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的交点，故此选项不正确；
⑤等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半，正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质、三角形的内心和外心、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，对各个命题进行正确判断．
19．如图，已知平行四边形中，，则（ ）
A．18° B．36° C．72° D．144°
【答案】B
【分析】
利用平行四边形的性质解决问题即可
【详解】
解：在平行四边形ABCD中，
∵BC∥AD，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠B=4∠A，
∴∠A=36°，
∴∠C=∠A=36°，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．如图，在中，若，则的度数是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案．
【详解】
解：∵平行四边形ABCD，
∴AD//BC，∠A=∠C，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠C=110°，
∴∠A=∠C=55°，
∴∠B=125°．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
21．如图，在中，的平分线交于点E，若，则的周长是（ ）
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A．7.5 B．9 C．15 D．30
【答案】C
【分析】
根据平行四边形的性质得到相应结论，再利用等角对等边得到AB=AE，利用AE和DE的关系及长度求出结果．21·cn·jy·com
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，，
∵的平分线交AD于点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
则平行四边形ABCD的周长为：，
故选C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，解题的关键是利用相应性质将角和边的关系进行转化．
22．如图，已知，长方形的顶点，在两边上运动，若，，则线段的最大值为（ ）
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A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】
取AB中点E，连接OE，DE，根据直角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的性质和勾股定理求出OE和DE，再根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大，据此求解．
【详解】
解：如图，取AB中点E，连接OE，DE，OD，
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∵∠MON=90°，A、B分别在射线OM和ON上，
∴∠AOB=90°，
∵AB=4，AE=BE，
∴OE=AB=2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∵AE=AB=2，BC=AD=2，
∴DE=，
∴OE+DE≥OD，
∴当且仅当O、E、D三点共线时，
OE+DE=OD，此时OD取最大值，最大值为，
∴点D到点O的最大距离为，
故选A．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 ( http: / / www.21cnjy.com )半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大是解题的关键．
23．如图，四边形是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且．若a与b之间的高是3，b与c之间的距离是5，则正方形的面积是（ ）
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A．16 B．30 C．34 D．64
【答案】C
【分析】
先作辅助线直线于点，直线于点，然后根据题目中的条件，可以证明和全等，即可得到，然后根据勾股定理，即可得到的长，从而可以得到正方形的面积．
【详解】
解：作直线于点，作直线于点，
四边形是正方形，
，，
，
直线，直线，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，，
，
，
正方形的面积是：，
故选：C．
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【点睛】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，平行线之间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．下列命题中，是真命题的为（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．一组邻边相等的矩形是正方形
D．对角线相等且互相垂直的四边形是矩形
【答案】C
【分析】
根据平行四边形、菱形、正方形、矩形的判定逐一判断即可
【详解】
解：A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，原选项是假命题；
B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原选项是假命题；
C. 一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题；
D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形，原选项是假命题；
故选：C
【点睛】
本题考查了平行四边形、菱形、正方形、矩形的判定，熟练掌握相关四边形的判定方法是解题的关键
25．如图，四边形是平行四边形，将延长至点，若，则等于（ ）
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A．110° B．35° C．80° D．55°
【答案】C
【分析】
根据平行四边形的对角相等求出∠BCD的度数，再根据平角等于180°列式计算即可得解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝100°，
∴∠1＝180°﹣∠BCD＝180°﹣100°＝80°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的对角相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．
26．如图，平行四边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若平行四边形ABCD的周长为18，则△ABE的周长为（ ）
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A．8 B．9 C．10 D．18
【答案】B
【分析】
由平行四边形性质可得AB+AD=9cm，OB=OD，又由OE⊥BD，可得BE=DE，继而可求得△ABE的周长为AB+AD．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
( http: / / www.21cnjy.com )∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形ABCD的周长是18cm，
∴AB+AD=9cm，
∵OE⊥BD，OB=OD,
∴BE是BD的垂直平分线，
∴BE=DE，
∴△ABE的周长为：AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD=9cm．
故选：B．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质．此题比较简单，得出BE=DE是解题的关键．
27．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分
【答案】C
【分析】
根据矩形和菱形的性质逐个判断即可．
【详解】
解：矩形的性质有：①矩形的对边平行且相等，
②矩形的四个角都是直角，
③矩形的对角线互相平分且相等，
菱形的性质有：①菱形的对边平行，菱形的四条边都相等，
②菱形的对角相等，
③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角，
所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形和菱形的性质，能熟记矩形的性质和菱形的性质的内容是解此题的关键．
28．如图，中，，，点为斜边上的中点，交于点，则的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据直角三角形的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠A=25°，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，点D为斜边AB上的中点，
∴DA=DC，
∴∠ACD=∠A=25°，
∵DE⊥CD，
∴∠EDC=90°，
∴∠AED=∠ACD+∠EDC=115°，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、三角形的外角性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
29．如图，在中，平分交于点为的中点，连结，则的周长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．23 B．25 C． D．22
【答案】B
【分析】
根据等腰三角形的性质求出AE⊥BC，BE=EC=5，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE和AD，根据勾股定理求出AE，即可求出答案．
【详解】
解：∵AB=AC，AE平分∠BAC交BC于点E，
∴BE=CE=5，AE⊥BC．
∴在直角△ABE中，由勾股定理知，AE==12，
又∵D为AB的中点，
∴DE=AD=AB=，
∴△ADE的周长=++12=25，
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线性质，勾股定理的应用，解此题的关键是求出△ADE的三边长．
30．已知平面直角坐标系中有 ( http: / / www.21cnjy.com )O、A、B、C 四个点，其中点O （0，0）， A（3，0）， B（1，1），若四边形OABC是平行四边形，则点C 的坐标为 （ ）
A．（4，－1） B．（4，1） C．（2，－1） D．（－2，1）
【答案】D
【分析】
根据题意作图，根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】
如图，∵四边形OABC是平行四边形，点O （0，0）， A（3，0）， B（1，1），
∴BC=AO=3，
故点C 的坐标为B（1-3，1），即（－2，1）
故选D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
此题主要考查坐标与图形，解题的关键是熟知平行四边形的性质．
31．平行四边形一边长是10cm，那么它的两条对角线的长度可以是（ ）
A．8cm和6cm B．8cm和8cm C．8cm和12cm D．8cm和16cm
【答案】D
【分析】
根据平行四边形的对角线互相平分，所选 ( http: / / www.21cnjy.com )择作为对角线长度的一半与已知边长需要构成三角形的边长，必须满足三角形的两边之和大于第三边，由此逐一排除即可．
【详解】
解：A、取对角线的一半与已知边长，得4，3，10，不能构成三角形，舍去；
B、取对角线的一半与已知边长，得4，4，10，不能构成三角形，舍去；
C、取对角线的一半与已知边长，得4，6，10，不能构成三角形，舍去；
D、取对角线的一半与已知边长，得4，8，10，能构成三角形．
故选：D．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、三角形三边的关系，解题的关键是熟知相关知识点．
32．在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠A的度数为（ ）
A．130° B．100° C．80° D．70°
【答案】B
【分析】
根据平行四边形的对角相等，可得∠A＝∠C，又由∠A+∠C＝200°，可得∠A的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
又∵∠A+∠C＝200°，
∴∠A＝100°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对角相等、邻角互补的知识．
33．如图，平行四边形ABCD的周长为36cm，ABC的周长为28cm，则对角线AC的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．28cm B．18cm C．10cm D．8cm
【答案】C
【分析】
平行四边形的周长为相邻两边之和的2倍，即2 ( http: / / www.21cnjy.com )（AB+BC）＝36，则AB+BC＝18cm，而△ABC的周长＝AB+BC+AC＝28，继而即可求出AC的长．21*cnjy*com
【详解】
解：∵ ABCD的周长是36cm，
∴AB+AD＝18m，
∵△ABC的周长是28cm，
∴AB+BC+AC＝28cm，
∴AC＝（AB+BC+AC）﹣（AB+AC）＝28﹣18＝10（cm）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，根据题意列出三角形周长的关系式，结合平行四边形周长的性质求解是本题的关键．
34．如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ）
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A．30° B．75° C．100° D．150°
【答案】A
【分析】
根据平行四边形的性质解决问题即可．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∴∠A＋∠B＝180°，
∵∠A＝150°，
∴∠B＝30°，
故选A．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
35．如图，在ABC中，AB＝10，BC＝16，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段EF的长为（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
根据直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到DF=5，由三角形中位线的性质得到DE=8，最后由线段的和差解题即可．21·世纪*教育网
【详解】
解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，
∴DF= AB=5，
∵BC= 16，D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE=BC=8，
∴EF=DE-DF=3，
故选：B．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键．
36．中，的度数比可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据平行四边形的两组对角分别相等判定即可求解．
【详解】
解：在中， ；
则；
故选：B
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的两组对角分别相等是解题的关键．
37．下列各组条件中，不能判断一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形 B．两组对角分别相等的四边形
C．一组对边平行另一组对边相等的四边形 D．两条对角线互相平分的四边形
【答案】C
【分析】
根据平行四边形的判定方法逐一分析解题．
【详解】
解：A、B、D均可为判定四边形为平行四边形，故A、B、D不符合题意；
C．一组对边平行另一组对边相等的四边形，不能判断它是平行四边形，如下图，是等腰梯形，故C符合题意，
故选：C．
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【点睛】
本题考查平行四边形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
38．平行四边形中，对角线和相交于点，若，，，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据平行四边形的性质求出OA、OB，根据三角形的三边关系定理得到AB﹣OA＜OB＜AB+OA，代入求出即可．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝4，AB＝6，
∴OA＝OC＝2，OD＝OB＝，
在△OAB中， AB﹣OA＜＜AB+OA，
∴6﹣2＜＜6+2，
∴8＜m＜16．
故选D．
【点睛】
本题考查对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，求出OA、OB后得出AB-OA＜OB＜AB+OA是解此题的关键．
39．如图，平行四边形OABC的顶点A，B坐标分别为（﹣6，0），（﹣8，2），则点C的坐标是（ ）
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A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（2，2） D．（﹣2，2）
【答案】D
【分析】
根据平行四边形的对边平行且相等可得BC∥OA，BC＝OA＝6，再根据点B坐标即可推出点C坐标．
【详解】
解：∵A（﹣6，0），
∴OA＝6，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC＝OA＝6，
∵B（﹣8，2），
∴C（﹣2，2），
故选：D．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质以及坐标之间的关系．
40．如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为，，则（ ）
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A． B．3 C．2 D．
【答案】B
【分析】
根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．
【详解】
解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE=1，
又∵直角△BDE中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2，
∴BC=CD+BD=1+2=3．
故选：B．
【点睛】
本题考查了角的平分线的性质以及直角三角形的性质，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，理解性质定理是关键．
二、填空题
41．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且，则AB的长为__．
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【答案】2
【分析】
利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出AE=DE=AB即可得出答案．
【详解】
平分交边于点，
，
在平行四边形中，，
，
，
，
，
，
故答案为：2．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质，得出∠DEC=∠DCE是解题关键．
42．如图，在中，若，则的度数是________．
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【答案】55°
【分析】
根据平行四边形对角相等可得∠B=∠D，再由∠B+∠D=110°可得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠B+∠D=110°，
∴∠B=55°．
故答案为：55°．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对角相等．
43．在一个直角三角形中，两边长分别为3，5，则斜边上的中线长为______．
【答案】或
【分析】
根据题意得出两种情况，求出斜边，即可得出答案．
【详解】
解：分为两种情况：当3和5都是直角边时，斜边为=，
则该直角三角形斜边上的中线长为×=；
当3为直角边，5为斜边时，
则此时该直角三角形斜边上的中线长是；
综上所述，斜边上的中线是或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的应用，能求出符合条件的所以情况是解此题的关键．
44．一副三角板拼成如图所示，是的中点，则________．
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【答案】15°
【分析】
根据直角三角形斜边中线的性质得到AE=BE=CE=BE=BD，再根据等边对等角以及外角的性质得到∠AED和∠CED，从而得到∠AEC，再利用等边对等角求出∠EAC．
【详解】
解：由题意可得：∠BAD=∠BCD=90°，∠ABD=30°，∠CBD=45°，
∵E是BD中点，
∴AE=BE=BD，CE=BE=BD，
∴AE=CE，
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠ABD=30°，
∴∠AED=∠EAB+∠ABD=60°，
∵EB=EC，
∴∠ECB=∠EBC=45°，
∴∠CED=∠ECB+∠EBC=90°，
∴∠AEC=∠CED+∠AED=150°，
∵AE=CE，
∴∠EAC==15°，
故答案为：15°．
【点睛】
本题考查了等边对等角，直角三角形斜边中线的性质，外角的性质，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握相应性质，灵活转化角和边之间的关系．【来源：21cnj*y.co*m】
45．如图，在正方形中，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为__________．
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【答案】4或14
【分析】
分两种情况进行讨论，根据运动规律得出BP＝3-0.5t＝1和CP＝0.5t-6＝1即可求得．
【详解】
如图，当≌时，BP1＝CE=1
即3-0.5t＝1，解得t=4,
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如图，当≌时，CP2＝CE=1
即0.5t-6＝1，解得t=14,
故答案为：4或14．
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【点睛】
本题考查了全等三角形的判定、正方形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型．
三、解答题
46．如图，在平行四边形中，点在的延长线上，点在的延长线上，连接，分别与，交于点，，．求证：．
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【答案】见解析
【分析】
根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠CDA，
∴∠EBG＝∠FDH，∠E＝∠F，
在△BEG与△DFH中，
，
∴△BEG≌△DFH，
∴．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
47．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，连接CE、AF，∠DCE=∠BAF．试判断四边形AECF的形状并加以证明．
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【答案】四边形AECF是平行四边形，证明见解析．
【分析】
根据矩形的性质得出，可得出∠DFA=∠BAF，进而得出∠DCE=∠DFA，证得，再根据平行四边形的判定得出即可．
【详解】
解：四边形AECF是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴∠DFA=∠BAF，
又∵∠DCE=∠BAF，
∴∠DCE=∠DFA
∴，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，平行线的判定以及平行四边形的判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
48．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由BF＝DE，可得BE＝DF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB＝∠CFD＝90°，又由AB＝CD，在直角三角形中利用HL即可证得：△ABE≌△CDF；
（2）由，即可得∠ABE＝∠CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得，又由AB＝CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形ABCD是平行四边形，则可得AO＝CO．
【详解】
证明：（1）∵BF=DE，
∴，
即BE=DF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在Rt△ABE与Rt△CDF中，
,
∴（HL）；
（2）如图，连接AC交BD于O，
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∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
49．如图，平行四边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，E、F分别是对角线BD上的两点，且BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF．四边形AECF是什么样的四边形，说明你的道理．
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【答案】四边形AECF是平行四边形，证明见解析.
【分析】
由四边形ABCD是平行四边形，得到AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，再证明，可得 同理可证： 从而可得结论.
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵BE＝DF，
∴，
∴AE＝CF，
同理：CE＝AF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.
50．如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．
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【答案】详见解析
【分析】
由∠C+∠D=180°证出AD∥BC，再由AB∥CD，即可得出结论．
【详解】
证明：∵
∴
又∵
∴四边形是平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
51．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点上．若，，求BF的长．
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【答案】4．
【分析】
先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F=CF=BC-BF=9-BF，在Rt△C′BF中，运用勾股定理BF2+BC′2=C′F2求解．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：∵将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上
∴BC'=AB=3，CF=C'F
在Rt△BC'F中，C'F2=BF2+C'B2，
∴CF2=（9-CF）2+9
∴CF=5
∴BF=4．21*cnjy*com
【点睛】
本题考查折叠问题及勾股定理的应用，同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系．
52．如图，的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为OC，OA的中点．求证：BE＝DF．
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【答案】见解析
【分析】
利用平行四边形得到OA=OC，OB=OD，由E、F分别为OC、OA的中点得到OE=OF，由此证明△OBE≌△ODF，得到BE=DF．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E、F分别是OC，OA的中点，
∴OE=OC，OF=OA
∴OE=OF．
在和中，
OB=OD，，OE=OF,
∴（SAS），
∴．
【点睛】
此题考查平行四边形的对角线相等的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，线段中点的性质，利用SAS证明三角形全等，将所证明的等量线段放在全等三角形中证明三角形全等的思路很关键，解题中注意积累方法．
53．已知，如图，在Rt△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，且EF∥DC，（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）若EF＝2cm，求AB的长．
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【答案】（1）见解析；（2）4cm．
【分析】
（1）根据三角形中位线定理可得ED∥FC； ( http: / / www.21cnjy.com )结合已知条件EF∥DC，即可得结论；
（2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC．
【详解】
（1）证明：如图，∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，
∴ED是Rt△ABC的中位线，
∴ED∥FC．
又 EF∥DC，
∴四边形CDEF是平行四边形；
（2）解：由（1）知，四边形CDEF是平行四边形，则DC＝EF＝2cm．
∵点D是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴DC＝ AB，
∴AB＝2DC＝4cm．
故答案为（1）见解析；（2）4cm．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质，直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形斜边上的中线．解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
54．如图，E，F为 ABCD对角线BD上的两点，若再添加一个条件，就可证出AE∥CF．请完成以下问题：
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（1）你添加的条件是 ．
（2）请根据题目中的条件和你添加的条件证明AE∥CF．
【答案】（1）BE＝DF；（2）见解析
【分析】
（1）可添加BE＝DF；
（2）连接AC交BD于点O，连接AF、C ( http: / / www.21cnjy.com )E，由四边形ABCD是平行四边形知OA＝OC、OB＝OD，结合BE＝DF得OE＝OF，据此可证四边形AECF是平行四边形，从而得出答案．
【详解】
解：（1）添加的条件是：BE＝DF，
故答案为：BE＝DF；
（2）如图，连接AC交BD于点O，连接AF、CE，
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∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质．
55．如图，已知AB//CD，BE丄AD，垂足为点E，CF丄AD，垂足为点F，并且AF=DE．
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求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明见解析．
【分析】
通过全等三角形（）的对应边相等证得BE=CF，由“在同一平面内，同垂直于同一条直线的两条直线相互平行”证得BE∥CF．则四边形是平行四边形．21教育网
【详解】
证明：，，
，
，
，
，即，
在与中，
，
．
，，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，全等三角形的判定与性质掌，握以上知识是解题的关键．【出处：21教育名师】
56．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交BC、AD于点E、F，G、H分别是OB、OD的中点．求证：
（1）OE＝OF；
（2）四边形GEHF是平行四边形．
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【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由“ASA”证明△AOE≌△COF，可得OE＝OF；
（2）由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形GEHF是平行四边形．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，OA＝OC，OB＝OD
∴∠DAC＝∠BCA，且OA＝OC，∠AOE＝∠COF
∴△AOE≌△COF（ASA）
∴OE＝OF
（2）∵OB＝OD，G、H分别是OB、OD的中点
∴GO＝OH，且OE＝OF
∴四边形GEHF是平行四边形．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用平行四边形的判定和性质是解题的关键．
57．在平行四边形中，为的中点，连接并延长交的延长线于.
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求证：.
【答案】证明见解析．
【分析】
利用平行四边形的性质证明，从而可得答案．
【详解】
证明： 平行四边形，
为的中点，
在与中，
【点睛】
本题考查的是平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
58．如图，四边形是平行四边形， ，垂足分别为，且．
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（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接并延长，交的延长线于点，若，求的长．
【答案】(1)详见解析;(2)4．
【分析】
(1)根据平行四边形的性质可得对角相等,再利用角角边证明△ABE≌△ADF即可．
(2)由平行得出∠G=30°,再根据30°特殊三角形的比求出EG即可．
【详解】
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠D=∠B,
∵AE⊥BC,AF⊥CD,
∴∠AEB=∠AFD,
又∵BE=DF,
∴△ABE≌△ADF(AAS),
∴AB=AD,
∴平行四边形ABCD是菱形．
(2)∵AG//BC,
∴∠G=∠CEG=30°,∠GAE=∠AEB=90°,
∵AE=2,
∴EG=2AE=4．
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【点睛】
本题考查菱形的判定和三角形全等的判定和性质及特殊的直角三角形,关键在于结合图形熟练运用基础知识．
59．如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC交CD延长线于点E，作CF⊥BE于F．
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（1）求证：BF=EF；
（2）若AB=6，DE=3，求□ABCD的周长．
【答案】（1）详见解析；（2）30
【分析】
（1）只要证明CB=CE，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题；
（2）根据CE=CB，求出BC的长即可解决问题；
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
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∴AB∥CE，
∴∠E=∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠E=∠CBE，
∴CB=CE，
∵CF⊥BE，
∴BF=EF．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，
∵DE=3，
∴BC=CE=9，
∴平行四边形ABCD的周长为30．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2·1·c·n·j·y
60．如图，平行四边形的对角线，相交于，过点的直线分别交，于，，连结，．求证：四边形是平行四边形．
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【答案】证明见解析．
【分析】
由平行四边形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，由平行四边形的判定定理即可得到结论．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
，，，
，
在与中
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
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