2021-2022学年人教A版（2019） 必修第二册 第八章 立体几何初步 8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 课件

(共34张PPT)
前面我们认识了空间中点、直线、平面之间的一些位置关系，如点在平面内，直线
在平面内，两个平面相交，等等，空间中点、直线、平面之间还有其他位置关系吗？
长方体是我们熟悉的空间几何图形,下面我们借助长方体研究空间中点、直线、平面之间的位置关系。
长方体有8个顶点，12条棱，6个面，12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面，你能发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗？
直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系如何？
【问题】观察右图，长方体ABCD-A1B1C1D1中,
【问题】在同一平面内,两条直线的位置关系有哪几种
答：有两种,平行和相交.
答：棱AA1和棱BB1平行;
棱AA1和棱BB1是什么关系
棱AA1与棱BC是什么关系
答：而棱AA1与棱BC既不平行也不相交,称之为两条异面直线.
棱AA1和棱AD是什么关系
答： 棱AA1和棱AD相交。
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
AA1与BC
AA1与D1C1
AA1与BD
说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常借助一个
或两个平面来衬托.
如图：
a
b
(2)
(1)
A
b
a
a
b
(3)
两直线异面的判别一 :
两条直线 既不相交、又不平行.
两直线异面的判别二 :
两条直线不同在任何一个平面内.
空间中直线与直线之间的位置关系总结
共面直线
相交直线
平行直线
在同一个平面内,有且只有一个公共点:
在同一个平面内,没有公共点:
异面直线
不同在任何一个平面内,没有公共点:
无公共点
图形 文字语言(读法) 符号语言
相 交
（两直线共面且有一个公共点）
aIb=A
b
a
A
a∥b
平 行
（两直线共面且无公共点）
b
a
异面直线
（两直线不共面且无公共点）
a、b异面直线
b
a
例1　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是______；
平行
解 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是____________；
异面直线
解　直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.
例1　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是______；
相交
解 直线D1D与直线D1C相交于点D1.
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是__________.
异面直线
解 直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.
a
(1)
B
A
【悟】
判断空间两条直线位置关系的决窍
(1)建立空间观念：全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，关注异面直线.
(2)建立模型直观：长方体、正方体等常见几何体模型的应用，说明两条直线的位置关系.
【练1】若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（ ）
A.平行 B.异面 C.相交 D.平行、相交或异面
√
解 可借助长方体来判断.
如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′
所在直线为a，AB所在直线为b，
已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，
则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.
故a和c可以平行、相交或异面.
【问题】观察下图，长方体ABCD-A1B1C1D1中,线段A1B所在的直线与长方体的六个面所在
平面有几种位置关系
解析 (1)直线A1B与平面ABB1A1有无数个公共点,此时，
称直线A1B在平面ABB1A1内；
(3)直线A1B与平面ABCD 、平面BCC1B1、平面ADD1A1 、平面A1B1C1D1只有一个公共点.此时，称直线A1B与平面ABCD 、平面BCC1B1、平面ADD1A1 、平面A1B1C1D1相交 ；
(2)直线A1B与平面CDD1C1没有公共点,此时，称直线A1B与平面CDD1C1平行；
图 形 文字语言(读法) 符号语言
a
A
a
直线在平面内
（直线上所有的点都在平面内）
直线与平面相交
（直线与平面有且只有一个公共点）
直线与平面平行
（直线与平面无公共点）
a
a
a
a
我们常把直线与平面平行或相交的情况称为直线在平面外。记作
例3 若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是（ ）
A.直线上所有的点都在平面外
B.直线上有无数多个点都在平面外
C.直线上有无数多个点都在平面内
D.直线上至少有一个点在平面内
√
解 直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，
故直线上有无数多个点在平面外.
例4 （多选）若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题中假命题是（ ）
A.若a∥b，b α，则a∥α B.若a∥α，b∥α，则a∥b
C.若a∥b，b∥α，则a∥α D.若a∥α，b α，则a∥b或a与b是异面直线
√
√
√
解 如图 ，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1∥AB，AB 平面ABB1A1，
A1B1 平面ABB1A1，故A错误；
A1B1∥平面ABCD，B1C1∥平面ABCD，但A1B1与B1C1相交，故B错误；
AB∥CD，CD∥平面ABB1A1，AB 平面ABB1A1，故C错误；
因为a∥α,所以a与α无公共点,又b在α内,所以a与b无公共点,所以a∥b或a与b异面直线.
练习若a是平面α外的一条直线,则直线a与平面α内的直线的位置关系是(　)
A.平行 B.相交 C.异面 D.平行、相交或异面
练习已知直线a,b与平面α满足a∥α,b∥α,则a与b的位置关系是　　　　 .
平行,相交或异面
D
【问题】观察右图，长方体AC1中，平面ABCD
与此长方体的其余各个面,两两之间有
几种位置关系
答：两种位置关系：
（2）相交：两个平面相交于一条线,如平面ABCD与平面ABB1A1相交,
交线是AB.
（1）平行：两个平面没有公共点.如平面ABCD与平面 A1B1C1D1；
图 形 文字语言(读法) 符号语言
相 交
(两个平面有一条公共交线)
α
β
平 行
（两个平面无公共点）
α∥β
α
β
例5　(多选)以下四个命题中，正确的有
A.在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行
B.在平面α内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行
C.平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，
那么这两个平面平行
D.平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交
√
√
解 当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平
面，所以AB错误.
【悟】
利用正方体(或长
方体)这个“百宝箱”
能有效地判断与两个
平面的位置关系有关
命题的真假，另外先
假设所给定的结论成
立，看是否能推出矛
盾，也是一种判断两
平面位置关系的有效
方法.
【练3】如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平
面的位置关系一定是（ ）
A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.无法确定
√
解 由题意作图，自然语言转化为图形语言，可得出两平面的位置关系，如图所示.
1.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是
A.平行或异面 B.相交或异面
C.异面 D.相交
√
解　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，
又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.
基础题
2.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？
解　B1D1在平面A1C1内，B1D1与平面BC1，平面AB1，平面AD1，
平面CD1都相交，B1D1与平面AC平行.
基础题
基础题
3.如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b，a与β的位置关系并证明你的结论.
解　a∥b，a∥β.证明如下：
由α∩γ＝a知a α且a γ，由β∩γ＝b知b β且b γ，
∵α∥β，a α，b β， ∴a，b无公共点
又∵a γ且b γ，∴a∥b.
∵α∥β，∴α与β无公共点.
又a α，∴a与β无公共点，∴a∥β.
综合运用
4.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是
A.相交 B.平行
C.直线在平面内 D.平行或直线在平面内
√
解　延长各侧棱可恢复成棱锥的形状，
所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.
综合运用
5.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是
A.α内的所有直线均与a异面
B.α内不存在与a平行的直线
C.α内的直线均与a相交
D.直线a与平面α有公共点
解　若直线a不平行于平面α，则a∩α＝A或a α，故D项正确.
√
综合运用
6.(多选)以下四个命题中正确的有
A.三个平面最多可以把空间分成八部分
B.若直线a 平面α，直线b 平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价
C.若α∩β＝l，直线a 平面α，直线b 平面β，且a∩b＝P，则P∈l
D.若n条直线中任意两条共面，则它们共面
解 对于A，正确；
对于B，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b，故B错误；
对于C，正确；
对于D，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故D错误.
√
√
综合运用
7.如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中
A.AB∥CD B.AD∥EF
C.CD∥GH D.AB∥GH
√
解　把正方体的展开图还原成正方体，
得到如图所示的正方体，
由正方体性质得，AB与CD相交，
AD与EF异面，CD与GH平行，
AB与GH异面.
8.如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A l，B l，C l，
直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.
解　平面ABC与平面β的交线与l相交. 证明如下：
∵AB与l不平行，且AB α，l α，∴AB与l是相交直线.
设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l. 又∵AB 平面ABC，l β，
∴P∈平面ABC且P∈平面β，即点P是平面ABC与平面β的一个公共点，
而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，
又∵P，C不重合，∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线，
即平面ABC∩平面β＝直线PC，而直线PC∩l＝P，∴平面ABC与平面β的交线与l相交.
1.知识点：
(1)两直线的位置关系.
(2)直线与平面的位置关系.
(3)平面与平面的位置关系.
2.方法：举反例、特例.
3.易错点：异面直线的判断.
作 业
课本P131 练习 1,2,3,4
本课结束