8.2 加减消元法解二元一次方程组(基础讲解)（含答案）

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8.2 加减消元法解二元一次方程组
【学习目标】
1. 掌握加减消元法解二元一次方程组的方法（消元思想）；
2. 能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；
3．会对一些方程组用整体思想进行求解．
4.能对二元一次方程组结合方程的解灵活解题
【知识总结】
一、加减消元法解二元一次方程组
两个二元一次方程中同一未知数的系数相 ( http: / / www.21cnjy.com )反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．21世纪教育网版权所有
【注】：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)方程组的两个方程中，如果同一个未 ( http: / / www.21cnjy.com )知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；www.21-cn-jy.com
(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
（4)将这个求得的未知数的值代 ( http: / / www.21cnjy.com )入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．2-1-c-n-j-y
二、选择适当的方法解二元一次方程组
解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．21*cnjy*com
【典型例题】
【类型】一、用加减法解二元一次方程组
例1. 解方程组
（1） （2）
【答案】（1） ﹔（2）
解：（1）
②-①，可得2x=8，
解得x=4，
把x=4代入①，解得y=-2，
∴原方程组的解是
（2）
①×4，可得4a+6b=4③，
③-②，可得15b=5,解得．
把代入①，解得，
∴原方程组的解是．
【点拨】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
【训练】解方程组：
（1） （2）
【答案】（1）； （2）．
【分析】
（1）利用加减消元法求解即可；（2）原方程整理后利用加减消元法求解即可．
解：（1）
①×2得：③，
②+③得：，解得，
代入①得：，解得，
所以，该方程组的解为；
（2）原方程组整理得：，
①×5得：③，
②+③得：，解得，
代入①得：，解得，
所以，该方程组的解为．
例2.解方程组
【思路点拨】方程组中未知数的系数是分数或小数，一般要先化成整数后再消元．
【答案与解析】
解：①×10，②×6，得
③×3-④，得11y＝33，解得y＝3．
将y＝3代入③，解得x＝4．
所以原方程组的解为
【总结升华】当二元一次方程组的形式比较复杂时，通常是先通过变形(如去分母、去括号等)，将它化为形式简单的方程组，再消元求解．21教育网
【训练】解关于的方程组可以用①②，消去未知数，也可以用①+②消去未知数，则的值分别为（ ）www-2-1-cnjy-com
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知得出关于m、n的方程组，求出方程组的解即可．
解：∵解关于x，y方程组可以用①×2+②，消去未知数x；也可以用①+②×5消去未知数y，
∴
解得：，
故答案为：A．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，能得出关于m、n的方程组是解此题的关键．
【类型】二、整体思想在加减法解二元一次方程组的应用
例3．若方程组，则a+b等于（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
【答案】A
【分析】两个方程相加即可求出a+b的值．
解：
①+②得，4a+4b=12
∴a+b=3
故选：A．
【点拨】此题主要考查了解二元一次方程组，熟练、灵活运用整体思想是解答此题的关键．
【训练】已知是二元一次方程组的解，则的值为　 　．
【思路点拨】方程组利用加减消元法和整体思想即可确定出的值．
【答案】3．
【解析】
解：把代入，得，
①+②得：
【总结升华】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【类型】三、解二元一次方程组的一些技巧
例4. 阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组
解：由①﹣②得 2x+2y＝2 即 x+y＝1③
③×16 得 16x+16y＝16 ④
②﹣④得 x＝﹣1，从而可得 y＝2
∴原方程组的解是
请你仿上面的解法解方程组
【答案】
【分析】
模仿材料可得，①﹣②得：x+y＝1③，①﹣③×2019 得：x＝﹣1，再求y．
解：①﹣②得：2x+2y＝2，即x+y＝1③
①﹣③×2019 得：x＝﹣1
把x＝﹣1代入③得：y＝2
所以原方程组的解为
【点拨】考核知识点：解二元一次方程组．掌握加减法解方程组是关键．
【训练】解方程组：
【答案】
【分析】
方程组利用加减消元法求出解即可．
解：①+②得：，即③，
②-①得：④，
③+④得：，
∴，
把代入③得：，
则方程组的解为．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．灵活运用消元法是解题的关键．21cnjy.com
【类型】四、解二元一次方程组综合练习
例5．甲、乙两人同时解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了②中的，解得．求原方程组的正确解．2·1·c·n·j·y
【答案】原方程组的正确解是
【分析】
把代入②，把代入①，求出a和b的值，再把a和b的值代入原方程组求解即可．
【详解】
解：把代入②，把代入①，
可得，解得，
，
由②可得：
4x-10y=-2③，
①+③，得
-x=13，
x=-13，
把x=-13代入①，得
65+10y=15，
y=-5，
原方程组的正确解是．
【点拨】本题考查了二元一次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )组的解，以及二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．21·cn·jy·com
【训练】已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心地把看错了，解得，求．
【答案】a=，b=2，c=1
【分析】
把和代入ax+by=3，可求出a和b的值；把代入x-cy=-1，可求出c的值．
【详解】
解：把和代入ax+by=3，得
，
解得
；
把代入x-cy=-1，得
×3-2c=-1，
∴c=1．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解与组成 ( http: / / www.21cnjy.com )方程组的两个二元一次方程的解得关系，理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键．也考查了二元一次方程组的解法．【来源：21·世纪·教育·网】
【训练】已知关于，的方程组
（1）请直接写出方程的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求的值；
（3）无论实数取何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个公共解．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）把看做已知数表示出，进而确定出方程的正整数解即可；
（2）已知方程与方程组第一个方程联立求出与的值，进而求出的值；
（3）方程变形后，确定出公共解即可；
【详解】
解：（1）方程，
解得：，
当时，；，；
∴方程组的正整数解为：
（2）联立得：，
解得：，
代入得：，
解得：；
（3）由题意得，方程组的解和无关，所以的系数为0，即，
代入方程得：，即，
∴其公共解为．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的正整数解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21·世纪*教育网
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