四川省绵阳市2013届高三第二次诊断性考试数学（文）试题

四川省绵阳市2013届高三二诊模拟试题
文科数学（第一卷）
一、选择题：只有唯一正确答案，每小题5分，共50分
1、集合，，则集合为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2、复数的虚部是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3、已知，则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ）
（A）8 （B）18 （C）26 （D）80
5、设、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是( )
（A）若⊥b，⊥，则b∥ （B）若∥，⊥，则⊥
（C）若⊥，⊥，则 ∥ （D）若⊥b，⊥，b⊥，则⊥
6、函数的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
7、对一切实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
(A) (B) (C) (D)
8、定义运算，则函数的图象大致为（　 ）
9、已知为平面上的定点，、、是平面上不共线的三点，若
，则(ABC是（ ）
（A）以AB为底边的等腰三角形 （B）以BC为底边的等腰三角形
（C）以AB为斜边的直角三角形 （D）以BC为斜边的直角三角形
10、已知关于的方程，若，记“该方程有实数根，且满足”为事件A，则事件A发生的概率为( )
（A）　 　（B）　 　（C）　 　（D）
二、填空题：每小题5分，共25分
11、已知数列的前项和，则 ．
12、某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这
三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，
那么从高三学生中抽取的人数应为 ．
13、如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果主视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为 ．
14、设向量与的夹角为，，，则等于 ．
15、设m是一个正整数，对两个正整数a、b，若，我们称a、b模m同余，用符号表示； 在中，当，且时，的所有可取值为 ．
文科数学（第二卷）
三、解答题：总分75分
16、（本题满分12分）已知的面积满足，的
夹角为．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）求函数的最大值．
17、（本题满分12分）三棱锥中，，，．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）当时，求三棱锥的体积．
18、（本题满分12分）
设函数满足：对任意的实数有
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若方程有解，求实数的取值范围.
19、（本题满分12分）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件，需要另投入2.7万元.设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且.
（Ｉ）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数关系式；
（Ⅱ）年生产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？
20、（本题满分13分）
设数列为单调递增的等差数列，，且依次成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和；
（Ⅲ）若，求数列的前项和．
21．（本小题满分14分）已知函数（）的图象为曲线．
（Ⅰ）求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围；
（Ⅱ）若曲线上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；
（Ⅲ）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．
四川省绵阳市2013届高三二诊模拟试题
文科数学参考答案
一、选择题：1、B 2、C 3、A 4、C 5、D 6、A 7、B 8、D 9、B 10、C
二、填空题：11、（） 12、10 13、 14、 15、2,3,4
三、解答题：
16、解：（I）由题意知 …………1分

（II）
…………9分
17、证明：（Ⅰ）作平面于点，∵，
∴，即为的外心
又∵中，
故为边的中点
所以平面
即证：平面平面．　 　．．．．．．．6分
（Ⅱ）∵，，∴为正三角形
∵ ， ∴
∴
∴三棱锥的体积
．………….12分
18、解：⑴
所以 …………………5分
⑵①当时，不成立.
②当时，令则
因为函数在上单增，所以
③当时，令则
因为函数在上单增，所以
综上，实数的取值范围是 ……………………12分
19、解：（Ｉ）当时，；
当时，．
∴ 年利润（万元）关于年产量（千件）的函数关系式为
…………………6分
（Ⅱ）当时，由，
即年利润在上单增，在上单减
∴ 当时，取得最大值，且（万元）．
当时，，仅当时取“=”
综上可知，当年产量为千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大，最大值为万元． …………………12分
20、解：(Ⅰ)…….4分
（Ⅱ）∵
∴

相减，得

∴． …………………….13分
（Ⅲ）则………13分
21、解：（Ⅰ），则，
即曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围是；------------3分
（Ⅱ）由（1）可知，---------------------------------------------------------5分
解得或，由或
得：；-------------------------------7分
（Ⅲ）设存在过点A的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B，
，
则切线方程是：，
化简得：，
而过B的切线方程是，
由于两切线是同一直线，
则有：，得，----------------------11分
又由，
即
，即
即，
得，但当时，由得，这与矛盾。
所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点. --------------------------------14分