第一章 三角形的证明 单元检测卷02（含解析）

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第一章《三角形的证明》检测卷02
第I卷（选择题）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么x为（　　）．
A． B． C．或 D．无法确定
2．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于D，交BC于E；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F；③作射线BF交AC于G．如果AB＝8，BC＝10，△ABG的面积为16，则△CBG的面积为（???????）
A．12 B．18 C．20 D．14
3．如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为（???）
A． B． C． D．
4．点在的角平分线上，点到边的距离等于，点是边上的任意一点，则下列选项正确的是（???????）
A． B． C． D．
5．如图，已知，点在边上，，点是边上一个动点，若周长的最小值是6，则的长是（???????）
A． B． C． D．1
6．如图，的垂直平分线交于点，若，则的度数是（???????）
A．25° B．20° C．30° D．15°
7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG，连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF， 则下列结论：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正确的有（??????????）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
8．一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（?????）
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
9．如图，点P在∠AOB的平分线上， PC⊥OA于点C, ∠AOB=30°，点D在边OB上，且OD=DP=2．则线段PC的长度为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．
10．如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，点在上，点在上，连接，将沿折叠，点与点恰好重合时，则的度数（???????）
A．90° B．92° C．95° D．98°
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．如图，RtABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，∠CAD＝30°，BC＝6，则AD+DB的长为____．
12．如图，将一张直角三角形纸片对折，使点B、C重合，折痕为DE，连接DC，若AC=6cm，∠ACB=90°，∠B=30°，则△ADC的周长是_____cm．
13．如图，是的角平分线，于， 的面积是，则__________．
14．等腰△ABC中，一边长为14，一边长为6，则周长等于 ___．
15．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD到点E，使得DE=AD，连接．若AB=5，AC=3，AD=2，则△ABC的面积为_________．
16．如图，在中，，点在延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为______．
17．如图，在中，高与高相交于点，且，那么=________度
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延长线于F．

（1）求证：BE=CF；
（2）如果AB=7，AC=5，求AE，BE的长．
19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，E是AB上的一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于点F，求证：点E在AF的垂直平分线上．
20．（1）已知等腰三角形的两边长分别为9cm和15cm，则周长为多少？
（2）已知等腰三角形的两边长分别为6cm和15cm，则周长为多少？
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．如图，中，，，．
（1）用直尺和圆规作的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分线交于点，求的长．
22．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，AC⊥BC于点C．
（1）若∠B＝75°，求∠D的度数；
（2）求证：AB＝2CD．
23．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求BN的长．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．如图，按下列要求作图：
（1）作出△ABC的角平分线CD；
（2）作出△ABC的中线BE；
（3）作出△ABC的高AF．
25．已知：如图，BD为ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA．
(1)AD与CE相等吗？为什么；
(2)若∠BCD＝75°，求∠ACE的度数；
(3)若，则之间满足一定的数量关系，试说明这个结论．
第一章《三角形的证明》检测卷02
第I卷（选择题）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么x为（　　）．
A． B． C．或 D．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
分类讨论当3为斜边时和x为斜边时,利用勾股定理列出等式即可解题.
【详解】
解：当3为斜边时,
32=22+x2,解得：x=,
当x为斜边时,
x2=32+22,
解得：x=,
∴x为或,
故选C.
【点睛】
本题考查了勾股定理的实际应用,中等难度,分类讨论是解题关键.
2．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于D，交BC于E；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F；③作射线BF交AC于G．如果AB＝8，BC＝10，△ABG的面积为16，则△CBG的面积为（???????）
A．12 B．18 C．20 D．14
【答案】C
【解析】
【分析】
利用基本作图得到BG平分∠ABC，如图，过G点作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N，如图，根据角平分线的性质得到GM＝GN，利用三角形的面积GM＝4，从而得到GN＝4，然后根据三角形面积公式计算．
【详解】
解：由作法得BG平分∠ABC，
过G点作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N，
则GM＝GN，
∵△ABG的面积为16，
∴×8×GM＝16，
∴GM＝4，
∴GN＝4，
∴△CBG的面积＝×10×4＝20．
故选：C．
【点睛】
本题考查了作图?复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质．
3．如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为（???）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠BCA，进而求得∠ACD，由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，利用角平分线定义求解即可．
【详解】
∵在中，，
∴，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°，
由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义和作法，熟练掌握等腰三角形的性质以及角平分线的尺规作图法是解答的关键．
4．点在的角平分线上，点到边的距离等于，点是边上的任意一点，则下列选项正确的是（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为5，再根据垂线段最短解答．
【详解】
∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，
∴点P到OB的距离为5，
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥5．
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
5．如图，已知，点在边上，，点是边上一个动点，若周长的最小值是6，则的长是（???????）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
作点A关于OM的对称点E，AE交OM于点D，连接BE、OE，BE交OM于点C，此时△ABC周长最小，根据题意及作图可得出△OAD是等腰直角三角形，OA=OE=3，，所以∠OAE=∠OEA=45°，从而证明△BOE是直角三角形，然后设AB=x，则OB=3+x，根据周长最小值可表示出BE=6－x，最后在Rt△OBE中，利用勾股定理建立方程求解即可.
【详解】
解：作点A关于OM的对称点E，AE交OM于点D，连接BE、OE，BE交OM于点C，
此时△ABC周长最小，最小值=AB+AC+BC=AB+EC+BC=AB+BE，
∵△ABC周长的最小值是6，
∴AB+BE=6，
∵∠MON=45°，AD⊥OM，
∴△OAD是等腰直角三角形，∠OAD=45°，
由作图可知OM垂直平分AE，
∴OA=OE=3，
∴∠OAE=∠OEA=45°，
∴∠AOE=90°，
∴△BOE是直角三角形，
设AB=x，则OB=3+x，BE=6－x，
在Rt△OBE中，，
解得：x=1，
∴AB=1.
故选D.
【点睛】
本题考查了利用轴对称求最值，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握作图技巧，正确利用勾股定理建立出方程是解题的关键.
6．如图，的垂直平分线交于点，若，则的度数是（???????）
A．25° B．20° C．30° D．15°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等要三角形的性质得到∠ABC，再根据垂直平分线的性质求出∠ABD，从而可得结果．
【详解】
解：∵AB=AC，∠C=∠ABC=65°，
∴∠A=180°-65°×2=50°，
∵MN垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=50°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°，
故选D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相应的性质定理．
7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG，连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF， 则下列结论：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正确的有（??????????）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】
证得△CAF≌△GAB（SAS），从而推得①正确；利用△CAF≌△GAB及三角形内角和与对顶角，可判断②正确；证明△AFM≌△BAD（AAS），得出FM=AD，∠FAM=∠ABD，则③正确，同理△ANG≌△CDA，得出NG=AD，则FM=NG，证明△FME≌△GNE（AAS）．可得出结论④正确．
【详解】
解：∵∠BAF=∠CAG=90°，
∴∠BAF+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAF=∠GAB，
又∵AB=AF=AC=AG，
∴△CAF≌△GAB（SAS），
∴BG=CF，故①正确；
∵△FAC≌△BAG，
∴∠FCA=∠BGA，
又∵BC与AG所交的对顶角相等，
∴BG与FC所交角等于∠GAC，即等于90°，
∴BG⊥CF，故②正确；
过点F作FM⊥AE于点M，过点G作GN⊥AE交AE的延长线于点N，
∵∠FMA=∠FAB=∠ADB=90°，
∴∠FAM+∠BAD=90°，∠FAM+∠AFM=90°，
∴∠BAD=∠AFM，
又∵AF=AB，
∴△AFM≌△BAD（AAS），
∴FM=AD，∠FAM=∠ABD，
故③正确，
同理△ANG≌△CDA，
∴NG=AD，
∴FM=NG，
∵FM⊥AE，NG⊥AE，
∴∠FME=∠ENG=90°，
∵∠AEF=∠NEG，
∴△FME≌△GNE（AAS）．
∴EF=EG．
故④正确．
故选：D．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
8．一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（?????）
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C=∠CAB=42°，根据等角对等边得出BC=AB，求出AB即可．
【详解】
解：∵根据题意得：∠CBD=84°，∠CAB=42°，
∴∠C=∠CBD-∠CAB=42°=∠CAB，
∴BC=AB，
∵AB=15海里/时×2时=30海里，
∴BC=30海里，
即海岛B到灯塔C的距离是30海里．
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定和三角形的外角性质，关键是求出∠C=∠CAB，题目比较典型，难度不大．
9．如图，点P在∠AOB的平分线上， PC⊥OA于点C, ∠AOB=30°，点D在边OB上，且OD=DP=2．则线段PC的长度为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PC，再根据直角三角形30°所对的边等于斜边的一半可得．
【详解】
解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵∠AOB=30°,点P在∠AOB的平分线上，
∴∠AOP=∠POB=15°，
∵OD=DP=2，
∴∠OPD=∠POB=15°，
∴∠PDE=30°，
∴PE=PD=1，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
∴PC=PE=1，
故选：C．
【点睛】
此题考查的是角平分线的性质和直角三角形30°所对的边等于斜边的一半的应用、等腰三角形的性质，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等和直角三角形30°所对的边是斜边的一半是解题关键．
10．如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，点在上，点在上，连接，将沿折叠，点与点恰好重合时，则的度数（???????）
A．90° B．92° C．95° D．98°
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OB、OC．由角平分线和垂直平分线的性质可求出，再由等腰三角形的性质可求出，由，即可求出的大小．在和中，利用“SAS”易证，即得出OB=OC，从而可求出．再由题意折叠可知OE=CE，即得出，最后由，即可求出的大小．
【详解】
如图，连接OB、OC．
∵，的平分线与的垂直平分线交于点，
∴．
∵AB=AC，
∴，
∴．
在和中， ，
∴，
∴OB=OC，
∴．
由题意将沿折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查角平分线、线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质．作出辅助线构造等腰三角形是解答本题的关键．综合性强，较难．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．如图，RtABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，∠CAD＝30°，BC＝6，则AD+DB的长为____．
【答案】9
【解析】
【分析】
根据∠CAD＝30°，得到AD=2CD，从而得到AD+BD=3CD,求得CD即可．
【详解】
∵∠C＝90°，D是BC的中点，∠CAD＝30°，BC＝6，
∴AD=2CD，BD=CD=BC=3，
∴AD+BD=3CD=9，
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，线段中点即线段上一点，把这条线段分成相等的两条线段的点，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
12．如图，将一张直角三角形纸片对折，使点B、C重合，折痕为DE，连接DC，若AC=6cm，∠ACB=90°，∠B=30°，则△ADC的周长是_____cm．
【答案】18
【解析】
【分析】
【详解】
解：根据折叠前后角相等可知，∠B=∠DCB=30°，∠ADC=∠ACD=60°，
∴AC=AD=DC=6，
∴ADC的周长是18cm．
故答案为8.
13．如图，是的角平分线，于， 的面积是，则__________．
【答案】2cm
【解析】
【分析】
过点D作，垂足为点F，根据BD是∠ABC的角平分线，得DE=DF，根据等高的三角形的面积之比等于其底边长之比，得△BDC与△BDA的面积之比，再求出△BDA的面积，进而求出DE．
【详解】
如图，过点D作，垂足为点F
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴DE=DF
∵的面积是
∴
即
∴DE=2cm
故答案为：2cm．
【点睛】
本题考查了三角形的问题，掌握角平分线的性质、等高的三角形的面积之比等于其底边长之比是解题的关键．
14．等腰△ABC中，一边长为14，一边长为6，则周长等于 ___．
【答案】34
【解析】
【分析】
题目给出等腰三角形有两条边长为14和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】
解：分两种情况：
当腰为6时，6+6=12<14，所以不能构成三角形；
当腰为14时，14+6＞14，所以能构成三角形，周长是：14+14+6=34．
故答案为：34．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD到点E，使得DE=AD，连接．若AB=5，AC=3，AD=2，则△ABC的面积为_________．
【答案】6
【解析】
【分析】
先利用SAS定理证明，于是得到，然后根据勾股定理逆定理证得△ABE为直角三角形，即可求解．
【详解】
解：∵AD为BC边上的中线，AD=DE，∠ADC=∠BDE
∴
∴
∵AD=2，DE=AD
∴AE=2AD=4
∴
∴
∴
∴BE⊥AE
∴
∴
故答案为：6．
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，熟练进行逻辑推理是解题关键．
16．如图，在中，，点在延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为______．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据等边对等角得出∠B=∠C，再根据EP⊥BC，得出∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，从而得出∠E=∠BFP，再根据对顶角相等得出∠E=∠AFE，最后根据等角对等边即可得出答案．
【详解】
证明：在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EP⊥BC，
∴∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，
∴∠E=∠BFP，
又∵∠BFP=∠AFE，
∴∠E=∠AFE，
∴AF=AE=3，
∴△AEF是等腰三角形．
又∵CE=10，
∴CA=AB=7，
∴BF=AB-AF=7-3=4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明∠E=∠AFE，注意等边对等角，以及等角对等边的使用．
17．如图，在中，高与高相交于点，且，那么=________度
【答案】．
【解析】
【分析】
先判断出∠CAD=∠DBH，利用题目给的条件可得出△BDH≌△ADC，可确定△ADB为等腰直角三角形，得出答案．
【详解】
解：
又∠ADC=90°
∴△ABD为等腰直角三角形
．
故答案为：45．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，等角的余角定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延长线于F．

（1）求证：BE=CF；
（2）如果AB=7，AC=5，求AE，BE的长．
【答案】（1）见解析；（2）AE=6，BE=1．
【解析】
【分析】
1）连接DB、DC，先由角平分线的性质就可以得出DE=DF，再证明△DBE≌△DCF就可以得出结论；
（2）由条件可以得出△ADE≌△ADF就可以得出AE=AF，进而就可以求出结论．
【详解】
（1）连接DB、DC，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴DB=DC．
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．∠AED=∠BED=∠AFD=∠DFC=90°
在Rt△DBE和Rt△DCF中 ，
Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴BE=CF．
（2）在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
∴AE=AF．
∵AC+CF=AF，
∴AE=AC+CF．
∵AE=AB-BE，
∴AC+CF=AB-BE
∵AB=7，AC=5，
∴5+BE=7-BE，
∴BE=1，
∴AE=7-1=6．
答：AE=6，BE=1．
【点睛】
此题考查角平分线的性质的运用，中垂线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，E是AB上的一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于点F，求证：点E在AF的垂直平分线上．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到BE=DE，根据等腰三角形的性质得到∠BEG=∠DEG，根据平行线的性质得到∠BEG=∠BAC，∠DEG=∠AFE，等量代换得到∠EAF=∠AFE，根据得到结论．
【详解】
∵EG垂直平分BC，
∴BE=DE，
∴∠BEG=∠DEG，
∵∠ACB=90°，
∴EG∥AC，
∴∠BEG=∠BAC，∠DEG=∠AFE，
∴∠EAF=∠AFE，
∴AE=EF，
∴点E在AF的垂直平分线上．
【点睛】
此题考查线段的垂直平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
20．（1）已知等腰三角形的两边长分别为9cm和15cm，则周长为多少？
（2）已知等腰三角形的两边长分别为6cm和15cm，则周长为多少？
【答案】（1）33cm或39cm；（2）36cm．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的特点与三角形的三边关系求出第三条边，故可求解；
（2）根据等腰三角形的特点与三角形的三边关系求出第三条边，故可求解．
【详解】
（1）已知等腰三角形的两边长分别为9cm和15cm，
那么三边的长可能是9cm、9cm、15cm或9cm、15cm、15cm。
故其周长是9+9+15=33cm或9+15+15=39cm；
（2）已知等腰三角形的两边长分别为6cm和15cm，
那么三边的长可能是6cm、6cm、15cm或6cm、15cm、15cm．
其中6cm、6cm、15cm不能组成一个三角形，
故其周长是6+15+15=36cm．
【点睛】
此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．如图，中，，，．
（1）用直尺和圆规作的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分线交于点，求的长．
【答案】（1）详见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，，作直线即可．
（2）设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】
（1）如图直线即为所求．
（2）∵垂直平分线段，∴，
设，在中，
∵，∴，
解得，∴．
【点睛】
本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，AC⊥BC于点C．
（1）若∠B＝75°，求∠D的度数；
（2）求证：AB＝2CD．
【答案】（1）150°；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质得到∠BAC=∠ACD，根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC，结合垂直的定义计算出∠BAC的度数，再利用四边形内角和计算即可；
（2）延长AD，BC，交于点E，证明△ABC≌△AEC，得到∠B=∠E，AB=AE，推出DE=DC，即可证明．
【详解】
解：（1）∵AB∥DC，
∴∠BAC=∠ACD，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠ACD=∠DAC，
∵∠B=75°，AC⊥BC，
∴∠BAC=∠DAC=∠ACD=90°-75°=15°，
∴∠D=360°-∠B-∠BAD-∠BCD=150°；
（2）延长AD，BC，交于点E，
∵∠DCA=∠CAD，
∴AD=CD，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠ECD，
∵∠BAC=∠CAD，AC=AC，∠BCA=∠ECA=90°，
∴△ABC≌△AEC（ASA），
∴∠B=∠E，AB=AE，
∴∠ECD=∠E，
∴DE=DC，
∴AB=AE=AD+DE=2CD．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，知识点较多，难度一般，解题是要注意运用所学知识点进行推理，找到线段和角之间的关系．
23．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求BN的长．
【答案】（1）是，理由见解析；（2）4.2或5.8．
【解析】
【分析】
（1）直接计算两条短边的平方和是否等于长边的平方即可；
（2）分两种情况进行讨论：①当MN为最大线段时，②当BN为最大线段时，分别计算即可．
【详解】
解：（1）点M、N是线段AB的勾股分割点．理由如下：
∵AM2+BN2＝2.52+62＝42.25，MN2＝6.52＝42.25，
∴AM2+NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点；
（2）设BN＝x，则MN＝14﹣AM﹣BN＝10﹣x，
①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，
即（10﹣x）2＝x2+16，
解得x＝4.2；
②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．
即x2＝16+（10﹣x）2，
解得x＝5.8．
综上所述，BN＝4.2或5.8．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是理解新定义，学会分类讨论，注意不能遗漏，属于中考常考题型．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．如图，按下列要求作图：
（1）作出△ABC的角平分线CD；
（2）作出△ABC的中线BE；
（3）作出△ABC的高AF．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【解析】
【分析】
（1）用圆规以点C为圆心，任意长为半径画弧，再以弧与角两边的交点为圆心，大于交点连接的线段的一半为半径画弧，两弧的交于一点，连接C与两弧的交点并延长，与AB交于点D，CD就是所求的角平分线；
（2）作AC的垂直平分线找到中点E，连接BE，BE就是所求的中线；
（3）从A点向CB的延长线作垂线，垂足为F，连接AF，AF即所求的高线．
【详解】
解： （1）如图所示，CD即所求的角平分线，
（2）如图所示，BE即所求的中线，
（3）如图所示，AF即所求的高线．
【点睛】
本题主要考查了三角形的中线，角平分线，高的一些基本画图方法．解题的关键是熟练掌握尺规作图的方法．
25．已知：如图，BD为ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA．
(1)AD与CE相等吗？为什么；
(2)若∠BCD＝75°，求∠ACE的度数；
(3)若，则之间满足一定的数量关系，试说明这个结论．
【答案】(1) 证明见解析
(2)
(3) 理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由SAS证明△ABD≌△EBC，根据全等三角形的性质即可得出AD＝CE；
（2）根据等腰三角形的性质可得∠BCD＝∠BDC＝75°，由三角形的内角和以及角平分线的定义得出∠DBC＝∠ABD＝30°，再根据全等三角形的性质和三角形的内角和即可求解；
（3）根据等腰三角形的性质可得∠BCD＝∠BDC，由角平分线的定义得∠DBC＝∠ABD，再根据全等三角形的性质和三角形的内角和得∠ACE＝∠ABD＝∠DBC＝β，由∠BCE＝∠BCD+∠ACE＝α和三角形的内角和即可得出结论．
(1)
证明：AD＝CE，理由如下：
理由：∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBE，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴AD＝CE；
(2)
解：∵BD＝BC，∠BCD＝75°
∴∠BCD＝∠BDC＝75°，
∴∠DBC＝∠ABD＝30°，
∴∠ABC＝60°，
由（1）知△ABD≌△EBC，
∴∠BAD＝∠BEC，
∵∠ADB＝∠EDC，
∴∠ACE＝∠ABD＝30°；
(3)
解：∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC，
∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠DBC＝∠ABD，
由（1）知△ABD≌△EBC，
∴∠BAD＝∠BEC，
∵∠ADB＝∠EDC，
∴∠ACE＝∠ABD＝∠DBC＝β，
∵∠BCE＝∠BCD+∠ACE＝α，
∴∠BCD＝∠BDC＝α﹣β，
∵∠DBC+∠BDC+∠BCD＝180°，
∴β+（α﹣β）+（α﹣β）＝180°，
∴2α﹣β＝180°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识；证明三角形全等是解决问题的关键．
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