第十八章 平行四边形 单元检测卷01（含解析）

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第十八章《平行四边形》检测卷01
第I卷（选择题）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC=2，则EF的长度为（　　）
A． B．1 C． D．
2．如图，已知△ABC，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，小红按如下步骤作图：
①分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；
②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；
③过C作CEAB交MN于点E，连接AE、CD．
则四边形ADCE的周长为（　　）
A．10 B．20 C．12 D．24
3．如图，若AB//CD，AC交BD于点O，则下列条件中不能说明四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AD∥BC B．OA＝OC C．AD＝AB D．AB＝CD
4．若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形（　　）
A．一定是矩形 B．一定是菱形
C．对角线一定互相垂直 D．对角线一定相等
5．如图，点A，B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．四边形ABCD中，AD∥BC，要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件（???????）
A．∠A+∠C=180° B．∠B+∠D=180°
C．∠A+∠B=180° D．∠A+∠D=180°
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB 边上一动点，以PA，PC为边作□PAQC，则对角线PQ长度的最小值为(??????????)
A．6 B．8 C．2 D．4
8．如图，P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则PA+PE最小值是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，中，对角线、相交于点O，交于点E，连接，若的周长为28，则的周长为（???????）
A．28 B．24 C．21 D．14
10．如图，在矩形ABCD内有一点F，FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE．现添加下列条件：①EB∥CF，CE∥BF；②BE=CE，BE=BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE=CE，CE∥BF，其中能判定四边形BECF是正方形的共有(?????)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．如图，已知矩形纸片，，，点在边上，将纸片沿折叠，使点落在点处，连接，当是直角三角形时，的面积为_______.
12．如图，平行四边形ABCD的周长是22，△ABC的周长是17，则AC的长为___________．
13．等腰梯形一个内角为，下底长为，梯形面积为，则梯形的周长为_________
14．如图，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD＝5，DE＝6，则AG的长是________．
15．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上一点，且AC＝EC，则∠DAE的度数为_________．
16．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是_____．
17．如图，ABCD的对角线相交于点O，且ADCD，过点O作OMAC，交AD于点M．如果CDM的周长为8，那么ABCD的周长是__．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．如图，在中，对角线与相交于点，点分别为的中点，连接．求证：．
19．如图,在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EFBC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E，F．
(1)若CE=8，CF=6，求OC的长．
(2)连接AE，AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
20．如图矩形，已知，折叠使得边与对角线重合，B点和F点重合，折痕为，且，求
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．如图，在正方形中，点、分别在边和上，且，连接、，其相交于点，将沿翻折得到，延长交延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
22．如图，在中，过点作，交于点，交于点，过点作，交于点，交于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）已知，求的长．
23．如图，在中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，．
（1）求证：≌；
（2）连接，，当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，F为对角线AC上一点，连接DE、BF，若∠ADE与∠CBF的平分线DG、BG交于AC上一点G，连接EG．
（1）如图1，点B、G、D在同一直线上，若∠CBF＝90°，CD＝3，EG＝2，求CE的长；
（2）如图2，若AG＝AB，∠DEG＝∠BCD，求证：AD＝BF+DE．
25．如图，正方形ABCD的边长为1，对角线AC、BD交于点O，E是BC延长线上一点，且AC＝EC，连接AE交BD于点P．
（1）求∠DAE的度数；
（2）求BP的长．
第十八章《平行四边形》检测卷01
第I卷（选择题）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC=2，则EF的长度为（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意求出AB的值，由D是AB中点求出CD的值，再由题意可得出EF是△ACD的中位线即可求出.
【详解】
∠ACB=90°，∠A=30°，
BC=AB.
BC=2,
AB=2BC=22=4,
D是AB的中点,
???CD=AB= 4=2.
???E,F分别为AC,AD的中点,
???EF是△ACD的中位线.
???EF=CD= 2=1.
故答案选B.
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线定理，解题的关键是熟练的掌握三角形中位线定理.
2．如图，已知△ABC，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，小红按如下步骤作图：
①分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；
②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；
③过C作CEAB交MN于点E，连接AE、CD．
则四边形ADCE的周长为（　　）
A．10 B．20 C．12 D．24
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意得：MN是AC的垂直平分线，即可得AD=CD，AE=CE，然后由CEAB，可证得CD∥AE，继而证得四边形ADCE是菱形，再根据勾股定理求出AD，进而求出菱形ADCE的周长．
【详解】
：∵分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N，
∴MN是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AE=CE，
∴∠CAD=∠ACD，∠CAE=∠ACE，
∵CEAB，
∴∠CAD=∠ACE，
∴∠ACD=∠CAE，
∴CDAE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形；
∴OA=OC=AC=2，OD=OE，AC⊥DE，
∵∠ACB=90°，
∴DEBC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=BC=×3=1.5，
∴AD==2.5，
∴菱形ADCE的周长=4AD=10．
故选A．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，三角形中位线的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
3．如图，若AB//CD，AC交BD于点O，则下列条件中不能说明四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AD∥BC B．OA＝OC C．AD＝AB D．AB＝CD
【答案】C
【解析】
【分析】
分别利用平行线的性质和全等三角形的判定和性质，结合平行四边形的判定逐一判断即可；
【详解】
解：A、∵AD///BC，AB//CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不合题意；
B、∵AB//CD，∴，又OA＝OC，∴△ABO≌△CDO(AAS), ∴AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不合题意；
C、由AB∥CD，AD＝AB，不能推出四边形ABCD是平行四边形，故选项C符合题意；
D、∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不合题意；
故选择：C．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
4．若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形（　　）
A．一定是矩形 B．一定是菱形
C．对角线一定互相垂直 D．对角线一定相等
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，利用三角形中位线的性质与菱形的性质即可得出结论．
【详解】
解：如图，
根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，
∴EF＝FG＝CH＝EH，BD＝2EF，AC＝2FG，
∴BD＝AC,
∴原四边形一定是对角线相等的四边形．
故选：D．
【点睛】
本题考查了中位线的性质，菱形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
5．如图，点A，B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，根据三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答．
【详解】
解：如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，
∵，
则△ABO为等腰直角三角形，
∴AB=，N为AB的中点，
∴ON=，
又∵M为AC的中点，
∴MN为△ABC的中位线，BC=1，
则MN=，
∴OM=ON+MN=，
∴OM的最大值为
故答案选：B．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大．
6．四边形ABCD中，AD∥BC，要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件（???????）
A．∠A+∠C=180° B．∠B+∠D=180°
C．∠A+∠B=180° D．∠A+∠D=180°
【答案】D
【解析】
【分析】
四边形ABCD中，已经具备AD∥BC，再根据选项，选择条件，推出AB∥CD即可，只有D选项符合．
【详解】
解：A、如图1，∵AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°，
如果∠A＋∠C＝180°，
则可得：∠B＝∠C，
这样的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故此选项错误；
B、如图1，∵AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°，
如果∠B＋∠D＝180°，
则可得：∠A＝∠D，
这样的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故此选项错误；
C、如图1，∵AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°，
再加上条件∠A＋∠B＝180°，
也证不出四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
D、如图2，
∵∠A＋∠D＝180°，
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确；
故选D．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的判定，判定方法共有五种：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB 边上一动点，以PA，PC为边作□PAQC，则对角线PQ长度的最小值为(??????????)
A．6 B．8 C．2 D．4
【答案】D
【解析】
【详解】
试题解析：∵四边形APCQ是平行四边形，
∴AO=CO，OP=OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作OP′⊥AB与P′，

∴△AP′O是等腰直角三角形，


∴PQ的最小值
故选D.
8．如图，P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则PA+PE最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用轴对称最短路径求法，得出A点关于BD的对称点为C点，连接EC交BD于点P即为最短路径位置，利用勾股定理求出即可．
【详解】
连接AC，EC，EC与BD交于点P，连接AP，此时PA+PE的值最小．
∵ABCD是正方形，∴BD垂直平分AC，∴AP=PC，∴PA+PE=PC+PE=EC．
正方形ABCD中，∵AB=BC=1，E为AB中点，∴BE=，∴EC==．
故选A．
【点睛】
本题考查了利用轴对称求最短路径问题以及正方形的性质和勾股定理，利用正方形性质得出A，C关于BD对称是解题的关键．
9．如图，中，对角线、相交于点O，交于点E，连接，若的周长为28，则的周长为（???????）
A．28 B．24 C．21 D．14
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质和中垂线定理，再结合题意进行计算，即可得到答案.
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵平行四边形的周长为28，
∴
∵，
∴是线段的中垂线，
∴，
∴的周长，
故选D．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质和中垂线定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和中垂线定理.
10．如图，在矩形ABCD内有一点F，FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE．现添加下列条件：①EB∥CF，CE∥BF；②BE=CE，BE=BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE=CE，CE∥BF，其中能判定四边形BECF是正方形的共有(?????)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可得CF=BF，∠F=90°，根据平行四边形与正方形的的判定即可判断①；根据菱形与正方形的判定即可判断②；根据矩形与正方形的判定即可判断③；根据正方形的判定即可判断.
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=∠ABC=90°，
∵FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，
∴∠FCB=∠DCB=45°，∠FBC=∠ABC=45°，
∴∠FCB=∠FBC=45°，
∴CF=BF，∠F=180°﹣45°﹣45°=90°，
①∵EB∥CF，CE∥BF，
∴四边形BFCE是平行四边形，
∵CF=BF，∠F=90°，
∴四边形BFCE是正方形，故①正确；
∵BE=CE，BF=BE，CF=BF，
∴BF=CF=CE=BE，
∴四边形BFCE是菱形，
∵∠F=90°，
∴四边形BFCE是正方形，故②正确；
∵BE∥CF，CE⊥BE，
∴CF⊥CE，
∴∠FCE=∠E=∠F=90°，
∴四边形BFCE是矩形，
∵BF=CF，
∴四边形BFCE是正方形，故③正确；
∵CE∥BF，∠FBC=∠FCB=45°，
∴∠ECB=∠FBC=45°，∠EBC=∠FCB=45°，
∵∠F=90°，
∴∠FCE=∠FBE=∠F=90°，
∵BF=CF，
∴四边形BFCE是正方形，故④正确；
即正确的个数是4个.
故选D．
【点睛】
本题主要考查正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定.解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．如图，已知矩形纸片，，，点在边上，将纸片沿折叠，使点落在点处，连接，当是直角三角形时，的面积为_______.
【答案】28或
【解析】
【分析】
由AD=8、AB=6结合矩形的性质可得AC=10，△EFC为直角三角形分两种情况：当∠EFC=90°时和当∠FEC=90°时进行解答即可..
【详解】
解：如图1：
∵，
∴AC=17
①当∠EFC=90°时，则∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，FC=9
∵点F在对角线AC上，
∴AE平分∠BAC，
∴ 即
∴BE=；
∴S△EFC=×9×=
②②当∠FEC=90°时，如图2所示.
∵∠FEC=90°，
∴∠FEB=90°，
∴∠AEF=∠BEA=45°，
∴四边形ABEF为正方形，
∴EF=8，EC=15-8=7.
∴S△EFC=×9×8=28
故答案为28或.
【点睛】
本题考查了翻折变换、矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质以及勾股定理，分∠EFC=90°和∠FEC=90°两种情况进行解答是解题的关键.
12．如图，平行四边形ABCD的周长是22，△ABC的周长是17，则AC的长为___________．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质，得出AD+DC=11，然后根据题意，即可得出AC的长.
【详解】
解：∵平行四边形ABCD的周长是22，
∴AD+DC=11，
∵△ABC的周长是17，
∴AC=17-11=6，
故答案为：6.
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的周长正确求出AD+DC的长度.
13．等腰梯形一个内角为，下底长为，梯形面积为，则梯形的周长为_________
【答案】12
【解析】
【分析】
作于E，作于F，设，表示出等腰梯形的腰、高、上底，用面积列出关于的方程，解出即可求出梯形的周长.
【详解】
解：如图：等腰梯形，，，，，梯形面积为，作于E，作于F，设，
∴，，，
∴四边形是矩形
∴,
∵等腰梯形，，
∴，
又∵,，
∴≌（AAS），
∴，
∴，
∵，，
∴，,
∴，，
∵梯形面积为，
∴=，即，解得：，
又∵，
∴，
∴梯形的周长为=12.
故答案为：12.
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质定理，三角形全等的判定定理，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，等腰梯形的性质，梯形的面积，解题的关键是用字母表示相关线段.
14．如图，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD＝5，DE＝6，则AG的长是________．
【答案】8
【解析】
【详解】
解：连接EG，
∵由作图可知AD=AE，AG是∠BAD的平分线，
∴∠1=∠2，
∴AG⊥DE，OD=DE=3．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AD=DG．
∵AG⊥DE，
∴OA=AG．
在Rt△AOD中，OA==4，
∴AG=2AO=8．
故答案为8.
15．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上一点，且AC＝EC，则∠DAE的度数为_________．
【答案】22.5°
【解析】
【分析】
由四边形ABCD是一个正方形，根据正方形的性质，可得∠ACB=45°，又由AC=EC，根据等边对等角，可得∠E=∠CAE，继而根据等腰三角形的性质和三角形的内角和求得∠EAC的度数，进一步即可求得∠DAE的度数．
【详解】
解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
则．
故答案为：22.5°
【点睛】
此题考查了正方形的性质以及等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
16．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是_____．
【答案】①③④
【解析】
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
又∵AB⊥AD，∴四边形ABCD是正方形，①正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BD，AB⊥BD，
∴平行四边形ABCD不可能是正方形，②错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，OB=OC，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
又OB⊥OC，即对角线互相垂直，
∴平行四边形ABCD是正方形，③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
又∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，
∴平行四边形ABCD是正方形，④正确；
故答案为①③④．
17．如图，ABCD的对角线相交于点O，且ADCD，过点O作OMAC，交AD于点M．如果CDM的周长为8，那么ABCD的周长是__．
【答案】16
【解析】
【分析】
由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，又由OM⊥AC，可得AM=CM，然后由△CDM的周长为8，求得平行四边形ABCD的周长．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵OM⊥AC，
∴AM=CM，
∵△CDM的周长为8，
∴CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=8，
∴平行四边形ABCD的周长是：2×8=16.
故答案为:16.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行四边形与线段垂直平分线的性质.
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．如图，在中，对角线与相交于点，点分别为的中点，连接．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质证明即可．
【详解】
解：，
，，，
∴点、分别为、的中点
，，
，
在和中，，
，
．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质；掌握好平行四边形的性质，熟悉三角形全等判定的条件是解决本题的关键．
19．如图,在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EFBC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E，F．
(1)若CE=8，CF=6，求OC的长．
(2)连接AE，AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【答案】（1）5；（2）四边形AECF是矩形，理由详见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，证出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；
（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
【详解】
解：（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，
∵MNBC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF
∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，
∴OE=OC，OF=OC，
∴OE=OF；
∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，
∴∠ECF=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF=，
∴OC=OE=EF=5；
（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
连接AE、AF，如图所示：
当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【点睛】
本题考查矩形的判定、平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，属于探究型问题，综合性较强．
20．如图矩形，已知，折叠使得边与对角线重合，B点和F点重合，折痕为，且，求
【答案】6
【解析】
【分析】
先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理求出AB的长．
【详解】
四边形ABCD是矩形，AD?=?8，
BC=?8，
△AEF是△AEB翻折而成，
BE?=?EF=?3，?AB?=?AF，△CEF是直角三角形，
CE?=?8?-?3?=?5，
在Rt△CEF中，
，
设AB?=x，
在Rt△ABC中，
，
即，
解得x =?6，
的长为6．
【点睛】
此题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．如图，在正方形中，点、分别在边和上，且，连接、，其相交于点，将沿翻折得到，延长交延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）5．
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的性质得到，，利用定理证明，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）根据折叠的性质得到，，证明，根据勾股定理列式计算即可．
【详解】
（1）证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，
，，
，
由折叠的性质可知，，，
，，
，
，
，
在中，，
即，
解得：，
．
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质定理是解题的关键．
22．如图，在中，过点作，交于点，交于点，过点作，交于点，交于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）已知，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）13
【解析】
【分析】
（1）只要证明DN∥BM，DM∥BN即可；
（2）只要证明△CEM≌△AFN，可得FN＝EM＝5，在Rt△AFN中，根据勾股定理即可解决问题.
【详解】
（1）∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵四边形，都是平行四边形，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
在中，．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．如图，在中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，．
（1）求证：≌；
（2）连接，，当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
【答案】（1）见解析（2）菱形，见解析
【解析】
【分析】
（1）利用SAS证明≌即可求解；
（2）先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直即可得到为菱形．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC,∠ADB=∠CBD，
又∵∠ADB+∠ADE=180°，∠CBF+∠CBD=180°，
∴∠ADE=∠CBF
在△ADE和△CBF中
∴△ADE≌△CBF；
（2）四边形是菱形
理由如下：
如图，连接，，
由（1）得△ADE≌△CBF
∴CF=AE, ∠E=∠F
∴AE∥CF
∴四边形AFCE是平行四边形
当BD平分∠ABC时，∠ABD=∠CBD
又∵AD∥CB，
∴∠ADB=∠DBC
∴∠ABD=∠ABD
∴AD=AB=BC
∴△ABC为等腰三角形
由等腰三角形性质三线合一可得AC⊥EF
∴平行四边形AFCE是菱形
【点睛】
此题主要考查特殊平行四边形的性质与判定，解题的关键是熟知菱形的判定定理．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，F为对角线AC上一点，连接DE、BF，若∠ADE与∠CBF的平分线DG、BG交于AC上一点G，连接EG．
（1）如图1，点B、G、D在同一直线上，若∠CBF＝90°，CD＝3，EG＝2，求CE的长；
（2）如图2，若AG＝AB，∠DEG＝∠BCD，求证：AD＝BF+DE．
【答案】（1）；（2）见详解．
【解析】
【分析】
（1）由题意，先证明△BDE是等腰直角三角形，然后利用等腰三角形的性质和勾股定理，即可求出答案；
（2）在AD上取一点M，使得DM=DE，连接MG，然后根据全等三角形的判定和性质，得到AM=BF，即可得到答案．
【详解】
解：（1）如图，点B、G、D在同一直线上，
∵DG、BG分别是∠ADE与∠CBF的角平分线，且∠CBF＝90°，
∴∠CBD=45°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD=45°，
∴∠BDE=∠ADB=45°，
∴∠BED=，
∴三角形BDE是等腰直角三角形，，
在平行四边形ABCD中，则BD=DG，
∴线段EG是等腰直角三角形BDE的中线，
∴EG⊥BD，
∵，
∴，
在直角三角形CDE中，由勾股定理得
；
（2）如图，在AD上取一点M，使得DM=DE，连接MG，
在△DMG和△DEG中，有
，
∴△DMG≌△DEG，
∴∠DMG=∠DEG=∠BCD，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠DMG=∠BAD，
∴MG∥AB，
∴∠BAF=∠AGM，
∵AG＝AB，
∴∠AGB=∠ABG，
∵∠ABG=∠ABF+∠FBG，∠AGB=∠GBC+∠BCG，
又∵∠FBG=∠GBC，
∴∠ABF=∠BCG，
∵AD∥BC，
∴∠BCG=∠MAG=∠ABF，
在△AMG和△BFA中，有
∴，
∴△AMG≌△BFA，
∴AM=BF，
∴AD=AM+MD=BF+DE．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，解题的关键是正确的作出辅助线，构造全等三角形进行证明．
25．如图，正方形ABCD的边长为1，对角线AC、BD交于点O，E是BC延长线上一点，且AC＝EC，连接AE交BD于点P．
（1）求∠DAE的度数；
（2）求BP的长．
【答案】（1）求∠DAE＝22.5°；（2）BP＝1
【解析】
【分析】
（1）由正方形得到∠ACB＝45°，，由AC＝EC，根据等腰三角形的等边对等角的性质，及三角形外角的性质得到∠E＝22.5°，依据平行线的性质即可得到∠DAE的度数；
（2）由正方形得到AB＝1，∠DAB＝90°，∠DBC＝45°，依据三角形外角的性质得到∠APB＝∠E+∠DBC＝67.5°，而∠BAP＝90°-22.5°＝67.5°，故而∠BAP＝∠APB，依据三角形等角对等边的性质即可求得BP的长.
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD的正方形，
∴∠ACB＝45°，，
∵AC＝EC，
∴∠E＝∠EAC，
又∵∠ACB＝∠E+∠EAC＝45°，
∴∠E＝22.5°，
∵，
∴∠DAE＝∠E＝22.5°；
（2）∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长是1，
∴AB＝1，∠DAB＝90°，∠DBC＝45°，
∵∠DAE＝22.5°，
∴∠BAP＝90°-22.5°＝67.5°，∠APB＝∠E+∠DBC＝22.5°+45°＝67.5°，
∴∠BAP＝∠APB，
∴BP＝AB＝1．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、平行线的性质、等腰三角形的等边对等角的性质、等角对等边的性质、三角形外角的性质，第（2）问求出∠BAP和∠APB的度数是解题的关键.
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