第十八章 平行四边形 单元检测卷02（含解析）

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第十八章《平行四边形》检测卷02
第I卷（选择题）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（???????）
A．AD=BC B．AB=CD C．AD∥BC D．∠A=∠C
2．如图，P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则PA+PE最小值是（　　）
A． B． C． D．
3．能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A：∠B：∠C：∠D的值为（???????）
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．1：2：1：2
4．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点，点E为AB的中点，连接OE，若，，则BD的长度为（???????）
A． B．6 C． D．3
5．如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．2
6．如图，的对角线AC，BD相交于点O，是AB中点，且AE+EO=4，则的周长为　　
A．20 B．16 C．12 D．8
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为（　　）
A． B． C． D．
8．下列命题中，是真命题的是（???）
A．若菱形ABCD的对角线的长分别为6，8，则该菱形的边长为10
B．若菱形ABCD的一个内角为60°，且其中一条对角线长为3，则该菱形的边长为3
C．若☉O经过菱形OABC的顶点A，B，C，则该菱形的一个内角为60°
D．若菱形ABCD的对角线相等，则∠ABC=60°或120°
9．如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点C与A重合．若长方形的长BC为8，宽AB为4，则折痕EF的长度为(　　)
A．5 B．3 C．2 D．3
10．如图，矩形ABCD和矩形CEFG，AB＝1，BC＝CG＝2，CE＝4，点P在边GF上，点Q在边CE上，且PF＝CQ，连结AC和PQ，M，N分别是AC，PQ的中点，则MN的长为（　　）
A．3 B．6 C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，DC=DB，则∠CDB=__．
12．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为________．
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为_____．
14．如图，菱形的对角线相交于点，过点作交的延长线于点，连接．若菱形的面积等于12，对角线，则的长为_________．
15．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝_____，平行四边形CDEB为菱形．
16．如图，以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB长度的最小值为_________．
17．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是_____．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE.过点C作CF//BD交OE的延长线于点F，连接DF.
求证：（1）△ODE≌△FCE;
（2）四边形OCFD是矩形．
19．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．
（1）求证：OM=ON．
（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
20．如图，□ABCD中，AC为对角线，EF⊥AC于点O,交AD于点E,交BC于点F，连结AF、CE.请你探究当O点满足什么条件时，四边形AFCE是菱形，并说明理由.
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
22．已知：AC是菱形ABCD的对角线，延长CB至点E，使得BE＝BC，连接AE．
（1）如图1，求证：AE⊥AC；
（2）如图2，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，若AE＝6，CE＝10，求DF的长．
23．如图，在中，于点E点，延长BC至F点使，连接AF，DE，DF.
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若，，，求AE的长.
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．
（1）求证：△BGF≌△FHC；
（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．
25．如图，矩形ABCD中，AB=4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，求AD的长．
第十八章《平行四边形》检测卷02
第I卷（选择题）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（???????）
A．AD=BC B．AB=CD C．AD∥BC D．∠A=∠C
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可．
【详解】
解：A、当AB∥CD，AD=BC时，四边形ABCD可能为等腰梯形，所以不能证明四边形ABCD为平行四边形；
B、AB∥CD，AB=DC，一组对边分别平行且相等，可证明四边形ABCD为平行四边形；
C、AB∥CD，AD∥BC，两组对边分别平行，可证明四边形ABCD为平行四边形；
D、∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠D=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
2．如图，P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则PA+PE最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用轴对称最短路径求法，得出A点关于BD的对称点为C点，连接EC交BD于点P即为最短路径位置，利用勾股定理求出即可．
【详解】
连接AC，EC，EC与BD交于点P，连接AP，此时PA+PE的值最小．
∵ABCD是正方形，∴BD垂直平分AC，∴AP=PC，∴PA+PE=PC+PE=EC．
正方形ABCD中，∵AB=BC=1，E为AB中点，∴BE=，∴EC==．
故选A．
【点睛】
本题考查了利用轴对称求最短路径问题以及正方形的性质和勾股定理，利用正方形性质得出A，C关于BD对称是解题的关键．
3．能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A：∠B：∠C：∠D的值为（???????）
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．1：2：1：2
【答案】D
【解析】
【分析】
从角的方面判定平行四边形的方法：对角相等的四边形是平行四边形.
【详解】
解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．
故选D．
两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以∠A和∠C是对角，∠B和∠D是对角，对角的份数应相等．只有选项D符合．
【点睛】
本题考查了根据角的关系判定平行四边形，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
4．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点，点E为AB的中点，连接OE，若，，则BD的长度为（???????）
A． B．6 C． D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
利用三角形中位线定理求出AD，再在Rt△AOD中，解直角三角形求出OD即可．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，∠ADO=∠CDO=30°
∵AE=EB，BO=OD
∴AD=2OE=6
在Rt△AOD中
∵AD=6，∠AOD=90°，∠ADO=30°
∴OD=，
∴BD=2OD=．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，结合三角形知识点，包括中位线定理、等边三角形定理和直角三角形的性质．
5．如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．2
【答案】A
【解析】
【详解】
试题分析：根据正方形的对角线互相垂直可得：OA⊥OD，对角线平分一组对角可得∠OAD=45°，然后求出四边形OEPF为矩形，△APE是等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等可得PF=OE，根据等腰直角三角形的性质可得PE=AE，从而得出PE+PF=OA，然后根据正方形的性质得出OA的长度，故选A．
6．如图，的对角线AC，BD相交于点O，是AB中点，且AE+EO=4，则的周长为　　
A．20 B．16 C．12 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
首先证明：OE=BC，由AE+EO=4，推出AB+BC=8即可解决问题；
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵AE=EB，
∴OE=BC，
∵AE+EO=4，
∴2AE+2EO=8，
∴AB+BC=8，
∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16，
故选B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型．
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，所以平行四边形ABCD的面积即可求出．
【详解】
解：∵AC＝2，BD＝4，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC＝1，BO＝BD＝2，
∵AB＝，
∴AB2+AO2＝BO2，
∴∠BAC＝90°，
∵在Rt△BAC中，BC＝，S△BAC＝×AB×AC＝×BC×AE，
∴×2＝AE，
∴AE＝．
故选：D
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键．
8．下列命题中，是真命题的是（???）
A．若菱形ABCD的对角线的长分别为6，8，则该菱形的边长为10
B．若菱形ABCD的一个内角为60°，且其中一条对角线长为3，则该菱形的边长为3
C．若☉O经过菱形OABC的顶点A，B，C，则该菱形的一个内角为60°
D．若菱形ABCD的对角线相等，则∠ABC=60°或120°
【答案】C
【解析】
【分析】
逐一进行判断即可．
【详解】
A. 若菱形ABCD的对角线的长分别为6，8，根据勾股定理可知菱形的边长为5，故该选项错误；
B. 若菱形ABCD的一个内角为60°，且其中较长的对角线长为3，则该菱形的边长不为3，故该选项错误；
C. 若☉O经过菱形OABC的顶点A，B，C，则都是等边三角形，所以该菱形的一个内角为60°，故该选项正确；
D. 若菱形ABCD的对角线相等，菱形ABCD是正方形，则∠ABC=90°，故该选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查真命题，掌握菱形的有关性质是关键．
9．如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点C与A重合．若长方形的长BC为8，宽AB为4，则折痕EF的长度为(　　)
A．5 B．3 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
过F点作FH⊥AD于H，在Rt△EHF中根据勾股定理即可求出EF的长．
【详解】
解：如图所示，过F点作FH⊥AD于H，
设CF=x，则BF=8?x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
∴16+(8?x)2=x2，
解得：x=5，
∴AF=CF=5，
∵AD//BC，
∴∠AEF=∠EFC，
又∵∠AFE=∠EFC，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF=5，
∴EH=AE?AH=2，
∵FH=4，
∴EF2=42+22=20，
∴EF=；
故选C．
10．如图，矩形ABCD和矩形CEFG，AB＝1，BC＝CG＝2，CE＝4，点P在边GF上，点Q在边CE上，且PF＝CQ，连结AC和PQ，M，N分别是AC，PQ的中点，则MN的长为（　　）
A．3 B．6 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接CF，交PQ于R，延长AD交EF于H，连接AF，则四边形ABEH是矩形，求出FH＝1，AF＝，由ASA证得△RFP≌△RCQ，得出RP＝RQ，则点R与点M重合，得出MN是△CAF的中位线，即可得出结果．
【详解】
解：连接CF，交PQ于R，延长AD交EF于H，连接AF，如图所示：
则四边形ABEH是矩形，
∴HE＝AB＝1，AH＝BE＝BC+CE＝2+4＝6，
∵四边形CEFG是矩形，
∴FG∥CE，EF＝CG＝2，
∴∠RFP＝∠RCQ，∠RPF＝∠RQC，FH＝EF﹣HE＝2﹣1＝1，
在Rt△AHF中，由勾股定理得：AF＝，
在△RFP和△RCQ中，，
∴△RFP≌△RCQ（ASA），
∴RP＝RQ，
∴点R与点M重合，
∵点N是AC的中点，
∴MN是△CAF的中位线，
∴MN＝，
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；作辅助线构建全等三角形是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，DC=DB，则∠CDB=__．
【答案】40°
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质，平行四边形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】
∵四边形是平行四边形，
∴∠A=∠C=70°,
∵DC=DB,
∴∠C=∠DBC=70°，
∴∠CDB=180°-70°-70°=40°.
故答案是：40°．
【点睛】
考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.
12．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为________．
【答案】2
【解析】
【分析】
先根据题意得到BE为∠ABC的平分线，再根据平行四边形的定义和性质得到AD∥BC，AD=BC=6，进而得到AB=AE=4，即可求出DE=2．
【详解】
解：由尺规作图得，BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=6，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=4，
∴DE=AD-AE=2．
故答案为：2
【点睛】
本题考查了尺规作图-作已知角的角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟知作已知角的角平分线做法和平行四边形、等腰三角形性质并灵活应用是解题关键．
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN=AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【详解】
解：∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝，
∴MN的最小值为；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．如图，菱形的对角线相交于点，过点作交的延长线于点，连接．若菱形的面积等于12，对角线，则的长为_________．
【答案】3
【解析】
【分析】
由菱形的性质得出，由菱形的面积得出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
【详解】
解：四边形是菱形，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
15．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝_____，平行四边形CDEB为菱形．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据勾股定理求得AB=5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD=OB，CD=CB；最后Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB的值，则
【详解】
解：如图,连接CE交AB于点O．
∵Rt△ABC中,，AC=4，BC=3
∴ (勾股定理)
若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD=OB，CD=CB．
∵
∴
∴在Rt△BOC中,根据勾股定理得，???
∴
故答案是：．
【点睛】
本题考查菱形的判定与性质,解题的关键是熟记菱形的判定方法．
16．如图，以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB长度的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠OCD=∠ODB=45°，正方形的对角线互相垂直平分且相等可得∠COD=90°，OC=OD，然后根据同角的余角相等求出∠COA=∠DOB，再利用“ASA”证明△COA和△DOB全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，再根据垂线段最短可得OA⊥CD时，OA最小，然后求出OA，再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍解答．
【详解】
解：如图，
∵四边形CDEF是正方形，
，
，
，
在与中，
，
，
∴OA=OB，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
由勾股定理得： ,
要使AB最小，只要OA取最小值即可，
根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，
∵正方形CDEF，
∴FC⊥CD，OD=OF，
∴CA=DA，
∴OA=,
∴AB=．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理，熟记各性质并求出三角形全等，然后求出△AOB是等腰直角三角形是解题的关键．
17．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是_____．
【答案】①③④
【解析】
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
又∵AB⊥AD，∴四边形ABCD是正方形，①正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BD，AB⊥BD，
∴平行四边形ABCD不可能是正方形，②错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，OB=OC，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
又OB⊥OC，即对角线互相垂直，
∴平行四边形ABCD是正方形，③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
又∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，
∴平行四边形ABCD是正方形，④正确；
故答案为①③④．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE.过点C作CF//BD交OE的延长线于点F，连接DF.
求证：（1）△ODE≌△FCE;
（2）四边形OCFD是矩形．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意得出，，根据AAS即可证明；
（2）由（1）可得到，再根据菱形的性质得出，即可证明平行四边形OCFD是矩形.
【详解】
证明：（1），
，.
E是CD中点，，
又
(AAS)
（2），
，.
，
四边形OCFD是平行四边形，
平行四边形ABCD是菱形，
.
平行四边形OCFD是矩形.
【点睛】
此题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题关键在于利用全等三角形的性质进行解答.
19．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．
（1）求证：OM=ON．
（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
【答案】（1）见解析；（2）MN=2
【解析】
【分析】
（1）证△OAM≌△OBN即可得；
（2）作OH⊥AD，由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH=HA=2，HM=4，再根据勾股定理得OM=2 ，由直角三角形性质知MN=OM=2．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°，
∴∠OAM=∠OBN=135°，
∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，
∴∠AOM=∠BON，
∴△OAM≌△OBN（ASA），
∴OM=ON；
（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，
∵正方形的边长为4，
∴OH=HA=2，
∵E为OM的中点，
∴HM=4，
则OM==2，
∴MN=OM=2．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分一组对角及全等三角形的判定与性质．
20．如图，□ABCD中，AC为对角线，EF⊥AC于点O,交AD于点E,交BC于点F，连结AF、CE.请你探究当O点满足什么条件时，四边形AFCE是菱形，并说明理由.
【答案】当O是AC的中点时，四边形AFCE是菱形，理由见解析.
【解析】
【分析】
当O是AC的中点时，四边形AFCE是菱形；根据平行四边形性质推出AD∥BC，根据全等三角形的判定和性质求出OE=OF，推出平行四边形AFCE，根据菱形的判定推出即可．
【详解】
解：当O是AC的中点时，四边形AFCE是菱形.
理由如下:连接AF，CE.
∵在?ABCD中,AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO.
∵点O是AC的中点，
∴AO=CO.
又∵∠EOA=∠FOC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF.
又∵AO=CO，
∴四边形AFCE是平行四边形.
∴当EF⊥AC时,四边形AFCE是菱形.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定等知识点的运用，关键是根据题意推出OE=OF，题目比较典型．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析（2）菱形
【解析】
【详解】
分析：（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；
详证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABE=∠ADF，
在△ABE与△ADF中
，
∴△ABE≌△ADF（SAS）
（2）如图，连接AC，
四边形AECF是菱形．
理由：在正方形ABCD中，
OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，
∴OB+BE=OD+DF，
即OE=OF，
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
点睛：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
22．已知：AC是菱形ABCD的对角线，延长CB至点E，使得BE＝BC，连接AE．
（1）如图1，求证：AE⊥AC；
（2）如图2，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，若AE＝6，CE＝10，求DF的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接BD，交AC于点O，由菱形的性质可得AO=CO，∠BOC=90°，由三角形的中位线定理可得OB=AE，BD∥AE，即可得结论；
（2）由勾股定理可求AC的长，再根据BE＝BC，AE＝2BO，BO＝3＝DO，BC＝5＝AB，由菱形的面积公式可求DF的长．
【详解】
（1）证明：连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形
∴AO＝CO，∠BOC＝90°
∵AO＝CO，BE＝BC
∴OB＝AE，BD∥AE，且∠BOC＝90°
∴∠EAC＝∠BOC＝90°
∴AE⊥AC
（2）连接BD，
∵∠EAC＝90°，AE＝6，CE＝10，
∴AC＝＝8
∵AE＝6，CE＝10，BE＝BC，AE＝2BO
∴BO＝3＝DO，BC＝5＝AB
∵S菱形ABCD＝DF×AB＝AC×BD，
∴5DF＝×6×8
∴DF＝
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
23．如图，在中，于点E点，延长BC至F点使，连接AF，DE，DF.
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若，，，求AE的长.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．
（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．
【详解】
（1）证明：∵CF=BE，
∴CF+EC=BE+EC．
即?EF=BC．
∵在?ABCD中，AD∥BC且AD=BC，
∴AD∥EF且AD=EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°．
∴四边形AEFD是矩形；
（2）∵四边形AEFD是矩形，DE=8，
∴AF=DE=8．
∵AB=6，BF=10，
∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．
∴∠BAF=90°．
∵AE⊥BF，
∴△ABF的面积=AB?AF=BF?AE．
∴AE=．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．
（1）求证：△BGF≌△FHC；
（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．
【答案】见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可；
（2）利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可．
【详解】
（1）连接EF，∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，
∴FH∥BE，FH=BE，FH=BG，
∴∠CFH=∠CBG，
∵BF=CF，
∴△BGF≌△FHC，
（2）当四边形EGFH是正方形时，连接GH，可得：EF⊥GH且EF=GH，
∵在△BEC中，点G，H分别是BE，CE的中点，
∴ 且GH∥BC，
∴EF⊥BC，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴AB=EF=GH=a，
∴矩形ABCD的面积=
【点睛】
此题考查正方形的性质，关键是根据全等三角形的判定和正方形的性质解答．
25．如图，矩形ABCD中，AB=4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，求AD的长．
【答案】10.
【解析】
【分析】
根据相似图形的性质进行解答即可.
【详解】
解：∵矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，
∴???????，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=4
∴，
∴DE=8，AE=2，
∴AD=AE+DE=2+8=10．
【点睛】
本题主要考查相似图形的性质，相似图形的对应边成比例，比例即为相似比.
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