【课件】第二章-§4函数的奇偶性与简单的幂函数 高中数学-北师大版-必修第一册(共48张PPT)

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高中数学-北师大版-必修第一册
§4 函数奇偶性与简单的幂函数
第二章 函 数
学习目标
重点：幂函数的概念、奇偶函数的概念.
难点：幂函数的图象与性质及函数奇偶性的判断.
知识梳理
1.函数的奇偶性定义
一般地，设函数f（x）的定义域是A，如果对任意的x∈A，有-x∈A，且f（-x）＝-f（x），那么称函数f（x）为奇函数.奇函数的图象关于原点对称，反之亦然.
设函数f（x）的定义域是A，如果对任意的x∈A，有-x∈A，且f（-x）＝f（x），那么称函数f（x）为偶函数.偶函数的图象关于y轴对称，反之亦然.
当函数f（x）是奇函数或偶函数时，称f（x）具有奇偶性.
奇函数和偶函数的定义域均关于　　　对称.
原点
2.幂函数的定义
3.幂函数的图象和性质
例1
一　函数奇偶性的判断
<1>一般函数奇偶性的判断
常考题型
解题归纳
训练题
Ａ
例2
<2>分段函数奇偶性的判断
训练题
例3
<3>抽象函数奇偶性的判断
已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x>0时，f（x）<0.给出下列四个结论：
①f（0）＝0；②f（x）为偶函数；③f（x）为R上的减函数；④f（x）为R上的增函数.
其中正确的结论是 （　　）
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
【解析】　取x＝y＝0，则f（0+0）＝2f（0），∴ f（0）＝0，①正确.
取y＝-x，则f（x-x）＝f（x）+f（-x）＝f（0）＝0，
∴ f（-x）＝-f（x）对任意x∈R恒成立，∴ f（x）为奇函数，②错误.
任取x1，x2∈（-∞，+∞），且x1则x2-x1>0，f（x2-x1）＝f（x2）+f（-x1）<0，∴ f（x2）<-f（-x1）.
又f（x）为奇函数，∴ f（x1）>f（x2）.
∴ f（x）是R上的减函数，③正确，④错误.
【答案】　A
抽象函数奇偶性的判断方法
判断抽象函数f（x）的奇偶性时，因为f（x）无具体的解析式，所以首先要充分利用给定的条件，对变量进行赋值，使其变为含有f（x），f（-x）的式子，再利用奇、偶函数的定义加以判断.
至于如何赋值，要根据解题目标来确定，一般可通过赋值-1，0或1来达到解题目的.
解题归纳
训练题
1.
Ｄ
训练题
2.
二　函数奇偶性的应用
<1>利用奇偶性求参数的值
例4
【解题提示】　思路一：由f（-x）＝-f（x）得出关于x的恒等式，利用恒等式成立的条件求参数.
思路二：根据函数具有奇偶性则定义域关于原点对称求参数.
解题归纳
训练题
1.
2.
Ｂ
0
<2>利用奇偶性求函数值
例5
利用函数奇偶性求值的方法
（1）未知的值或区间不在已知的范围内，可利用奇偶性将未知的值或区间转化为已知的值或区间.
（2）有些函数虽然是非奇非偶函数，但观察表达式可以发现其间存在含奇偶性的表达式，所以可借助奇函数或偶函数的性质间接求值.
解题归纳
训练题
Ｃ
2.［2020·山东青岛高一检测］已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）-g（x）＝x3+x2+2，则f（1）+g（1）＝ （　　）
A.-2 B.-1 C.1 D.2
Ｄ
<3>利用奇偶性求解析式
例6
已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2-x，则函数f（x）在R上的解析式是 （　　）
A. f（x）＝x2+x B. f（x）＝x（|x|-1）
C. f（x）＝|x|（|x|-1） D. f（x）＝|x|（x-1）
【解题提示】　先设x<0，则-x>0，然后根据x≥0时函数的解析式及f（x）为偶函数，利用f（-x）＝f（x）即可求解.
【解析】　由题意，设x<0，则-x>0，
∵ x≥0时，f（x）＝x2-x，∴ f（-x）＝（-x）2+x＝x2+x.
∵ f（x）是定义在R上的偶函数，∴ f（-x）＝f（x），∴ f（x）＝x2+x，
∴ f（x）＝|x|2-|x|＝|x|（|x|-1）.
【答案】　C
应用函数的奇偶性求函数解析式的方法
（1）“求谁设谁”，即求函数在哪个区间内的解析式，x就设在哪个区间内；
（2）将所设区间的x转化到已知区间，代入已知区间的函数解析式；
（3）利用f （x）的奇偶性写出-f （x）或f（x），从而解出f（x）.
解题归纳
训练题
1.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（-∞，0）时，f（x）＝x2（x-1）；当x∈（0，+∞）时，f（x）＝　　　　.
x2（x+1）
三　奇、偶函数图象特征的应用
例8
［2020·安徽黄山徽州一中高一检测］已知奇函数f（x）在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf（x）<0的解集为（　　）
A.（-2，-1）∪（1，2）　　 B.（-2，-1）
C.（-1，0）∪（1，2）　　 D.（-1，0）
解题归纳
奇、偶函数的图象特征及其应用
（1）偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称.
（2）函数奇偶性反映到图象上是图象的对称性，因此当问题涉及奇函数或偶函数时，不妨利用图象的对称性解决，或者研究关于原点对称的区间上的函数值的有关规律等.
规律技巧
（1）一个奇函数在［a，b］上的最大值为M，最小值为m，则它在［-b，-a］上的最大值为-m，最小值为-M.
（2）一个偶函数在［a，b］和［-b，-a］上的最大值和最小值分别相同.
上述结论可概括为“奇异偶同”.
训练题
{x|-2四　奇偶性与单调性的综合应用
例9
（1）［2020·云南曲靖罗平一中高一检测］若奇函数f（x）在定义域（-1，1）上递增，且f（1-a）+f（1-a2）≤0，则a的取值范围是　　　　.
（2）［2020·福建福州一中高一检测］已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（-∞，0］上是减函数，若f（2x-1）A.（0，+∞） B.（0，1）
C.（-∞，1） D.（-∞，0）∪（1，+∞）
已知函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围；
（2）运用函数的单调性的定义建立关于参数的不等式（组），解不等式（组）求出参数的取值范围.
解题归纳
训练题
1.已知f（x）＝x|x|，则满足f（2x-1）+f（x）≥0的x的取值范围为　　　　.
2.设函数f （x）是定义在R上的奇函数，f （-2）＝0，若f（x）在（0，+∞）上单调递减，则不等式（x+1）f（x-1）>0的解集为　　　　.
五　幂函数的简单应用
<1>利用幂函数的概念与性质求参数
例10
训练题
Ａ
3
<2>利用幂函数的单调性比较大小
例11
训练题
Ａ
Ｃ
小结
1.函数的奇偶性定义
一般地，设函数f（x）的定义域是A，如果对任意的x∈A，有-x∈A，且f（-x）＝-f（x），那么称函数f（x）为奇函数.奇函数的图象关于原点对称，反之亦然.
设函数f（x）的定义域是A，如果对任意的x∈A，有-x∈A，且f（-x）＝f（x），那么称函数f（x）为偶函数.偶函数的图象关于y轴对称，反之亦然.
奇函数和偶函数的定义域均关于原点对称.
2.幂函数的图象和性质
【戮力同心 共赴前程】
生如蝼蚁当立鸿鹄之志
命如纸薄应有不屈之心
谢谢
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