【课件】第二章-§2函数 2.2函数的表示法 高中数学-北师大版-必修第一册(共48张PPT)

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高中数学-北师大版-必修第一册
§2 函 数
2.2 函数的表示法
第二章 函 数
学习目标
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列举法、解析法）表示函数.
2.理解函数图象的作用.
3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
重点：函数的表示法.
难点：分段函数的表示及图象.
知识梳理
函数的表示方法
函数的表示方法通常有解析法、列表法和图象法.
取整函数
设x为任一实数，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作［x］，如当x＝3.14时，［x］＝［3.14］＝3；当x＝-3.14时，［x］＝［-3.14］＝-4.
于是，我们把y＝［x］叫作取整函数.
例1
一　函数的列表法与图象法表示
常考题型
下表是某校高一（1）班三名同学六次数学测试的成绩及班级平均分表.
（1）选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系；
（2）根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析.
1 2 3 4 5 6
小伟 98 87 91 92 88 95
小城 90 76 88 75 86 80
小磊 68 65 73 72 75 82
班级平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6
【解】　（1）不能用解析法表示，用图象法表示为宜.
在同一个坐标系内画出这四个函数的图象，如图所示.
（2）小伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀.小城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大.小磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高.
函数的三种表示方法及其优缺点
（1）解析法、列表法、图象法均是函数的表示方法，解析法是从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系；图象法从“形”的方面刻画了变量之间的数量关系；列表法可根据表格，由自变量x的取值查到和它对应的唯一的函数值y.
（2）三种表示方法各有优缺点，并不是所有的函数都能用解析法表示，解题时要根据需要选择适当的表示方法，无论用哪种方法表示函数，都必须满足函数的概念.
（3）在用三种方法表示函数时要注意：
①解析法必须注明函数的定义域；②列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系；③图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”.
解题归纳
已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如下表.
训练题
1.
x 1 2 3
f（x） 2 3 1
x 1 2 3
g（x） 1 3 2
填写下列表格，其中三个数由左到右依次为 （　　）
x 1 2 3
f（g（x））
A.2，1，3 B.1，2，3 C.3，2，1 D.1，3，2
A
2. ［2020·重庆育才中学高一检测］已知函数y＝f（x）的对应关系如下表，函数y＝g（x）的图象是如图所示的曲线ABC，其中A（1，3），B（2，1），C（3，2），则g（f（2））的值为　　　　，f（g（2））的值为　　　　.
1
x 1 2 3
f（x） 3 2 1
3
例2
二　求函数的解析式
<1>已知函数类型求函数解析式
已知二次函数f（x）满足f（x+1）＝f（x）+2x，且f（0）＝1，求f（x）的解析式.
二次函数解析式的三种常见形式
（1）一般式：f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）.
（2）顶点式：f（x）＝a（x-m）2+n（a≠ 0，（m，n）为函数图象的顶点坐标）.
（3）两根式：f（x）＝a（x-x1）（x-x2）（a≠0，x1，x2为方程f（x）＝0的两个实根）.
解题时根据题设条件灵活选取即可.
解题归纳
训练题
训练题
例3
<2>用换元法、配凑法求函数解析式
用换元法（或配凑法）求函数解析式的思路
已知f（g（x））＝h（x），求f（x），常用的两种方法：
①换元法，即令t＝g（x），解出x，代入h（x），得到一个含t的解析式，然后把解析式中的t用x代替，注意换元后新元的范围.
②配凑法，即从f（g（x））的解析式中配凑出“g（x）”，用g（x）来表示h（x），然后将解析式中的g（x）用x代替即可.
解题归纳
训练题
1.
C
2.
<3>用消元法（或解方程组法）求函数解析式
例4
用消元法（或解方程组法）求函数解析式
在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要根据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由这两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫作消元法（或解方程组法），即已知f（x）与f（φ（x））满足的关系式，要求f（x）时，可用φ（x）代替两边所有的x，得到关于f（x）及f（φ（x））的方程组，解之即可求出f（x）.
解题归纳
训练题
1.
2.
<4>求抽象函数的解析式
例5
若函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）＝x（x+2y+1）成立，且f（1）＝0，求f（x）的解析式.
【解】　∵ f（x+y）-f（y）＝x（x+2y+1）对任意实数x，y均成立，
∴ 可令x＝1，y＝0，得f（1）-f（0）＝2.
∵ f（1）＝0，∴ f（0）＝-2.
令y＝0得f（x）-f（0）＝x（x+1），∴ f（x）+2＝x2+x，
即f（x）＝x2+x-2.
用赋值法求函数解析式
当所给的函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再根据已知条件求出函数解析式，具体取什么特殊值，要根据题目特征而定.需要说明的是，依据这样的关系式，不是都可以求出函数解析式的.
解题归纳
训练题
已知对任意实数x，y都有f（x+y）-2f（y）＝x2+2xy-y2+3x-3y，求f（x）.
解：（方法一）∵ f（x+y）- 2f（y）＝x2+2xy-y2+3x-3y对任意实数x，y都成立，
∴ 可令x＝y＝0，得f（0）-2f（0）＝0，即f（0）＝0.
再令y＝0，得f（x）-2f（0）＝x2+3x，∴ f（x）＝x2+3x.
（方法二）令x＝0，得f（y）-2f（y）＝-y2-3y，
即-f（y）＝-y2-3y.因此f（y）＝y2+3y.故f（x）＝x2+3x.
三　函数图象问题
<1>函数图象的画法
例6
作出下列函数的图象并求出其值域.
x … 1 2 3 …
y … 4 2 1 2 3 …
（2）y＝x2+2x＝（x+1）2-1，x∈［-2，2］.列表如下：
x -2 -1 0 1 2
y 0 -1 0 3 8
作出该函数的图象如图所示，图象是抛物线y＝x2+2x在-2≤x≤2之间的部分，可得函数的值域是［-1，8］.
归纳总结
（1）分段函数的图象应该分段画.
（2）在画图象的某一段时，可先画出该段解析式对应的整个图象，再在上面截取所要的图象.
（3）画出函数图象后，可直接得到函数的值域，故图象法是求函数值域的重要方法之一.
（4）一般地，函数y＝|x-a|的图象关于直线x＝a对称.
解题归纳
解题归纳
训练题
［2020·辽师附中高一检测］已知函数f（x）＝x|x-2|.
（1）画出函数f（x）的大致图象；
（2）若方程f（x）＝m有两个根，求实数m的取值集合；
（3）若方程f（x）＝m有三个根，求实数m的取值集合.
（2）因为y＝m与x无关，故其图象是平行于x轴的直线.f（x）＝m有两个实根，
即曲线y＝f（x）与直线y＝m有两个交点，所以m＝0或m＝1，所以m∈{0，1}.
（3）观察图象，当0即f（x）＝m有三个根，所以m∈（0，1）.
<2>图象的识别
例8
［2020·山东师范大学附属中学高一检测］如图所示的4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（　　）
①小明离开学校不久，发现自己把作业本忘在教室，于是立刻返回教室取了作业本再回家；
②小明放学回家骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
③小明放学从学校出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.
（1）　　　　（2）　　　　 　（3）　　　 　　（4）
A.（1）（2）（4） B.（4）（1）（2） C.（4）（1）（3） D.（4）（2）（3）
【解析】　①根据回学校后，离开学校的距离又变为0，可判断①的图象开始后不久又回归为0，与（4）吻合；②由于途中遇到一次交通堵塞，可判断中间有一段函数值没有发生变化，与（1）吻合；③由于为了赶时间开始加速，可判断函数图象的上升速度越来越快，与（2）吻合.综上，所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（4）（1）（2）.
【答案】　B
［2020·河南信阳高一检测］如图所示，平面图形中阴影部分的面积S是h（h∈［0，H］）的函数，则该函数的图象大致是（　　）
训练题
D
　A　　　　　　B　　　　　　C　　 　　　　D
<3>图象的应用
例9
对于任意的实数x1，x2，min{x1，x2}表示x1，x2中较小的那个数.若f（x）＝2-x2，g（x）＝x，则min{f（x），g（x）}的最大值是　　　　.
本题亦可直接在同一直角坐标系中，分别作出f（x）＝2-x2，g（x）＝x的图象，求出图象交点的横坐标x1，x2，则x1，x2将x轴分成三段，在每一段下方的图象便构成h（x）的图象，再从h（x）的图象上找出最高点的纵坐标，即为h（x）的最大值.
解题归纳
训练题
四　分段函数问题
<1>分段函数的求值问题
例10
解决分段函数求值问题的策略
（1）在求分段函数的值f（x0）时，首先判断x0属于定义域的哪个区间，然后把x0代入相应的关系式求解.
（2）分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数.分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段求解.
（3）求f（f（f（a）））的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则.
解题归纳
训练题
D
B
<2>不等式求参数问题
例11
【解题提示】　当a>0时，f（a）＝-a2<0恒成立；
当a＝0时，f（a）＝-a2＝0；
当a<0时，f（a）＝a2+2a，此时，当a≤-2时，f（a）≥0，当-2故本题应当分四种情况讨论，分别求出f（a），从而求出f（f（a）），然后分别解不等式，综合可得结果.
解决分段函数求值问题的策略
（1）在求分段函数的值f（x0）时，首先判断x0属于定义域的哪个区间，然后把x0代入相应的关系式求解.
（2）分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数.分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段求解.
（3）求f（f（f（a）））的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则.
解题归纳
训练题
A
（-∞，-1）
小结
函数的表示方法
函数的表示方法通常有解析法、列表法和图象法.
取整函数
设x为任一实数，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作［x］，如当x＝3.14时，［x］＝［3.14］＝3；当x＝-3.14时，［x］＝［-3.14］＝-4.
于是，我们把y＝［x］叫作取整函数.
【戮力同心 共赴前程】
生如蝼蚁当立鸿鹄之志
命如纸薄应有不屈之心
谢谢
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