【课件】第一章-§4 一元二次函数与一元二次不等式-4.2 一元二次不等式及其解法 4.3 一元二次不等式的应用 高中数学-北师大版-必修第一册 (共36张PPT)

(共36张PPT)
高中数学-北师大版-必修第一册
§4 一元二次函数与一元二次不等式4.2 一元二次不等式及其解法
4.3 一元二次不等式的应用
第一章　预备知识
学习目标
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
3.会解一元二次不等式，并会利用一元二次不等式解决实际问题.
重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次
不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.
难点：理解一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的解
集的关系.
知识梳理
一、一元二次不等式的概念
一般地，形如ax2+bx+c>0，或ax2+bx+c<0，或ax2+bx+c≥0，或ax2+bx+c≤0（其中，x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0）的不等式叫作一元二次不等式.
使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集.
y＝ax2+bx+c（a>0）
方程ax2+bx+c＝0的 判别式Δ＝b2-4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
方程ax2+bx+c＝0的实数根 有两相异实根x1，x2（x1函数y＝ax2+bx+c的图象
不等式ax2+bx+c>0的解集 {x|xx2} R
不等式ax2+bx+c<0的解集 {x|x1二、一元二次不等式与相应的一元二次函数、一元二次方程的关系
三、一元二次不等式的求解方法(图解法)
（1）将原不等式化为标准形式，或，或 ax2+ bx+c0，或 ax2+ bx+c0 （a>0）；
（2）求Δ＝b2-4ac；
（3）若Δ<0，根据一元二次函数的图象直接写出解集；
（4）若Δ≥0，求出对应方程的根，画出对应一元二次函数的图象，写出解集.
图解法解一元二次不等式的一般步骤
例1 解不等式：（1）-3x2+6x-2>0；（2）4x2-4x+1≤0.
一、不含参数的一元二次不等式的解法
常考题型
（1）
（2）
解题归纳
解不含参数的一元二次不等式的步骤
1.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.
2.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.
3.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
4.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数图象的草图.
5.根据图象写出不等式的解集.
记忆口诀：
设相应的二次函数的图象开口向上，并与x轴相交，则有口诀：大于取两边；小于取中间.
1. ［2020·江苏南师附中高一检测］已知集合 U＝R ，集合A＝{x|x2-3x+2>0}，则UA＝（　　）
A.（1，2） B.[1，2] C.（-2，-1） D.[ -2，-1]
2. “x2-3x+2<0”是“x<2”成立的（　　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
B
A
训练题
二、简单分式不等式的解法
例2
注意将分式不等式转化为整式不等式求解.
1.若集合A＝，B＝{x|-1A.［-2，2） B.（-1，1］
C.（-1，1） D.（-1，2）
2.不等式 ≤x-2的解集是 （　　）
A.（-∞，0]∪（2，4] B.[0，2）∪[4，+∞）
C.[2，4） D.（-∞，2]∪（4，+∞）
B
C
训练题
例3 ［2020·上海华东师范大学第一附属中学高二检测］解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax（a∈R）.
三、含参数的一元二次不等式的解法
【解题提示】　将原不等式化为（ax-2）（x+1）≥0，对参数a分5种情况讨论：a＝0，a>0，-2解题归纳
解含参数的一元二次不等式的步骤
1.若二次项含有参数，应先讨论参数是等于0、小于0，还是大于0，然后整理不等式；
2.当二次项系数不为0时，讨论判别式与0的关系，判断方程的根的个数；
3.确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.
B
训练题
四、“三个二次”之间的关系
例4 ［2020·天津蓟州区高二检测］已知一元二次函数y＝kx2-（1-k）x+k.
（1）若关于x的不等式y<0的解集为R，求实数k的取值范围；
（2）若关于x的方程y＝x有两个不等正实根，求实数k的取值范围.
【名师点拨】
（1）一元二次函数图象与x轴交点的横坐标、一元二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式.
（2）一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而一元二次函数又是“三个二次”的核心，通过一元二次函数的图象贯穿为一体.有关一元二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.
训练题 ［2020·上海市建平中学高三检测］已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集为{x|x≠c}，则（其中a+c≠0）的取值范围为　　 　.
例5 若不等式（m+1）x2-（m-1）x+3（m-1）<0对任何实数x恒成立，求实数m的取值范围.
五、一元二次不等式的恒成立问题
解题归纳
一元二次不等式恒成立问题的解法
1.当未说明不等式为一元二次不等式时，应分二次项系数等于零和不等于零两种情况讨论.
2.一元二次不等式恒成立问题的常见类型：设y＝ax2+bx+c（a≠0）.
（1）y>0在x∈R上恒成立
（2）y<0在x∈R上恒成立
训练题 对于任意实数x，不等式（a-2）x2- 2（a-2）x-4<0恒成立，则实数
a的取值范围是（　　）
A.（-∞，2） B.（-∞，2］ C.（-2，2］ D. （-2，2）
C
例6 某摩托车生产企业，上年度生产车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需要，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x之间的关系式；
（2）为使本年度的利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
六、一元二次不等式的实际应用
解题归纳
不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用，主要有范围问题、可行性问题及最值问题等.解一元二次不等式的应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型.解题的一般步骤是：
（1）理清题意：弄清问题的实际背景和意义，用数学语言来描述问题；
（2）简化假设：精选问题中的关键变量；
（3）列出关系式：建立变量间的不等关系式；
（4）求解：运用数学知识解相应不等式；
（5）检验并作答：将所得数据特征放回原题中检验是否符合实际情况，然后给出问题答案.
2.图解法求解一元二次不等式的一般步骤：
第一步，将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)．
第二步，求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根．
第三步，画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．
第四步，观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．
小结
1.一元二次不等式的标准形式有哪些？
，或，或 ax2+ bx+c0，或 ax2+ bx+c0 （a>0）
3.用一元二次不等式求解实际应用题的一般步骤
（1）审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系；
（2）建模：建立一元二次不等式模型；
（3）求解：解一元二次不等式；
（4）还原：把数学结论还原为实际问题.
【戮力同心 共赴前程】
生如蝼蚁当立鸿鹄之志
命如纸薄应有不屈之心
谢谢
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