第九章 图形的相似单元测试题（含答案）
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《第九章 图形的相似》
单元测试题
(满分：100分 时间：60分钟)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.将两块长为a m、宽为b m的矩形红布加工成一块长为c m、宽为d m的矩形红布，有人就a，b，c，d的关系写出如下四个等式，不过他写错了一个，写错的那个是( )
2.如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD，点E在边AC上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是( )
第2题图 第3题图 第4题图
3.如图，△ABC经平移得到△DEF，AC，DE交于点G，则图中共有相似三角形( )
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
4.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为(2，4).点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，P是BC的中点.以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍，记点P的对应点为P1，则点P1的坐标为( )
A.(3,3) B.(3，2)或(-3，-2) C.(3，3)或(-3，-3) D.(2，3)或(-2，-3)
5.如果两个相似三角形的对应边上的高之比是3：5，周长之和是24，那么这两个三角形的周长分别为( )
A. 9和15 B. 10和14 C. 8和16 D. 11和13
6.如图，∠ACB=∠BDC=90°.要使△ABC∽△BCD，给出下列需要添加的条件：①AB∥CD；②BC =AC·CD;③ .其中，正确的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
第6题图 第7题图
7.如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若25，则 与 的比是( )
A.1:25 B.1:5 C.1:4 D.1:3
8.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF=2DF，则的值为( )
第8题图 第9题图 第10题图
9.如图，在矩形ABCD中，E是CD延长线上的一点，连接BE交AD于点F，连接CF，AB=1，BC=2.若△ABF与△CEF的面积相等，则DE的长为( )
A.1
10.如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自己影子CD的长为1 m，他继续往前走3 m到达点E处(即CE=3 m)，测得自己影子EF的长为2 m，若小明的身高是1.5 m，则路灯A的高度AB是( )
A.4.5 m B.6 m C.7.2 m D.8 m
二、填空题(每小题3分，共18分)
11.已知则，
12.如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，位似中心为点 则A′B′=_______.
13.如图，∥∥ FB=2：5，BC：CD=4：1，则AE：EC=__________.
第13题图 第14题图
14.顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形.如图，△ABC，△BCD，△DEC都是黄金三角形.若AB=2 cm，则DE=__________ cm.
15.如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB=1.2 m.当BC=3 m时，点B离地面的距离BE=2.4 m，则AD=__________m.
第15题图 第16题图
16.如图，在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，AN=3MN，BN的延长线交AC于点E.交CD于点F.若△ABE的周长为6，则△CFE的周长为__________.
三、解答题(共52分)
17.(8分)如图，在△ABC中，D为AB上一点，若△ADC与△DBC的面积比为1：3，且AD=3，AC=6，请求出BD的长，并证明∠ACD=∠B.
18.(10分)如图，在△ABC中，EF∥CD，AF=3，AD=5，AE=4.
(1)求CE的长；
(2)当 时，求证：DE∥BC .
19.(12分)如图①，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，7)，B(6，8)，C(8，2).
(1)以点O为位似中心，在第三象限内作出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的相似比为1：2，画出图形；
(2)分别写出点A1，B1，C1的坐标；
(3)如果△ABC内部一点M的坐标为(x，y)，写出点M的对应点M1的坐标；
(4)在如图③所示的四个三角形中，与图②中的三角形相似的是__________，并说明理由.
20.(10分)大雁塔位于陕西省西安市城南大慈恩寺内，是全国著名的古代建筑，被视为古都西安的象征，小明和小华决定带着皮尺用自己学到的知识测量大雁塔的高度.恰逢雨后天晴，两人用如下方法测量：如图，小明半蹲在地上，小华站在小明和大雁塔之间，两人适当调整位置，当小明的眼睛A、小华的头顶C、塔顶E刚好在同一条直线上时，两人分别标注自己的位置B，D，用皮尺测出BD=1.2 m，且小华刚好在距离自己3.045 m的一小滩水(记为M)中看到了塔顶E(点B，D，M，F在同一条直线上).小华身高CD=1.6 m，小明蹲地观测时眼睛与地面之间的距离AB=1 m.请根据提供的相关信息，求大雁塔的高EF(结果精确到0.1 m).
21.（12分）如图，正方形PQMN在△ABC内，点P在AC上，点Q，M在AB上，点N在△ABC内，连接AN并延长交BC于点G，过点G作GD∥AB交AC于点D，过点D，G分别作DE⊥AB，GF⊥AB，垂足分别为E，F.
(1)求证：DG=GF；
(2)若AB=10，SABC=40，求四边形DEFG的面积.
参考答案
一、1.D 2.C 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.C 9.D 10.B
二、11. 12. 5 13. 2:1 14. 15. 3.12 16.4
三、17.∵△ADC的边AD上的高与△DBC的边BD上的高相同，且△ADC与△DBC的面积比为1：3，AD=3，∴BD=9. 即 又∵∠A=∠A，∴△∽△∴∠ACD=∠B .
18.(1)∵EF∥CD,△∵.解得
∽△
∴∠ADE=∠B.∴DE∥BC .
19.(1)△A1B1C1 如图所示
(2)点A1，B1，C1的坐标分别为
(3)点M 的坐标为(
(4)乙 理由：令题图②③中各小正方形的边长为1.根据勾股定理，题图②中的三角形的三边长分别为∴三边之比为 .甲中三角形三边之比为 乙中三角形三边之比为 丙中三角形三边之比为2：3：；丁中三角形三边之比为 ::4.根据三边对应成比例，两三角形相似，可得与题图②中的三角形相似的是乙.
过点A作AG⊥EF于点G，交CD于点H，则AG=BF，AH=BD=1.2 m,GF=AB=HD=1 m，CH=CD-HD=1.6-1=0.6(m).设EF=x m，则EG=(x-1) m.由题意，可得∠CMD=∠EMF，∠CDM=∠F=90°，∴△CDM∽△EFM.∴.∵CD=1.6 m,MD=3.045 m, m.由题意，得CH∥EG，∴∠ACH=∠AEG.又∵∠CAH=∠EAG，∴△∽△即解得x≈64.5.∴大雁塔的高EF约为64.5 m .
(1)∵四边形PQMN是正方形，∴MN⊥AB，MN=PN.∵GD∥AB，DE⊥AB，GF⊥AB，∴易得四边形DEFG是矩形，GF∥MN.∴∠AMN=∠AFG.又∵∠MAN=∠FAG,∴△∽△同理可得 ,∴DG=GF .
(2)如图，过点C作CH⊥AB于点H，交DG于点K.∵S△ABC=40， =8.∵GD∥AB,∴∠CDG=∠CAB.又∵∠DCG=∠ACB，∴△CDG∽△CAB.∴即 解得 四边形DEFG为正方形. ，即四边形DEFG的面积为 .
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《第九章 图形的相似》
单元测试题
(满分：100分 时间：60分钟)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.将两块长为a m、宽为b m的矩形红布加工成一块长为c m、宽为d m的矩形红布，有人就a，b，c，d的关系写出如下四个等式，不过他写错了一个，写错的那个是( )
2.如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD，点E在边AC上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是( )
第2题图 第3题图 第4题图
3.如图，△ABC经平移得到△DEF，AC，DE交于点G，则图中共有相似三角形( )
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
4.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为(2，4).点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，P是BC的中点.以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍，记点P的对应点为P1，则点P1的坐标为( )
A.(3,3) B.(3，2)或(-3，-2) C.(3，3)或(-3，-3) D.(2，3)或(-2，-3)
5.如果两个相似三角形的对应边上的高之比是3：5，周长之和是24，那么这两个三角形的周长分别为( )
A. 9和15 B. 10和14 C. 8和16 D. 11和13
6.如图，∠ACB=∠BDC=90°.要使△ABC∽△BCD，给出下列需要添加的条件：①AB∥CD；②BC =AC·CD;③ .其中，正确的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
第6题图 第7题图
7.如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若25，则 与 的比是( )
A.1:25 B.1:5 C.1:4 D.1:3
8.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF=2DF，则的值为( )
第8题图 第9题图 第10题图
9.如图，在矩形ABCD中，E是CD延长线上的一点，连接BE交AD于点F，连接CF，AB=1，BC=2.若△ABF与△CEF的面积相等，则DE的长为( )
A.1
10.如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自己影子CD的长为1 m，他继续往前走3 m到达点E处(即CE=3 m)，测得自己影子EF的长为2 m，若小明的身高是1.5 m，则路灯A的高度AB是( )
A.4.5 m B.6 m C.7.2 m D.8 m
二、填空题(每小题3分，共18分)
11.已知则，
12.如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，位似中心为点 则A′B′=_______.
13.如图，∥∥ FB=2：5，BC：CD=4：1，则AE：EC=__________.
第13题图 第14题图
14.顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形.如图，△ABC，△BCD，△DEC都是黄金三角形.若AB=2 cm，则DE=__________ cm.
15.如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB=1.2 m.当BC=3 m时，点B离地面的距离BE=2.4 m，则AD=__________m.
第15题图 第16题图
16.如图，在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，AN=3MN，BN的延长线交AC于点E.交CD于点F.若△ABE的周长为6，则△CFE的周长为__________.
三、解答题(共52分)
17.(8分)如图，在△ABC中，D为AB上一点，若△ADC与△DBC的面积比为1：3，且AD=3，AC=6，请求出BD的长，并证明∠ACD=∠B.
18.(10分)如图，在△ABC中，EF∥CD，AF=3，AD=5，AE=4.
(1)求CE的长；
(2)当 时，求证：DE∥BC .
19.(12分)如图①，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，7)，B(6，8)，C(8，2).
(1)以点O为位似中心，在第三象限内作出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的相似比为1：2，画出图形；
(2)分别写出点A1，B1，C1的坐标；
(3)如果△ABC内部一点M的坐标为(x，y)，写出点M的对应点M1的坐标；
(4)在如图③所示的四个三角形中，与图②中的三角形相似的是__________，并说明理由.
20.(10分)大雁塔位于陕西省西安市城南大慈恩寺内，是全国著名的古代建筑，被视为古都西安的象征，小明和小华决定带着皮尺用自己学到的知识测量大雁塔的高度.恰逢雨后天晴，两人用如下方法测量：如图，小明半蹲在地上，小华站在小明和大雁塔之间，两人适当调整位置，当小明的眼睛A、小华的头顶C、塔顶E刚好在同一条直线上时，两人分别标注自己的位置B，D，用皮尺测出BD=1.2 m，且小华刚好在距离自己3.045 m的一小滩水(记为M)中看到了塔顶E(点B，D，M，F在同一条直线上).小华身高CD=1.6 m，小明蹲地观测时眼睛与地面之间的距离AB=1 m.请根据提供的相关信息，求大雁塔的高EF(结果精确到0.1 m).
21.（12分）如图，正方形PQMN在△ABC内，点P在AC上，点Q，M在AB上，点N在△ABC内，连接AN并延长交BC于点G，过点G作GD∥AB交AC于点D，过点D，G分别作DE⊥AB，GF⊥AB，垂足分别为E，F.
(1)求证：DG=GF；
(2)若AB=10，SABC=40，求四边形DEFG的面积.
参考答案
一、1.D 2.C 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.C 9.D 10.B
二、11. 12. 5 13. 2:1 14. 15. 3.12 16.4
三、17.∵△ADC的边AD上的高与△DBC的边BD上的高相同，且△ADC与△DBC的面积比为1：3，AD=3，∴BD=9. 即 又∵∠A=∠A，∴△∽△∴∠ACD=∠B .
18.(1)∵EF∥CD,△∵.解得
∽△
∴∠ADE=∠B.∴DE∥BC .
19.(1)△A1B1C1 如图所示
(2)点A1，B1，C1的坐标分别为
(3)点M 的坐标为(
(4)乙 理由：令题图②③中各小正方形的边长为1.根据勾股定理，题图②中的三角形的三边长分别为∴三边之比为 .甲中三角形三边之比为 乙中三角形三边之比为 丙中三角形三边之比为2：3：；丁中三角形三边之比为 ::4.根据三边对应成比例，两三角形相似，可得与题图②中的三角形相似的是乙.
过点A作AG⊥EF于点G，交CD于点H，则AG=BF，AH=BD=1.2 m,GF=AB=HD=1 m，CH=CD-HD=1.6-1=0.6(m).设EF=x m，则EG=(x-1) m.由题意，可得∠CMD=∠EMF，∠CDM=∠F=90°，∴△CDM∽△EFM.∴.∵CD=1.6 m,MD=3.045 m, m.由题意，得CH∥EG，∴∠ACH=∠AEG.又∵∠CAH=∠EAG，∴△∽△即解得x≈64.5.∴大雁塔的高EF约为64.5 m .
(1)∵四边形PQMN是正方形，∴MN⊥AB，MN=PN.∵GD∥AB，DE⊥AB，GF⊥AB，∴易得四边形DEFG是矩形，GF∥MN.∴∠AMN=∠AFG.又∵∠MAN=∠FAG,∴△∽△同理可得 ,∴DG=GF .
(2)如图，过点C作CH⊥AB于点H，交DG于点K.∵S△ABC=40， =8.∵GD∥AB,∴∠CDG=∠CAB.又∵∠DCG=∠ACB，∴△CDG∽△CAB.∴即 解得 四边形DEFG为正方形. ，即四边形DEFG的面积为 .
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