平面与平面垂直(一)
在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况．类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直．
【问题1】怎样刻画笔记本电脑张开程度的大小？
【问题2】二面角的平面角是怎样定义的？
【问题3】怎样判定两个平面垂直？
1．二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形；
(2)概念：
(3)记作：二面角α AB β；二面角α l β；二面角P AB Q.
2．二面角的平面角
(1)定义：在二面角α l β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
(2)图形：
(3)范围：0°≤α≤180°.
3．平面与平面垂直
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
平面α与β垂直，记作：α⊥β；
(2)图示：
(3)判定定理：
①定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．
②符号：a α，a⊥β α⊥β.
(1)两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况．例如长方体中任意相邻两个面都是互相垂直的．
(2)两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点：都是通过所成的角是直角定义的．
(3)通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直 面面垂直．证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．
定义能否作为判定两个平面垂直的依据？
提示：能．定义既是判定也是性质．
1.为什么二面角平面角的大小与在二面角棱上的取点无关？
2．二面角的平面角确定的平面与二面角的棱什么关系？
3．如果一条直线垂直于一个平面，那么经过这条直线的任何一个平面与这个平面什么关系？
提示：1.根据等角定理，取不同点时，角都是相等的；2.垂直；3.垂直．
观察教材第158页图8.6－28，图中相互垂直的平面有哪些？
提示：平面PAC与平面PBC；平面PAB与平面ABC；平面PAC与平面ABC.
1．在二面角α l β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α l β的平面角，则必须具有的条件是( )
A.AO⊥BO，AO α，BO β
B．AO⊥l，BO⊥l
C.AB⊥l，AO α，BO β
D.AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
【解析】选D.由二面角的平面角的定义可知．
2．如图所示，在三棱锥P ABC中，若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则在三棱锥P ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．
【解析】平面PAB⊥平面PAC，平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC.
答案：3
基础类型 二面角平面角的概念
及求法(逻辑推理、数学运算)
1．如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD，AC＝AD，二面角A BD C＝________．
2．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，求二面角B A1C1 B1的正切值．
【解析】1.因为AC⊥平面BCD，BD 平面BCD，
所以BD⊥AC.又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C，
所以BD⊥平面ACD.
因为AD 平面ACD，所以AD⊥BD，
所以∠ADC即为二面角A BD C的平面角．
在Rt△ACD中AC＝AD，所以∠ADC＝30°.
答案：30°
2．取A1C1的中点O，连接B1O，BO.
由题意知B1O⊥A1C1，
又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1，
所以∠BOB1即是二面角
B A1C1 B1的平面角．
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1 平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥OB1.
设正方体的棱长为a，则OB1＝a，
在Rt△BB1O中，tan ∠BOB1＝＝＝，
所以二面角B A1C1 B1的正切值为.
求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”．
微提醒：找二面角的平面角可以从与二面角的棱垂直的边入手，根据定义确定平面角．
综合类型 面面垂直的判定
及应用(直观想象、逻辑推理)
利用判定定理证明面面垂直
【典例】如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠CDA＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝DC＝1，AB＝2证明：平面PAC⊥平面PBC.
【证明】由已知得AC＝＝，BC＝＝，AB＝2，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以BC⊥AC，
因为PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
所以PA⊥BC，因为PA∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC，
因为BC 平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.
本例条件不变，试证明：平面PDC⊥平面PAD.
【证明】在直角梯形ABCD中，CD⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，
又AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD.
又因为CD 平面PDC，
所以平面PDC⊥平面PAD.
利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是：
【加固训练】
如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，点D在棱BB1上，点E为B1C1的中点．证明：平面A1DE⊥平面BCC1B1；
【证明】因为三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱，
所以BB1⊥平面A1B1C1，
又A1E 平面A1B1C1，
所以A1E⊥BB1，因为△ABC是正三角形，
所以△A1B1C1也是正三角形，
又点E为B1C1的中点，
所以A1E⊥B1C1，又BB1∩B1C1＝B1，
所以A1E⊥平面BCC1B1，又A1E 平面A1DE，
所以平面A1DE⊥平面BCC1B1.
定义法证明面面垂直
【典例】如图，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC，求证：平面ABC⊥平面SBC.
【证明】因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC都是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，
则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形，
取BC的中点D，连接AD，SD，
则AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS为二面角A BC S的平面角，
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，
所以SD＝a，BD＝＝a，
在Rt△ADB中，AD＝a，
因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°.
即二面角A BC S为直二面角，
故平面ABC⊥平面SBC.
1．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面( )
A．有1个 B．有2个
C．有无数个 D．不存在
【解析】选C.经过l的平面都与α垂直，而经过l的平面有无数个．
2．下列命题中正确的是( )
A．若平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
【解析】选C.当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确．
3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下面能使α⊥β成立的条件是( )
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b β
C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β
【解析】选D.由a∥α，知α内必有直线l与a平行，而a⊥β，所以l⊥β，所以α⊥β.
4．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O是BD的中点，二面角C1 BD C的平面角是________，其正切值为________．
【解析】如图二面角C1 BD C的平面角是∠C1OC；其正切值为.
答案：∠C1OC
5．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图)，图中互相垂直的平面有________对．
【解析】因为DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A，
所以DA⊥平面PAB，同样BC⊥平面PAB，
又易知AB⊥平面PAD，所以DC⊥平面PAD.
所以平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．
答案：5
PAGE
8(共40张PPT)
8．6.3 平面与平面垂直(一)
基础认知·自主学习
垂直
能力形成·合作探究
学情诊断·课堂测评
易错提醒
核心知识
方法总结
核心素养
直观想象：求解二面角的问题
求二面角时注意是锐角还是钝角
平面与
平面垂直
（一）
面面垂直的判断方法：
（1）利用定义：作二面角的平面角→证明为直角
（2）判定定理：转化为证线面垂直，即在一个面内找一条直线与另一个平面垂直
二面角的求法：作出二面角的平面角并证明，将作出的角放在三角形中求解
逻辑推理：面面垂直的证明问题涉及逻辑推理及其转化思想
在证明面面垂直时注意满足的条件
二面角
定义
判定定理
应用
D
Ci
O
Bi
C
A
B
定思路
分析题意，根据题目条件选择
证明哪个平面的垂线
证线面
恰当选择方法证明线面垂直
证面面
根据面面垂直的判定定理证明
A
1
I
B)
S
C
A
S
C平面与平面垂直(二)
教室中黑板与地板所在的面相互垂直．同学们喜欢在黑板上画线、写字、画画．
【问题1】在黑板上任意画一条直线，该直线与地板面什么关系？
【问题2】怎样在黑板上画一条直线与地板面垂直？
【问题3】黑板面上和黑板面与地板面交线垂直的直线与地板面什么关系？
1．平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β
图形语言
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β
图形语言
2.空间线、面之间的垂直关系
若平面α⊥平面β，点A∈α，过点A作直线l⊥β，那么直线l与平面α的关系是什么？
提示：直线l在平面α内，即l α.
1.若平面α⊥β，对于平面α内的任意一条直线，能否在平面β作无数条直线与平面α垂直？
2．如果平面α⊥β，β⊥γ，那么平面α与γ有什么样的位置关系？
3．如果平面α与β不垂直，那么在平面α内是不是一定不存在与平面β垂直的直线？
提示：1.能；2.位置关系不能确定；3.是．
观察教材P161图8.6－34，在例10的条件下，过点C怎样作一条直线与平面PAB垂直？
提示：在平面ABC内，过点C作AB的垂线，也可过C点作PB的垂线，即为垂直于平面PAB的直线．
1．若平面α⊥平面β，直线a∥平面α，则( )
A．直线a⊥平面β B．直线a∥平面β
C.直线a与平面β相交 D．以上都有可能
【解析】选D.因为直线a∥平面α，平面α⊥平面β，所以直线a与平面β垂直、相交、平行都有可能．
2．如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是( )
A.平行 B．EF 平面A1B1C1D1
C.相交但不垂直 D．相交且垂直
【解析】选D.由于长方体中平面ABB1A1⊥平面ABCD，所以根据面面垂直的性质定理可知，EF与平面A1B1C1D1相交且垂直．
基础类型一 与面面垂直相关的
位置关系(直观想象、逻辑推理)
1．(2021·长春高一检测)已知直线a和平面α、β有如下关系：①α⊥β，②α∥β，③a⊥β，④a∥α，则下列命题为真的是( )
A．①③ ④ B．①④ ③
C.③④ ① D．②③ ④
2．如图，平面α，β，γ，直线a，b，满足α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，b⊥γ，判断直线a和b的位置关系．
【解析】1.选C.对于A，由α⊥β，a⊥β，可得a∥α或a α，故A错误；对于B，由α⊥β，a∥α，可得a β或a∥β或a与β相交，故B错误；对于C，由a∥α，过a作平面γ与α相交，交线为b，则a∥b，因为a⊥β，所以b⊥β，而b α，可得α⊥β，故C正确；对于D，由α∥β，a⊥β，可得a⊥α，故D错误．
2．如图，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ上取一点A，在平面γ内作AB⊥m于B，AC⊥n于C，
因为α⊥γ，α∩γ＝m，所以AB⊥α，
因为α∩β＝a，所以AB⊥a，
同理AC⊥a，又AB∩AC＝A，
所以a⊥γ，因为b⊥γ，所以a∥b.
关于空间中的垂直关系
(1)借助正方体等几何图形中垂直的面、线进行判断，也可以利用教室中的灯管、黑板面等实物代表直线、平面，利用实物之间的位置关系进行判断；
(2)结合直线、平面垂直的判定定理、性质定理进行推理论证．
基础类型二 面面垂直性质定理的应用(逻辑推理)
【典例】如图，在六面体ABCDEF中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝CD＝1，四边形ADEF是正方形，平面ADEF⊥平面ABCD.
证明：平面BCE⊥平面BDE.
【证明】因为AB∥CD，AB⊥AD且AB＝AD＝CD＝1，所以BD＝BC＝，CD＝2，所以BC⊥BD，
因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，四边形ADEF是正方形，ED⊥AD，ED 平面ADEF，所以ED⊥平面ABCD，因为BC 平面ABCD，所以BC⊥ED，因为BD，ED 平面BDE，BD∩ED＝D，所以BC⊥平面BDE，
因为BC 平面BCE，所以平面BCE⊥平面BDE.
【备选例题】
如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD.
【证明】连接BD，因为四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
所以△ABD是正三角形．
因为G是AD的中点，所以BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以BG⊥平面PAD.
应用面面垂直的性质定理的策略
(2)应用类型：①证明线面垂直、线线垂直；②作线面角或作二面角的平面角．
提醒：面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．
(2021·雅安高一检测)如图，四边形ABCD是菱形，FD⊥平面ABCD.
求证：平面ACF⊥平面BDF.
【证明】在菱形ABCD中，AC⊥BD，
因为FD⊥平面ABCD，
所以FD⊥AC.
又因为BD∩FD＝D，
所以AC⊥平面BDF.
而AC 平面ACF，
所以平面ACF⊥平面BDF.
【加固训练】
如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC＝90°，∠PBA≠90°.
求证：平面PBC⊥平面PAB.
【证明】过P作PH⊥AB于H，因为平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PH⊥平面ABCD.
因为BC 平面ABCD，所以BC⊥PH.
因为∠PBC＝90°，所以BC⊥PB，
而∠PBA≠90°，于是点H与B不重合，即PB∩PH＝P，
因为PB，PH 平面PAB，所以BC⊥平面PAB.
因为BC 平面PBC，故平面PBC⊥平面PAB.
综合类型 空间中直线、平面的垂直(逻辑推理)
折叠问题
(1)如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中不正确的是( )
A.平面ACD⊥平面ABD B．AB⊥CD
C．平面ABC⊥平面ACD D．AD⊥平面ABC
(2)把边长为4的正方形ABCD，沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使得平面ABD⊥平面BCD，则空间四边形ABCD的对角线AC的长为( )
A．4 B．4 C．2 D．2
【解析】(1)选D.对于A，因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BD⊥CD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，即A正确；对于B，CD⊥平面ABD，AB 平面ABD，所以AB⊥CD，即B正确；对于C，因为AB⊥AD，AB⊥CD，AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ACD，所以平面ABC⊥平面ACD，即C正确；对于D，若AD⊥平面ABC，则AD⊥AC，与CD⊥AD矛盾．
(2)选A.如图所示，取BD的中点O，
连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD，
由平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以∠AOC＝90°；
又AO＝CO＝BD＝×4＝2，
所以AC2＝AO2＋CO2＝8＋8＝16，所以AC＝4，
即空间四边形ABCD的对角线AC＝4.
点拨：利用已知数据，根据勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，即判定线线垂直．
与面面垂直相关的折叠问题
(1)将平面图形折叠成面面垂直后，先分析有无与两垂直平面交线垂直的直线，以利用面面垂直性质定理推得线面垂直．若没有与交线垂直的直线，可考虑在其中一个平面内作与交线垂直的直线；
(2)在折线同一侧的垂直关系折叠前后是不变的，充分利用折叠前后不变的垂直关系，构造条件解题．
空间直线、平面垂直的问题
【典例】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．
求证：(1)BG⊥平面PAD；
(2)AD⊥PB.
【证明】(1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，
所以PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG 平面PAD，
所以PG⊥平面ABCD，
由BG 平面ABCD，所以PG⊥BG.
又因为四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
所以△ABD是正三角形，所以BG⊥AD.
又AD∩PG＝G，AD，PG 平面PAD，
所以BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG 平面PBG，
所以AD⊥平面PBG，
又PB 平面PBG，所以AD⊥PB.
关于垂直关系的综合应用
(1)熟练垂直关系的转化，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是解题的常规思路．
(2)垂直关系证明的核心是线面垂直，准确确定要证明的直线是关键，再利用线线垂直证明．
【加固训练】
如图，四棱锥P ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA＝AD，DC＝2AB，E为PC中点．
(1)求证：PA⊥BC；
(2)求证：平面PBC⊥平面PDC.
【证明】(1)因为平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD＝AB，PA⊥AB，
PA 平面PAB，所以PA⊥平面ABCD.
又因为BC 平面ABCD，所以PA⊥BC.
(2)因为AP＝AD，设F为PD的中点，
连接AF，EF，如图，则EFCD.又ABCD，
所以EFAB.
所以四边形ABEF为平行四边形，所以BE∥AF.
因为PA＝AD且F为PD的中点，所以AF⊥PD，又∠DAB＝90°，所以AB⊥DA，又PA⊥AB，PA∩DA＝A，所以AB⊥平面PAD，所以EF⊥平面PAD，所以AF⊥EF，又PD∩EF＝F，所以AF⊥平面PCD.所以BE⊥平面PDC.
又因为BE 平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDC.
创新题型 空间垂直关系的综合应用(逻辑推理)
【典例】如图所示，在斜三棱柱A1B1C1 ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，D是BC的中点，侧面BB1C1C⊥底面ABC.
(1)求证：AD⊥CC1；
(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；
(3)若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM＝MA1吗？请叙述你的判断理由．
【解析】(1)因为AB＝AC，D是BC的中点，
所以AD⊥BC.因为底面ABC⊥平面BB1C1C，底面ABC∩平面BB1C1C＝BC，所以AD⊥平面BB1C1C.
又CC1 平面BB1C1C，所以AD⊥CC1.
(2)如图，延长B1A1与BM交于点N，连接C1N.
因为AM＝MA1，所以NA1＝A1B1.
因为A1C1＝A1N＝A1B1，所以C1N⊥B1C1，
所以C1N⊥侧面BB1C1C.
又C1N 平面BNC，所以截面C1NB⊥侧面BB1C1C.
所以截面MBC1⊥侧面BB1C1C；
(3)结论正确．证明如下：过M作ME⊥BC1于点E，连接DE，
因为截面MBC1⊥侧面BB1C1C，所以ME⊥侧面BB1C1C.
又AD⊥侧面BB1C1C，所以ME∥AD，
所以M，E，D，A四点共面．
因为MA∥侧面BB1C1C，所以AM∥DE.
所以四边形AMED是平行四边形，
又AM∥CC1，所以DE∥CC1.
因为BD＝CD，所以DE＝CC1，
所以AM＝CC1＝AA1.所以AM＝MA1.
1．已知两个平面垂直，有下列命题：
①一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；
②一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面．
其中正确命题的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【解析】选C.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，平面AA1D1D⊥平面ABCD.
对于①，AD1 平面AA1D1D，BD 平面ABCD，AD1与BD是异面直线，且夹角为60°，故①错误；②显然正确；对于③，AD1 平面AA1D1D，但AD1与平面ABCD不垂直，故③错误．综上，正确命题的个数为1.
2．(2021·昆明高一检测)已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是( )
A．l∥β或l β B．l∥m
C．m⊥α D．l⊥m
【解析】选A.对于A，直线l⊥平面α，α⊥β，则l∥β或l β，A正确；对于B，直线l⊥平面α，直线m∥平面β，且α⊥β，则l∥m或l与m相交或l与m异面，所以B错误；对于C，直线l⊥平面α，直线m∥平面β，且α⊥β，则m⊥α或m与α相交或m α或m∥α，所以C错误；对于D，直线l⊥平面α，直线m∥平面β，且α⊥β，则l∥m或l与m相交或l与m异面，所以D错误．
3．如图所示，三棱锥P ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则( )
A.PD 平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
【解析】选B.因为PA＝PB，AD＝DB，所以PD⊥AB.
平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，PD 平面PAB.所以PD⊥平面ABC.
4．如图，在三棱锥P ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________．
【解析】因为侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，
所以PA⊥平面ABC，又AB 平面ABC，
所以PA⊥AB，所以PB＝＝＝.
答案：
5．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．
【解析】因为α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，
所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.
答案：平行
PAGE
11(共55张PPT)
8．6.3 平面与平面垂直(二)
基础认知·自主学习
交线
垂直
a α
a⊥l
能力形成·合作探究
素养发展·创新应用
学情诊断·课堂测评
核心知识
面面垂直的性质定理
应用
易错提醒
利用性质定理时要注意直线在平面内
核心素养
逻辑推理：在面面垂直的性质定理中得以体现
方法总结
平行关系的相互转化
判定定理
性质定理
判定定理
判定
性质
性质
平面与平面垂直（二）
B
0
a
b
m
n
C
A
E
F
C
B
P
D
B
C
A
A
B
D→B
←-
D
C
C
C
1
D
1
手
A
B
P
A
B
C
D
C
E
B
P
C
D
B
q
M
B
1
A
C
D
B
C
N
P
I
B
C直线与平面垂直(一)
木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直．
【问题1】用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？
【问题2】为什么用“L”形木尺检查两次能判定木棒与板面垂直？
【问题3】木工这种检查木棒与板面垂直的方法体现了什么样的数学定理？
1．直线与平面垂直的定义
(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.
(2)相关概念：
(3)结论
①过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条；
②垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．
直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？
提示：定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．
2．直线与平面垂直的判定定理
文字 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
符号 l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
图形
如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，l与α一定垂直吗？
提示：不一定．若平面内的无数条直线是平行的，则直线l与平面可能平行，也可能垂直，也可能是相交但不垂直，也可能直线l在平面内．
3．直线与平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角；
(2)相关概念：
(3)范围：θ∈[0°，90°]，当θ＝0°时，直线与平面平行或直线在平面内；当θ＝90°时，直线与平面互相垂直．
1．判定定理所体现的数学思想
直线与平面垂直的判定定理体现了“转化”的数学思想，即通过线线垂直，实现线面垂直．
2．对斜线和平面所成的角的定义的理解
(1)斜线和平面所成的角定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的角．
(2)斜线与平面所成的角是斜线与平面内直线所成角中最小的角．
1.如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与该平面内的直线什么关系？
2．一条斜线与两个平行平面所成的角什么关系？
3．一条直线垂直于一个平面的垂线，那么这条直线与该平面什么关系？
提示：1.垂直；2.相等；3.平行或在平面内．
观察教材第152页图8.6－15，直线BB1与平面A1B1CD所成角是多少？
提示：45°.
1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A．平面OAB B．平面OAC
C.平面OBC D．平面ABC
【解析】选C.因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB 平面OBC，OC 平面OBC，所以OA⊥平面OBC.
2．在正方体ABCD A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是( )
A.1 B．2 C．3 D．6
【解析】选B.仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直．
基础类型一 直线与平面垂直的
判定(逻辑推理、直观想象)
1．(多选题)(2021·南京高一检测)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是( )
【解析】选BD.对于A，由AD∥CE，且AB与CE成45°的角，不垂直，则直线AB与平面CDE不垂直；对于B，由于AB⊥DE，AB⊥CE，由线面垂直的判定定理可得AB⊥平面CDE；对于C，AB与CE成60°的角，不垂直，则直线AB与平面CDE不垂直；对于D，有DE⊥AB，同理可得AB⊥CE，所以AB⊥平面CDE.
2．如图，在四棱锥P ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，△PAD为正三角形，且E是AD的中点．
求证：BC⊥平面PEB.
【解析】连接BD.因为E是正三角形PAD边AD的中点，则PE⊥AD.
因为四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，
所以正三角形BAD中，BE⊥AD，
因为AD∥BC，所以BC⊥PE，BC⊥BE，
又因为PE∩BE＝E所以BC⊥平面PEB.
1．线线垂直和线面垂直的相互转化
2．证明线面垂直的方法
在推线线垂直的过程中，若三角形的三边长符合勾股定理，则三角形是直角三角形，两直角边相互垂直，得到线线垂直．即通过计算证明垂直关系．
基础类型二 直线与平面所成的角
(逻辑推理、数学运算)
【典例】(2021·济南高一检测)在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )
A. B． C． D．
【解析】选D.过点C1作C1O⊥B1D1于点O，连接OB，
由长方体的性质知，BB1⊥平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥C1O，
因为B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1 平面BB1D1D，
所以C1O⊥平面BB1D1D，
所以∠C1BO即为直线BC1与平面BB1D1D所成角．
在Rt△B1C1D1中，B1C1·C1D1＝B1D1·C1O，
即1×2＝×C1O，所以C1O＝，
在Rt△C1BO中，sin ∠C1BO＝＝＝.
所以BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.
求斜线与平面所成角的步骤
(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
微提醒：求直线与平面所成角的关键是确定过直线上一点到平面的垂线．
在正三棱柱ABC A1B1C1中AB＝AA1，则B1C与平面AA1B1B所成角的余弦值为( )
A. B． C． D．
【解析】选A.取AB中点D，连接CD，B1D，
因为△ABC是等边三角形，所以CD⊥AB，
因为BB1⊥平面ABC，CD 平面ABC
所以BB1⊥CD，又AB∩BB1＝B，AB 平面AA1B1B，BB1 平面AA1B1B，
所以CD⊥平面AA1B1B，
所以∠CB1D为B1C与平面AA1B1B所成的角，
设AB＝AA1＝1，则B1C＝，B1D＝＝
所以cos ∠CB1D＝＝.
【加固训练】
(2021·成都高一检测)如图，在三棱锥S ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝2，AC＝2，BC＝1，∠ACB＝90°，则直线SC与平面SAB所成角的正弦值为( )
A． B． C． D．
【解析】选A.在平面ABC内，过C作CD⊥AB于D，连接SD，
因为SA⊥平面ABC，所以CD⊥SA，
所以CD⊥面SAB，
所以∠CSD就是直线SC与平面SAB所成的角，
因为AC＝2，BC＝1，∠ACB＝90°，所以AB＝.
由AC·BC＝AB·CD，可得CD＝，
又SC＝＝2.
所以sin ∠CSD＝＝.
综合类型 直线与平面垂直判定
定理的应用(逻辑推理、直观想象)
折叠中的垂直问题
【典例】如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点．现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，
证明：(1)AH⊥平面EFH；
(2)HF⊥平面AEH
【解析】如图，
(1)由题意可得：AH⊥HE，AH⊥HF，HE∩HF＝H，所以AH⊥平面EFH.
(2)因为HF⊥HE，HF⊥AH，HE∩AH＝H，所以HF⊥平面AHE.
关于折叠问题中的垂直关系
首先画出折叠后的直观图，利用折叠后及折叠前的垂直关系进行判断，注意折线同一侧的垂直关系折叠前后不变．
三角形的“心”
【典例】三棱锥P ABC中，PO⊥平面ABC，O是垂足，若点P到AB，BC，AC的距离相等，则O是三角形ABC的________心．
【解析】由于点P到△ABC的三边AB，BC，AC的距离相等，易得点O到边AB，BC，AC的距离相等，
故点O是三角形ABC的内心．
答案：内
关于三角形垂心、内心、外心的确定
首先要明确三种心的定义及其性质，再通过垂直关系确定点满足的条件，对应相应的性质进行判断．
微提醒：三棱锥的三条棱相等时，顶点在底面的射影是底面的外心；三条侧棱两两垂直时，顶点在底面的射影是底面的垂心．
1．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是( )
A．l和平面α相互平行
B．l和平面α相互垂直
C．l在平面α内
D．不能确定
【解析】选D.如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．
2．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为( )
A.1 B．2 C．3 D．4
【解析】选D.因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥BC，PA⊥CD.
由
BC⊥平面PAB BC⊥PB
由 CD⊥平面PAD CD⊥PD.
所以△PAB，△PAD，△PBC，△PCD都是直角三角形．
3．已知△ABC，直线l，且l⊥AB，l⊥BC，则下列关系一定成立的是( )
A．l⊥AC B．l与AC异面
C．l∥AC D．以上三种情况皆有可能
【解析】选A.因为l⊥AB，l⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，
所以l⊥平面ABC，
因为AC 平面ABC，所以l⊥AC，故A正确，C错误，D错误；
l与AC相交或异面，故B错误．
4．如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为________．
【解析】如图，连接EB，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即直线EF与平面ABCD所成的角．在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝，则tan ∠FEB＝.
答案：
5．如果一条直线垂直于一个平面内的：
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．
则能保证该直线与平面垂直的序号有________．
【解析】三角形的两边，圆的两条直径一定是相交直线，而梯形的两边，正六边形的两条边不一定相交，所以保证直线与平面垂直的是①③.
答案：①③
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9(共41张PPT)
8．6.2 直线与平面垂直(一)
基础认知·自主学习
1．直线与平面垂直的定义
(1)定义：如果直线l与平面α内的_________直线都垂直，我们就说直线l与平面
α互相垂直，记作l⊥α.
(2)相关概念：
(3)结论
①过一点垂直于已知平面的直线_____________；
②垂线段的_____叫做这个点到平面的距离．
任意一条
有且只有一条
长度
3．直线与平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的_____所成的角叫做这条直线和这个
平面所成的角；
(2)相关概念：
(3)范围：θ∈[0°，90°]，当θ＝0°时，直线与平面_____或直线在平面内；当θ
＝90°时，直线与平面互相_____．
射影
平行
垂直
能力形成·合作探究
学情诊断·课堂测评
垂线
垂线段
垂面
垂足
如果一条直线与一个平面内的两条相交直
文字
线垂直，那么该直线与此平面垂直
符号
l⊥a,l⊥b,aCa,bCa,a∩b=P→l⊥a
图形
斜足
斜线
垂足
射影
D
1
C
A1
0
B
D
C
A
B
A
D
F
G
B
E
C直线与平面垂直(二)
学校操场上的有多根旗杆，做建筑的地基时需要先向地下打多根立柱，在现实生活中有好多这样的现象．
【问题1】每一根旗杆与地面是怎样的位置关系？
【问题2】旗杆所在的直线之间是什么关系？
【问题3】直线与平面垂直有哪些性质？
1．直线与平面垂直的性质定理
(1)定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．
(2)符号：a⊥α，b⊥α a∥b；
(3)图形：
如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条直线与这个平面是什么位置关系？
提示：垂直．
2．空间距离
(1)直线到平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
(2)平面与平面之间的距离
如果两个平面互相平行，那么其中一个平面上任意点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做两个平面间的距离．
是不是任意的直线与平面、平面与平面间都有距离？
提示：不是，只有当直线与平面平行，平面与平面平行时才涉及距离问题．
直线与平面垂直的性质定理
(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论．
(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直).
(3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．
(4)定理的推证过程采用了反证法．
1.与同一条直线垂直的两个平面什么关系？
2．如果一条直线与两个平行平面中的一个垂直，那么这条直线与另一个平面什么关系？
3．若两条直线a，b，平面α，满足b⊥α，b⊥a，那么直线a与平面α的位置关系是什么？
提示：1.平行；2.垂直；3.a∥α或a α.
观察教材第154页图8.6－19，若直线AA1，BB1不与平面α垂直，AA1∥BB1时，线段AA1，BB1的长度什么关系？
提示：相等．
1．若直线l与平面α不垂直，m α，那么l与m的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C.异面或相交 D．以上都有可能
【解析】选D.由线面位置关系判断．
2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A.相交 B．平行
C.异面 D．相交或平行
【解析】选B.圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知是平行关系．
基础类型一 直线与平面垂直的应用(逻辑推理)
1．如图，在三棱锥P ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则＝________．
2．如图，正方体A1B1C1D1 ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.
【解析】1.在三棱锥P ABC中，
因为PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，
所以AB⊥平面APC.
因为EF 平面PAC，所以EF⊥AB，
因为EF⊥BC，BC∩AB＝B，
所以EF⊥底面ABC，所以PA∥EF，
因为F是AC的中点，E是PC上的点，
所以E是PC的中点，所以＝1.
答案：1
2．如图所示，连接AB1，B1C，BD.
因为DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以DD1⊥AC.
又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，
所以AC⊥平面BDD1.
又BD1 平面BDD1，
所以AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C.
又AC∩B1C＝C，
所以BD1⊥平面AB1C.
因为EF⊥AC，EF⊥A1D，
又A1D∥B1C，所以EF⊥B1C.
又AC∩B1C＝C，所以EF⊥平面AB1C.
所以EF∥BD1.
关于线面垂直性质定理的应用
(1)在证明与垂直相关的平行问题时，可以考虑线面垂直的性质定理，利用已知的垂直关系构造线面垂直，关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面．
(2)注意线面垂直性质定理的推论的应用，利用平行关系转化为垂直关系，或将垂直关系转化为平行关系．
基础类型二 空间中的距离问题(数学运算)
【典例】如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1A＝1.
(1)证明：直线BC1平行于平面D1AC；
(2)求直线BC1到平面D1AC的距离．
【解析】(1)因为ABCD A1B1C1D1为长方体，故AB∥C1D1，AB＝C1D1，
故四边形ABC1D1为平行四边形，故BC1∥AD1，
显然B不在平面D1AC上，
于是直线BC1平行于平面D1AC.
(2)直线BC1到平面D1AC的距离
即为点B到平面D1AC的距离，设为h，
考虑三棱锥D1 ABC的体积，以平面ABC为底面，可得V＝××1＝，
而△AD1C中，AC＝D1C＝，AD1＝，cos ∠ACD1＝，sin ∠ACD1＝，
故S△AD1C＝×××＝.
所以，V＝××h＝，故h＝，
即直线BC1到平面D1AC的距离为.
正方体ABCD A1B1C1D1，棱长为a，
求：(1)直线A1A到平面B1BCC1的距离；
(2)直线A1A到平面D1DBB1的距离．
【解析】(1)因为A1A∥平面B1BCC1，
A1B1⊥平面B1BCC1，
所以直线A1A到平面B1BCC1的距离等于线段A1B1的长，
因为A1B1＝a，
所以直线A1A到平面B1BCC1的距离等于a.
(2)连接A1C1，B1D1，BD，A1C1与B1D1交于点O1，如图．A1A∥平面D1DBB1.
因为A1O1⊥平面D1DBB1，
所以直线A1A到平面D1DBB1的距离等于线段A1O1的长，因为A1O1＝a，
所以直线A1A到平面D1DBB1的距离为a.
综合类型 直线与平面垂直的综合应用(逻辑推理)
线面垂直关系的应用
【典例】如图所示，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，
①若BC边上恰有一点Q，使得PQ⊥QD，则a的取值是________．
②若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的取值范围是________．
【解析】因为PA⊥平面AC，QD 平面AC，
所以PA⊥QD.又因为PQ⊥QD，PA∩PQ＝P，
所以QD⊥平面PAQ，所以AQ⊥QD.
①当a＝2时，以AD为直径的圆与BC相切于BC的中点Q，此时∠AQD＝90°，
所以BC边上存在一点Q，使PQ⊥QD；
②当a>2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1，Q2，此时∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，
故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQ⊥QD.
所以a≥2.
点拨：利用以AB为直径的圆与BC的关系解题．
关于直线与平面垂直关系的应用
利用直线与平面垂直的判定定理、性质定理进行垂直关系的转化，一是线面垂直于线线垂直之间的转化，二是将空间中的垂直关系转化为平面内的垂直关系，利用平面几何知识解决空间的垂直问题．
线面垂直关系的综合应用
【典例】(2021·海淀高一检测)已知，在四棱锥P ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，CD＝CP＝4，E为PD的中点．
(1)在棱BC上是否存在点F，使AF⊥BE？若存在，求BF的长；若不存在，说明理由．
(2)已知点M同时满足下列条件：
①M∈平面BCE；②DM⊥平面ABP.
请再写出与点M有关的两个结论：一个为“线面平行”，一个为“线面垂直”：________，________．(结论不要求证明)
【解析】(1)当点F为棱BC的中点时，可使AF⊥BE.理由如下：如图，过点E作ES∥PC，交CD于点S，连接BS，设BS∩AF＝O.
因为E为PD的中点，所以S为CD的中点，
所以BF＝CS，
因为AB＝BC，∠ABC＝∠BCS＝90°，
所以△ABF≌△BCS，所以∠BAF＝∠CBS.
因为∠BAF＋∠AFB＝90°，
所以∠CBS＋∠AFB＝90°，即BS⊥AF.
因为PC⊥底面ABCD，
所以ES⊥底面ABCD，
因为AF 面ABCD，所以ES⊥AF.
又因为BS∩ES＝S，BS，ES 面BES，
所以AF⊥面BES，
因为BE 面BES，
所以AF⊥BE.
故当点F为棱BC的中点时，
可使AF⊥BE，BF＝BC＝2.
(2)如图，作CN⊥PB于N，而AB⊥平面PBC，
所以AB⊥CN，CN⊥平面PAB，
又DM⊥平面PAB，所以DM∥CN，
所以DM∥平面PBC；
DM⊥AB，AB∥CD，所以DM⊥CD，
又CD⊥AD，所以CD⊥平面ADM.
答案：DM∥平面PBC CD⊥平面ADM
关于线面垂直判定、性质的应用
(1)分析已知的垂直关系，得出能够推出的线线、线面垂直，即挖掘已知条件，以方便后续证明．
(2)证明垂直关系时往往需要逆向思维，如要证明直线a垂直于平面α内直线b，可以考虑证明直线b垂直于直线a所在的平面β.
(3)掌握线线、线面垂直的相互转化．
创新题型 垂直关系的应用(数学抽象)
【典例】对于四面体ABCD，给出下列四个命题：
①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；
②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；
④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.
其中为真命题的是( )
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【解析】选D.①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC AM⊥BC，同理DM⊥BC BC⊥平面AMD，而AD 平面AMD，故BC⊥AD；④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD BO⊥CD，由AC⊥BD CO⊥BD O为△BCD的垂心 DO⊥BC AD⊥BC.
1．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是( )
A．b∥α B．b α
C．b⊥α D．b与α相交
【解析】选C.由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b.
2．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，若点E为A1C1上的一点，则直线CE一定垂直于( )
A.AC B．BD C．A1D D．A1D1
【解析】选B.因为在正方体ABCD A1B1C1D1中，ABCD是正方形，
所以BD⊥A1C1，且BD⊥CC1，
又因为A1C1∩CC1＝C1，
所以BD⊥平面AA1C1C，
又因为CE 平面AA1C1C，所以BD⊥CE.
3．已知PA垂直平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是( )
A．平行四边形 B．矩形
C．正方形 D．菱形
【解析】选D.因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥BD.因为PC⊥BD，且PA∩PC＝P，
所以BD⊥平面PAC，所以AC⊥BD.
4．正三棱锥的底面边长都是2，侧棱两两垂直，则顶点到底面的距离是________．
【解析】设顶点到底面距离为h，
由题意侧棱长为，
则××22·h＝×××，
所以h＝.
答案：
5．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________．
【解析】因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
所以AF∥DE，又因为AF＝DE，
所以四边形AFED是平行四边形，
所以EF＝AD＝6.
答案：6
PAGE
9(共49张PPT)
8．6.2 直线与平面垂直(二)
基础认知·自主学行
任意一点
相等
能力形成·合作探究
素养发展·创新应用
学情诊断·课堂测评
1
2
3
4
方法总结
易错提醒
核心素养
核心知识
逻辑推理：线面垂直的的综合应用中的相互转化问题
线面垂直的判断方法：
（1）基本事实4；
（2）线面平行的性质定理；
（3）面面平行的性质定理；
（4）线面垂直的性质定理；
直线与
平面垂直（二）
（1）注意线面垂直关系应用中的转化思想
（2）注意求直线到面的距离、平行平面间的距离时转化思想的应用
性质定理
平行平面间的距离
直线到面的距离
应用
a
b
0
D
Ci
Bi
A
D
C
E
A
B
P
A
D
B
Q
C
P
E
C
A
B直线与直线垂直
观察下面两个图形．
【问题1】教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线的位置关系是什么？
【问题2】六角螺母中直线AB与CD的位置关系是什么？CD与BE的位置关系是什么？
【问题3】六角螺母中直线AB与BE所成角是多少度？怎样定义空间中直线AB与CD所成的角？
1．异面直线所成的角
(1)定义：已知异面直线a，b，经过空间中任意一个点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′，b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；
(2)图示：
(3)规定：当两直线a，b互相平行时，我们规定它们所成的角为0°；
(4)范围：0°≤α≤90°．
平面内两条相交直线所成角的定义是什么？
提示：两直线相交，所成的锐角或直角叫做两相交直线所成的角．
2．两条异面直线互相垂直
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说两条异面直线互相垂直，记作a⊥b.
异面直线垂直与平面内两条直线垂直有何异同？
提示：相同点是所成的角都是90°，不同点是异面直线垂直没有交点，平面内两条直线垂直有公共点．
对异面直线所成的角的认识理解的注意点
(1)任意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a′，b′所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关．
(2)转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算．
(3)两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直．
1．相互垂直的两条直线一定是相交直线吗？
2．如果一条直线与两条平行直线中的一条垂直，那么这条直线与另一条直线垂直吗？
3．在△ABC中，角A＝120°，那么与边AB，AC平行的异面直线所成的角是120°吗？
提示：1.不一定，也可能是异面直线；2.垂直；3.不是，所成的角是60°.
观察教材P147图8.6－3，直线BA′与直线DC′所成的角是多少？
提示：90°.
1．已知空间中的三条直线a，b，c满足a⊥c且b⊥c，则直线a与直线b的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C.异面 D．平行或相交或异面
【解析】选D.如
图，在长方体AC1中，
AB⊥AD，AB⊥A1D1，AD∥A1D1，
AB⊥AD，AB⊥AA1，AD∩AA1＝A，AB⊥AD，AB⊥CC1，AD与CC1异面，所以，垂直于同一直线的两条直线可平行，可相交，也可异面．
2．如图正方体ABCD A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角为( )
A.30° B．45° C．60° D．90°
【解析】选C.连接BC1，A1C1(图略)，
因为BC1∥AD1，
所以异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角．
在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，
所以∠A1BC1＝60°.
故异面直线A1B与AD1所成角为60°.
基础类型一 求异面直线所成的角
(直观想象、数学运算)
1．(2021·哈尔滨高一检测)如图，点M是正方体ABCD A1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线AM与BC1所成角的余弦值是( )
A． B． C． D．
【解析】选A.如图，
连接AD1，D1M.因为AB＝C1D1，AB∥C1D1，
所以四边形ABC1D1为平行四边形，则AD1∥BC1，
则∠D1AM为异面直线AM与BC1所成角，设正方体的棱长为2，
则AD1＝2，AM＝D1M＝.
所以cos ∠D1AM＝＝.
即异面直线AM与BC1所成角的余弦值是.
2．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是( )
A.30° B．45° C．60° D．120°
【解析】选C.如图所示，
由题可知，四边形ABEG和CDFE均为正方形，△EFG为正三角形，
因为AB∥EG，CD∥EF，
所以∠GEF或其补角为异面直线AB与CD所成角，
因为△EFG为正三角形，所以∠GEF＝60°.
3．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝3，AB＝5，AA1＝4，求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．
【解析】如图连接BC1，与B1C交于点O，则O为B1C的中点，取AB的中点D，连接CD，OD，
所以OD∥AC1，OD＝AC1，
所以∠COD或其补角为异面直线AC1与B1C所成角，
因为直三棱柱ABC A1B1C1，且AC⊥BC，AC＝3，AB＝5，AA1＝4，所以AC1＝5，
所以OD＝AC1＝，OC＝B1C＝2，CD＝AB＝，
所以由余弦定理知，
cos ∠COD＝＝＝，
所以异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.
异面直线所成的角的求法
(1)作：利用三角形的中位线、长方体中相对应的线段，平行四边形的对边等平移，使两异面直线使之相交于一个点，并说明相应的角为异面直线所成的角或其补角．
(2)求：求出三角形的边，利用余弦定理求出角的余弦，进而求出角；如果是特殊三角形，如等边三角形、直角三角形等，则利用相应三角形的性质求角．
微提醒：根据空间中角的直观图无法直接判断角是锐角、直角、钝角，因此作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是其补角．
基础类型二 异面直线互相垂直的证明(逻辑推理)
【典例】(2021·济南高一检测)如图，在正方体ABCD A′B′C′D′中，BB′的中点为M，CD的中点为N，求证：AM⊥D′N.
【证明】取CC′中点M′，连接DM′，
则AM∥DM′，由△DCM′≌△D′DN，可知∠CDM′＝∠DD′N，
因为∠CDM′＋∠D′ND＝∠DD′N＋∠D′ND＝90°，所以DM′⊥D′N，所以AM⊥D′N，
所以异面直线AM与D′N所成的角为90°.
所以AM⊥D′N.
【备选例题】
在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1.
【证明】如图，连接A1B，设A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h，因为三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱，
所以∠BB1C1＝∠A1AB＝90°，
所以BC＝b2＋h2，AB2＝a2＋b2，
所以A1B2＝a2＋b2＋h2，
所以A1B2＝A1C＋BC，
则A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°.
又因为AC∥A1C1，
所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角，
所以AC⊥BC1.
证明两异面直线垂直的步骤
(1)作出两异面直线所成的角．
(2)求出两异面直线所成角的余弦值或在特殊三角形中说明垂直关系．
(3)结论．
如图，正方体ABCD A1B1C1D1，
求证：AC⊥B1D.
【证明】如图，连接BD，交AC于O，取BB1的中点E，
连接OE，则OE∥DB1，
所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角．
连接AE，CE，易证AE＝CE，
又O是AC的中点，所以AC⊥OE，所以AC⊥B1D.
综合类型 异面直线所成角及其应用(逻辑推理)
补形法求异面直线所成的角
在正方体ABCD A1B1C1D1中，点M是AB的中点，点N是BB1的中点，
(1)异面直线DB1和CM所成的角的余弦值为________．
【解析】将正方体ABCD A1B1C1D1补上一个棱长相等的正方体，构成一个长方体，连接CE1，ME1.
因为DB1∥CE1，
所以∠MCE1是异面直线DB1与CM所成角(或其补角)，
设正方体的棱长为a.在三角形MCE1中，
CM＝a，CE1＝a，ME1＝a，
那么cos ∠MCE1＝＝.
答案：
(2)异面直线DN和CM所成的角的余弦值为________．
【解析】将正方体ABCD A1B1C1D1补上一个棱长相等的正方体，构成一个长方体，P为所在棱中点，连接CP，MP，DN∥CP，
所以∠MCP是异面直线DN与CM所成角(或其补角)，
设正方体棱长为a.在三角形MCP中，
CM＝a，CP＝a，MP＝a，
那么cos ∠MCP＝＝.
答案：
关于补形作异面直线所成的角
当不方便作异面直线所成角时，可以考虑补形，一是补一个相同形状的几何体，以方便作平行直线，二是将不常见的几何体补成一个常见的几何体，如将三棱锥或四棱锥补成一个正方体(或长方体).
已知异面直线所成的角求值
【典例】如图，在四面体A BCD中，AC＝BD＝a，对棱AC与BD所成的角为60°，M，N分别为AB，CD的中点，则线段MN的长为________．
【解析】取BC的中点E，连接EN，EM，
因为M为AB的中点，所以ME∥AC，且ME＝AC＝，
同理得，EN∥BD，且EN＝，所以∠MEN或其补角为异面直线AC与BD所成的角，在△MEN中，EM＝EN，若∠MEN＝60°，则△MEN为等边三角形，所以MN＝.
若∠MEN＝120°，可得MN＝a.
答案：或a
本例的条件不变，求异面直线AC与MN所成的角．
【解析】
取BC的中点E，连接EN，EM，
因为M为AB的中点，
所以ME∥AC，且ME＝AC＝，
同理得，EN∥BD，且EN＝，所以∠EMN或其补角为异面直线AC与MN所成的角，在△MEN中，EM＝EN，若∠MEN＝60°，则△MEN是等边三角形，
所以∠EMN＝60°；若∠MEN＝120°，则△MEN是等腰三角形，所以∠EMN＝30°.所以异面直线AC与MN所成的角是30°或60°.
关于异面直线的应用
当已知条件中含有异面直线所成角时，应先作出该角，才能应用此条件，但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成角，也可能是其补角，应分情况讨论．
1．下列说法正确的个数是( )
①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交；
②若a∥b，则a，b与c所成的角相等；
③若a⊥b，b⊥c，则a∥c.
A．3 B．2 C．1 D．0
【解析】选C.①中a与c的位置关系不确定，③中a与c也可能相交或异面，②正确．
2．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，B1B，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( )
A.45° B．60° C．90° D．120°
【解析】选B.
连接A1B，BC1，A1C1，因为E，F，G，H分别是AA1，AB，BB1，B1C1的中点．所以A1B∥EF，BC1∥GH.所以A1B和BC1所成角为异面直线EF与GH所成角，知△A1BC1为正三角形，故∠A1BC1＝60°.
3．如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，M为C1D1中点，则BM与AC所成角的余弦值为( )
A. B． C． D．
【解析】选D.取A1D1的中点N，连接BN，MN，A1C1，A1B，
则MN∥A1C1∥AC，所以∠BMN(或其补角)即为异面直线BM与AC所成的角，
不妨设AB＝2，则MN＝A1C1＝，
BN2＝A1N2＋A1B2＝9，
所以BN＝3，同理可得，BM＝3，
在△BMN中，由余弦定理得，
cos ∠BMN＝＝＝.
所以异面直线BM与AC所成的角的余弦值为.
4．在正三棱柱ABC A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有________．
【解析】由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1.
答案：AB，A1B1
5．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为________．
【解析】
如图，连接BC1，A1C1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角或其补角．
由AB＝1，AA1＝2，则A1C1＝，A1B＝BC1＝，
在△A1BC1中，由余弦定理得
cos ∠A1BC1＝＝.
答案：
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12(共55张PPT)
8．6 空间直线、平面的垂直
8．6.1 直线与直线垂直
基础认知·自主学习
1．异面直线所成的角
(1)定义：已知异面直线a，b，经过空间中任意一个点O分别作直线a′∥a，
b′∥b，我们把__________所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；
(2)图示：
(3)规定：当两直线a，b互相平行时，我们规定它们所成的角为__；
(4)范围：__________．
直线a′，b′
0°
0°≤α≤90°
能力形成·合作探究
学情诊断·课堂测评
直线与
直线垂直
核心知识
易错提醒
核心素养
方法总结
直观想象：求作异面直线所成角的问题
异面直线所成的角的求法
(1)作：利用中位线、长方体、平行四边形等性质平移至一个三角形，并说明为异面直线所成的角或补角.
(2)求：利用余弦定理求角（如果是特殊三角形），或利用三角形的性质求角。
求异面直线所成的角时注意的范围
直线与直线垂直
异面直线所成的角
求异面直线所成的角
a
0
O
D
Ci
A
I
B
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1
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W
C
A
M
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