平面与平面平行
上海世界博览会的中国国家馆被永久保留．中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层．
【问题1】展馆的每两层所在的平面什么关系？
【问题2】上层面上任一直线状物体与下层地面有何位置关系？
【问题3】上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交，它们的交线是什么位置关系？
1．平面与平面平行的判定定理
文字 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β
图形
如果一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行吗？
提示：不一定．当这两条直线平行时，这两个平面有可能相交．
2．平面与平面平行的性质定理
文字 两个平面平行，如果一个平面与这两个平面相交，那么交线平行
符号 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
图形
面面平行还有哪些性质？
提示：(1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行；
(2)夹在两平行平面之间的平行线段相等；
(3)两个平面平行，其中一个平面上任意一点到另一个平面的距离相等．
1.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面一定平行吗？
2．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线一定平行吗？
3．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面一定平行吗？
提示：1.不一定；2.不一定；3.一定平行．
观察教材P142图8.5－19，夹在两个平行平面之间的线段一定相等吗？
提示：不一定．
1．下列结论中，错误的是( )
A.平行于同一直线的两个平面平行
B.平行于同一平面的两个平面平行
C.平行于同一平面的两直线位置关系不确定
D.两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面
【解析】选A.如图正方体ABCD A1B1C1D1中，
BB1∥平面ADD1A1，BB1∥平面DCC1D1，
而平面ADD1A1∩平面DCC1D1＝DD1.
2．a是平面α外一条直线，过a作平面β，使α∥β，这样的β( )
A．只能作一个 B．至少可以作一个
C.不存在 D．至多可以作一个
【解析】选D.当a∥α时，过a作平面β，使得β∥α，由平面与平面平行的性质得这样的平面β有且只有1个．当a与α相交时，设a与α的交点为P，根据题意知，P∈β，P∈α，则α∩β＝l且P∈l，这与α∥β矛盾，所以这样的β不存在．综上所述，过平面α外一条直线a与α平行的平面至多有1个．
基础类型一 平面与平面平行的判定定理(逻辑推理)
1．(2021·泰安高一检测)如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与P，R，Q三点所在平面平行的是( )
【解析】选D.
由题意可知，经过P，Q，R三点的平面如图：截面为六边形PQEFRS(E，F，S为所在棱中点)，可知N在经过P，Q，R三点的平面上，所以B，C错误；MC1与QE是相交直线，所以A不正确，故选D.
2．(2021·哈尔滨高一检测)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．
求证：平面EFG∥平面BDD1B1.
【解析】连接SD，SB.
因为F，G分别是DC，SC的中点，所以FG∥SD，
又SD 平面BDD1B1，FG 平面BDD1B1，
所以FG∥平面BDD1B1，同理可证直线EG∥平面BDD1B1，又直线EG 平面EFG，直线FG 平面EFG，
EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面BDD1B1.
平面与平面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点．
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．
(3)利用线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
基础类型二 平面与平面平行的性质定理(逻辑推理)
【典例】如图，在三棱锥P ABC中，点D，E，F分别在棱AB，PB，BC上，且平面DEF∥平面PAC，若＝，则△DEF与△APC的面积之比为________．
【证明】因为在三棱锥P ABC中，点D，E，F分别在棱AB，PB，BC上，且平面DEF∥平面PAC，
所以DE∥AP，DF∥AC，EF∥PC，
所以△DEF∽△APC，
因为＝，所以＝＝＝＝，
所以△DEF与△APC的面积之比为：＝.
答案：
【备选例题】
如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于B，A点和D，C点，M，N分别是AB，CD的中点．求证：MN∥平面α.
【证明】如图，过点A作AE∥CD交α于E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，AC.
因为AE∥CD所以AE，CD确定平面AEDC，
且平面AEDC∩平面α＝DE，平面AEDC∩平面β＝AC，α∥β，所以AC∥DE.
又P，N分别为AE，CD的中点，
所以PN∥DE，PN α，DE α，
所以PN∥α.又M，P分别为AB，AE的中点，
所以MP∥BE，且MP α，BE α，
所以MP∥α.所以平面MPN∥平面α.
又MN 平面MPN，所以MN∥α.
1．应用平面与平面平行的性质定理的步骤
2．关于平行平面分线段
类比平面中平行线分线段成比例定理，在空间中，平行平面分线段也是成比例的．
微提醒：面面平行的应用主要体现在两个方面，一是与第三个面相交得到平行交线、二是一个面内的任意直线平行于另一个平面．
棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．
【解析】不妨设平面CD1M与平面ABB1A的交线为MN，因为在正方体ABCD A1B1C1D1中，连接A1B，NC，
平面MCD1∩平面DCC1D1＝CD1，
且平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
所以MN∥D1C，又A1B∥CD1，所以MN∥A1B，
因为M为AA1的中点，
所以N为AB的中点，如图，
显然该截面为等腰梯形CD1MN，
因为正方体的棱长为2，所以MN＝，CD1＝2，D1M＝，过M作MH⊥CD1，
则D1H＝＝，
所以MH＝＝，
所以截面面积S＝(2＋)×＝.
答案：
【加固训练】
(2021·银川高一检测)如图，已知α∥β，P是平面α，β外的一点，直线PB，PD分别与α，β相交于A，B和C，D.
(1)求证：AC∥BD.
(2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长．
【解析】(1)因为α∥β，平面PBD∩α＝AC，平面PBD∩β＝BD，所以AC∥BD.
(2)由(1)可知AC∥BD，所以＝，
即＝，所以PD＝.
综合类型 面面平行关系的
应用(直观想象、逻辑推理)
探究空间平行问题
(1)如图，正方体A1B1C1D1 ABCD中，E，F分别为棱A1A，BC上的点，在平面ADD1A1内且与平面DEF平行的直线( )
A．有一条 B．有二条
C．有无数条 D．不存在
【解析】选C.由题设知平面ADD1A1与平面DEF有公共线DE，则在平面ADD1A1内与DE平行的线有无数条，且它们都不在平面DEF内，由线面平行的判定定理知它们都与面DEF平行．
(2)如图所示，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥面A1BE，则F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是( )
A.a B． C．a D．
【解析】选D.设G，H，I分别为CD，CC1，C1D1边上的中点，则A1，B，E，G四点共面，且平面A1BGE∥平面B1HI，又因为B1F∥平面A1BE，所以F落在线段HI上，
因为正方体ABCD A1B1C1D1中的棱长为a，
所以HI＝CD1＝a.
即F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是a.
点拨：利用面面平行的性质作出交线．
关于平行条件的探究
(1)根据面面平行的性质得出交线互相平行，从而可以确定交线的位置，进而作出交线，这是面面平行性质的典型应用；
(2)探究线面平行时，一是寻找与面内直线平行的直线；二是构造平行平面，那么平面内任意直线与另一个平面平行．
【加固训练】
如图所示，在四棱锥C ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点．线段AB上是否存在一点H，使得平面GFH∥平面ACD.若存在，请找出点H并证明；若不存在，请说明理由．
【解析】线段AB上存在一点H满足题意，且点H是AB的中点．理由如下：连接AE，FH，GH.由四边形ABED为正方形可知，AE必与BD相交于中点F，
因为G为EC的中点，
所以GF∥AC，因为GF 平面ACD，AC 平面ACD，所以GF∥平面ACD.
由点F，H分别为BD，AB的中点可得：FH∥AD，
因为FH 平面ACD，AD 平面ACD，
所以FH∥平面ACD，
且GF∩FH＝F，故平面GFH∥平面ACD.
空间中平行关系的综合应用
【典例】(2021·温州高一检测)如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．
(1)求证：BE∥平面DMF；
(2)求证：平面BDE∥平面MNG.
【证明】(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，
则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，
又BE 平面DMF，MO 平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE 平面MNG，GN 平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN，又BD 平面MNG，MN 平面MNG，所以BD∥平面MNG，
又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，
所以平面BDE∥平面MNG.
空间中平行关系的内在联系
创新拓展 异面直线与平行关系(数学推理)
【典例】(2021·广州高一检测)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a α，a∥β
C．存在两条平行直线a、b，a α，b β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a、b，a α，b β，a∥β，b∥α
【解析】选D.对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行，故A不对；
对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不对；
对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不对；
对于D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D正确．
关于异面直线与平行关系的结论
(1)过两条异面直线中的一条有且只有一个平面与另一个平面平行；
(2)分别过两条异面直线有且只有一对平面相互平行．
1．已知平面α∥平面β，直线l∥α，则( )
A．l∥β B．l β
C．l∥β或l β D．l，β相交
【解析】选C.假设l与β相交，又α∥β，则l与α相交，与l∥α矛盾，则假设不成立，则l∥β或l β.
2．如图，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状是( )
A.矩形 B．菱形
C．平行四边形 D．正方形
【解析】选C.因为平面和左右两个侧面分别交于ED1，BF，所以ED1∥BF，同理D1F∥EB，所以四边形D1EBF是平行四边形．又D1E与BE不一定相等且不一定垂直，故A，B，D不正确．
3．下列命题正确的有( )
①如果两个平面(不重合)不相交，那么它们平行；②如果一个平面内有无数条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行；③空间两个相等的角所在的平面平行．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】选B.对①，由两个平面平行的定义知正确；对②，若这无数条直线都平行，则这两个平面可能相交，②错误；对③，这两个角可能在同一平面内，故③错误．
4．已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a α，b，c β，则α与β的关系是____________．
【解析】b，c β，a α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故答案为相交或平行．
答案：相交或平行
5．(教材习题改编)如图，平面α∥β∥γ，直线l，m分别与α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.若＝，DF＝20，则EF＝________．
【解析】利用平行平面分线段成比例得：＝＝，又DF＝20，求得EF＝15.
答案：15
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12(共53张PPT)
8．5.3 平面与平面平行
基础认知·自主学习
能力形成·合作探究
素养发展·创新应用
学情诊断·课堂测评
平行关系的相互转化:
方法总结
核心知识
易错提醒
核心素养
1.平面与平面平行的判定
2.平面与平面平行的性质
应用性质定理时定理中的三个条件缺一不可
逻辑推理：在平行关系的转化证明过程中，培养逻辑推理的核心素养
线线平行
线面平行
面面平行
性质
判定定理
性质定理
判定定理
性质定理
平面与平面平行
性质
D
Ci
D
R
C
R
A
Bi
N
M
C
A
P
B
A
P
B
A
B
D
H
1
D
Ci
R
R
A
Bi
Bu
N
D
C
C
A
A
P
B
P
B
C
D
D
1
Ci
A
I
I
I
O,
C
E
A
B
D
Ci
A
B
M
C
A
N
B
P
C
0
--，
D
/B
B
D
1
B
Ci
东
D
B
F
C
A
D
B
Ci
E
1
B
C
m
A
D
a
E
Y
C
F直线与平面平行
在生活中，注意到门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边始终与门框所在的平面没有公共点，此时门扇转动的一边与门框所在的平面给人以平行的印象．
【问题1】门扇转动的一边与门框所在的直线有什么关系？
【问题2】能用数学语言证明你看到的现象吗？
【问题3】一条直线与一个平面平行，怎样在平面内作一条直线与该直线平行？
1．直线与平面平行的判定定理
(1)定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行；
(2)符号：a α，b α，且a∥b a∥α；
(3)本质：线线平行 线面平行，空间问题转化为平面问题．
(4)应用：判定直线与平面平行．
如果一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面一定平行吗？
提示：不一定，该直线可能在平面内．
2．直线与平面平行的性质定理
(1)定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行；
(2)符号：a∥α，a β，α∩β＝b a∥b；
(3)本质：线面平行 线线平行，直线与平面平行中蕴含直线与直线平行；
(4)应用：作平行线的一种方法．
一条直线与一个平面平行，该直线与此平面内任意直线平行吗？
提示：不是，可能是异面直线．
1.如果一条直线上有无数个点在平面外，那么该直线一定与平面平行吗？
2．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线的位置关系是怎样的？
3．如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线一定平行吗？
提示：1.不一定，也可能相交；2.平行或异面；3.不一定．
观察教材P137图8.5－7，如果点E，F分别是AB，AD靠近点A的三等分点，那么EF与平面BCD是什么关系？
提示：平行．
1．如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是( )
A．相交 B．b∥α
C.b α D．b∥α或b α
【解析】选D.由a∥b，且a∥α，知b∥α或b α.
2．如图，在正方体ABCD A′B′C′D′中，E，F分别为平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有( )
A.4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解析】选A.如图，连接AC，A′C′，BD，B′D′，则由题意可得EF∥AA′∥CC′，
又EF 平面AA′D′D，EF 平面CC′D′D，EF 平面BB′C′C，EF 平面AA′B′B，
所以EF∥平面AA′D′D，EF∥平面CC′D′D，EF∥平面BB′C′C，EF∥平面AA′B′B，
则正方体的六个面中与EF平行的平面有4个．
基础类型一 直线与平面平行的判定(逻辑推理)
1．(2021·哈尔滨高一检测)已知正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足A1F∥平面BD1E的图形个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】1.选B.①中，平移A1F至D1F′，可知D1F′与面BD1E只有一个交点D1，则A1F与平面BD1E不平行；
②中，由于A1F∥D1E，而A1F 平面BD1E，D1E 平面BD1E，故A1F∥平面BD1E；
③中，平移A1F至D1F′，可知D1F′与面BD1E只有一个交点D1，则A1F与平面BD1E不平行；
2．(2021·北京高一检测)如图，三棱柱ABC A1B1C1中，D，E，F分别为棱AB，BC，C1B1中点．
(1)求证：AC∥平面B1DE；
(2)求证：AF∥平面B1DE.
【解析】2．(1)在△ABC中，D，E分别为棱AB，BC中点．所以DE∥AC，
因为DE 平面B1DE，AC 平面B1DE，
所以AC∥平面B1DE.
(2)如图，连接BF交B1E于G，连接DG.
因为点E，F分别是BC，B1C1的中点，
所以B1FEC，所以四边形ECFB1是平行四边形，
所以B1E∥FC，因为点E是BC的中点，
所以点G是BF的中点，
又因为D是AB中点，所以DG∥AF，
因为AF 平面B1DE，DG 平面B1DE，
所以AF∥平面B1DE.
关于线面平行的判定
(1)充分利用平面图形中的平行关系，如三角形中，中位线平行于底边，平行四边形对边平行，梯形的两底平行等．
(2)连接平行四边形的对角线是常作的辅助线，因为平行四边形的对角线相互平分，可以得到中点从而构造平行关系．
(3)书写步骤时一定要注明面外直线，面内直线，避免步骤扣分．
基础类型二 直线与平面平行的性质(逻辑推理)
【典例】(2021·六安高一检测)如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若四边形EFGH为平行四边形．求证：AB∥平面EFGH.
【证明】因为四边形EFGH为平行四边形，
所以EH∥FG；因为EH 平面ABD，FG 平面ABD，所以EH∥平面ABD；
又因为EH 平面ABC，平面ABC∩平面ABD＝AB，所以EH∥AB；
又因为EH 平面EFGH，AB 平面EFGH，
所以AB∥平面EFGH.
【备选例题】
如图，已知四棱锥P ABCD的底面ABCD为平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作一平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
【证明】连接AC交BD于点O，连接MO.
因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点，
又M是PC的中点，所以AP∥OM.
而PA 平面BDM，OM 平面BDM，所以AP∥平面BMD.
因为平面PAHG∩平面BMD＝GH，所以AP∥GH.
关于直线与平面平行性质定理的应用
若题目条件中有直线l与平面α平行的条件
(1)首先观察过直线l的平面，观察这些平面与平面α是否有交线，如果有，则直线l与交线平行；
(2)若过直线l的平面与平面α没有交线，则应设法作出交线，再利用直线l与交线平行进行证明．
如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，平面PAD∩平面PBC＝l.
求证：l∥BC.
【证明】因为BC∥AD，BC 平面PAD.
AD 平面PAD，所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(如图)
综合类型 线面平行关系的应用(直观想象、逻辑推理)
线面平行关系的应用
①如图，在四棱锥P ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( )
A．MN∥PD B．MN∥PA
C．MN∥AD D．以上均有可能
②在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
【解析】①选B.四棱锥P ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，
MN 平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，
由直线与平面平行的性质定理可得：MN∥PA.
②如图所示，取CD的中点E.
则EM∶MA＝1∶2，
EN∶BN＝1∶2，
所以MN∥AB.又MN 平面ABD，MN 平面ABC，
AB 平面ABD，AB 平面ABC，
所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.
答案：平面ABD、平面ABC
关于线面平行关系的综合应用
线面平行的判定是由线线平行 线面平行，性质定理是由线面平行 线线平行，因此线线平行与线面平行可以相互转化，也体现了平面和空间平行关系的相互转化．
线面平行关系的探究
【典例】如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧棱CC1上运动，当点P满足条件________时，A1P∥平面BCD.
【解析】如图，取CC1中点P，连接A1P.
因为在直三棱柱ABC A1B1C1中，
D为AA1中点，点P在侧棱CC1上运动，
所以当点P是CC1中点时，A1P∥CD.
因为A1P 平面BCD，CD 平面BCD，
所以A1P∥平面BCD.
答案：点P是CC1中点
本例中条件不变，在BB1上是否存在点P，使A1P∥平面BCD.
【解析】存在．当点P为BB1中点时，A1P∥平面BCD.
因为在直三棱柱ABC A1B1C1中，
D为AA1中点，点P在侧棱BB1上运动，
所以当点P是BB1中点时，A1P∥BD.
因为A1P 平面BCD，BD 平面BCD，
所以A1P∥平面BCD.
关于直线与平面平行关系的探究
动点、动直线的平行关系探究中，关键是构造线线平行，可以先从特殊点(如中点)入手，验证是否符合线线、线面平行的条件，若不符合，再探究其它的点是否符合．
1．b是平面α外的一条直线，可以推出b∥α的条件是( )
A．b与α内的一条直线不相交
B．b与α内的两条直线不相交
C．b与α内的无数条直线不相交
D．b与α内的任何一条直线都不相交
【解析】选D.因为b∥α，所以b与α无公共点，从而b与α内任何一条直线无公共点．
2．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是( )
A.平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
【解析】选A.由长方体性质知：EF∥平面ABCD，
因为EF 平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，所以EF∥GH.
又因为EF∥AB，所以GH∥AB.
3．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
【解析】因为EF∥平面AB1C，EF 平面ABCD，
平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.
又点E为AD的中点，点F在CD上，
所以点F是CD的中点，所以EF＝AC＝.
答案：
4．如图，在六面体FEABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．
【解析】因为M，N分别是BF，BC的中点，
所以MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，所以CF∥DE，所以MN∥DE.
又MN 平面ADE，DE 平面ADE，
所以MN∥平面ADE.
答案：平行
5．如图，a∥α，A是α的另一侧的点，B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交平面α于E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________．
【解析】因为a∥α，a 平面ABD，α∩平面ABD＝EG，
所以a∥EG，即BD∥EG，
所以＝，
则EG＝＝＝.
答案：
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9(共46张PPT)
8.5.2 直线与平面平行
基础认知·自主学习
1．直线与平面平行的判定定理
(1)定理：如果_______一条直线与此平面内的一条直线_____，那么该直线与此
平面平行；
(2)符号：a α，b α，且a∥b a∥α；
(3)本质：线线平行 线面平行，空间问题转化为平面问题．
(4)应用：判定直线与平面平行．
平面外
平行
交线
能力形成·合作探究
学情诊断·课堂测评
核心知识
直线与平面平行的性质定理
直线与平面平行的判定定理
方法总结
判定直线与平面平行
（1）关键是在平面内找一条直线与平面平行
（2）方法是利用平行的传递性，通过中位线定理或平行四边形的性质
核心素养
注意性质定理中两条直线的位置
应用
直线与平面平行
易错提醒
逻辑推理：转化为证明直线与直线平行判定
E
D
D
C
A
B
A
B
E
八
1
D
>
D
A
F
B
A
B
A
B
①
2
3
A
Ci
B
1
G
C
D
E
B
P
N
C
A
B
Ci
B
D
P
C
B直线与直线平行
在生活中，注意到门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，过转动的一边在不同的位置就会有不同的直线．
【问题1】这些直线有什么关系？
【问题2】这些直线为什么平行？
【问题3】什么是空间中的基本事实4
1．基本事实4
平行于同一条直线的两条直线平行．
本质：该事实即平行公理，空间中判断线线平行的依据，体现了直线的平行具有传递性，空间直线可以平移．
平面中有哪些常用的证明两直线平行的定理？
提示：三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行等．
2．等角定理
如果空间中两个角的两条边分别平行，那么这两个角相等或互补．
平面中怎样利用平行证明两个角相等？
提示：两直线平行同位角、内错角相等，平行四边形中对角相等．
1.分别与两条异面直线平行两条直线一定是异面直线吗？
2．在空间中，如果两个角相等或互补，那么这两个角的边所在的直线一定平行吗？
3．如果空间中两条相交直线与另外两条直线分别平行，那么两组直线所形成的锐角(或直角)什么关系？
提示：1.不一定，可能相交；2.不一定；3.相等．
观察教材P134图8.5－3，当AC⊥BD时，四边形EFGH是什么四边形？
提示：矩形．
1．已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝( )
A．30° B．150°
C.30°或150° D．大小无法确定
【解析】选C.两个角的两边分别对应平行，那么这两个角是相等或互补关系所以∠B′A′C′＝30°或150°.
2．如图，AA′是长方体ABCD A′B′C′D′的一条棱，那么长方体中与AA′平行的棱共有________条．
【解析】因为四边形ABB′A′，ADD′A′均为长方形，
所以AA′∥BB′，AA′∥DD′.
又四边形BCC′B′为长方形，所以BB′∥CC′，所以AA′∥CC′.故与AA′平行的棱共有3条，
它们分别是BB′，CC′，DD′.
答案：3
基础类型一 空间直线平行的判定及应用(逻辑推理)
1．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有( )
A.3条 B．4条 C．5条 D．6条
【解析】1.选B.由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD，BC，A1D1，所以共有4条．
2．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是______．
【解析】2．在△ABC中，
因为AE∶EB＝AF∶FC，所以EF∥BC.
又在三棱柱ABC A1B1C1中，BC∥B1C1，
所以EF∥B1C1.
答案：平行
3．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G，H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
【解析】3．因为梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，所以EF∥AB且EF＝(AB＋CD).
又C′D′∥EF，EF∥AB，所以C′D′∥AB.
因为G，H分别为AD′，BC′的中点，
所以GH∥AB且GH＝(AB＋C′D′)＝(AB＋CD)，
所以GHEF，所以四边形EFGH为平行四边形．
关于空间中两直线平行的证明
(1)辅助线：常见的辅助线作法是构造三角形中位线，平行四边形的对边．
(2)证明依据：三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理的逆定理，基本事实4，柱体中相对的棱、对角线等的平行关系．
基础类型二 等角定理及应用(逻辑推理)
【典例】在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，
证明：∠BGC＝∠FD1E.
【证明】因为F为BB1的中点，所以BF＝BB1，
因为G为DD1的中点，所以D1G＝DD1.
又BB1∥DD1，BB1＝DD1，
所以BF∥D1G，BF＝D1G.
所以四边形D1GBF为平行四边形．
所以D1F∥GB，同理D1E∥GC.
所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，
所以∠BGC＝∠FD1E.
关于等角定理的应用
(1)根据空间中相应的定理证明角的两边分别平行，即先证明线线平行．
(2)根据角的两边的方向、角的大小判定角相等．
如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABC1( )
A.相等 B．互补
C．相等或互补 D．不确定
【解析】选B.由于E，F，G分别为A1C1，B1C1，BB1的中点，所以EF∥A1B1∥AB，FG∥BC1，
所以∠EFG与∠ABC1的两组对边分别平行，一组对应边方向相同，一组对应边方向相反，
故∠EFG与∠ABC1互补．
综合类型 线线平行关系的应用(逻辑推理)
利用平行判断共面
【典例】如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BCAD，BEFA，G，H分别为FA，FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
【解析】(1)由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GHAD.又BCAD，所以GHBC，
所以四边形BCHG为平行四边形．
(2)由BEAF，G为FA的中点知，BEFG，
所以四边形BEFG为平行四边形，
所以EF∥BG.由(1)知BGCH，
所以EF∥CH，所以EF与CH共面．
又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面．
关于共面问题
根据两平行直线确定一个平面，可以证明共面问题，其实质是证明直线平行．
利用平行关系求值
【典例】如图，在空间四边形ABCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝m，则MN＝________．
【解析】连接AM并延长交BC于E，连接AN并延长交CD于F，再连接MN，EF，
根据三角形重心性质得BE＝EC，CF＝FD.
所以MNEF，EFBD.
所以MN＝BD＝m.
答案：m
如图，将本例改为：四棱锥S ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为________．
【解析】由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得AB∥CD，即AB∥平面DCFE，因为平面SAB∩平面DCFE＝EF，所以AB∥EF.因为E是SA的中点，所以EF＝1，DE＝CF＝.
所以四边形DEFC的周长为3＋2.
答案：3＋2
关于利用平行关系求值
(1)利用平行关系求值的依据是平行线分线段成比例定理，根据线段的比例关系求值．
(2)注意与三角形、梯形中位线定理，三角形重心的性质等平面几何知识相结合求值．
微提醒：三角形的重心到顶点的距离与到对边中点的距离比等于2∶1.
【加固训练】
已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是( )
A．5 B．10 C．12 D．不能确定
【解析】选B.如图所示，由三角形中位线的性质可得EHBD，FGBD，再根据基本事实4可得四边形EFGH是平行四边形，那么所求的是平行四边形的对角线的平方和，EG2＋HF2＝2×(12＋22)＝10.
创新拓展 空间中点、线、面位置关系的应用(逻辑推理)
【典例】如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求证：E，F，G，H四点共面．
(2)设FG与HE交于点P，求证：P，A，C三点共线．
【证明】(1)在△ABD中，因为E，F为AD，AB中点，所以EF∥BD.在△CBD中，BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，
所以GH∥BD，所以EF∥GH，
所以E，F，G，H四点共面．
(2)因为FG∩HE＝P，P∈FG，P∈HE，
所以P∈平面ABC，P∈平面ADC，
又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈直线AC.
所以P，A，C三点共线．
1．已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定
【解析】选A.因为a∥b，b∥c，所以a∥c.又c∥d，所以a∥d.
2．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )
A．全等 B．相似
C．仅有一个角相等 D．全等或相似
【解析】选D.由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等．
3．如图，在三棱锥P ABC中，E，F，G，H，I，J分别为线段PA，PB，PC，AB，BC，CA的中点，则下列说法正确的是( )
A.PH∥BG B．IE∥CP
C．FH∥GJ D．GI∥JH
【解析】选C.由题意结合三角形中位线的性质，可得FH∥PA，GJ∥PA，由基本事实可得FH∥GJ.
4．如图，在正方体ABCD A′B′C′D′中，若E，F分别为AA′，CC′的中点，求证：四边形BFD′E是平行四边形．
【证明】如图所示，取BB′的中点G，连接GC′，GE.
因为F为CC′的中点，
所以BG∥FC′，且BG＝FC′.
所以四边形BFC′G是平行四边形．
所以BF∥GC′，BF＝GC′，
又因为EG∥A′B′，EG＝A′B′，
A′B′∥C′D′，A′B′＝C′D′，
所以EG∥C′D′，EG＝C′D′.
所以四边形EGC′D′是平行四边形．
所以ED′∥GC′，ED′＝GC′，
所以BF∥ED′，BF＝ED′，
所以四边形BFD′E是平行四边形．
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8．5 空间直线、平面的平行
8．5.1 直线与直线平行
基础认知·自主学行于同一条直线
相等或互补
能力形成·合作探究
素养发展·创新应用
学情诊断·课堂测评
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
空间直线平行的证明 （1）辅助线：构造三角形中位线、平行四边形的对边 （2）证明依据：基本事实4，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理的逆定理，几何体中相对的棱、对角线等的平行关系.
基本事实
定理
应用定理时注意角的方向
直观想象、逻辑推理：通过空间直线平行的证明得以体现
直线与
直线平行
A
E
q
B
F
G
C
B
F
G
H
D
E
B
C
A
B
W
D
E
F
C
D
H
G
A
C
E
F
B
P
E
G
A
C
H
I
B
