(共39张PPT)
第2课时 圆柱、圆锥、圆台、
球、简单组合体的结构特征
【情境探究】
1.观察下面的几何体,回答下列问题
(1)它们有什么共同点
提示:它们都可以看成是由一个平面图形旋转而生成的.
必备知识生成
(2)它们分别由什么样的平面图形旋转而成的
提示:①是由矩形绕其中一边所在直线旋转而成.②是由直角三角形绕其中一直角边所在直线旋转而成.③是由直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线旋转而成.④是由半圆绕直径所在直线旋转而成.
2.观察下面的几何体,回答有关问题:
(1)组合体①、②是由哪些简单几何体组合成的
提示:①是由一个三棱柱挖出一个圆柱组合而成的.
②是由一个圆台和两个圆柱组合而成的.
(2)通过观察你发现组合体①与组合体②的组合有何不同
提示:组合体①是由简单几何体挖出一个简单几何体组成的.
组合体②是由几个简单几何体拼接而成的.
【知识生成】
1.圆柱的结构特征
以_____的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体
叫做圆柱.
旋转轴叫做圆柱的___;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的_____;平行于
轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的_____;无论旋转到什么位置,_____于轴的边
都叫做圆柱侧面的_____.
矩形
轴
底面
侧面
平行
母线
圆柱用它的轴的字母表示,即表示两底面_____的字母表示,上图中的圆柱可记
作圆柱_____.
_____和_____统称为柱体.
圆心
O′O
圆柱
棱柱
2.圆锥的结构特征
以_____三角形的一条_______所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面
所围成的旋转体叫做圆锥.
圆锥用它的轴___表示,底面为____,SA为母线.另外,S叫做圆锥的_____,OA(或
OB)叫做底面☉O的_____.
_____与_____统称为锥体.
直角
直角边
SO
☉O
顶点
半径
棱锥
圆锥
3.圆台的结构特征
用平行于_____底面的平面去截圆锥,_____与_____之间的部分叫做圆台.
圆锥
底面
截面
圆锥的底面和截面分别叫做圆台的___底面和___底面.与圆柱和圆锥一样,圆
台也有轴、_____、母线,如图所示,轴为_____,AA′为母线.
圆台用它的轴的_____表示,如图中的圆台可记作圆台_____.
_____与_____统称为台体.
下
上
侧面
OO′
字母
OO′
圆台
棱台
4.球
半圆以它的_____所在直线为旋转轴,旋转_____形成的曲面叫做_____,球面所
围成的旋转体叫做球体,简称球.
半圆的_____叫做球的球心;连接_____和球面上任意一点的线段叫做球的半径;
连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径.
球常用表示_____的字母表示,如图中的球记作球__.
直径
一周
球面
圆心
球心
球心
O
5.简单组合体
(1)概念:_____________________________.
(2)两种基本形式:一种是由简单几何体_____而成,一种是由简单几何体_____
_______一部分而成.
由简单几何体组合而成的几何体
拼接
截去
或挖去
关键能力探究
探究点一 旋转体的结构特征
【典例1】下列叙述正确的是________.
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;
②以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥;
③球的半径是球面上任意一点和球心的连线段的长度;
④球面上任意三点可能在一条直线上;
⑤用一个平面去截球,得到的截面是一个圆面.
【思维导引】理解旋转体的定义,利用各旋转体的性质,作出判断.
【解析】①以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周才可以得到圆锥;②正确;根据球的半径定义可知③正确;球面上任意三点一定不共线,故④错误;用一个平面去截球,一定截得一个圆面,故⑤正确.
答案:②③⑤
【类题通法】判断旋转体形状的关键
(1)判断旋转体类型的关键是轴的确定,看旋转体是由平面图形绕哪条直线旋转所得,同一个平面图形绕不同的轴旋转,所得的旋转体一般是不同的.
(2)处理旋转体识图问题时,要抓住圆柱和圆锥定义中的关键点:①矩形或直角三角形绕轴旋转形成,其特征是轴所在直线必须与底面垂直;②矩形或直角三角形旋转到任何位置时其形状不能发生变化.
【定向训练】
1.下列关于圆柱的说法中不正确的是 ( )
A.圆柱的所有母线长都相等
B.用平行于圆柱底面的平面截圆柱,截面是与底面全等的圆面
C.用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱,截面是一个圆面
D.一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴,旋转180°所形成的几何体是圆柱
【解析】选C.根据圆柱的定义和结构特征,易知C不正确.
2.一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转所得的几何体是圆锥吗 如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么图形
【解析】如图①②旋转一周围成的几何体是圆锥,如图③旋转一周所得的几何体是两个圆锥的组合体;如图④旋转180°是两个半圆锥的组合体.
探究点二 简单组合体的结构特征
【典例2】如图,观察下列几何体,分析它们是由哪些简单几何体组成的,并说出主要结构特点.
【思维导引】观察组合体的结构特征,主要弄清它是由哪些简单几何体组成的,必要时可指出棱数、面数和顶点数.
【解析】题干图中,图(1)是由一个四棱柱在它的上、下底面上向内挖去一个三棱柱组成的几何体,它有9个面,14个顶点,21条棱,具有四棱柱和三棱柱的结构特征.
图(2)是由一个四棱柱和一个底面与四棱柱上底面重合的四棱锥组成的几何体,有9个面,9个顶点,16条棱,具有四棱柱和四棱锥的结构特征.
图(3)是由一个三棱柱和一个底面与三棱柱的上底面重合的三棱台组成的几何体,有9个顶点,8个面,15条棱,具有三棱柱和三棱台的结构特征.
【类题通法】判断组合体构成的方法技巧
(1)首先要熟练掌握简单几何体的结构特征;其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体.
(2)要仔细观察组合体的构成,结合柱、锥、台、球的结构特征,先分割,后验证.
【定向训练】
1.已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的一腰,如图.分别以AB,BC,CD,DA所在直线为轴旋转,试说明所得几何体的结构特征.
【解析】(1)以AB所在直线为轴旋转所得旋转体是圆台.如图①所示.
(2)以BC边所在直线为轴旋转所得的旋转体是一组合体:下部为圆柱,上部为圆锥.
如图②所示.
(3)以CD边所在直线为轴旋转所得的旋转体为一组合体:上部为圆锥,下部为圆台,再挖去一个小圆锥.
如图③所示.
(4)以AD边所在直线为轴旋转所得的旋转体为一组合体:一个圆柱上部挖去一个圆锥.
如图④所示.
2.如图,AB为圆弧BC所在圆的直径,∠BAC=45°.将这个平面图形绕直线AB旋转一周,得到一个组合体,试说明这个组合体的结构特征.
【解析】如图所示,这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的.
探究点三 旋转体的截面问题
【典例3】如图所示,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3 cm,求圆台O′O的母线长.
【思维导引】旋转体的轴截面中有母线、底面半径、高等主要元素,因而,在涉及这些元素的计算时,通常利用轴截面求解.在圆台的轴截面中,将等腰梯形的两腰延长,在三角形中可借助相似求解.
【解析】设圆台的母线长为l cm,由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16,
可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r、4r.过轴SO作截面,如图所示.
则△SO′A′∽△SOA,SA′=3 cm.
所以 所以
解得l=9,即圆台的母线长为9 cm.
【类题通法】旋转体的轴截面及应用
用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似),同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质,利用相似三角形的性质,设相关几何量的方程组求解.
【定向训练】
1.如图中的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得,现用一个竖直的平面去截这个几何体,则所截得的图形可能是图中的 ( )
A.(1)(2) B.(1)(3) C.(1)(4) D.(1)(5)
【解析】选D.组合体的上底面已经挖去,故(2)(3)必错;当截面不过轴时,与圆锥的截线不可能是直线,故(4)错.
2.一圆锥的母线长为6,底面半径为3,把该圆锥截一圆台,截得圆台的母线长为4,则圆台的另一底面半径为________.
【解析】作轴截面如图,
则 所以r=1.
答案:1
圆柱、圆锥、
圆台、球、简单组合体的
结构特征
求圆柱、圆锥、圆台侧面上两点间最短距离都要转化到侧面展开图中，“化曲为直”是求几何体表面上两点间最短距离的好方法．
1.判断简单旋转体结构特征的方法
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的定义．；
2.逻辑推理：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．；
3.数学运算：旋转体的母线、底面圆半径、球的相关计算
4.直观想象：简单组合体的结构特征。
1.明确由哪个平面图形旋转而成．
2.明确旋转轴是哪条直线．
2.旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构
特征的关键量．
1.圆柱： 定义，相关概念
2.圆锥： 定义，相关概念
3.圆台： 定义，相关概念
4.球： 定义，相关概念
5.组合体: 定义
课堂素养达标
1.下列叙述中正确的个数是 ( )
①圆柱的母线与高相等;
②圆锥的高小于母线;
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;
④用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.①②正确;③它们的底面为圆面,不正确;④用平行于圆锥底面的平面截圆锥,可以得到一个圆锥和一个圆台.综上知选C.
2.球的直径有 ( )
A.一条 B.两条 C.三条 D.无数条
【解析】选D.经过球心且端点在球面上的线段都是球的直径,则球有无数条直径.
3.圆台两底半径分别是2 cm和5 cm,母线长3 cm,则它的轴截面的面积为
______.
【解析】画出轴截面,如图,过点A作AM⊥BC于点M,则BM=5-2=3,
AM= =9,
所以S四边形ABCD= =63(cm2).
答案:63 cm2
4.指出如图①②所示的图形是由哪些简单几何体构成的.
【解析】分割原图,使它的每一部分都是简单几何体.图①是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体.图②是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体.(共46张PPT)
第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、
简单组合体的结构特征
基础认知·自主学习
能力形成·合作探究
素养发展·创新应用
学情诊断·课堂测评
圆柱、圆锥、
圆台、球、简单组合体的
结构特征
求圆柱、圆锥、圆台侧面上两点间最短距离都要转化到侧面展开图中，“化曲为直”是求几何体表面上两点间最短距离的好方法．
1.判断简单旋转体结构特征的方法
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的定义．；
2.逻辑推理：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．；
3.数学运算：旋转体的母线、底面圆半径、球的相关计算
4.直观想象：简单组合体的结构特征。
1.明确由哪个平面图形旋转而成．
2.明确旋转轴是哪条直线．
2.旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构
特征的关键量．
1.圆柱： 定义，相关概念
2.圆锥： 定义，相关概念
3.圆台： 定义，相关概念
4.球： 定义，相关概念
5.组合体: 定义
V
I
I
1
I
L!
A
B
C
D
个
↓
I
◆
I
A
r
B
30
R
O
l
I
I
I第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
观察下面的图片，这些图片你都不陌生吧．小到精巧的家居装饰，大到宏伟的建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美．
【问题1】这些图片中包含了哪些立体图形？
【问题2】这些立体图形分为哪几类？
【问题3】这些立体图形是怎样定义的？有哪些几何特征？
1．空间几何体
类别 定义 图示
多面体 由若干个平面多边形围成的空间几何体叫做多面体
旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴
2．棱柱、棱锥、棱台
棱柱、棱锥、棱台的关系：
在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例).
1．棱柱、棱锥、棱台的分类依据是什么？
提示：根据棱柱、棱锥、棱台底面多边形的边数进行分类．
2．棱台的上下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？
提示：根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点．
3．特殊的棱柱、棱锥
直棱柱 侧棱垂直于底面的棱柱
斜棱柱 侧棱不垂直于底面的棱柱
正棱柱 底面是正多边形的直棱柱
平行六面体 底面是平行四边形的四棱柱
四面体 三棱锥
正棱锥 底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥
1．棱柱的侧面都是平行四边形吗？
2．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分一定是棱台吗？
3．正棱柱一定是直棱柱吗？
提示：1.是 2.不一定 3.是
观察教材P99图8.1－7，四棱锥的各条棱相等，顶点与底面中心的连线垂直于底面的四棱锥一定是正四棱锥吗？
提示：不一定，如底面是矩形的四棱锥．
1．下列实物不能近似看成多面体的是( )
A．钻石 B．粉笔盒
C．篮球 D．金字塔
【解析】选C.钻石、粉笔盒、金字塔的表面都可以近似看成平面多边形，所以它们都能近似看成多面体．篮球的表面不是平面多边形，故不能近似看成多面体．
2．下面多面体中，是棱柱的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】选D.根据棱柱的定义进行判定知，这4个都满足．
基础类型一 棱柱的结构特征(直观想象)
1．下列命题中，正确的是( )
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
C．棱柱的侧面是平行四边形，但底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
【解析】选D.由棱柱的定义可知，只有D正确，分别构造图形如下：
图①中平面ABCD与平面A1B1C1D1平行，但四边形ABCD与A1B1C1D1不全等，故A错；图②中正六棱柱的相对侧面ABB1A1与EDD1E1平行，但不是底面，B错；图③中正四棱柱底面ABCD是正方形，C错．
2．下列关于棱柱的说法：
①所有的面都是平行四边形；
②每一个面都不会是三角形；
③两底面平行，并且各侧棱也平行；
④被平面截成的两部分可以都是棱柱．
其中正确说法的序号是____________．
【解析】①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；
②错误，三棱柱的底面是三角形；
③正确，由棱柱的定义易知；
④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以正确说法的序号是③④.
答案：③④
3．如图所示的三棱柱ABC A1B1C1，其中E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．
【解析】都是棱柱，截面以上的几何体是三棱柱AEF A1HG，截面以下的几何体是四棱柱BEFC B1HGC1.
棱柱结构特征问题的解题策略
(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：
①两个面互相平行；
②其余各面是四边形；
③相邻两个四边形的公共边互相平行．
求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征．
(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．
基础类型二 棱锥、棱台的结构特征(直观想象)
【典例】下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②棱锥的侧面只能是三角形；
③由四个平面多边形围成的封闭图形只能是三棱锥；
④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确说法的序号是________．
【解析】①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形．
②正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形．
③正确，由四个平面多边形围成的封闭图形只能是三棱锥．
④错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
所以正确说法的序号为①②③.
答案：①②③
判断棱锥、棱台形状的两种方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
下列三种叙述，正确的有( )
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】选A.本题考查棱台的结构特征，①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用如图的反例检验，故②③不正确．
综合类型 多面体的分类及侧面展开(空间想象)
特殊的棱柱、棱锥
【典例】(多选题)下列说法正确的是( )
A．四棱柱的所有面均为平行四边形
B．长方体不一定是正四棱柱
C．底面是正多边形的棱锥，是正棱锥
D．正四面体一定是正三棱锥
【解析】选BD.棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．四棱柱的上下底面四边形可以是任意四边形；所以说四棱柱的所有面均为平行四边形，不正确，A不正确；
长方体不一定是正四棱柱，正确，因为长方体的长、宽、高可以不相等，所以B正确；
正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形，所以选项C错误；正四面体一定是正三棱锥，D正确．
各种棱柱之间的关系
(1)棱柱的分类
棱柱
(2)常见的几种四棱柱之间的转化关系
多面体的侧面展开问题
【典例】如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝，点E为AB上的动点，则D1E＋CE的最小值为( )
A．2 B． C．＋1 D．2＋
【解析】选B.如图，
将正方形ABCD以AB所在直线为轴向下旋转到对角面ABC1D1内，记为正方形ABC2D2.在矩形C1D1D2C2中连接D1C2，与AB的交点为E，此时D1E＋CE取得最小值，最小值为D1C2.
因为BC1＝＝2，所以C1C2＝3，
故D1C2＝ eq \r(D1C＋C1C) ＝＝.
如图所示，在所有棱长均为1的正三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着正三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．
【解析】将正三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，AD1＝ eq \r(AD2＋DD) ＝.
答案：
多面体的展开
涉及多面体面上的问题，可以将多面体的面展开到一个平面上，将空间的问题转化为平面上的问题，借助平面几何知识解题．
【加固训练】
已知正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为4 cm，高为10 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面，绕行两周到达点A1的最短路线的长为( )
A．16 cm B．12 cm
C．24 cm D．26 cm
【解析】选D.将正三棱柱ABC A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，如图所示，
最短距离是六个小矩形拼成的矩形对角线的连线的长度，即为三棱柱的侧面上所求路线的最小值．由已知，拼成的矩形的长等于6×4＝24 cm，宽等于10 cm，
所以最短路线为l＝＝26 cm.
1．以下空间几何体是旋转体的是( )
A．圆锥 B．棱台
C．正方体 D．三棱锥
【解析】选A.圆锥是将直角三角形绕一直角边旋转得到的几何体，故圆锥是旋转体．
2．一个几何体恰有6个顶点，则这个几何体可能是( )
A．四棱柱 B．四棱台
C．五棱锥 D．五棱台
【解析】选C.四棱柱上下两个平面都是四边形，有8个顶点，所以A不正确；四棱台有8个顶点，所以B不正确；五棱锥6个顶点，所以C正确；五棱台有10个顶点，D不正确．
3．下列几何体中是四棱锥的是( )
【解析】选C.由棱锥的结构特征：一个面是多边形，其余的面是有一个公共顶点的三角形，可知只有选项B和C中的图形是棱锥，其中B为三棱锥，C为四棱锥．
4．一个棱柱至少有________个面，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．
【解析】面最少的棱柱是三棱柱，它有5个面；顶点最少的一个棱台是三棱台，它有3条侧棱．
答案：5 3
5．在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有________条．
【解析】在上底面选一个顶点，同时在下底面选一个顶点，且这两个顶点不在同一侧面上，这样上底面每个顶点对应两条对角线，所以共有10条．
答案：10
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10(共41张PPT)
第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
【情境探究】
1.观察下面的图片,回答有关问题:
图片中,(1),(2),(3)代表的物体的形状有何特点 由此你能得出什么结论
提示:这些物体都是由若干个平面多边形围成的,这些物体统称为多面体.
必备知识生成
2.观察下面的多面体,它们有什么共同特点
提示:它们的共同特点是:(1)上、下两个底面是平行的且全等;(2)侧棱长都相等,侧面是平行四边形.
3.观察下面的几何体,它们有什么共同特征
提示:它们的共同特征是:(1)底面是平面多边形.(2)侧面都是三角形且它们有一个公共顶点.
4.观察如图所示的几何体,回答有关问题:
(1)用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面与底面的关系如何
提示:它们是相似的多边形.
(2)图中几何体A′B′C′D′-ABCD是如何得来的
提示:几何体A′B′C′D′-ABCD是由一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥所得到的.
【知识生成】
1.多面体的有关概念:
(1)定义:
一般地,由若干个___________围成的几何体叫做多面体.
(2)各部分名称:
①面:围成多面体的各个多边形;
②棱:相邻两个面的_______;
③顶点:棱与棱的公共点.
平面多边形
公共边
2.旋转体的有关概念:
(1)定义:一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的___________旋转所形成
的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.
(2)轴:___________.
3.棱柱的有关概念
(1)定义:一般地,有两个面互相_____,其余各面都是_______,并且相邻两个
_______的公共边都互相_____,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
一条定直线
这条定直线
平行
四边形
四边形
平行
(2)有关概念:
①底面:_________________且是_____________;
②侧面:_________且都是___________;
③侧棱:_________________;
④顶点:_____________________.
两个互相平行的面
全等的多边形
其余各面
平行四边形
相邻侧面的公共边
侧面与底面的公共顶点
(3)特殊的棱柱:
①直棱柱:侧棱_______底面的棱柱.
②斜棱柱:侧棱_________底面的棱柱.
③正棱柱:底面是_________的直棱柱.
④平行六面体:底面是___________的四棱柱.
垂直于
不垂直于
正多边形
平行四边形
4.棱锥的有关概念
定义 有一个面是_______,其余各面都是_______________的三角形,
由这些面所围成的多面体叫做棱锥
图形
及有
关概
念 底面:多边形面
侧面:有_________的各个三角形面
侧棱:相邻_____的公共边
顶点:各侧面的_________
分类 (1)按底面多边形的边数分:三棱锥、四棱锥……
(2)正棱锥:底面是_________,并且顶点与底面中心的连线
_______底面的棱锥.
多边形
有一个公共顶点
公共顶点
侧面
公共顶点
正多边形
垂直于
5.棱台的有关概念
定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间那部分多面体
图形
及有
关概
念 上底面:_____
下底面:原棱锥的_____
侧面:除上、下底面以外的面
侧棱:相邻侧面的_______
顶点:侧面与上(下)底面的_________
分类 由几棱锥截得即为几棱台:如三棱台、四棱台……
截面
底面
公共边
公共顶点
关键能力探究
探究点一 空间几何体概念的理解与应用
【典例1】(1)下列关于棱柱的说法中正确的是 ( )
A.棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形
B.棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高
C.棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
D.棱柱的所有面中,至少有两个面互相平行
(2)由5个面围成的多面体,其中上、下两个面是相似三角形,其余三个面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点,则该多面体是 ( )
A.三棱柱 B.三棱台
C.三棱锥 D.四棱锥
【思维导引】根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征判断.
【解析】(1)选D.由棱柱的定义,知A不正确,例如长方体;只有直棱柱才满足选项B的条件,故B不正确;C不正确,例如正六棱柱的相对侧面互相平行;D显然正确.
(2)选B.根据棱台的定义可判断该多面体为三棱台.
【类题通法】关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法
棱锥
定底面 只有一个面是多边形,此面即为底面
看侧棱 相交于一点
棱台
定底面 两个互相平行的面,即为底面
看侧棱 延长后相交于一点
【定向训练】
1.下列说法正确的是 ( )
A.棱柱的底面一定是平行四边形
B.棱锥的底面一定是三角形
C.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
D.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
【解析】选D.棱柱、棱锥的底面可以是任意多边形,所以排除A、B.棱柱中两个互相平行的平面不一定是棱柱的底面,例如底面为正六边形的棱柱的相对侧面互相平行,排除C.对于D,只要这个平面与底面平行就能够得到两个棱柱.
2.有下列三个说法.
①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;
②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;
③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
其中正确的有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3 个
【解题指南】棱台的基本特点是上、下底面平行且相似,棱或母线延长后交于一点,这是判断几何体是否为棱台的依据.
【解析】选A.关键是把握棱台的特点.①中的平面不一定平行于底面,故①错;②③可举反例去检验,如图,故②③错.
探究点二 几何体的结构特征
【典例2】如图,E,F分别是正方形ABCD的边BC,CD的中点,沿图中虚线折起来,它能围成怎样的几何体
【思维导引】三棱锥的三条侧棱交于同一点,由于E、F都是边的中点,所以折起后D,C,B会交于同一点.
【解析】如图,折起围成一个三棱锥.
【类题通法】
1.判断一个几何体是否为棱柱的三个关键
(1)有两个面互相平行;
(2)其余各面都是四边形;
(3)每相邻两个四边形的公共边都互相平行.
2.判断一个几何体是否为棱锥的三个关键
(1)底面是多边形.
(2)侧面是三角形.
(3)侧面有公共顶点.
3.判断一个几何体是否为棱台的三个关键
(1)两底面相互平行且相似.
(2)各侧棱延长后交于一点.
(3)侧面是梯形.
【定向训练】
1.如图所示,在三棱台A′B′C′-ABC中,截去三棱锥A′-ABC,则剩余部分
是 ( )
A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.组合体
【解析】选B.余下部分是四棱锥A′-BCC′B′.
2.如图,四棱柱ABCD A′B′C′D′,E,F分别为DD′,A′D′的中点,平面B′CEF截四棱柱ABCD A′B′C′D′为两部分,则两部分是怎样的几何体
【解析】多面体AA′FED-B′BC不是简单几何体,几何体B′C′C -FD′E是三棱台,其中△B′C′C和△FD′E是三棱台的底面.
探究点三 多面体的展开图
【典例3】(1)一正方体的六个面上用记号笔分别标记了一个字,已知其表面展开图如图所示,则在原正方体中,互为对面的是 ( )
A.聚与口,少与会,戴与罩
B.聚与戴,口与会,少与罩
C.聚与口,少与罩,戴与会
D.聚与戴,口与罩,少与会
(2)如图是三个几何体的平面展开图,请问各是什么几何体
【思维导引】(1)以其中一个面不动把其他面折叠 原正方体.
(2)常见几何体的定义与结构特征 空间想象或动手制作平面展开图进行实践.
【解析】(1)选B.以戴为底,折叠正方体后,即可判断出:聚与戴,口与会,少与罩互为对面.
(2)图①中,有5个平行四边形,而且还有两个全等的五边形,符合棱柱特点;图②中,有5个三角形,且具有共同的顶点,还有一个五边形,符合棱锥特点;图③中,有3个梯形,且其腰的延长线交于一点,还有两个相似的三角形,符合棱台的特点.把平面展开图还原为原几何体,如图所示:所以①为五棱柱,②为五棱锥,③为三棱台.
【类题通法】
立体图形的展开或平面图形的折叠是培养空间想象能力的有效途径,解此类问题可以结合常见几何体的定义与结构特征,进行空间想象,或亲自动手制作平面展开图进行实践.
【定向训练】
1.下图中不是正方体表面展开图的是 ( )
【解析】选C.把题目的表面展开图还原,可知C错.
2.如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面△AEF,求△AEF周长的最小值.
【解析】将三棱锥沿侧棱VA剪开,
并将其侧面展开平铺在一个平面上,
如图所示,
线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.
因为∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,
所以∠AVA1=90°.
又VA=VA1=4,所以AA1=4 .
所以△AEF周长的最小值为4 .
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；
2.逻辑推理：从实物中概括出棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；
3..直观想象：棱柱、棱锥、棱台的分类；
方法总结
核心知识
易错提醒
核心素养
注意概念中的特殊字眼，如棱柱的概念中的“相邻”，棱锥的概念中的“公共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”“平行”等．
判断一个几何体是哪种几何体，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征，弄清它们的内涵和外延。
多面体
棱柱
棱锥
棱台
直棱柱
斜棱柱
正棱柱
其他直棱柱
正棱锥
其他棱锥
课堂素养达标
1.在三棱锥A-BCD中,可以当作棱锥底面的三角形的个数为 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选D.每个三角形都可以作为底面.
2.有两个面平行的多面体不可能是 ( )
A.棱柱 B.棱锥 C.棱台 D.长方体
【解析】选B.棱锥的任意两个面都相交,不可能有两个面平行,所以不可能是棱锥.
3.下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是 ( )
【解析】选D.A,B,C中底面多边形的边数与侧面数不相等.
4.四棱柱有______条侧棱,______个顶点.
【解析】四棱柱有4条侧棱,8个顶点.
答案:4 8(共44张PPT)
第八章 立体几何初步
8．1 基本立体图形
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
基础认知·自主学面多边形
直棱柱 侧棱_______底面的棱柱
斜棱柱 侧棱_________底面的棱柱
正棱柱 底面是_________的直棱柱
平行六面体 底面是___________的四棱柱
四面体 ___棱锥
正棱锥 底面是正多边形，并且_____________________________
底面的棱锥
垂直于
不垂直于
正多边形
平行四边形
三
顶点与底面中心的连线垂直于
能力形成·合作探究
学情诊断·课堂测评
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；
2.逻辑推理：从实物中概括出棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；
3..直观想象：棱柱、棱锥、棱台的分类；
方法总结
核心知识
易错提醒
核心素养
注意概念中的特殊字眼，如棱柱的概念中的“相邻”，棱锥的概念中的“公共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”“平行”等．
判断一个几何体是哪种几何体，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征，弄清它们的内涵和外延。
多面体
棱柱
棱锥
棱台
直棱柱
斜棱柱
正棱柱
其他直棱柱
正棱锥
其他棱锥
