(共40张PPT)
8.5.3 平面与平面平行
【情境探究】
1.三角板的一条边所在直线与平面α平行,这个三角板所在平面与α平行吗
提示:不一定平行.
2.三角板的两条边所在直线分别与平面α平行,这个三角板所在平面与α平行吗
提示:平行.
必备知识生成
3.如图,平面BCC1B1内有多少条直线与平面ABCD平行 这两个平面平行吗
提示:无数条,不平行.
4.观察长方体ABCD -A1B1C1D1的两个面:平面ABCD及平面A1B1C1D1.
(1)平面A1B1C1D1中的直线与平面ABCD具有怎样的位置关系
提示:由于平面ABCD与平面A1B1C1D1平行,所以平面A1B1C1D1内的直线都与平面ABCD无公共点,故平面A1B1C1D1中的直线都与平面ABCD平行.
(2)若直线m 平面ABCD,直线n 平面A1B1C1D1,则直线m,n平行吗
提示:直线m,n平行或异面.
(3)在问题(2)中的直线m,n在什么条件下才是平行的
提示:当直线m,n共面时,两条直线才平行.
【知识生成】
1.平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的两条_____直线与另一个平
面_____,那么这两个平面平行
图形语言
符号语言 a β,b β, _______,a∥α,b∥α α∥β
作用 证明两个平面_____
相交
平行
a∩b=P
平行
2.平面与平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行,如果另一个平面与这两个
平面相交,那么两条交线_____
图形语言
符号语言 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b _____
作用 证明两条直线_____
平行
a∥b
平行
关键能力探究
探究点一 平面与平面平行的判定定理
【典例1】如图,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别是PA,BD,PD的中点.
求证:平面MNQ∥平面PBC.
【思维导引】在平面MNQ中,找两条相交直线与平面PBC平行.
【证明】因为四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别是PA,BD,PD的中点,
所以N是AC的中点,所以MN∥PC,又因为PC 平面PBC,MN 平面PBC,所以MN∥平面PBC.
因为M,Q分别是PA,PD的中点,所以MQ∥AD∥BC,
又因为BC 平面PBC,MQ 平面PBC,所以MQ∥平面PBC.
因为MQ 平面MNQ,MN 平面MNQ,MQ∩MN=M,所以平面MNQ∥平面PBC.
【类题通法】证明平面与平面平行的思路及步骤
(1)证明两个平面平行,可以用定义,也可以用判定定理.但用定义证明时,需说明两个平面没有公共点,这一点也不容易做到(可用反证法).
(2)用判定定理证明两个平面平行,其步骤如下:
【定向训练】
1.如图所示,在三棱柱ABC -A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:
(1)B,C,H,G四点共面.
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
【证明】(1)因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点,
所以GH是△A1B1C1的中位线,所以GH∥B1C1.
又因为B1C1∥BC,所以GH∥BC,
所以B,C,H,G四点共面.
(2)因为E,F分别是AB,AC的中点,
所以EF∥BC.
因为EF 平面BCHG,BC 平面BCHG,
所以EF∥平面BCHG.因为A1G EB,
所以四边形A1EBG是平行四边形,所以A1E∥GB.
因为A1E 平面BCHG,GB 平面BCHG,
所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF=E,
所以平面EFA1∥平面BCHG.
2.已知正方形ABCD与菱形ABEF所在平面相交,
求证:平面BCE∥平面ADF.
【证明】因为四边形ABCD是正方形,所以BC∥AD.
因为BC 平面ADF,AD 平面ADF,
所以BC∥平面ADF.因为四边形ABEF是菱形,
所以BE∥AF.
因为BE 平面ADF,AF 平面ADF,
所以BE∥平面ADF.因为BC∥平面ADF,BE∥平面ADF,BC∩BE=B,所以平面BCE∥平面ADF.
探究点二 平面与平面平行的性质定理
【典例2】如图,已知平面α∥平面β,点P是平面α,β外的一点(不在α与β之间),直线PB,PD分别与α,β相交于点A,B和C,D.
(1)求证:AC∥BD;
(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长.
【思维导引】(1)由面面平行的性质定理直接推证.
(2)先由平行线分线段成比例定理得对应线段成比例,再求值.
【解析】(1)因为PB∩PD=P,所以直线PB和PD确定一个平面γ,则α∩γ=AC,β∩γ=BD.
又α∥β,所以AC∥BD.
(2)由(1)得AC∥BD,所以 所以
所以CD= 所以PD=PC+CD=
【类题通法】
证明线线平行的方法
(1)定义法:在同一个平面内没有公共点的两条直线平行.
(2)平行公理:平行于同一条直线的两条直线平行.
(3)线面平行的性质定理: 应用时题目条件中需有线面平行.
(4)面面平行的性质定理: 应用时题目条件中需有面面平行或证得两
平面平行.
【定向训练】
1.在本例中,若点P在α与β之间,在第(2)问条件下求CD的长.
【解析】如图,因为PB∩PC=P,
所以PB,PC确定平面γ,γ∩α=AC,γ∩β=BD.
又α∥β,所以AC∥BD,所以△PAC∽△PBD,
即
所以PD= .所以CD=PC+PD=3+
2.平面α∥β∥γ,直线l1与α,β,γ依次交于A,B,C,直线l2与α,β,γ依次交
于D,E,F,则 的关系是 ( )
【解析】选A.连接AF交β于G,连接AD,GE,BG,CF,
因为β∥γ,平面ACF∩平面β=BG,
平面ACF∩平面γ=CF,所以BG∥CF,所以
同理根据α∥β,可证
3.如图所示,四边形ABCD所在的平面与平面α平行,且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1(即图中的AA1∥BB1∥CC1∥DD1)是一个平行四边形.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
【证明】因为平面ABCD∥平面α,平面ABCD∩平面AA1B1B=AB,平面AA1B1B∩平面α=A1B1,所以AB∥A1B1;
同理,C1D1∥CD.由于四边形A1B1C1D1是平行四边形,
所以A1B1∥C1D1,从而AB∥CD.
同理,BC∥AD,所以四边形ABCD是平行四边形.
探究点三 平面与平面平行的综合应用
【典例3】在正方体ABCD -A1B1C1D1中,如图所示.
(1)求证:平面AB1D1∥平面C1BD;
(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和
平面C1BD的交点E,F,并证明A1E=EF=FC.
【思维导引】证面面平行可用判定定理;在应用线面平行时,常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面,以便运用线面平行的性质.
【解析】(1)因为在正方体ABCD -A1B1C1D1中,AD B1C1,
所以四边形AB1C1D是平行四边形,所以AB1∥C1D.
又因为C1D 平面C1BD,AB1 平面C1BD.
所以AB1∥平面C1BD.
同理可证,B1D1∥平面C1BD.
又因为AB1∩B1D1=B1,AB1 平面AB1D1,B1D1 平面AB1D1,所以平面AB1D1∥平面C1BD.
(2)如图所示,连接A1C1,交B1D1于点O1;
连接AO1,与A1C交于点E.又因为AO1 平面AB1D1,
所以点E也在平面AB1D1内,
所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点.
连接AC,交BD于O;连接C1O,与A1C交于点F,则点F就是A1C与平面C1BD的交点.
下面证明A1E=EF=FC.
因为平面A1C1C∩平面AB1D1=EO1,
平面A1C1C∩平面C1BD=C1F,
平面AB1D1∥平面C1BD,所以EO1∥C1F,
在△A1C1F中,O1是A1C1的中点,
所以E是A1F的中点,即A1E=EF;
同理可证OF∥AE,所以F是CE的中点,
即FC=EF,所以A1E=EF=FC.
【类题通法】
面面平行问题的两个注意点
(1)一条直线平行于一个平面,推不出这条直线与平面内的所有直线平行,但可以认为这条直线与平面内的无数条直线平行.
(2)两个平面平行,其中一个平面内的直线必定平行于另一平面,但这两个平面内的直线不一定相互平行,也有可能异面.
【定向训练】
1.如图所示,在三棱柱ABC -A1B1C1中,D是棱CC1的中点,问在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1,若存在,请确定点E的位置;若不存在,请说明理由.
【解析】当E是AB的中点时,DE∥平面AB1C1.
证明如下:取AC中点F,连接EF,DF,DE,
因为D是CC1的中点,所以在△ACC1中DF∥AC1,
又DF 平面AB1C1,AC1 平面AB1C1,
所以DF∥平面AB1C1,
因为E是AB的中点,所以在△ABC中,EF∥BC,
又因为BC∥B1C1,所以EF∥B1C1,
又因为EF 平面AB1C1,B1C1 平面AB1C1,
所以EF∥平面AB1C1,
DF∩EF=F,且DF,EF 平面DEF,
所以平面DEF∥平面AB1C1,
又因为DE 平面DEF,所以DE∥平面AB1C1,
即当E是AB的中点时,DE∥平面AB1C1.
2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E,F,G分别为线段BC,PB,AD的中点.
(1)求证:EF∥平面PAC;
(2)求证:平面PCG∥平面AEF;
(3)在线段BD上找一点H,使得FH∥平面PCG,并说明理由.
【解析】(1)因为E,F分别是BC,BP的中点,所以EF PC,
因为PC 平面PAC,EF 平面PAC,所以EF∥平面PAC.
(2)因为E,G分别是BC,AD中点,
所以AE∥CG,因为AE 平面PCG,CG 平面PCG,
所以AE∥平面PCG,又因为EF∥PC,
PC 平面PCG,EF 平面PCG,所以EF∥平面PCG,
AE∩EF=E,AE,EF 平面AEF,所以平面AEF∥平面PCG.
(3)设AE与BD交于M点,
由(2)知,平面PCG∥平面AEF.
因为点F,M在平面AEF上,连接FM,
则FM 平面AEF,且FM 平面PCG.
所以FM∥平面PCG,即M点为所找的H点.
平行关系的相互转化:
方法总结
核心知识
易错提醒
核心素养
1.平面与平面平行的判定
2.平面与平面平行的性质
应用性质定理时定理中的三个条件缺一不可
逻辑推理：在平行关系的转化证明过程中，培养逻辑推理的核心素养
线线平行
线面平行
面面平行
性质
判定定理
性质定理
判定定理
性质定理
平面与平面平行
性质
课堂素养达标
1.在长方体ABCD -A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状是 ( )
A.矩形 B.菱形
C.平行四边形 D.正方形
【解析】选C.如图,在长方体ABCD -A1B1C1D1中,
平面ABB1A1∥平面CDD1C1,过D1B的平面BED1F与平面ABB1A1交于直线BE,与平面CDD1C1交于直线D1F.
由面面平行的性质定理,知BE∥D1F.
同理BF∥D1E.
所以四边形D1EBF为平行四边形.
2.下列命题正确的有 ( )
①如果两个平面不相交,那么它们平行;②如果一个平面内有无数条直线都平行于另一平面,那么这两个平面平行;③空间两个相等的角所在的平面平行.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选B.对①,由两个平面平行的定义知正确;
对②,若这无数条直线都平行,则这两个平面可能相交,②错误;
对③,这两个角可能在同一平面内,故③错误.
3.已知平面α∥β∥γ,两条共面直线l,m分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C
和D,E,F,已知AB=6, ,则AC=________.
【解析】因为α∥β∥γ,根据面面平行的性质定理可知AD∥BE∥CF,
由 ,又AB=6,
所以BC=9.
所以AC=AB+BC=15.
答案:15(共49张PPT)
8.5.2 直线与平面平行
【情境探究】
1.如图,将课本ABCD的一边AB紧贴桌面α,把课本绕AB转动,在转动过程中,AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系
提示:因为没有公共点,所以CD∥α.
必备知识生成
2.如图,平面α外的直线a平行于平面α内的直线b,这两条直线共面吗 直线a与平面α相交吗
提示:直线a,b共面,直线a与平面α不相交.
3.如果直线a与平面α平行.
(1)直线a与平面α内的直线的位置关系是怎样的
提示:平行或者异面.
(2)在平面α内与直线a平行的直线有多少条 这些直线的位置关系如何
提示:在平面α内与直线a平行的直线有无数条,这些直线互相平行.
(3)经过直线a的平面β与平面α相交于直线b,那么这样的平面β有多少个 直线a,b的位置关系如何 为什么
提示:如图,有无数个.直线a,b的位置关系为平行.因为直线a∥平面α,所以直线a与平面α内的任何直线无公共点,又因为a,b共面,所以a∥b.
【知识生成】
1.直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果_______一条直线与此平面内的一条直线_____,
那么该直线与此平面平行
图形语言
符号语言 a__α,b__α,且a∥b a∥α
作用 证明直线与平面_____
平面外
平行
平行
2.直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的_____与此平面
_____,那么该直线与交线_____
图形语言
符号语言 a∥α,_______________ a∥b
作用 证明两条直线_____
平面
相交
平行
a β,α∩β=b
平行
关键能力探究
探究点一 直线与平面平行的判定定理
【典例1】如图,在斜三棱柱ABC -A1B1C1中,CA=CB,D,E分别是AB,B1C的中点.
求证:DE∥平面ACC1A1.
【思维导引】构造中位线或平行四边形,利用线线平行证明.
【证明】方法一:连接BC1,AC1,
因为ABC -A1B1C1是斜三棱柱,
所以四边形BCC1B1为平行四边形,
由平行四边形的性质得点E也是BC1的中点,
因为点D是AB的中点,所以DE∥AC1,
又DE 平面ACC1A1,AC1 平面ACC1A1,
所以DE∥平面ACC1A1.
方法二:连接A1C,交AC1于O,连接OE,
则O是A1C的中点,又E是B1C的中点,
所以OE∥A1B1,OE= A1B1,
又AD∥A1B1,AD= A1B1,
所以OE AD,所以四边形ADEO是平行四边形,
所以AO∥DE,因为AO 平面ACC1A1,DE 平面ACC1A1,所以DE∥平面ACC1A1.
【类题通法】
1.证明直线与平面平行的关键
关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线.把握几何体的结构特征,合理利用几何体中的三角形的中位线,平行四边形对边平行等平面图形的特点是找线线平行关系的常用方法.
2.用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的基本步骤
【定向训练】
1.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )
【解析】选A.B中因为AB∥MQ,AB 平面MNQ,MQ 平面MNQ,所以直线AB∥平面MNQ;C中因为AB∥MQ,AB 平面MNQ,MQ 平面MNQ,所以直线AB∥平面MNQ;D中AB∥NQ,AB 平面MNQ,NQ 平面MNQ,所以直线AB∥平面MNQ.
2.如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,
CD,DA的中点.
求证:(1)EH∥平面BCD;
(2)BD∥平面EFGH.
【证明】(1)因为EH为△ABD的中位线,所以EH∥BD.
因为EH 平面BCD,BD 平面BCD,所以EH∥平面BCD.
(2)因为BD∥EH,BD 平面EFGH,EH 平面EFGH,所以BD∥平面EFGH.
3.如图,P是 ABCD所在平面外一点,E,F分别为AB,PD的中点,求证:AF∥平面PEC.
【证明】设PC的中点为G,连接EG,FG.
因为F为PD的中点,所以GF∥CD,且GF= CD.
因为AB∥CD,AB=CD,E为AB的中点,
所以GF∥AE,GF=AE,
所以四边形AEGF为平行四边形,所以EG∥AF.
又因为AF 平面PEC,EG 平面PEC,所以AF∥平面PEC.
【补偿训练】
如图,EB∥DC,EB=2DC,P,Q分别为AE,AB的中点.则直线DP与平面ABC的位置关系是__________.
【解析】连接CQ,在△ABE中,因为P,Q分别是AE,AB的中点,所以PQ EB.
又DC EB,所以PQ DC,所以四边形DPQC为平行四边形,所以DP∥CQ.
又因为DP 平面ABC,CQ 平面ABC,所以DP∥平面ABC.
答案:平行
探究点二 直线与平面平行的性质定理
【典例2】如图,用平行于四面体ABCD的一组对棱
AB,CD的平面截此四面体.
求证:截面MNPQ是平行四边形.
【思维导引】根据已知AB∥平面MNPQ,CD∥平面MNPQ,由线面平行的性质定理,找出经过直线的平面与平面MNPQ的交线,转化为线线平行即可得证.
【证明】因为AB∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB 平面ABC,
所以由线面平行的性质定理,知AB∥MN.
同理,AB∥PQ,所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形.
【类题通法】
线面平行的性质定理的解题步骤与思路
(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤
(2)运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行.
【知识延拓】
1.若本例条件不变,求证:
【证明】由例题知:PQ∥AB,所以
因为QM∥DC,所以 所以
2.若本例中添加条件:AB⊥CD,AB=10,CD=8,且BP∶PD=1∶1,求四边形MNPQ的面积.
【解析】由例题知,四边形MNPQ是平行四边形,
因为AB⊥CD,所以PQ⊥QM,所以四边形MNPQ是矩形.
因为BP∶PD=1∶1,所以PQ=5,QM=4,
所以四边形MNPQ的面积为5×4=20.
【定向训练】
证明:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行.
【证明】已知:直线a∥平面AC,直线a∥平面CE,平面AC∩平面CE=b,求证:a∥b.
解:方法一:如图,过直线a任意作两个平面α,β,与平面AC和CE分别交于直线c,d.
因为直线a∥平面AC,直线a∥平面CE,
所以a∥c,a∥d.所以c∥d.
因为c 平面CE,d 平面CE,
所以c∥平面CE.因为c 平面AC,
平面AC∩平面CE=b,
所以c∥b.又因为a∥c,所以a∥b.
方法二:在平面AC与平面CE的交线b上任取一点A,则A∈b,所以点A与直线a可确定平面β.
设平面β∩平面CE=b1,平面β∩平面AC=b2.
则A∈b1,A∈b2.因为直线a∥平面AC,直线a∥平面CE,
所以a∥b1,a∥b2.所以b1∥b2,又b1∩b2=A,故b1与b2重合,则b1(b2)既在平面AC内,又在平面CE内,即b1(b2)为平面AC,平面CE的交线,而两个平面相交只有一条交线.
所以b1(b2)与b重合,所以a∥b.
探究点三 线面平行的综合应用
【典例3】如图所示,已知P是 ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,平面PBC∩平面PAD=l.
(1)求证:l∥BC;
(2)MN与平面PAD是否平行 试证明你的结论.
【思维导引】联合运用线面平行的判定及性质定理.
【解析】(1)因为BC∥AD,BC 平面PAD,AD 平面PAD,所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD=l,且BC 平面PBC,所以BC∥l.
(2)平行.证明如下:取PD的中点E,连接AE,NE,
可以证得NE∥AM且NE=AM,
所以四边形MNEA是平行四边形,所以MN∥AE.
又AE 平面PAD,MN 平面PAD,
所以MN∥平面PAD.
【类题通法】解决线面平行问题的思路
判定定理与性质定理常常交替使用,即先通过线线平行推出线面平行,再通过线面平行推出线线平行,复杂的题目还可以继续推下去,我们可称它为平行链.
【知识延拓】
与线面平行相关的“有且只有”命题的证明方法:
典型例题:求证过两条异面直线中的一条,有且仅有一个平面和另一条直线平行.
【解析】已知:a,b为异面直线.
求证:过b有且只有一个平面和a平行.
(存在性)如图,在直线b上任取一点A,过A作直线l∥a,那么l和b是相交直线,它们确定一个平面α.
因为b α,a和b是异面直线,所以a α.
又a∥l,l α,所以a∥α(线面平行的判定定理),
所以经过b有一个平面和a平行.
(唯一性)如果平面β是过b且与直线a平行的另一个平面,那么直线b上的A和直线a可以确定一个平面γ.根据线面平行的性质定理知,平面γ,β的交线与直线a平行,但是经过A只能有直线a的一条平行线,所以这条交线就是l.因此,平面β必定是直线l和b所确定的平面,即平面β与平面α重合,所以过b只有一个平面和直线a平行.
由存在性和唯一性的证明可得:过直线b有且只有一个平面和直线a平行.
【类题通法】
(1)“有”即“存在”;“只有”即“唯一”.此类问题的论证既要证明存在性又要证明唯一性.
(2)存在性的证明只需找到或作出满足题设条件的事物即可.
(3)对唯一性的证明,可采用“反证法”,也可采用“同一法”,同一法和反证法一样,是一种间接证法.一般来说,一个命题,如果它的题设和结论所指的事物都是唯一的,那么,原命题和它的逆命题中,只要有一个成立,另一个就一定成立,这个道理就叫做“同一法则”.在符合同一法则的前提下,代替证明原命题而改证它的逆命题的这种方法,叫同一法.同一法的一般证明过程是:
①不从已知条件入手,而另作图形使它具有求证结论中所提到的特性;
②证明所作图形的特征和已知条件符合;
③因为已知条件和求证的结论所指的事物都是唯一的,从而推断所作图形与已知条件要求的是同一图形,由此判定原命题成立.
【定向训练】
1.若在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E是SA上的一点,当点E满足条件________时,SC∥平面EBD.
【解析】当E为SA的中点时,连接AC,设AC与BD的交点为O,连接EO.
因为四边形ABCD是平行四边形,所以点O是AC的中点.
又E是SA的中点,所以OE是△SAC的中位线.所以OE∥SC.
因为SC 平面EBD,OE 平面EBD,所以SC∥平面EBD.
答案:SE=EA
2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点P∈BB1(P不与B,B1重合),
PA∩A1B=M,PC∩BC1=N,连接MN.求证:MN∥平面ABCD.
【证明】连接AC,A1C1,在长方体ABCD A1B1C1D1中,AA1∥CC1,AA1=CC1,所以四边形ACC1A1是平行四边形,所以AC∥A1C1,因为AC 平面A1BC1,A1C1 平面A1BC1,所以AC∥平面A1BC1,因为AC 平面PAC,平面A1BC1∩平面PAC=MN,所以AC∥MN.因为MN 平面ABCD,AC 平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.
【课堂小结】
1.
2.
课堂素养达标
1.下列条件中能确定直线a与平面α平行的是( )
A.a α,b α,a∥b
B.b α,a∥b
C.b α,c α,a∥b,a∥c
D.b α,A∈a,B∈a,C∈b,D∈b,且AC=BD
【解析】选A.由直线与平面平行的判定定理知选A.
2.如图所示的三棱柱ABC -A1B1C1中,过A1B1的平面(不与平面ABB1A1重合)与平面ABC交于直线DE,则DE与AB的位置关系是 ( )
A.异面 B.平行 C.相交 D.以上均有可能
【解析】选B.因为A1B1∥AB,AB 平面ABC,A1B1 平面ABC,
所以A1B1∥平面ABC.
又A1B1 平面A1B1ED,平面A1B1ED∩平面ABC=DE,
所以DE∥A1B1.又AB∥A1B1,所以DE∥AB.
3.过平面α外的直线l,作一组平面与α相交,如果所得的交线为a,b,c,…,则这些交线的位置关系为 ( )
A.都平行
B.都相交且一定交于同一点
C.都相交不一定交于同一点
D.平行或相交于同一点
【解析】选D.当直线l与平面α平行时,a∥b∥c…,
当直线l与平面α相交时,设l∩α=O,则a,b,c,…相交于同一点O.
4.(1)已知直线l∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于l的直线有________条.
(2)如图,在棱长为1的正方体ABCD A′B′C′D′中,AP=BQ=x(0【解析】(1)如图所示,因为l∥平面α,P∈α,所以直线l与点P确定一个平面β,α∩β=m,
所以P∈m,所以l∥m且m是唯一的.
答案:1
(2)因为平面PQEF∥A′D,平面PQEF∩平面A′ADD′=PF,
所以A′D∥PF,同理可得PH∥AD′,
因为AP=BQ=x,AP∥BQ,
所以四边形APQB是平行四边形,所以PQ∥AB,
因为在正方体中,AD′⊥A′D,AD′⊥AB,
所以PH⊥PF,PH⊥PQ,截面PQEF和截面PQGH都是矩形,且PQ=1,PF= AP,
PH= PA′,
所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是( AP+ PA′)×PQ= .
答案:(共24张PPT)
8.5 空间直线、平面的平行
【情境探究】
1.分别在两个平面内的两条直线是否一定异面
提示:不一定.它们可能异面,可能相交,也可能平行.
2.观察长方体ABCD -A1B1C1D1,显然AB∥CD,CD∥C1D1,则AB与C1D1有何位置关系
提示:AB∥C1D1.
必备知识生成
3.如图,在四棱柱ABCD -A′B′C′D′中,底面ABCD为菱形,∠ADC与∠A′D′C′,∠ADC与∠A′B′C′的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何
提示:∠ADC=∠A′D′C′,∠ADC=∠A′B′C′.
【知识生成】
1.基本事实4
文字语言 平行于同一条直线的两条直线互相_____
图形语言
符号语言 直线a,b,c,a∥b,b∥c _____
作 用 证明两条直线平行
说 明 基本事实4表述的性质通常叫做空间平行线的_______
平行
a∥c
传递性
2.等角定理
空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角___________.
相等或互补
关键能力探究
探究点一 直线与直线平行
【典例1】如图,在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.
证明:四边形EFGH是平行四边形.
【思维导引】连接BD,先利用三角形的中位线求得EH BD和FG BD,
再由基本事实4得到EH FG,从而得到四边形EFGH是平行四边形.
【证明】连接BD,因为EH是△ABD的中位线,
所以EH∥BD,且EH= BD.
同理FG∥BD,且FG= BD.
所以EH∥FG,且EH=FG.
所以四边形EFGH是平行四边形.
【类题通法】 证明两条直线平行的两种方法
(1)利用平行线的定义:证明两条直线在同一平面内且无公共点.
(2)利用基本事实4:寻找第三条直线,然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行,根据基本事实4,显然这两条直线平行.若题设条件中含有中点,则常利用三角形的中位线性质证明直线平行.
【定向训练】
如图所示,E,F分别是长方体A1B1C1D1-ABCD的棱A1A,C1C的中点.
求证:四边形B1EDF是平行四边形.
【证明】设Q是DD1的中点,连接EQ,QC1.因为E是AA1的中点,所以EQ A1D1.
又因为在矩形A1B1C1D1中,A1D1 B1C1,所以EQ B1C1(基本事实4).
所以四边形EQC1B1为平行四边形.所以B1E C1Q.又因为Q,F是DD1,C1C的
中点,所以QD C1F.所以四边形QDFC1为平行四边形.所以C1Q DF.
又因为B1E C1Q,所以B1E DF.所以四边形B1EDF为平行四边形.
探究点二 等角定理的应用
【典例2】已知E,E1分别是正方体ABCD -A1B1C1D1的棱AD、A1D1的中点.
证明:∠BEC=∠B1E1C1.
【思维导引】结合题干条件寻找∠BEC与∠B1E1C1两边的对应关系.
【证明】如图,连接EE1,因为E、E1分别为AD、A1D1的中点,
所以A1E1 AE.所以四边形A1E1EA为平行四边形.
所以A1A E1E.
又因为A1A B1B,所以E1E B1B.
所以四边形E1EBB1是平行四边形.所以E1B1∥EB.
同理,E1C1∥EC.
又∠BEC与∠B1E1C1的方向相同,
所以∠BEC=∠B1E1C1.
【类题通法】
求角相等的方法
一是用等角定理;二是用三角形全等或相似.
【拓展提升】
在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点.
求证:∠EA1F=∠E1CF1.
【证明】取A1B1的中点M,连接BM,F1M,因为MF1 B1C1,B1C1 BC,所以MF1 BC,
所以四边形BCF1M是平行四边形,所以MB∥CF1,因为A1M EB,所以四边形EBMA1
是平行四边形,所以A1E∥MB,所以A1E∥CF1,同理可证:A1F∥E1C,又∠EA1F与
∠F1CE1两边的方向均相反,所以∠EA1F=∠E1CF1.
【定向训练】
在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中,M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点.求证:∠NMP=∠BA1D.
【证明】如图,连接CB1,CD1,
因为CD A1B1,所以四边形A1B1CD是平行四边形,
所以A1D∥B1C.因为M、N分别是CC1、B1C1的中点,
所以MN∥B1C,所以MN∥A1D.
因为BC A1D1,所以四边形A1BCD1是平行四边形,
所以A1B∥CD1.因为M、P分别是CC1、C1D1的中点,
所以MP∥CD1,所以MP∥A1B,
所以∠NMP和∠BA1D的两边分别平行,且两边方向均相反,所以∠NMP=∠BA1D.
课堂素养达标
1.和直线l都平行的直线a,b的位置关系是( )
A.相交 B.异面
C.平行 D.平行、相交或异面
【解析】选C.由基本事实4可知,和直线l都平行的直线a,b的位置关系是平行.
2.已知∠BAC=40°,AB∥A′B′,AC∥A′C′,则∠B′A′C′=( )
A.40° B.140°
C.40°或140° D.大小无法确定
【解析】选C.当∠B′A′C′与∠BAC开口方向相同时,∠B′A′C′=40°;
当∠B′A′C′与∠BAC开口方向相反时,∠B′A′C′=140°.
3.正方体ABCD -A1B1C1D1中,P,Q分别为AA1,CC1的中点,则四边形D1PBQ是( )
A.正方形 B.菱形
C.矩形 D.空间四边形
【解析】选B.设正方体的棱长为2,直接计算可知四边形D1PBQ各边均为 ,
又四边形D1PBQ是平行四边形,所以四边形D1PBQ是菱形.
4.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,与AD1平行的面上的对角线有________条.
【解析】正方体各面上的对角线中,
只有BC1∥AD1.故满足条件的直线只有1条.
答案:1
5.如图,在正方体ABCD -A′B′C′D′中,E,F,E′,F′分别是棱AB,AD,B′C′,C′D′的中点.
求证:四边形EFF′E′为平行四边形.
【证明】连接BD,B′D′,因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF BD,
同理E′F′ B′D′,在正方体ABCD -A′B′C′D′中,四边形BB′D′D
为平行四边形,所以BD B′D′,所以EF E′F′,
故四边形EFF′E′为平行四边形.
