《1.1.1 等腰三角形的性质》知识过关练
知识点一 全等三角形的性质与判定
1.（2019河北衡水故城期末）如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，若∠AED+∠BCE=52°，则∠ACD的度数为（ ）
A.25°
B.26
C.27°
D.28°
2.如图，已知AB=AC，D、E分别为AB、AC上的点，AD=AE，则下列结论不一定成立的是（ ）
A.∠B=∠C
B.DB=EC
C.DC=EB
D.AD= DB
3.（2019广东广州中考）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB.
求证：△ADE≌△CFE.
知识点二 等腰三角形的性质定理及其推论
4.（2020山西太原期中）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=64°，则∠C的度数为（ ）
A.30°
B.32°
C.40°
D.48°
5.（2020独家原创试题）等腰三角形的一个外角是100°，则它的底角的度数为_________.
6.在等腰三角形ABC中，AB=AC，下列说法：
①BC边上的高线和中线重合；
②AB和AC边上的中线的长度相等；
③△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线的长度相等；
④AB和BC边上的高线的长度相等
其中正确的是_________（填序号）.
7.如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：AO⊥BC.
知识点三 等边三角形的性质定理
8.如图所示，△ABC是等边三角形，且AB=BD，则∠ADC等于（ ）
A.120°
B.135°
C.145°
D.150°
9.如图，在等边三角形ABC中，BE和CD分别是AC、AB边上的高，则∠BFC的度数为_________.
10.如图，在等边三角形ABC中，AE=CD，AD、BE交于点P，BQ⊥AD于点Q，求∠PBQ的度数.
参考答案
1.答案：B
∵△ABC≌△DEC，∴∠ABC=∠DEC，∠ACB=∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，∵∠AED+∠DEC+∠CEB=180°，∠CEB+∠ABC+∠BCE=180°，∴∠AED=∠BCE，∵∠AED+∠BCE=52°，∴∠AED=∠BCE=×52°=26°.∴∠ACD=∠BCE=26°.故选B.
2.答案：D
解析：∵AB=AC，∠A=∠A，AE=AD，∴△ABE≌△ACD，∴∠B=∠C，DC=EB，故A、C正确，不符合题意；∵AB=AC，AD=AE，∴DB=EC，故B正确，不符合题意，故选D.
3.答案：见解析
解析：证明：∵FC∥AB，∴∠A=∠ECF，
在△ADE和△CFE中，，
∴△ADE≌△CFE（AAS）.
4.答案：B
解析：∵AB=AD，∴∠ADB=∠B=64°，
∵AD=CD，∴∠C=∠DAC=∠ADB=32°，故选B.
5.答案：80°或50°
解析：①当100°是等腰三角形底角的外角时，底角的度数为180°-100°=80°。
②当100°是等腰三角形顶角的外角时，顶角的度数为180°-100°=80°
∴底角的度数为（180°-80°）×=50°.
∴底角的度数为80°或50°.
6.答案：①②③
解析：由AB=AC，知BC为底边，由等腰三角形的性质知①正确，由全等三角形的性质可判断②③正确.
7.答案：见解析
解析：证明：如图，延长AO交BC于D.
在△ABO和△ACO中，∵，
∴△ABO≌△ACO，∴∠BAO=∠CAO，即∠BAD=∠CAD，
∴AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，
∴AD⊥BC，即AO⊥BC.
8.答案：D
解析：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°.
∵AB=BC=BD，∴∠BAD=∠BDA，∠BCD=∠BDC.
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°，∠BDA+∠BDC=∠ADC，
∴60°+2∠ADC=360°，∴∠ADC=150°.
9.答案：120°
解析：∵△ABC是等边三角形，BE、CD分别是AC、AB边上的高，
∴∠FBC=∠FCB=×60°=30°，
∴∠BFC=180°-30°-30°=120°.
10.答案：见解析
解析：∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC=AB，∠C=∠BAC=60°.
在△ACD和△BAE中，，
∴△ACD≌△BAE，∴∠CAD=∠ABE.
∵∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，
∴∠ABE+∠BAP=60°，∴∠BPQ=60°.
∵BQ⊥AD，∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=90°-60°=30°.
1 / 6必刷题《1.1.1等腰三角形的性质》刷基础
知识点一 全等三角形的判定
1.下列条件中不能判定两个三角形全等的是（ ）
A. SSA
B. SAS
C. ASA
D. AAS
2.[2019贵州贵阳二模]下列各图中，分别为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ ）
A.甲和乙
B.乙和丙
C.甲和丙
D.只有丙
3.如图，AB=DE，∠A=∠D，那么要得到△ABC≌△DEF，可以添加一个条件是
，△ABC与△DEF全等的理由是 .
4.[2020广西桂林校级期中]如图，AE和BD相交于点C，∠A=∠E，AC=EC.求证：△ABC≌△EDC.
知识点二 全等三角形的性质
5.[2020辽宁沈阳月考]如图，△ABC≌△DEF，则下列结论正确的是（ ）
A.∠E=60°
B.∠F=50°
C.=18
D.=20
6.[2020四川宜宾期末]如图，△ACF≌△BDE，点A，B，C，D在同一条直线上，下列结论中错误的是（ ）
A.AF∥BE
B.∠ACF=∠DBE
C AB= CD
D.CF∥DE
知识点三 等腰三角形的性质（等边对等角）
7.[2019浙江湖州三模]已知等腰三角形的顶角为40°，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A.40°
B.70°
C.100°
D.140°
8.[2020辽宁朝阳建平期末]若等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值等于，该等腰三角形的顶角为 .
知识点四 等腰三角形的性质（三线合一）
9.如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A.∠BAD=∠CAD
B.AD⊥BC
C.∠B=∠C
D.∠BAC=∠B
10.[2019广东广州天河区期末]如图，△ABC中，AB=AC，BC=6 cm，作AD⊥BC，垂足为D.若AD=4 cm，求AB的长.
易错点 已知等腰三角形的一个内角，求另外两个内角时，未分类讨论致错
11.[2020青海中考]等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( )
A.55°,55°
B.70°，40°或70°，55°
C.70°,40°
D.55°，55°或70°，40°
参考答案
1.答案：A
解析：SAS，ASA，AAS可以判定两个三角形全等，SSA不能判定两个三角形全等.故选A.
2.答案：B
解析：在△ABC和三角形乙中，满足SAS，所以三角形乙和△ABC全等；在△ABC和三角形丙中，满足AAS，所以三角形丙和△ABC全等；不能判定甲与△ABC全等.故选B.
3. 答案：（答案不唯一）AC=DF SAS
解析：△ABC与△DEF的已知一边一角对应相等，根据SAS添加一组边对应相等，或根据ASA，AAS添加一组角对应相等可得△ABC≌△DEF.
4.答案：∵在和中，∴
解析：
5.答案：D
解析：∵△ABC≌△DEF，∴∠E=∠B=50°，A错误；∵△ABC≌△DEF，∴∠F=∠C=60°，B错误；EF=BC=20，即=20，C错误、D正确.故选D.
6.答案：B
解析：∵△ACF≌△BDE，，∴∠A=∠EBD，∴AF∥BE，A正确，不符合题意；∴∠ACF=∠BDE，B错误；符合题意；∴AC=BD，∴AB=CD，C正确，不符合题意；∴∠D=∠FCA，∴CF∥DE，D正确，不符合题意.故选B.
7.答案：B
解析：∵等腰三角形的顶角为40°，∴这个等腰三角形的底角为（180°-40°）÷2=70°故选B.
8.答案：36°
解析：设在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C.∵顶角与一个底角度数的比值等于，∴∠A：∠B：∠C=1：2：2，即5∠A=180°，∴∠A=36°.故答案为36°.
9.答案：D
解析：在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，根据等边对等角与等腰三角形三线合一的性质，可得∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC.故选D.
10.答案：∵AB=AC，BC=6 cm，AD⊥BC，∴.BD=BC=3 cm.∵AD=4cm，∴AB==5（cm）.
解析：
11.答案：D
解析：分情况讨论：
（1）若等腰三角形的顶角为70°时，底角为（180°-70°）÷2=55°；
（2）若等腰三角形的底角为70°时，它的另外一个底角为70°，顶角为180°-70°-70°=40°.故选D.
易错警示已知给出了等腰三角形的一个内角是70°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论.《全等三角形和等腰三角形的性质》基础训练
知识点1 全等三角形的性质与判定
1.如图，.若的长为（ ）
A.4 B.5
C.6 D.以上都不对
2.（2019·安顺）如图，点在一条直线上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A. B.
C. D.
3.如图，，其中______.
4.如图，点B，E，C，F在同一条直线上，则______.
5.（教材P4习题T1变式）将下面证明中每一步的理由写在括号内.
已知：如图
证明：
即
在△ADB和△BCA中
∴
∴
知识点2 等腰三角形的性质及推论
6.（2019·兰州）在△ABC中，______.
7.如图，在△ABC中，则△ABC的周长是______.
8.（2019·毕节）如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD.若的大小为______.
9.已知：如图，在△ABC中，D是边AC上一点，，交CB延长线于点E，求的度数.
易错点1 未考虑三角形的三边关系致错
10.（2019·广安）等腰三角形的两边长分别为6cm，13cm，其周长为______cm.
易错点2 忽略等腰三角形的顶角为钝角的情况致错
11.在△ABC中，，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则等于______.
参考答案
1.B 2.A 3.120° 4.6
5.已知 等式的性质 等量代换 已知 已知 已证ASA 全等三角形的对应边相等
6.70° 7.20 8.34°
9.解：
.
10.32 11.
1 / 3必刷题《1.1.1等腰三角形的性质》刷提升
1.[中]如图，已知点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F.若∠1=∠2=∠3，AC=AE，则有（ ）
A.△ABD≌△AFD
B.△AFE≌△ADC
C.△AEF≌△DFC
D.△ABC≌△ADE
2.[2020山东枣庄期末，中]如图，在△ABC中，AC=BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD=AE.连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C=40°，则∠GAD的度数为（ ）
A.40°
B.45°
C.55°
D.70°
3.[中]如图，∠ACB=90°，AC=BC.AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E.若AD=3，BE=1，则DE的长是（ ）
A.
B.2
C.
D.
4.[2020河南许昌期中，中]如图，一钢架NAM中，∠A=15°，现要在∠A的内部焊上等长的钢条（相邻钢条首尾相接）来加固钢架.已知=…，则这样的钢条最多能焊（ ）
A.4根
B.5根
C.6根
D.7根
5.[2020陕西定边期末，中]如图，在△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为 .
6.[中]如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，对角线AC，BD交于点O，则图中共有全等三角形 对.
7.[2019山西太原期中，中]如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，延长CB至点E，延长BC至点F，使BE=CF，连接AE，AF.求证：AD平分∠EAF.
8.[2019浙江绍兴中考改编，较难]数学课上，张老师举了下面的例题：
例1 在等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数.（答案：35°）
例2 在等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数.（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式 在等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数.
（1）请你解答以上的变式题；
（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC中，设∠A=°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索
的取值范围.
参考答案
1.答案：D
解析：∵∠1=∠2=∠3，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE.∵∠AFE=∠DFC，∴∠E=∠C.∵AC=AE，∴△ABC≌△ADE（ASA）.故选D.
2.答案：C
解析：根据等腰三角形和平行线的性质即可得到结论.∵AC=CB，∠C=40°，∴∠BAC=∠B==70°.∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED（180°-70°）=55°.∵GH∥DE，∴∠GAD=∠ADE=55°.故选C.
3.答案：B
解析：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90°，∴∠EBC+∠BCE=90°.∵∠BCE+DCA=90°，∴∠EBC=∠DCA.在△CEB和△ADC中，
∴△CEB≌△ADC（AAS），∴DC=BE=1，CE=AD=3，∴DE=EC-
CD=3-1=2.故选B.
4.答案：B
解析：如图，∵，∴∠A=∠1=15°，∴∠2=∠1+∠A=30°.∵，∴∠3=∠2=30°，∴=120°，…，∴易知∠6=∠7=60°，∠8=∠9=75°，∴=30°，∴=90°，∴=90°，那么第6个等腰三角形将有两个底角等于90°，不符合三角形内角和定理，故最多能焊5根钢条.故选B.
5.答案：30°
解析：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，∴AB=BE=CE，∠A=∠BED=∠CED==90°，∠ABD=∠EBD=∠C.∵在△ABC中，∠A+∠ABD+∠DBE+∠C=180°，∴∠C=30°.
6.答案：4
解析：△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA，△AOB≌△COD，△AOD≌△COB.
7.答案：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD平分∠BAC，∠ABD=∠ACD，∴∠BAD=∠DAC，∴∠ABE=∠ACF.在△ABE与△ACF中，∴△ABE≌△ACF，∴∠BAE=∠CAF，∴∠BAE+∠BAD=∠CAF+∠CAD，即∠EAD=∠FAD，∴AD平分∠EAF.
解析：
8.答案：（1）若∠A为顶角，则∠B=（180°-∠A）÷2=50°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°-2×80°=20°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=80°.故∠B的度数为50°或20°或80°.
（2）分两种情况
①当90≤<180时，∠A只能为顶角，则∠B的度数只有个；
②当0<<90时，若∠A为顶角，则∠B=；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=（180-2）°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=°.
当且且，即时，∠B有三个不同的度数.综上所述，当∠B有三个不同的度数时，0<<90且
解析：《全等三角形和等腰三角形的性质》提升训练
1.（2018·湖州）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线.若，则的度数是（ ）
A.20° B.35°
C.40° D.70°
2.（2019·宁夏）如图，在△ABC中，，点D和E分别在AB和AC上，且.连接DE，过点A的直线GH与DE平行.若，则的度数为（ ）
A.40° B.45°
C.55° D.70°
3.如图，在△PAB中，，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且.若，则的度数为（ ）
A.38° B.76°
C.96° D.136°
4.（2019·绥化）如图，在△ABC中，，点D在AC上，且，则______度.
5.如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，.（1）从图中任找两组全等三角形；
（2）从（1）中任选一组加以证明.
6.（2019·黄石）如图，在△ABC中，，E为边BC上的点，且，D为线段BE的中点，过点E作，过点A作，且AF，EF相交于点F.求证：
（1）；
（2）
7.如图，在△ABC中，.求证：
（1）；
（2）
参考答案
1.B 2.C 3.B 4.36
5. 解：（1）答案不唯一，如：.
（2）答案不唯一，如选择证明，证明如下：
又（AAS）.
6.证明：（1），D为线段BE的中点，.
（2）.
在△ABC和△EAF中，（ASA）.
.
7.证明：（1）.
，
又，.
在△AEF和△CEB中，（ASA）.
（2），.在△ABC中，，
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