【课件】4.4 数学归纳法 数学-RJ·A-选择性必修第二册 （45页PPT）
文档属性
| 名称 | 【课件】4.4 数学归纳法 数学-RJ·A-选择性必修第二册 （45页PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-08 16:23:09 | ||
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文档简介
(共45张PPT)
数学-RJ·A-选择性必修第二册
数学归纳法
第四章 数列
学习目标
1.了解数学归纳法原理.
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
3.明确数列问题解决的重要方法——“归纳——猜想——证明”.
重点：数学归纳法的基本原理、数学归纳法的步骤、用数学归纳法证明一些简单的数学命题
难点：数学归纳法的原理以及用数学归纳法证明命题时n＝k+1时的证明
知识梳理
数学归纳法原理
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n＝n0（n0∈N*）时命题成立；
（2）（归纳递推）以“当n＝k（k∈N*，k≥n0）时命题成立”为条件，推出“当n＝k+1时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.
思考：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
记P（n）是一个关于正整数n的命题.我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：（1）P（n0）为真；（2）若P（k）（k∈N*，k≥n0）为真，则P（k+1）也为真.
结论：P（n）为真.
在数学归纳法的两步中，第一步验证（或证明）了当n＝n0时结论成立，即命题P（n0）为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P（k）为真，则P（k+1）也为真.
完成这两步，就有P（n0）真，P（n0+1）真……P（k）真，P（k+1）真…….从而完成证明.
对于理解数学归纳法要注意以下四点：
（1）验证是基础
数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0就是我们要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是我们正确运用数学归纳法第一个要注意的问题.
（2）递推是关键
数学归纳法的关键在于递推，所以从“k”到“k+1”的过程，必须把归纳假设“n＝k”时的结论作为条件来导出“n＝k+1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次.另外，要注意n＝k和n＝k+1时命题的变化特点，只有看清变化特点，才能迅速应用n＝k时的假设证明出n＝k+1时命题的正确性.递推证明是数学归纳法证明中的一个难点，也是一个易错点.
（3）数学归纳法两步缺一不可，只有这两步交替使用，才能证明命题的正确性.
（4）数学归纳法是一种直接证明的方法，一般地，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除、数列的通项及前n项和等问题都可以用数学归纳法证明.但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决.
常考题型
一、对数学归纳法的理解
【解析】 当n＝k时，等式的左端为1+2+3+4+…+3k表示从1到3k的累加；
则当n＝k+1时，等式的左端应该表示从1到3k+3的累加，
即1+2+3+4+…+3k+（3k+1）+（3k+2）+（3k+3），
故增加的项为（3k+1）+（3k+2）+3（k+1）.
【答案】 D
◆数学归纳法的证题步骤
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n＝n0（n0∈N*）时命题成立；
（2）（归纳递推）以“当n＝k（k∈N*，k≥n0）时命题成立”为条件，推出“当n＝k+1时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
训练题 1.［2020·宁大附中高三模拟］用数学归纳法证明1+2+…+（2n+1）＝（n+1）（2n+1），在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是 （ ）
A.1 B.1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+4
C
2.［2020·江苏泰州高三模拟］若f（n）＝1+++…+（n∈N*），则对于k∈N*，f（k+1）＝f（k）+ .
3.［2020·上海高一检测］某个命题与自然数n有关，若n＝k（k∈N*）时命题成立，那么可推得当n＝k+1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得 （ ）
A.n＝6时该命题不成立 B.n＝6时该命题成立
C.n＝4时该命题不成立 D.n＝4时该命题成立
C
二、数学归纳法在数列中的应用
1.求数列的通项公式
例2 ［2020·深圳市耀华实验学校高二联考］已知数列{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，对于一切n∈N*均有an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.
（1）计算a1，a2，a3，并由此猜想数列{an}的通项公式.
（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想.
◆用数学归纳法求数列通项公式的一般步骤
1.由已知条件求出数列的前几项；
2.依据求出的前几项猜想数列的通项；
3.用数学归纳法证明上面的猜想是正确的.
训练题
1.［2020·甘肃武威高二检测］已知数列{an}的前n项和Sn＝1-nan（n∈N*）.
（1）计算a1，a2，a3，a4 .
（2）猜想an的解析式，并用数学归纳法证明你的结论.
2.［2020·贵州省思南中学高二检测］已知数列{an}满足nan+1＝（n+2）·
（an-1），且a1＝6.
（1）求a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式.
（2）试用数学归纳法证明上述猜想.
（1）解：由递推公式可得a2＝15，a3＝28，a4＝45，
可猜想an＝（n+1）（2n+1）＝2n2+3n+1.
2.求数列的前n项和
例3 ［2020·辽宁抚顺市第十中学高二检测］已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an（n∈N*）.
（1）试求S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的解析式.
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
◆用数学归纳法求数列的前n项和的一般步骤
1.利用已知条件求出Sn的前几项；
2.猜想Sn的解析式；
3.用数学归纳法证明上面的猜想是正确的.
训练题 ［2020·江西南昌二中高二期末］数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝Sn+-2（n∈N*）.
（1）求S1，S2，S3，S4的值.
（2）猜想数列{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.
3.证明数列等式
例4 ［2020·浙江杭州高二联考］用数学归纳法证明：
22+42+62+…+（2n）2＝n（n+1）（2n+1）（n∈N*）.
【证明】（1）当n＝1时，左边＝右边＝4，等式成立.
（2）假设当n＝k（k∈N*，k≥1）时等式成立，
即22+42+62+…+（2k）2＝k（k+1）（2k+1），
当n＝k+1时，22+42+62+…+（2k）2+［2（k+1）］2＝k（k+1）（2k+1）+
［2（k+1）］2＝（k+1）（2k2+7k+6）＝（k+1）（k+2）（2k+3）＝
（k+1）［（k+1）+1］［2（k+1）+1］，所以当n＝k+1时，等式成立.
由（1）（2）可知，对任何n∈N*，等式都成立.
◆用数学归纳法证明等式的注意点
1.用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.
2.由n＝k时等式成立，推出n＝k+1时等式成立，一要找出等式两边的变化（差异），明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程.
3.不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法.
训练题 1.［2020·江苏徐州高三模拟］用数学归纳法证明：
1+2+3+…+2n＝n（2n+1）（n∈N*）.
证明：（1）当n＝1时，左边＝1+2＝3，右边＝1×（2×1+1）＝3，所以左边＝右边.故等式成立.
（2）假设当n＝k（k∈N*）时等式成立，
即1+2+3+…+2k＝k（2k+1），则当n＝k+1时，
左边＝1+2+3+…+2k+（2k+1）+（2k+2）
＝k（2k+1）+（2k+1）+（2k+2）
＝（2k+1）（k+1）+（2k+2）＝（k+1）（2k+3）
＝（k+1）［2（k+1）+1］，即当n＝k+1时，等式成立.
由（1）（2）可知，对任何n∈N*等式都成立，故得证.
◆用数学归纳法证明不等式的注意点
1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.
2.用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立，推证n＝k+1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差（求商）比较法、放缩法、构造函数法等证明方法.
训练题
1.设数列{an}满足a1＝2，an+1＝an+（n＝1，2，3，…）.
求证：an>对一切正整数n成立.
三、数学归纳法在其他问题中的应用
1.证明整除性问题
例6 用数学归纳法证明：23n-1（n∈N*）能被7整除.
【证明】 ①当n＝1时，23×1-1＝8-1＝7，能被7整除.
②假设当n＝k时，23k-1（k∈N*）能被7整除，
那么当n＝k+1时，23（k+1）-1＝8×23k-1＝8×23k-8+7＝8（23k-1）+7.
因为23k-1（k∈N*）能被7整除，所以8（23k-1）+7能被7整除，
所以当n＝k+1时，命题也成立.
由①②可知，23n-1（n∈N*）能被7整除.
◆用数学归纳法证明整除性问题的一般步骤
1.先证明当n＝1时，结论成立，
2.假设当n＝k时结论成立，利用此假设结合因式的配凑法，证明当n＝k+1时，结论也成立.
训练题 ［2020·广东中山高二联考］用数学归纳法证明：三个连续正整数的立方和能被9整除.
证明：①当n＝1时，13+23+33＝36能被9整除.
②假设当n＝k时，k3+（k+1）3+（k+2）3的和能被9整除；
则当n＝k+1时，（k+1）3+（k+2）3+（k+3）3
＝（k+1）3+（k+2）3+k3+9k2+27k+27
＝［k3+（k+1）3+（k+2）3］+9（k2+3k+3）.
由归纳假设k3+（k+1）3+（k+2）3能被9整除，
又9（k2+3k+3）能被9整除，所以当n＝k+1时（k+1）3+（k+2）3+（k+3）3的和能被9整除.
由①②可知，三个连续正整数的立方和能被9整除.
2.证明几何问题
例7 ［2020·江苏徐州高二期末］已知平面上1个圆可以将平面分成2个部分，2个圆最多可以将平面分成4个部分，设平面上n个圆最多可以将平面分成
f（n）个部分.
（1）求f（3），f（4）的值.
（2）猜想f（n）的解析式并证明.
【解】（1）由已知有f（3）＝8，f（4）＝14，
（2）f（n）＝n2-n+2.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，f（1）＝12-1+2＝2，结论成立.
②假设当n＝k时，结论成立，即平面上k个圆最多可以将平面分成（k2-k+2）个部分，那么当n＝k+1时，第（k+1）个圆与前k个圆最多有2k个交点，即第（k+1）个圆最多被这2k个交点分成2k条圆弧段，由于每增加一个圆弧段，可将原来的区域分成两个区域，因此第（k+1）个圆使平面增加了2k个区域，所以f（k+1）＝f（k）+2k＝k2-k+2+2k＝（k+1）2-（k+1）+2.
由①②可知，平面上n个圆最多可以将平面分成（n2-n+2）个部分，即命题得证.
训练题 ［2020·湖南醴陵高二期末］如图所示，在圆内画1条线段，将圆分割成2部分；画2条相交线段，彼此分割成4条线段，将圆分割成4部分；画3条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分.那么
（1）在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？
（2）猜想：圆内两两相交的n条线段，彼此最多分割成多少条线段？
（3）猜想：在圆内画n条线段，两两相交，将圆最多分割成几部分？并用数学归纳法证明你所得到的猜想.
四、归纳猜想和证明
例8 ［2020·江苏省海门中学高二检测］观察下列等式：
1＝1；
2+3+4＝9；
3+4+5+6+7＝25；
4+5+6+7+8+9+10＝49；
……
按照以上式子的规律：
（1）写出第5个等式，并猜想第n个等式（n∈N*）.
（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立（n∈N*）.
（1）【解】第5个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13＝92；
第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）＝（2n-1）2，n∈N*.
（2）【证明】①当n＝1时，等式左边＝1，等式右边＝（2-1）2＝1，
所以等式成立.
②假设当n＝k（k∈N*）时，等式成立，即
k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）＝（2k-1）2（k≥1，k∈N*），
那么，当n＝k+1时，
（k+1）+［（k+1）+1］+［（k+1）+2］+…+［3（k+1）-2］
＝（k+1）+（k+2）+（k+3）+…+（3k+1）
＝k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）-k
＝（2k-1）2+8k＝4k2-4k+1+8k＝（2k+1）2＝［2（k+1）-1］2.
即n＝k+1时等式成立.
由①②可知，对任何n∈N*，等式都成立.
2.［2020·黑龙江哈九中高三模拟］将正整数作如下分组：（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），（11，12，13，14，15），（16，17，18，19，20，21），…，分别计算各组包含的正整数的和如下：
S1＝1，
S2＝2+3＝5，
S3＝4+5+6＝15，
S4＝7+8+9+10＝34，
S5＝11+12+13+14+15＝65，
S6＝16+17+18+19+20+21＝111，
……
试猜测S1+S3+S5+…+S2n-1的结果，并用数学归纳法证明.
解：由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；
当n＝2时，S1+S3＝16＝24；
当n＝3时，S1+S3+S5＝81＝34；
当n＝4时，S1+S3+S5+S7＝256＝44.
猜想：S1+S3+S5+…+S2n-1＝n4.下面用数学归纳法证明：
（1）当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立.
（2）假设当n＝k（k∈N*，k≥1）时等式成立，即S1+S3+S5+…+S2k-1＝k4，
那么，当n＝k+1时，S1+S3+S5+…+S2k-1+S2k+1
＝k4+［（2k2+k+1）+（2k2+k+2）+…+（2k2+k+2k+1）］
＝k4+（2k+1）（2k2+2k+1）＝k4+4k3+6k2+4k+1＝（k+1）4，
所以当n＝k+1时，等式也成立.
由（1）（2）可知，对任何n∈N*，S1+S3+S5+…+S2n-1＝n4都成立.
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数学-RJ·A-选择性必修第二册
数学归纳法
第四章 数列
学习目标
1.了解数学归纳法原理.
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
3.明确数列问题解决的重要方法——“归纳——猜想——证明”.
重点：数学归纳法的基本原理、数学归纳法的步骤、用数学归纳法证明一些简单的数学命题
难点：数学归纳法的原理以及用数学归纳法证明命题时n＝k+1时的证明
知识梳理
数学归纳法原理
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n＝n0（n0∈N*）时命题成立；
（2）（归纳递推）以“当n＝k（k∈N*，k≥n0）时命题成立”为条件，推出“当n＝k+1时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.
思考：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
记P（n）是一个关于正整数n的命题.我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：（1）P（n0）为真；（2）若P（k）（k∈N*，k≥n0）为真，则P（k+1）也为真.
结论：P（n）为真.
在数学归纳法的两步中，第一步验证（或证明）了当n＝n0时结论成立，即命题P（n0）为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P（k）为真，则P（k+1）也为真.
完成这两步，就有P（n0）真，P（n0+1）真……P（k）真，P（k+1）真…….从而完成证明.
对于理解数学归纳法要注意以下四点：
（1）验证是基础
数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0就是我们要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是我们正确运用数学归纳法第一个要注意的问题.
（2）递推是关键
数学归纳法的关键在于递推，所以从“k”到“k+1”的过程，必须把归纳假设“n＝k”时的结论作为条件来导出“n＝k+1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次.另外，要注意n＝k和n＝k+1时命题的变化特点，只有看清变化特点，才能迅速应用n＝k时的假设证明出n＝k+1时命题的正确性.递推证明是数学归纳法证明中的一个难点，也是一个易错点.
（3）数学归纳法两步缺一不可，只有这两步交替使用，才能证明命题的正确性.
（4）数学归纳法是一种直接证明的方法，一般地，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除、数列的通项及前n项和等问题都可以用数学归纳法证明.但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决.
常考题型
一、对数学归纳法的理解
【解析】 当n＝k时，等式的左端为1+2+3+4+…+3k表示从1到3k的累加；
则当n＝k+1时，等式的左端应该表示从1到3k+3的累加，
即1+2+3+4+…+3k+（3k+1）+（3k+2）+（3k+3），
故增加的项为（3k+1）+（3k+2）+3（k+1）.
【答案】 D
◆数学归纳法的证题步骤
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n＝n0（n0∈N*）时命题成立；
（2）（归纳递推）以“当n＝k（k∈N*，k≥n0）时命题成立”为条件，推出“当n＝k+1时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
训练题 1.［2020·宁大附中高三模拟］用数学归纳法证明1+2+…+（2n+1）＝（n+1）（2n+1），在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是 （ ）
A.1 B.1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+4
C
2.［2020·江苏泰州高三模拟］若f（n）＝1+++…+（n∈N*），则对于k∈N*，f（k+1）＝f（k）+ .
3.［2020·上海高一检测］某个命题与自然数n有关，若n＝k（k∈N*）时命题成立，那么可推得当n＝k+1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得 （ ）
A.n＝6时该命题不成立 B.n＝6时该命题成立
C.n＝4时该命题不成立 D.n＝4时该命题成立
C
二、数学归纳法在数列中的应用
1.求数列的通项公式
例2 ［2020·深圳市耀华实验学校高二联考］已知数列{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，对于一切n∈N*均有an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.
（1）计算a1，a2，a3，并由此猜想数列{an}的通项公式.
（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想.
◆用数学归纳法求数列通项公式的一般步骤
1.由已知条件求出数列的前几项；
2.依据求出的前几项猜想数列的通项；
3.用数学归纳法证明上面的猜想是正确的.
训练题
1.［2020·甘肃武威高二检测］已知数列{an}的前n项和Sn＝1-nan（n∈N*）.
（1）计算a1，a2，a3，a4 .
（2）猜想an的解析式，并用数学归纳法证明你的结论.
2.［2020·贵州省思南中学高二检测］已知数列{an}满足nan+1＝（n+2）·
（an-1），且a1＝6.
（1）求a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式.
（2）试用数学归纳法证明上述猜想.
（1）解：由递推公式可得a2＝15，a3＝28，a4＝45，
可猜想an＝（n+1）（2n+1）＝2n2+3n+1.
2.求数列的前n项和
例3 ［2020·辽宁抚顺市第十中学高二检测］已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an（n∈N*）.
（1）试求S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的解析式.
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
◆用数学归纳法求数列的前n项和的一般步骤
1.利用已知条件求出Sn的前几项；
2.猜想Sn的解析式；
3.用数学归纳法证明上面的猜想是正确的.
训练题 ［2020·江西南昌二中高二期末］数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝Sn+-2（n∈N*）.
（1）求S1，S2，S3，S4的值.
（2）猜想数列{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.
3.证明数列等式
例4 ［2020·浙江杭州高二联考］用数学归纳法证明：
22+42+62+…+（2n）2＝n（n+1）（2n+1）（n∈N*）.
【证明】（1）当n＝1时，左边＝右边＝4，等式成立.
（2）假设当n＝k（k∈N*，k≥1）时等式成立，
即22+42+62+…+（2k）2＝k（k+1）（2k+1），
当n＝k+1时，22+42+62+…+（2k）2+［2（k+1）］2＝k（k+1）（2k+1）+
［2（k+1）］2＝（k+1）（2k2+7k+6）＝（k+1）（k+2）（2k+3）＝
（k+1）［（k+1）+1］［2（k+1）+1］，所以当n＝k+1时，等式成立.
由（1）（2）可知，对任何n∈N*，等式都成立.
◆用数学归纳法证明等式的注意点
1.用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.
2.由n＝k时等式成立，推出n＝k+1时等式成立，一要找出等式两边的变化（差异），明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程.
3.不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法.
训练题 1.［2020·江苏徐州高三模拟］用数学归纳法证明：
1+2+3+…+2n＝n（2n+1）（n∈N*）.
证明：（1）当n＝1时，左边＝1+2＝3，右边＝1×（2×1+1）＝3，所以左边＝右边.故等式成立.
（2）假设当n＝k（k∈N*）时等式成立，
即1+2+3+…+2k＝k（2k+1），则当n＝k+1时，
左边＝1+2+3+…+2k+（2k+1）+（2k+2）
＝k（2k+1）+（2k+1）+（2k+2）
＝（2k+1）（k+1）+（2k+2）＝（k+1）（2k+3）
＝（k+1）［2（k+1）+1］，即当n＝k+1时，等式成立.
由（1）（2）可知，对任何n∈N*等式都成立，故得证.
◆用数学归纳法证明不等式的注意点
1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.
2.用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立，推证n＝k+1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差（求商）比较法、放缩法、构造函数法等证明方法.
训练题
1.设数列{an}满足a1＝2，an+1＝an+（n＝1，2，3，…）.
求证：an>对一切正整数n成立.
三、数学归纳法在其他问题中的应用
1.证明整除性问题
例6 用数学归纳法证明：23n-1（n∈N*）能被7整除.
【证明】 ①当n＝1时，23×1-1＝8-1＝7，能被7整除.
②假设当n＝k时，23k-1（k∈N*）能被7整除，
那么当n＝k+1时，23（k+1）-1＝8×23k-1＝8×23k-8+7＝8（23k-1）+7.
因为23k-1（k∈N*）能被7整除，所以8（23k-1）+7能被7整除，
所以当n＝k+1时，命题也成立.
由①②可知，23n-1（n∈N*）能被7整除.
◆用数学归纳法证明整除性问题的一般步骤
1.先证明当n＝1时，结论成立，
2.假设当n＝k时结论成立，利用此假设结合因式的配凑法，证明当n＝k+1时，结论也成立.
训练题 ［2020·广东中山高二联考］用数学归纳法证明：三个连续正整数的立方和能被9整除.
证明：①当n＝1时，13+23+33＝36能被9整除.
②假设当n＝k时，k3+（k+1）3+（k+2）3的和能被9整除；
则当n＝k+1时，（k+1）3+（k+2）3+（k+3）3
＝（k+1）3+（k+2）3+k3+9k2+27k+27
＝［k3+（k+1）3+（k+2）3］+9（k2+3k+3）.
由归纳假设k3+（k+1）3+（k+2）3能被9整除，
又9（k2+3k+3）能被9整除，所以当n＝k+1时（k+1）3+（k+2）3+（k+3）3的和能被9整除.
由①②可知，三个连续正整数的立方和能被9整除.
2.证明几何问题
例7 ［2020·江苏徐州高二期末］已知平面上1个圆可以将平面分成2个部分，2个圆最多可以将平面分成4个部分，设平面上n个圆最多可以将平面分成
f（n）个部分.
（1）求f（3），f（4）的值.
（2）猜想f（n）的解析式并证明.
【解】（1）由已知有f（3）＝8，f（4）＝14，
（2）f（n）＝n2-n+2.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，f（1）＝12-1+2＝2，结论成立.
②假设当n＝k时，结论成立，即平面上k个圆最多可以将平面分成（k2-k+2）个部分，那么当n＝k+1时，第（k+1）个圆与前k个圆最多有2k个交点，即第（k+1）个圆最多被这2k个交点分成2k条圆弧段，由于每增加一个圆弧段，可将原来的区域分成两个区域，因此第（k+1）个圆使平面增加了2k个区域，所以f（k+1）＝f（k）+2k＝k2-k+2+2k＝（k+1）2-（k+1）+2.
由①②可知，平面上n个圆最多可以将平面分成（n2-n+2）个部分，即命题得证.
训练题 ［2020·湖南醴陵高二期末］如图所示，在圆内画1条线段，将圆分割成2部分；画2条相交线段，彼此分割成4条线段，将圆分割成4部分；画3条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分.那么
（1）在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？
（2）猜想：圆内两两相交的n条线段，彼此最多分割成多少条线段？
（3）猜想：在圆内画n条线段，两两相交，将圆最多分割成几部分？并用数学归纳法证明你所得到的猜想.
四、归纳猜想和证明
例8 ［2020·江苏省海门中学高二检测］观察下列等式：
1＝1；
2+3+4＝9；
3+4+5+6+7＝25；
4+5+6+7+8+9+10＝49；
……
按照以上式子的规律：
（1）写出第5个等式，并猜想第n个等式（n∈N*）.
（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立（n∈N*）.
（1）【解】第5个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13＝92；
第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）＝（2n-1）2，n∈N*.
（2）【证明】①当n＝1时，等式左边＝1，等式右边＝（2-1）2＝1，
所以等式成立.
②假设当n＝k（k∈N*）时，等式成立，即
k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）＝（2k-1）2（k≥1，k∈N*），
那么，当n＝k+1时，
（k+1）+［（k+1）+1］+［（k+1）+2］+…+［3（k+1）-2］
＝（k+1）+（k+2）+（k+3）+…+（3k+1）
＝k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）-k
＝（2k-1）2+8k＝4k2-4k+1+8k＝（2k+1）2＝［2（k+1）-1］2.
即n＝k+1时等式成立.
由①②可知，对任何n∈N*，等式都成立.
2.［2020·黑龙江哈九中高三模拟］将正整数作如下分组：（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），（11，12，13，14，15），（16，17，18，19，20，21），…，分别计算各组包含的正整数的和如下：
S1＝1，
S2＝2+3＝5，
S3＝4+5+6＝15，
S4＝7+8+9+10＝34，
S5＝11+12+13+14+15＝65，
S6＝16+17+18+19+20+21＝111，
……
试猜测S1+S3+S5+…+S2n-1的结果，并用数学归纳法证明.
解：由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；
当n＝2时，S1+S3＝16＝24；
当n＝3时，S1+S3+S5＝81＝34；
当n＝4时，S1+S3+S5+S7＝256＝44.
猜想：S1+S3+S5+…+S2n-1＝n4.下面用数学归纳法证明：
（1）当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立.
（2）假设当n＝k（k∈N*，k≥1）时等式成立，即S1+S3+S5+…+S2k-1＝k4，
那么，当n＝k+1时，S1+S3+S5+…+S2k-1+S2k+1
＝k4+［（2k2+k+1）+（2k2+k+2）+…+（2k2+k+2k+1）］
＝k4+（2k+1）（2k2+2k+1）＝k4+4k3+6k2+4k+1＝（k+1）4，
所以当n＝k+1时，等式也成立.
由（1）（2）可知，对任何n∈N*，S1+S3+S5+…+S2n-1＝n4都成立.
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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