【课件】5.1 导数的概念及其意义 数学-RJ·A-选择性必修第二册（67页PPT）

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数学-RJ·A-选择性必修第二册
5.1 导数的概念及其意义
第五章　一元函数的导数及其应用
学习目标
1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.
2.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念以及它们之间的关系.
3.掌握函数平均变化率、瞬时变化率的求法.
4.掌握导数的概念及其几何意义，会用导数的概念求简单函数在某点处的导数及曲线的切线问题.
重点：平均变化率、瞬时变化率的概念及求法、导数的概念及利用导数概念求导数、导数的几何意义及其应用
难点：平均变化率、瞬时变化率的概念以及两者之间关系的理解、导数概念的理解、导数几何意义的理解
知识梳理
一、变化率问题
问题1　高台跳水运动员的速度
探究：在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系
h（t）＝-4.9t2+4.8t+11.
如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？
提示：在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快.
我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态.
例如，在0≤t≤0.5这段时间里，＝ ＝2.35（m/s）；
在1≤t≤2这段时间里，＝ ＝-9.9（m/s）.
一般地，在t1≤t≤t2这段时间里，＝ ＝-4.9（t1+t2）+4.8.
思考:计算运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度，你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
提示（m/s）.
用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.
瞬时速度的概念：
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
探究:瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t＝1 s时的瞬时速度吗？
我们在t＝1之后或之前，任意取一个时刻1+Δt.
Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.
当Δt>0时，把运动员在时间段［1，1+Δt］内近似看成做匀速直线运动，计算时间段［1，1+Δt］内的平均速度，
用平均速度近似表示运动员在t＝1时的瞬时速度.
当Δt<0时，在时间段［1+Δt，1］内可作类似处理.
提示：设运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在t0时刻的瞬时速度.
为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格.
当Δt<0时，在时间段［1+Δt，1］内 当Δt>0时，在时间段［1，1+Δt］内
Δt ＝ ＝ ＝-4.9Δt-5 Δt ＝
＝ ＝-4.9Δt-5
-0.01 -4.951 0.01 -5.049
-0.001 -4.995 1 0.001 -5.004 9
-0.000 1 -4.999 51 0.000 1 -5.000 49
-0.000 01 -4.999 951 0.000 01 -5.000 049
-0.000 001 -4.999 995 1 0.000 001 -5.000 004 9
…… ……
观察:给出Δt更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度的值.当Δt无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势？
为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格.
当Δt<0时，在时间段［1+Δt，1］内 当Δt>0时，在时间段［1，1+Δt］内
Δt ＝ ＝ ＝-4.9Δt-5 Δt ＝
＝ ＝-4.9Δt-5
-0.01 -4.951 0.01 -5.049
-0.001 -4.995 1 0.001 -5.004 9
-0.000 1 -4.999 51 0.000 1 -5.000 49
-0.000 01 -4.999 951 0.000 01 -5.000 049
-0.000 001 -4.999 995 1 0.000 001 -5.000 004 9
…… ……
我们发现，当Δt无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于.
事实上，由＝ ＝4.9Δt可以发现，当Δt无限趋近于0时，Δt也无限趋近于0，所以无限趋近于.这与前面得到的结论一致.
数学中，我们把叫做“当Δt无限趋近于0时，＝ 的极限”，
记为 .
从物理的角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝1时的瞬时速度.
因此，运动员在t＝1 s时的瞬时速度v（1）＝ m/s.
思考: （1）求运动员在t＝2 s时的瞬时速度；
（2）如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度？
问题2　抛物线的切线的斜率
探究：你认为应该如何定义抛物线在点处的切线？
提示：我们通常在点的附近任取一点，考察抛物线的割线的变化情况.
观察： 如图，当点P（x，x2）沿着抛物线f（x）＝x2趋近于点P0（1，1）时，割线P0P有什么变化趋势？
提示：我们发现，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，
这个确定位置的直线P0T称为抛物线f（x）＝x2在点P0（1，1）处的切线.
探究：我们知道，斜率是确定直线的一个要素.如何求抛物线f（x）＝x2在点P0（1，1）处的切线P0T的斜率k0呢？
提示：从上述切线的定义可见，抛物线f（x）＝x2在点P0（1，1）处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在联系.
割线的斜率：记Δx＝x-1，{1}则点P的坐标是（1+Δx，（1+Δx）2）.
于是，割线P0P的斜率
我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔|Δx|来提高近似表示的精确度，得到如下表格
Δx<0 Δx>0
Δx k＝Δx+2 Δx k＝Δx+2
-0.01 1.99 0.01 2.01
-0.001 1.999 0.001 2.001
-0.000 1 1.999 9 0.000 1 2.000 1
-0.000 01 1.999 99 0.000 01 2.000 01
-0.000 001 1.999 999 0.000 001 2.000 001
…… ……
观察：利用计算工具计算更多割线P0P的斜率k的值，当Δx无限趋近于0时，割线P0P的斜率k有什么变化趋势？
Δx<0 Δx>0
Δx k＝Δx+2 Δx k＝Δx+2
-0.01 1.99 0.01 2.01
-0.001 1.999 0.001 2.001
-0.000 1 1.999 9 0.000 1 2.000 1
-0.000 01 1.999 99 0.000 01 2.000 01
-0.000 001 1.999 999 0.000 001 2.000 001
…… ……
割线P0P的斜率k都无限趋近于2.
事实上，由可以直接看出，当无限趋近于0时， +2无限趋近于2.
我们把2叫做“当无限趋近于0时，的极限”，
记为
从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T.这时，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0.因此，切线P0T的斜率k0＝2.
思考：你认为应该怎样定义抛物线f（x）＝x2在点（x0，x02）处的切线？试求抛物线f（x）＝x2在点（-1，1）处切线的斜率.
提示：在点P0（x0，x02）的附近任取一点P（x，x2），当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置P0T，这个确定位置P0T称为抛物线f（x）＝x2在点（x0，x02）处的切线.
抛物线f（x）＝x2在点（-1，1）处的切线的斜率为
平均变化率的概念:
对于函数y＝f（x），设自变量x从x0变化到x0+Δx，相应地，函数值y就从f（x0）变化到f（x0+Δx）.这时，x的变化量为Δx，y的变化量为.
我们把比值，即叫做函数y＝f（x）从x0到x0+Δx的平均变化率.
（1）一般地，在式子＝＝中，当x1取定值，Δx取不同数值时，函数的平均变化率不一定相同；当Δx取定值，x1取不同数值时，函数的平均变化率也不一定相同.特别地，当函数f（x）为常数函数时，Δy＝0，则＝0.
（2）平均变化率＝的几何意义就是函数y＝f（x）图象上的两点（x0，f（x0））与（x0+Δx，f（x0+Δx））所在直线的斜率.
（3）利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙、不精确的”.只有当Δx＝x2-x1无限趋近于0时，这种量化才由“粗糙”趋近“精确”.
理解平均变化率要注意以下三点：
二、导数的概念
如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f（x）在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f（x）在x＝x0处的导数（derivative）（也称为瞬时变化率），记作f ′（x0）或，即
由导数的定义可知，
问题1中运动员在t＝1时的瞬时速度v（1），就是函数h（t）＝
-4.9t2+4.8t+11在t＝1处的导数h ′（1）；
问题2中抛物线f（x）＝x2在点P0（1，1）处的切线P0T的斜率k0，就是函数f（x）＝x2在x＝1处的导数f ′（1）.
实际上，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率，如效率、国内生产总值（GDP）的增长率等.
对于y＝f（x）在x＝x0处的导数的理解要注意以下三点：
（1）y＝f（x）在x＝x0处的导数即为函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛.
（2）y＝f（x）在x＝x0处的导数表示为f ′（x0）或，函数在x＝x0处的导数f ′（x0）只与x0有关，与Δx无关.函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数值的改变量与自变量的改变量比值的极限，不是变量.
（3）若极限 不存在，则称函数y＝f（x）在x＝x0处不可导.
三、导数的几何意义
思考:观察函数y＝f（x）的图象，平均变化率 表示什么？瞬时变化率 表示什么？

平均变化率 表示割线P0P的斜率.
如图，在曲线上任取一点如果当点沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的切线.
与问题2中抛物线的割线和切线之间的关系类似，容易知道，割线P0P的斜率k＝.
记Δx＝x-x0，当点P沿着曲线y＝f（x）无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f（x）在x＝x0处的导数.因此，函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f ′（x0）就是切线P0T的斜率k0，即
这就是导数的几何意义.
继续观察上图，可以发现点P0处的切线P0T比任何一条割线更贴近点P0附近的曲线.
进一步地，利用信息技术工具将点P0附近的曲线不断放大（如图），可以发现点P0附近的曲线越来越接近于直线.因此，在点P0附近，曲线y＝f（x）可以用点P0处的切线P0T近似代替.
理解导数的几何意义应注意以下三点：
（1）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数即为曲线 y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率，即曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0）处的切线的斜率k＝f ′（x0）.此时曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y-f（x0）＝f ′（x0）（x-x0）.如果切线的倾斜角为α，则tan α＝f ′（x0）.
（2）若函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的导数不存在，表明曲线在该点处有切线，且切线与x轴垂直或曲线在该点处无切线.
（3）利用以直代曲以及导数的几何意义可知：当曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率f ′（x0）>0时，函数y＝f（x）在x0附近单调递增；当曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率f ′（x0）<0时，函数y＝f（x）在x0附近单调递减；当曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率f ′（x0）＝0时，函数y＝f（x0）在x0附近不增不减.
四、导函数的概念
从求函数在处导数的过程可以看到，当时，是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，就是x的函数，我们称它为的导函数（derived function）（简称导数）.y＝f（x）的导函数有时也记作y′，即
函数f（x）在x＝x0处的导数f ′（x0）、导函数f ′（x）之间的区别与联系：
（1）区别：①f ′（x0）是在x＝x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量.
② f ′（x）是函数f（x）的导函数，是对某一区间内任意x而言的.
（2）联系：函数f（x）在x＝x0处的导数f ′（x0）就是导函数f ′（x）在x＝x0处的函数值.
常考题型
一、求平均速度与瞬时速度
例1 若一物体运动方程如下（位移s的单位：m，时间t的单位：s）：
求：（1）物体在t∈［3，5］内的平均速度；
（2）物体的初速度v0；
（3）物体在t＝1时的瞬时速度.
【解】（1）∵ 当t∈［3，5］时，时间变化量Δt＝5-3＝2，
位移变化量Δs＝3×52+2-（3×32+2）＝3×（52-32）＝48，
∴ 物体在t∈［3，5］内的平均速度为＝＝24（m/s）.
（2）求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度.
∵ 物体在t＝0附近的平均速度为
∴ 物体在t＝0时的瞬时速度为 （m/s）.
（3）物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率.
∵ 函数在t＝1处的平均变化率为
∴ 物体在t＝1时的瞬时速度为 （m/s）.
◆求瞬时速度的三个步骤
1.求位移变化量，给出时间的一个变化量Δt，求相应位移的变化量Δs.
2.求平均速度，.
3.求极限，得瞬时速度，即
训练题
1.（1）已知某质点的运动方程为s（t）＝t2+3，则t从3到3.3，该质点运动的平均速度为 （　　）
A.6.3 B.36.3 C.3.3 D.9.3
（2）甲、乙两人走过的路程s1（t），s2（t）与时间t的关系如图所示，则从0到t0这段时间内甲、乙两人的平均速度较大的是　　　　（填甲或乙）.
2.［2020·吉林省实验中学高二期末］已知某物体的运动方程是s＝+t，则当t＝3时，该物体的瞬时速度是 （　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
A
乙
C
3.已知物体的运动方程为s＝v0t+at2，试求该物体在t＝1时的瞬时速度.
解：∵ Δs＝v0（1+Δt）+a（1+Δt）2-
＝v0Δt+aΔt+a（Δt）2，
∴＝v0+a+aΔt，
∴ 该物体在t＝1时的瞬时速度为
二、求函数的平均变化率、导数（瞬时变化率）
1.求函数在某一区间的平均变化率
例2 求函数y＝f（x）＝在区间［1，1+Δx］内的平均变化率.
◆求函数的平均变化率的三个步骤
1.作差求自变量的变化量Δx＝x2-x1；
2.作差求函数值的变化量Δy＝f（x2）-f（x1）；
3.作商求平均变化率
训练题
1.［2020·安徽高二期末］在曲线y＝x2上取一点（1，1）及附近一点（1+Δx，1+Δy），则为 （　　）
A.Δx++2 B.Δx--2 C.Δx+2 D.2+Δx-
2.［2020·山西应县一中高二期末］在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①f（x）＝x；②f（x）＝x2；③f（x）＝x3；④f（x）＝中，平均变化率最大的是　　　　（填序号）.
3.［2020·山东临沂一中月考］已知函数f （x）＝ax2在区间 ［1，2］上的平均变化率为，则f（x）在区间［-2，-1］上的平均变化率为　　　　.
C
③
2.求函数在某一点处的导数
例3 求f （x）＝x3-x在x＝2处的导数.
【解】∵ Δy＝f（2+Δx）-f（2）＝（2+Δx）3-（2+Δx）-（23-2）
＝（Δx）3+6（Δx）2+11Δx，
∴＝（Δx）2+6Δx+11，
即f ′（2）＝11.
训练题 ［2019·吉林长春外国语学校高二检测］函数f（x）＝x2-3在x＝1处的瞬时变化率为 （　　）
A. （Δx）2+2Δx B.Δx+2 C.2 D.4
C
3.根据导数定义求参数
例4 已知f （x）＝ax3+3x2+2，若f ′（-1）＝4，则a的值为（　）
A. B. C. D.
【解析】因为Δy＝f（x+Δx）-f（x）
＝a（x+Δx）3+3（x+Δx）2+2-（ax3+3x2+2）
＝3ax2·Δx+3ax（Δx）2+a（Δx）3+6x·Δx+3（Δx）2，
所以＝3ax2+3ax·Δx+a（Δx）2+6x+3Δx，
所以 ＝3ax2+6x，即f ′（x）＝3ax2+6x，
所以f ′（-1）＝3a-6＝4，解得a＝.
【答案】C
4.根据导数定义求极限值
例5 ［2020·山东兰陵二中高二检测］已知函数f （x）在x0处的导数为f ′（x0），则 等于 （　　）
A.mf ′（x0） B.mf ′（x0）
C.f ′（x0） D.f ′（x0）
【答案】B
◆根据导数定义求极限值的方法
1.将已知极限式配凑成定义式的形式；
2.根据导数的定义得极限式的值.
C
2a
B
三、平均变化率、导数（瞬时变化率）的几何意义
1.曲线的割线及其应用
例6 已知曲线y＝x2-1上两点A（2，3），B（2+Δx，3+Δy），当Δx＝1时，割线AB的斜率是　　　　；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是　　　　 .
【答案】5　4.1
训练题 设a＝，b＝2-，c＝-2，则a，b，c的大小顺序为 （　　）
A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.a>c>b
A
2.利用导数的几何意义描述函数图象
例7 一堆雪在融化过程中，其体积V（单位：m3）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：V（t）＝（H为常数），其图象如图所示.记这堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为（m3/h）.那么t1，t2，t3，t4中，瞬时融化速度等于（m3/h）的时刻是　　　　.
【解析】由题意，可得平均融化速度
反映的是V（t）的图象与坐标轴交点连线的斜率，
观察可知t3处瞬时融化速度与平均融化速度一致.
【答案】t3
◆导数的几何意义
函数y＝f（x）在x0处的导数f ′（x0）的几何意义，就是曲线y＝f（x）在
点（x0，f（x0））处切线的斜率k，即k＝f ′（x0）＝
训练题
1.设函数f（x）在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图所示，则导函数y＝f ′（x）的图象可能为 （　　）

D
A B C D
2.［2020·安徽合肥高二期末］函数y＝f（x）的图象如图所示，
f ′（x）是函数f（x）的导函数，下列数值排序正确的是 （　）
A.f ′（2）B.f ′（3）C.f（3）-f（2）D.f ′（2）3. f ′（x）是函数y＝f（x）的导函数，若y＝f ′（x）的图象
如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是 （　　）



A B C D
D
D
◆判断导函数的图象和函数图象的关系的方法
1.正则升，负则降.导数值为正时，函数图象呈上升趋势；导数值为负时，函数图象呈下降趋势.
2.大则陡，小则缓.导数的绝对值越大，函数图象越陡峭；导数的绝对值越小，函数图象越平缓.
3.求曲线的切线方程
例8 ［2020·江西南昌二中高二期末］已知函数f（x）＝x3+x-2.
（1）求曲线y＝f（x）在点（2，8）处的切线方程；
（2）直线为曲线y＝f（x）的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标.
【解】

（1）因为f ′（2）＝13，
所以曲线y＝f（x）在点（2，8）处的切线方程为y-8＝13（x-2），即13x-y-18＝0.
（2）设切点为（x0， +x0-2），则f ′（x0）＝3+1，
所以切线方程为y-（+x0-2）＝（3+1）（x-x0）.
因为切线过原点，
所以-（+x0-2）＝-x0（3+1）.
所以2＝-2，解得x0＝-1.
所以切点坐标为（-1，-4）.
因为f ′（-1）＝4，所以所求切线方程为y＝4x.
◆利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤
1. 求曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程的步骤
（1）求出函数y＝f（x）在x0处的导数f ′（x0）；
（2）根据直线方程的点斜式，得切线方程为
y-f（x0）＝f ′（x0）（x-x0）.
2. 求曲线y＝f（x）过点P（x0，y0）的切线方程的步骤
（1）设切点为P′（x′，f（x′）），求切线的斜率k＝f ′（x′），
写出切线方程（含参）；
（2）把点P（x0，y0）的坐标代入切线方程，建立关于x′的方程，
解得x′的值，进而求出切线方程.
训练题
1.［2020·山东兰陵一中高二期末］已知f （x）＝2x2，则曲线y＝f（x）在点P（1，2）处的切线的倾斜角的正切值为　　　　.
2.已知直线ax-by-2＝0与曲线y＝x3在点P（1，1）处的切线互相垂直，则的值为 （　　）
A. B. C. D.
3.［2020·安徽合肥高二检测］如图所示，函数y＝f（x）的图象在点P处的切线方程是，则=（　）
A.1 B.2 C.3 D.4
D
4
A
4.已知曲线f（x）＝.
（1）求曲线过点A（1，0）的切线方程；
（2）求曲线的斜率为的切线的方程.
5.已知直线l1为曲线y＝x2+x-2在点（1，0）处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
（1）求直线l2的方程；
（2）求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.
4.已知函数图象上某点处的切线方程求参数
例9 已知直线l：y＝4x+a和曲线C：y＝f （x）＝x3-2x2+3相切，求a的值及切点坐标.
◆已知函数图象上某点处的切线方程求参数的方法
解题的关键是得到关于参数的方程（组），常根据以下结论列方程（组）：
1.利用切点在曲线上可得关于参数的方程；
2.利用函数y＝f（x）在x＝x0处的导数即为曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处切线的斜率可得参数方程；
3.利用切点坐标满足切线方程可得参数方程.
训练题 ［2020·广东东莞高二期末］若曲线y＝x2+ax+b在点（1，1）处的切线为3x-y-2＝0，则有 （　　）
A.a＝-1，b＝1 B.a＝1，b＝-1
C.a＝-2，b＝1 D.a＝2，b＝-1
B
5.利用切线求最值问题
例10 已知直线x+2y-4＝0与抛物线y2＝2x相交于A，B两点，O是坐标原点，试在抛物线的曲线AOB上求一点P，使△ABP的面积最大.
◆利用切线求最值的一般思路
1.利用导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何最值问题；
2.解决此类问题的关键是准确确定所求切线的位置，进而求出切点坐标；
3.曲线上点到直线的距离的最值问题常常转化为两平行线间的距离；
4.求切点可利用导数与待定系数法.
训练题 ［2020·安徽芜湖高二期末］已知A，B，C三点在曲线y＝上，其横坐标依次为1，m，4（1A.3 B. C. D.
B
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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